Bài tập este khó điểm 9 10 violet năm 2024

1. SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 ĐỀ SỐ 1 Bµi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 - 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bµi 2. (4 ®iÓm) a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : 2 3 4 a b c = = vµ a + 2b - 3c = -20 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 - 3x2 + 7x4 - 9x3 + x2 - 1 4 x g(x) = 5x4 - x5 + x2 - 2x3 + 3x2 - 1 4 TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) - g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = -1. Bµi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900 , trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a) So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE. b) TÝnh sè ®o gãc BED. Bµi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 3 AD.
2. (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06:7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4     − + − ÷     Bài 2: (4 điểm): Cho a c c b = chứng minh rằng: a) 2 2 2 2 a c a b c b + = + b) 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: a) 1 4 2 5 x + − = − b) 15 3 6 1 12 7 5 2 x x− + = − Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có µ 0 A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm ,x y ∈¥ biết: 2 2 25 8( 2009)y x− = −
3. điểm) a) Thực hiện phép tính: ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 32 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .142 .3 8 .3 − − = − ++ b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2n n n n+ + − + − chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: a. ( ) 1 4 2 3,2 3 5 5 x − + = − + b. ( ) ( ) 1 11 7 7 0 x x x x + + − − − = Bài 3: (4 điểm) a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 3 1 : : 5 4 6 . Biết rằng tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. b) Cho a c c b = . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a c a b c b + = + Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC⊥ ( )H BC∈ . Biết ·HBE = 50o ; ·MEB =25o . Tính ·HEM và ·BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có µ 0 A 20= , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC
4. (2 ®iÓm) Cho A = 2-5+8-11+14-17+…+98-101 a, ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A b, TÝnh A Bµi 2: ( 3 ®iÓm) T×m x,y,z trong c¸c trêng hîp sau: a, 2x = 3y =5z vµ 2x y− =5 b, 5x = 2y, 2x = 3z vµ xy = 90. c, 1 2 3 1y z x z x y x y z x y z + + + + + − = = = + + Bµi 3: ( 1 ®iÓm) 1. Cho 3 8 91 2 2 3 4 9 1 ... a a aa a a a a a a = = = = = vµ (a1+a2+…+a9 ≠0) Chøng minh: a1 = a2 = a3=…= a9 2. Cho tØ lÖ thøc: a b c a b c a b c a b c + + − + = + − − − vµ b ≠ 0 Chøng minh c = 0 Bµi 4: ( 2 ®iÓm) Cho 5 sè nguyªn a1, a2, a3, a4, a5. Gäi b1, b2, b3, b4, b5 lµ ho¸n vÞ cña 5 sè ®· cho. Chøng minh r»ng tÝch (a1-b1).(a2-b2).(a3-b3).(a4-b4).(a5-b5) M 2 Bµi 5: ( 2 ®iÓm) Cho ®o¹n th¼ng AB vµ O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng ®ã. Trªn hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau qua AB, kÎ hai tia Ax vµ By song song víi nhau. Trªn tia Ax lÊy hai ®iÓm D vµ F sao cho AC = BD vµ AE = BF. Chøng minh r»ng : ED = CF. === HÕt===
5. (3 ®iÓm) 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 4,5: 47,375 26 18.0,75 .2,4:0,88 3 2 5 17,81:1,37 23 :1 3 6    − − ÷     − 2. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x vµ y tho¶ m·n: ( ) 2007 2008 2 27 3 10 0x y− + + = 3. T×m c¸c sè a, b sao cho 2007ab lµ b×nh ph¬ng cña sè tù nhiªn. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) 1. T×m x,y,z biÕt: 1 2 3 2 3 4 x y z− − − = = vµ x-2y+3z = -10 2. Cho bèn sè a,b,c,d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0 Chøng minh r»ng: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d + + = + + Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 1. Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 ... 10 1 2 3 100 + + + + > 2. T×m x,y ®Ó C = -18- 2 6 3 9x y− − + ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1, Chøng minh: BH = AK 2, Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? === HÕt===
6. 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a,5x-3 < 2 b,3x+1 >4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =x +8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12 +22 +33 +...+102 = 385. TÝnh tæng : S= 22 + 42 +...+202 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD ----- HÕt ------
7. gian lµm bµi: 120 phót C©u 1 . ( 2®) Cho: d c c b b a == . Chøng minh: d a dcb cba =      3 . C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = ac b ba c cb a + = + = + . C©u 3. (2®). T×m Zx ∈ ®Ó A∈ Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. a). A = 2 3 − + x x . b). A = 3 21 + − x x . C©u 4. (2®). T×m x, biÕt: a) 3−x = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho  ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E ∈ BC, BH⊥ AE, CK ⊥ AE, (H,K ∈ AE). Chøng minh  MHK vu«ng c©n. ---- HÕt ----
8. gian lµm bµi : 120 phót. C©u 1 : ( 3 ®iÓm). 1. Ba ®êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi lµ 4,12 ,a . BiÕt r»ng a lµ mét sè tù nhiªn. T×m a ? 2. Chøng minh r»ng tõ tØ lÖ thøc d c b a = ( a,b,c ,d≠ 0, a≠b, c≠d) ta suy ra ®îc c¸c tØ lÖ thøc: a) dc c ba a − = − . b) d dc b ba + = + . C©u 2: ( 1 ®iÓm). T×m sè nguyªn x sao cho: ( x2 –1)( x2 –4)( x2 –7)(x2 –10) < 0. C©u 3: (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: A = | x-a| + | x-b| + |x-c| + | x-d| víi a------ HÕt ------ A C B x y
9. gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(2®): a) TÝnh: A = 1 + 3 4 5 100 3 4 5 100 ... 2 2 2 2 + + + + b) T×m n ∈Z sao cho : 2n - 3 M n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x - 2 1x + = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50. C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng 213 70 , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®):Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng. C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + 1 7 = 1 y -------HÕt------
10. gian lµm bµi: 120’. C©u 1: TÝnh : a) A = 100.99 1 .... 4.3 1 3.2 1 2.1 1 . b) B = 1+ )20...321( 20 1 ....)4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 ++ C©u 2: a) So s¸nh: 12617 vµ 99 . b) Chøng minh r»ng: 10 100 1 .... 3 1 2 1 1 1 >++ . C©u 3: T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = 12001 −+− xx ------ hÕt -----
11. gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: a, 327 2+x + 326 3+x + 325 4+x + 324 5+x + 5 349+x =0 b, 35 −x 7≥ C©u2:(3 ®iÓm) a, TÝnh tæng: 2007210 7 1 ........ 7 1 7 1 7 1       −      −+      −+      −=S b, CMR: 1 !100 99 ........ !4 3 !3 2 !2 1 <++ c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc 0 60=B hai ®êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ C©u5: (1 ®iÓm) Cho 3)1(2 1 2 +− = n B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. ------ hÕt -----
12. gian : 120’ C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) ( )5 1−x = - 243 . b) 15 2 14 2 13 2 12 2 11 2 + + + = + + + + + xxxxx c) x - 2 x = 0 (x 0≥ ) C©u 2 : (3®) a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : 8 1 4 5 =+ y x b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = 3 1 − + x x (x 0≥ ) C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 35 −x - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ∆ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ∆ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB ---HÕt----
13. gian lµm bµi: 120 phót Bµi1( 3 ®iÓm) a, TÝnh: A = 1 11 60 ).25,091 5 ( )75,1 3 10 ( 11 12 ) 7 176 3 1 26( 3 1 10 −− −−− b, TÝnh nhanh: (18.123 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 +7 +……+ 100 – 410) Bµi 2: ( 2®iÓm). T×m 3 sè nguyªn d¬ng sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña chóng b»ng 2. Bµi 3: (2 ®iÓm). CÇn bao nhiªu ch÷ sè ®Ó ®¸nh sè trang mét cuèn s¸ch dµy 234 trang. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho ∆ABC vu«ng t¹i B, ®êng cao BE T×m sè ®o c¸c gãc nhän cña tam gi¸c , biÕt EC – EA = AB. ---- hÕt -------
14. gian lµm bµi 120 phót Bµi 1(2 ®iÓm). Cho 5 2 .A x x= + + − a.ViÕt biÓu thøc A díi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. Bµi 2 ( 2 ®iÓm) a.Chøng minh r»ng : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ....... 6 5 6 7 100 4 < + + + + < . b.T×m sè nguyªn a ®Ó : 2 9 5 17 3 3 3 3 a a a a a a + + + − + + + lµ sè nguyªn. Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : ( ) ( )5 6 6 .A n n n= + + M Bµi 4(2 ®iÓm) Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm). T×m ®a thøc bËc hai sao cho : ( ) ( )1 .f x f x x− − = .
15. tæng : S = 1 + 2 + 3 + … + n. ---- HÕt ---- §Ò sè 15 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1: (2®) Rót gän A= 2 2 8 20 x x x x − + − C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®îc ®Òu nh nhau. C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 2006 10 53 9 + lµ mét sè tù nhiªn. C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh ⊥ Ay,CM ⊥Ay, BK ⊥ AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b, BH = 2 AC c, ΔKMC ®Òu
16. ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u díi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. ----- HÕt ------ §Ò sè 16 Thêi gian lµm bµi 120 phót C©u 1: (2®) T×m x, biÕt: a) 723 =−− xx b) 532 >−x c) 713 ≤−x d) 73253 =++− xx C©u 2: (2®) a) TÝnh tæng S = 1+52 + 54 +...+ 5200 b) So s¸nh 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 C©u 3: (2®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 . Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN C©u 4: (3®) Cho M,N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB vµ Ac cña tam gi¸c ABC. C¸c ®êng ph©n gi¸c vµ ph©n gi¸c ngoµi cña tam gi¸c kÎ tõ B c¾t ®êng th¼ng MN lÇn lît t¹i D vµ E c¸c tia AD vµ AE c¾t ®êng th¼ng BC theo thø tù t¹i P vµ Q. Chøng minh:
17. AQBEAP ⊥⊥ b) B lµ trung ®iÓm cña PQ c) AB = DE C©u 5: (1®) Víi gi¸ trÞ nguyªn nµo cña x th× biÓu thøc A= x x − − 4 14 Cã gi¸ trÞ lín nhÊt? T×m gi¸ trÞ ®ã. ------ HÕt ---- §Ò sè 17 C©u 1: ( 1,5 ®iÓm) T×m x, biÕt: a. 4 3x + - x = 15. b. 3 2x − - x > 1. c. 2 3x + ≤ 5. C©u2: ( 2 ®iÓm) a. TÝnh tæng: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 . Chøng minh r»ng: A chia hÕt cho 43. b. Chøng minh r»ng ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ®Ó m2 + m.n + n2 chia hÕt cho 9 lµ: m, n chia hÕt cho 3. C©u 3: ( 23,5 ®iÓm) §é dµi c¸c c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi nhau nh thÕ nµo,biÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× c¸c tæng nµy tû lÖ theo 3:4:5.
18. 3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. D lµ mét ®iÓm n»m trong tam gi¸c, biÕt ·ADB > ·ADC . Chøng minh r»ng: DB < DC. C©u 5: ( 1 ®iÓm ) T×m GTLN cña biÓu thøc: A = 1004x − - 1003x + . ------ HÕt ----- §Ò sè 18 C©u 1 (2 ®iÓm): T×m x, biÕt : a. 3x 2− +5x = 4x-10 b. 3+ 2x 5+ > 13 C©u 2: (3 ®iÓm ) a. T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 1, 2, 3. b. Chøng minh r»ng: Tæng A=7 +72 +73 +74 +...+74n chia hÕt cho 400 (n ∈N).
19. (1®iÓm )cho h×nh vÏ , biÕt α + β+ γ = 1800 chøng minh Ax// By. A α x C β γ B y C©u 4 (3 ®iÓm ) Cho tam gi¸c c©n ABC, cã ·ABC =1000 . KÎ ph©n gi¸c trong cña gãc CAB c¾t AB t¹i D. Chøng minh r»ng: AD + DC =AB C©u 5 (1 ®iÓm ) TÝnh tæng. S = (-3)0 + (-3)1 + (-3)2 + .....+ (-3)2004. ---- HÕt ------ §Ò sè 19 Thêi gian lµm bµi: 120 phó Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 − − − − − − − − − Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = xx −+− 52 Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn lît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng:
20. 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3-4x+x2 )2006 .(3+ 4x + x2 )2007. ------- HÕt ------ §Ò 20 Thêi gian lµm bµi: 120 phót C©u 1(3®): Chøng minh r»ng A = 22011969 + 11969220 + 69220119 chia hÕt cho 102 C©u 2(3®): T×m x, biÕt: a. x x 2 3+ + = ; b. 3x 5 x 2− = +
21. tam gi¸c ABC. Gäi M, N, P theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BC, CA, AB. C¸c ®êng trung trùc cña tam gi¸c gÆp nhau tai 0. C¸c ®êng cao AD, BE, CF gÆp nhau t¹i H. Gäi I, K, R theo thø tù lµ trung ®iÓm cña HA, HB, HC. a) C/m H0 vµ IM c¾t nhau t¹i Q lµ trung ®iÓm cña mçi ®o¹n. b) C/m QI = QM = QD = 0A/2 c) H·y suy ra c¸c kÕt qu¶ t¬ng tù nh kÕt qu¶ ë c©u b. C©u 4(1®): T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc A = 10 - 3|x-5| ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. ----- HÕt ----- §Ò 21 Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = 3 5 + − x x a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 4 1 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1
22. trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 17 −=− xx b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + …+(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3 . Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600 . Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = x x − − 6 2006 . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. ---- HÕt ------ §Ò 22 C©u 1: 1.TÝnh: a. 2015 2 1             4 1 . b. 3025 9 1             3 1 :
23. A = 20.63.2 6.29.4 8810 945 + − 3. BiÓu diÔn sè thËp ph©n díi d¹ng ph©n sè vµ ngîc l¹i: a. 33 7 b. 22 7 c. 0, (21) d. 0,5(16) C©u 2: Trong mét ®ît lao ®éng, ba khèi 7, 8, 9 chuyªn chë ®îc 912 m3 ®Êt. Trung b×nh mçi häc sinh khèi 7, 8, 9 theo thø tù lµm ®îc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m3 ®Êt. Sè häc sinh khèi 7, 8 tØ lÖ víi 1 vµ 3. Khèi 8 vµ 9 tØ lÖ víi 4 vµ 5. TÝnh sè häc sinh mçi khèi. C©u 3: a.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: A = 4)2( 3 2 ++x b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: B = (x+1)2 + (y + 3)2 + 1 C©u 4: Cho tam gi¸c ABC c©n (CA = CB) vµ ∠C = 800 . Trong tam gi¸c sao cho · 0 MBA 30= vµ · 0 10MAB = .TÝnh ·MAC . C©u 5: Chøng minh r»ng : nÕu (a,b) = 1 th× (a2 ,a+b) = 1. ----- HÕt ----- §Ò23 Thêi gian: 120 phót. C©u I: (2®)
24. − = + = − cba vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2) Cho tØ lÖ thøc : d c b a = . Chøng minh : cdd dcdc abb baba 32 532 32 532 2 22 2 22 + +− = + +− . Víi ®iÒu kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. C©u II : TÝnh : (2®) 1) A = 99.97 1 .... 7.5 1 5.3 1 + 2) B = 515032 3 1 3 1 ..... 3 1 3 1 3 1 −−+− C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE ⊥ víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n ------ HÕt ------- §Ò 24
25. bµi: 120 phót Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: a) A = 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,7511 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 − + + + − + − + − − + − b) B = 1 + 22 + 24 + ... + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: a) 3 4x − ≤ 3 b) 1 1 1 1 ... 2 1.2 2.3 99.100 2 x   + + + − = ÷   Bµi 5 ( 3®): Cho ∆ ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200 . VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) · 0 120BMC = b) · 0 120AMB = Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu cã: 21 ( ) 3. ( )f x f x x + = . TÝnh f(2). ---- HÕt ------
26. lµm bµi: 120 phót C©u 1 (2®) T×m x, y, z ∈ Z, biÕt a. x x+ − = 3 - x b. 2 11 6 =− y x c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) a. Cho A = )1 100 1 )...(1 4 1 ).(1 3 1 ).(1 2 1 ( 2222 −−−− . H·y so s¸nh A víi 2 1 − b. Cho B = 3 1 − + x x . T×m x ∈Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d¬ng C©u 3 (2®) Mét ngêi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®îc 5 1 qu·ng ®êng th× ngêi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tra. TÝnh qu·ng ®êngAB vµ ngêi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ABC∆ cã ˆA > 900 . Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh CIDAIB ∆=∆ b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB · ·AIB BIC< d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC∆ ®Ó AC CD⊥ C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = 〉∈〈 − − Zx x x ; 4 14 . Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn nµo? ----- HÕt -------
27. lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2,5®) a. T×m x biÕt : 62 −x +5x = 9 b. Thùc hiÖn phÐp tÝnh : (1 +2 +3 + ...+ 90). ( 12.34 – 6.68) :       +++ 6 1 5 1 4 1 3 1 ; c. So s¸nh A = 20 +21 +22 +23 + 24 +...+2100 vµ B = 2101 . Bµi 2 :(1,5®) T×m tØ lÖ ba c¹nh cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ :5 : 7 : 8. Bµi 3 :(2®) Cho biÓu thøc A = 1 1 − + x x . a. TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 9 16 vµ x = 9 25 . b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A =5. Bµi 4 :(3®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i C. Tõ A, B kÎ hai ph©n gi¸c c¾t AC ë E, c¾t BC t¹i D. Tõ D, E h¹ ®êng vu«ng gãc xuèng AB c¾t AB ë M vµ N. TÝnh gãc ·MCN ? Bµi 5 : (1®) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× biÓu thøc : P = -x2 – 8x +5 . Cã gi¸ trÞ lín nhÊt . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ? ---- HÕt -----
28. 120 phót C©u 1: (3®) a. TÝnh A = ( ) 2 2 1 3 1 1 4 5 2 0,25 . . . . 4 3 4 3 − − − − −          ÷  ÷  ÷  ÷         b. T×m sè nguyªn n, biÕt: 2-1 .2n + 4.2n = 9.25 c. Chøng minh víi mäi n nguyªn d¬ng th×: 3n+3 -2n+2 +3n -2n chia hÕt cho 10 C©u 2: ((3®) a. 130 häc sinh thuéc 3 líp 7A, 7B, 7C cña mét trêng cïng tham gia trång c©y. Mçi häc sinh cña líp 7A, 7B, 7C theo thø tù trång ®îc 2c©y, 3 c©y, 4 c©y. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh tham gia trång c©y? BiÕt sè c©y trång ®îc cña 3 líp b»ng nhau. b. Chøng minh r»ng: - 0,7 ( 4343 - 1717 ) lµ mét sè nguyªn C©u 3: (4® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn lît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED b. §êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. ----- HÕt ------
29. 120 phót C©u 1: (2 ®iÓm). Rót gän biÓu thøc a. a a+ b. a a− c. ( )3 1 2 3x x− − − C©u 2: T×m x biÕt: a. 5 3x − - x = 7 b. 2 3x + - 4x < 9 C©u 3: (2®) T×m mét sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã chia hÕt cho 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tû lÖ víi 3 sè 1; 2; 3. C©u 4: (3,5®). Cho ∆ ABC, trªn c¹nh AB lÊy c¸c ®iÓm D vµ E. Sao cho AD = BE. Qua D vµ E vÏ c¸c ®êng song song víi BC, chóng c¾t AC theo thø tù ë M vµ N. Chøng minh r»ng DM + EN = BC. ----- HÕt ------
30. lµm bµi: 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A= 2006 2007 2007 2008 10 1 10 1 ; B = 10 1 10 1 + + + + . Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: A= 1 1 1 1 . 1 ... 1 1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2006       − − − ÷  ÷  ÷ + + + + + + +      Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: x 1 1 8 y 4 − = Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 . Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã µ µ 0 B = C = 50 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao cho · ·0 0 KBC = 10 KCB = 30 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. ----- HÕt ------
31. lµm bµi: 120 phót C©u 1. Víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 2 h·y so s¸nh: a. A= 2222 1 .... 4 1 3 1 2 1 n víi 1 . b. B = ( )2222 2 1 ... 6 1 4 1 2 1 n víi 1/2 C©u 2: T×m phÇn nguyªn cña α , víi 143 1 .... 3 4 2 3 2 + + = n n n α C©u 3: T×m tØ lÖ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c, biÕt r»ng céng lÇn lît ®é dµi hai ®êng cao cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5: 7 : 8. C©u 4: Cho gãc xoy , trªn hai c¹nh ox vµ oy lÇn lît lÊy c¸c ®iÓm A vµ B ®Ó cho AB cã ®é dµi nhá nhÊt. C©u 5: Chøng minh r»ng nÕu a, b, c vµ cba ++ lµ c¸c sè h÷u tØ. ------
32. ¸n - §Ò 1 Bµi 1. 4® a) 74 ( 72 + 7 – 1) = 74 . 55 M 55 (®pcm) 2® b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 (1) 5.A = 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 + 551 (2) 1® Trõ vÕ theo vÕ (2) cho (1) ta cã : 4A = 551 – 1 => A = 51 1 4 5 − 1® Bµi 2. 4® a) 2 3 4 a b c = = ó 2 3 2 3 20 5 2 6 12 2 6 12 4 a b c a b c+ − − = = = = = + − − => a = 10, b = 15, c =20. 2® b) Gäi sè tê giÊy b¹c 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ x, y, z ( x, y, z ∈N* ) 0,5® Theo bµi ra ta cã: x + y + z = 16 vµ 20 000x = 50 000y = 100 000z 0,5® BiÕn ®æi: 20 000x = 50 000y = 100 000z => 20000 50000 100000 16 2 100000 100000 100000 5 2 1 5 2 1 8 x y z x y z x y z+ + = = ⇔ = = = = = + + 0,5® Suy ra x = 10, y = 4, z = 2. VËy sè tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000® theo thø tù lµ 10; 4; 2. 0,5® Bµi 3. 4® a) f(x) + g(x) = 12x4 – 11x3 +2x2 - 1 4 x - 1 4 1® f(x) - g(x) = 2x5 +2x4 – 7x3 – 6x2 - 1 4 x + 1 4 1® b) A = x2 + x4 + x6 + x8 + …+ x100 t¹i x = - 1 A = (-1)2 + (-1)4 + (-1)6 +…+ (-1)100 = 1 + 1 + 1 +…+ 1 = 50 (cã 50 sè h¹ng) 2®
33. VÏ h×nh (0,5®) – phÇn a) 1,5® - phÇn b) 2® a) ∆ABD =∆EBD (c.g.c) => DA = DE b) V× ∆ABD =∆EBD nªn gãc A b»ng gãc BED Do gãc A b»ng 900 nªn gãc BED b»ng 900 e d c a b Bµi 5: 4® a) Tam gi¸c ABC vµ tam gi¸c ABG cã: DE//AB, DE = 1 2 AB, IK//AB, IK= 1 2 AB Do ®ã DE // IK vµ DE = IK b)∆GDE = ∆GIK (g. c. g) v× cã: DE = IK (c©u a) Gãc GDE = gãc GIK (so le trong, DE//IK) Gãc GED = gãc GKI (so le trong, DE//IK) ⇒ GD = GI. Ta cã GD = GI = IA nªn AG = 2 3 AD G k i e d c b a - VÏ h×nh: 0,5® - PhÇn a) ®óng: 2® - PhÇn b) ®óng: 1,5®
34. 3 điểm 1 1 2 2 3 18 (0,06:7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4     − + − ÷     = = 109 6 15 17 38 8 19 ( : . ) : 19 . 6 100 2 5 100 3 4     − + − ÷     0.5đ = 109 3 2 17 19 38 . . : 19 6 50 15 5 50 3      − + − ÷  ÷       1đ = 109 2 323 19 : 6 250 250 3    − + ÷     0.5 = 109 13 3 . 6 10 19   − ÷   = 0.5đ = 506 3 253 . 30 19 95 = 0.5đ Bài 2: a) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= 0.5đ khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + 0.5đ = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + 0.5đ b) Theo câu a) ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 a c a b c b b c b a c a + + = ⇒ = + + 0.5đ từ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b c b b c b a c a a c a + + = ⇒ − = − + + 1đ hay 2 2 2 2 2 2 b c a c b a a c a + − − − = + 0.5đ vậy 2 2 2 2 b a b a a c a − − = + 0.5đ Bài 3: a) 1 4 2 5 x + − = − 1 2 4 5 x + = − + 0.5đ 1 1 2 2 5 5 x x+ = ⇒ + = hoặc 1 2 5 x + = − 1đ
35. 5 x x+ = ⇒ = − hay 9 5 x = 0.25đ Với 1 1 2 2 5 5 x x+ = − ⇒ = − − hay 11 5 x = − 0.25đ b) 15 3 6 1 12 7 5 2 x x− + = − 6 5 3 1 5 4 7 2 x x+ = + 0.5đ 6 5 13 ( ) 5 4 14 x+ = 0.5đ 49 13 20 14 x = 0.5đ 130 343 x = 0.5đ Bài 4: Cùng một đoạn đường, cận tốc và thời gian là hai đại lượng tỉ lệ nghịch 0.5đ Gọi x, y, z là thời gian chuyển động lần lượt với các vận tốc 5m/s ; 4m/s ; 3m/s Ta có: 5. 4. 3.x y z= = và 59x x y z+ + + = 1đ hay: 59 60 1 1 1 1 1 1 1 59 5 4 3 5 5 4 3 60 x y z x x y z+ + + = = = = = + + + 0.5đ Do đó: 1 60. 12 5 x = = ; 1 60. 15 4 x = = ; 1 60. 20 3 x = = 0.5đ Vậy cạnh hình vuông là: 5.12 = 60 (m) 0.5đ Bài 5: -Vẽ hình, ghi GT, KL đúng 0.5đ a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c) 1đ suy ra · ·DAB DAC= Do đó · 0 0 20 : 2 10DAB = = b) ∆ABC cân tại A, mà µ 0 20A = (gt) nên · 0 0 0 (180 20 ): 2 80ABC = − = ∆ABC đều nên · 0 60DBC = Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra · 0 0 0 80 60 20ABD = − = . Tia BM là phân giác của góc ABD nên · 0 10ABM = Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; · · · ·0 0 20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = = Vậy: ∆ABM = ∆BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 200 M A B C D
36. y 8(x 2009)− = − Ta có 8(x-2009)2 = 25- y2 8(x-2009)2 + y2 =25 (*) 0.5đ Vì y2 ≥0 nên (x-2009)2 25 8 ≤ , suy ra (x-2009)2 = 0 hoặc (x-2009)2 =1 0.5đ Với (x -2009)2 =1 thay vào (*) ta có y2 = 17 (loại) Với (x- 2009)2 = 0 thay vào (*) ta có y2 =25 suy ra y = 5 (do y∈¥ ) 0.5đ Từ đó tìm được (x=2009; y=5) 0.5đ -------
37. điểm): Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 10 12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 4 6 3 12 6 12 5 9 3 9 3 39 32 4 5 12 4 10 3 12 5 9 3 3 10 312 4 12 5 9 3 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7125.7 5 .142 .3 8 .3 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2 5 .7 . 62 .3 .2 2 .3 .4 5 .7 .9 1 10 7 6 3 2 A − − − − = − = − + +++ − − = − + + − = − − = − = b) (2 điểm) 3 n + 2 - Với mọi số nguyên dương n ta có: 2 2 3 2 3 2n n n n+ + − + − = 2 2 3 3 2 2n n n n+ + + − − = 2 2 3 (3 1) 2 (2 1)n n + − + = 1 3 10 2 5 3 10 2 10n n n n− × − × = × − × = 10( 3n -2n ) Vậy 2 2 3 2 3 2n n n n+ + − + − M 10 với mọi n là số nguyên dương. 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 1 điểm 0,5 điểm Bài 2:(4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2 điểm) 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
38. 2 3 1 72 3 3 1 52 3 3 1 4 2 1 4 16 2 3,2 3 5 5 3 5 5 5 1 4 14 3 5 5 1 2 3 x x x x x x x x − = − =− = + = −=− + = − − + = − + ⇔ − + = + ⇔ − + =  ⇔ − = ⇔       ⇔ b) (2 điểm) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 11 1 10 7 7 0 7 1 7 0 x x x x x x x + + + − − − =  ⇔ − − − =   ( )( ) ( ) 1 10 1 10 7 0 1 ( 7) 0 7 0 7 ( 7) 1 8 7 1 7 0 10 x x x x x x x x x x +    ÷   + − = − − = − = ⇒ = − = ⇒ =  ⇔ − − − =    ⇔    ⇔   0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 3: (4 điểm) Đáp án Thang điểm a) (2,5 điểm) Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A. Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1 : : 5 4 6 (1) và a2 +b2 +c2 = 24309 (2) Từ (1) ⇒ 2 3 1 5 4 6 a b c = = = k ⇒ 2 3 ; ; 5 4 6 k a k b k c= = = Do đó (2) ⇔ 2 4 9 1 ( ) 24309 25 16 36 k + + = ⇒ k = 180 và k = 180− + Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30. Khi đó ta có số A = a + b + c = 237. + Với k = 180− , ta được: a = 72− ; b = 135− ; c = 30− 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm
39. có só A = 72− +( 135− ) + ( 30− ) = 237− . b) (1,5 điểm) Từ a c c b = suy ra 2 .c a b= khi đó 2 2 2 2 2 2 . . a c a a b b c b a b + + = + + = ( ) ( ) a a b a b a b b + = + 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm 0,5 điểm Bài 4: (4 điểm) Đáp án Thang điểm Vẽ hình 0,5 điểm a/ (1điểm) Xét AMC∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) ·AMC = ·EMB (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,5 điểm ⇒ AC = EB Vì AMC∆ = EMB∆ ·MAC⇒ = ·MEB (2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE . 0,5 điểm b/ (1 điểm ) Xét AMI∆ và EMK∆ có : AM = EM (gt ) K H E MB A C I
40. ( vì AMC EMB∆ = ∆ ) AI = EK (gt ) Nên AMI EMK∆ = ∆ ( c.g.c ) 0,5 điểm Suy ra ·AMI = ·EMK Mà ·AMI + ·IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù ) ⇒ ·EMK + ·IME = 180o ⇒ Ba điểm I;M;K thẳng hàng 0,5 điểm c/ (1,5 điểm ) Trong tam giác vuông BHE ( µH = 90o ) có ·HBE = 50o ·HBE⇒ = 90o - ·HBE = 90o - 50o =40o 0,5 điểm ·HEM⇒ = ·HEB - ·MEB = 40o - 25o = 15o 0,5 điểm ·BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM∆ Nên ·BME = ·HEM + ·MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác ) 0,5 điểm Bài 5: (4 điểm) 20 0 M A B C D -Vẽ hình a) Chứng minh ∆ADB = ∆ADC (c.c.c) 1điểm suy ra · ·DAB DAC= 0,5 điểm Do đó · 0 0 20 : 2 10DAB = = 0,5 điểm b) ∆ABC cân tại A, mà µ 0 20A = (gt) nên · 0 0 0 (180 20 ): 2 80ABC = − = ∆ABC đều nên · 0 60DBC = 0,5 điểm Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra · 0 0 0 80 60 20ABD = − = . Tia BM là phân giác của góc ABD nên · 0 10ABM = 0,5 điểm Xét tam giác ABM và BAD có: AB cạnh chung ; · · · ·0 0 20 ; 10BAM ABD ABM DAB= = = =
41. ∆BAD (g.c.g) suy ra AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC 0,5 điểm §Ò 4 Bµi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè h¹ng thø nhÊt lµ (-1)1+1 (3.1-1) 1Sè h¹ng thø hai lµ (-1)2+1 (3.2-1) … D¹ng tæng qu¸t cña sè h¹ng thø n lµ: (-1)n+1 (3n-1) 1.2 A = (-3).17 = -51 1 2.1 2 3 4 x y = , 3y = 5z. NÕu x-2y = 5 ⇒ x= -15, y = -10, z = -6 0,5 NÕu x-2y = -5 ⇒ x= 15, y = 10, z = 6 0,5 2.2 2 5 x y = ⇒ 2 4 10 x xy = =9 ⇒ x = ±6 0,5 Ta cã 2x = 3z nªn x1 = 6; y1 = 15; z1 = 4 vµ 0,25 x1 = -6; y1 = -15; z1 = -4 0,25 2.3 1y z x + + = 2x z y + + = 3x y z + − = 1 x y z+ + =2 0,5 ⇒ x+y+z = 0,5 ⇒ 0,5 1 0,5 2 0,5 3x y z x y z − + − + − − = = = 2 0,5 ⇒ x = 1 2 ; y = 5 6 ; z = - 5 6 0,5 3.1 3 8 9 1 2 91 2 2 3 4 9 1 1 2 9 ... ... 1 ... a a a a a aa a a a a a a a a a + + + = = = = = = = + + + (v× a1+a2+…+a9 ≠0) 0,25 ⇒ a1 = a2; a2 = a3; … ;a9 = a1 0,25 ⇒ a1 = a2 = a3=…= a9 3.2 ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c + + − + + + − − + = = + − − − + − − − − = 2 1 2 b b = (v× b≠0) 0,25 ⇒ a+b+c = a+b-c ⇒ 2c = 0 ⇒ c = 0 0,25
42. a1-b1; c2 = a2-b2;…; c5 = a5-b5 0,25 XÐt tæng c1 + c2 + c3 +…+ c5 = (a1-b1)+( a2-b2)+…+( a5-b5) = 0 0,25 ⇒ c1; c2; c3; c4; c5 ph¶i cã mét sè ch½n 0,25 ⇒ c1. c2. c3. c4. c5 M 2 0,25 4.2 ∆AOE = ∆BOF (c.g.c) ⇒ O,E,F th¼ng hµng vµ OE = OF 0,5 ∆AOC = ∆BOD (c.g.c) ⇒ C,O,D th¼ng hµng vµ OC = OD ∆EOD = ∆FOC (c.g.c) ⇒ ED = CF §Ò 5 Bµi Néi dung cÇn ®¹t §iÓm 1.1 Sè bÞ chia = 4/11 0,5 Sè chia = 1/11 0,25 KÕt qu¶ = 4 0,25 1.2 V× |2x-27|2007 ≥ 0 ∀x vµ (3y+10)2008 ≥ 0 ∀y 0,25 ⇒ |2x-27|2007 = 0 vµ (3y+10)2008 = 0 0,25 x = 27/2 vµ y = -10/3 0,5 1.3 V× 00≤ab ≤99 vµ a,b ∈ N 0,25 ⇒ 200700 ≤ 2007ab ≤ 200799 0,25 ⇒ 4472 < 2007ab < 4492 0,25 ⇒ 2007ab = 4482 ⇒ a = 0; b= 4 0,25 2.1 §Æt 1 2 3 2 3 4 x y z k − − − = = = 0,25 ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau … k = -2 0,5 X = -3; y = -4; z = - 5 0,25 2.2 Tõ gi¶ thiÕt suy ra b2 = ac; c2 = bd; ⇒ a b c b c d = = 0,25 Ta cã 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b c b c d b c d + + = = = + + (1) 0,25 L¹i cã 3 3 . . . . a a a a a b c a b b b b b c d d = = = (2) 0,25 Tõ (1) vµ (2) suy ra: 3 3 3 3 3 3 a b c a b c d d + + = + + 0,25 3.1 Ta cã: 1 1 > 1 10 ; 1 2 > 1 10 ; 1 3 > 1 10 … 1 9 > 1 10 ; 1 10 = 1 10 0,5
43. 1 ... 10 1 2 3 100 + + + + > 0,5 3.2 Ta cã C = -18 - ( 2 6 3 9x y− + + ) ≤ -18 0,5 V× 2 6x − ≥0; 3 9y + ≥0 0,25 Max C = -18 ⇔ 2 6 0 3 9 0 x y − =  + = x = 3 vµ y = -3 0,25 4.1 ∆ABH = ∆CAK (g.c.g) ⇒ BH = AK 4.2 ∆MAH = ∆MCK (c.g.c) ⇒ MH = MK (1) ⇒ gãc AMH = gãc CMK ⇒ gãc HMK = 900 (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆ MHK vu«ng c©n t¹i M §¸p ¸n ®Ò sè 6 C©u1: Nh©n tõng vÕ bÊt ®¼ng thøc ta ®îc : (abc)2 =36abc +, NÕu mét trong c¸c sè a,b,c b»ng 0 th× 2 sè cßn l¹i còng b»ng 0 +,NÕu c¶ 3sè a,b,c kh¸c 0 th× chia 2 vÕ cho abc ta ®îc abc=36 +, Tõ abc =36 vµ ab=c ta ®îc c2 =36 nªn c=6;c=-6 +, Tõ abc =36 vµ bc=4a ta ®îc 4a2 =36 nªn a=3; a=-3 +, Tõ abc =36 vµ ab=9b ta ®îc 9b2 =36 nªn b=2; b=-2 -, NÕu c = 6 th× avµ b cïng dÊu nªn a=3, b=2 hoÆc a=-3 , b=-2 -, NÕu c = -6 th× avµ b tr¸i dÊu nªn a=3 b=-2 hoÆc a=-3 b=2 Tãm l¹i cã 5 bé sè (a,b,c) tho· m·n bµi to¸n (0,0,0); (3,2,6);(-3,-2,6);(3,-2,-6);(-3,2.-6) C©u 2. (3®) a.(1®) 5x-3<2=> -2<5x-3<2 (0,5®) ⇔ … ⇔ 1/54=> 3x+1>4hoÆc 3x+1<-4 (0,5®) *NÕu 3x+1>4=> x>1 *NÕu 3x+1<-4 => x<-5/3 VËy x>1 hoÆc x<-5/3 (0,5®) c. (1®) 4-x+2x=3 (1)
44. x≤4 (0,25®) (1)<=>4-x+2x=3 => x=-1( tho¶ m·n ®k) (0,25®) *4-x<0 => x>4 (0,25®) (1)<=> x-4+2x=3 <=> x=7/3 (lo¹i) (0,25®) C©u3. (1®)¸p dông a+b ≤a+bTa cã A=x+8-x≥x+8-x=8 MinA =8 <=> x(8-x) ≥0 (0,25®) *    ≥− ≥ 08 0 x x =>0≤x≤8 (0,25®) *    ≤− ≤ 08 0 x x =>    ≥ ≤ 8 0 x x kh«ng tho· m·n(0,25®) VËy minA=8 khi 0≤x≤8(0,25®) C©u4. Ta cã S=(2.1)2 +(2.2)2 +...+ (2.10)2 (0,5®) =22 .12 +22 .22 +...+22 .102 =22 (12 +22 +...+102 ) =22 .385=1540(0,5®) C©u5.(3®) Chøng minh: a (1,5®) Gäi E lµ trung ®iÓm CD trong tam gi¸c BCD cã ME lµ ®êng trung b×nh => ME//BD(0,25®) Trong tam gi¸c MAE cã I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AM (gt) mµ ID//ME(gt) Nªn D lµ trung ®iÓm cña AE => AD=DE (1)(0,5®) V× E lµ trung ®iÓm cña DC => DE=EC (2) (0,5®) So s¸nh (1)vµ (2) => AD=DE=EC=> AC= 3AD(0,25®) b.(1®) Trong tam gi¸c MAE ,ID lµ ®êng trung b×nh (theo a) => ID=1/2ME (1) (0,25®) Trong tam gi¸c BCD; ME lµ §êng trung b×nh => ME=1/2BD (2)(0,5®) So s¸nh (1) vµ (2) => ID =1/4 BD (0,25®) A B M C D E
45. sè 7 C©u 1. Ta cã ... d a d c c b b a = (1) Ta l¹i cã . acb cba d c c b b a === (2) Tõ (1) vµ(2) => d a dcb cba =      3 . C©u 2. A = ac b ba c cb a + = + = + .= ( )cba cba 2 . NÕu a+b+c ≠ 0 => A = 2 1 . NÕu a+b+c = 0 => A = -1. C©u 3. a). A = 1 + 2 5 −x ®Ó A ∈ Z th× x- 2 lµ íc cña 5. => x – 2 = (± 1; ±5) * x = 3 => A = 6 * x = 7 => A = 2 * x = 1 => A = - 4 * x = -3 => A = 0
46. 3 7 +x - 2 ®Ó A ∈ Z th× x+ 3 lµ íc cña 7. => x + 3 = (± 1; ±7) * x = -2 => A = 5 * x = 4 => A = -1 * x = -4 => A = - 9 * x = -10 => A = -3 . C©u 4. a). x = 8 hoÆc - 2 b). x = 7 hoÆc - 11 c). x = 2. C©u 5. ( Tù vÏ h×nh)  MHK lµ  c©n t¹i M . ThËt vËy:  ACK =  BAH. (gcg) => AK = BH .  AMK =  BMH (g.c.g) => MK = MH. VËy:  MHK c©n t¹i M . -------- §¸p ¸n ®Ò sè 8 C©u 1: Gäi x, y, z lµ ®é dµi 3 c¹nh t¬ng øng víi c¸c ®êng cao b»ng 4, 12, a. Ta cã: 4x = 12y = az = 2S ⇒ x= S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (0,5 ®iÎm) Do x-y < z< x+y nªn 3 22 6 2 62 2 62 <<⇒+<<− a SS a SSS (0,5 ®iÓm) ⇒ 3, a , 6 Do a ∈ N nªn a=4 hoÆc a= 5. (0,5 ®iÓm) 2. a. Tõ d c b a = ⇒ dc c ba a dc ba c a dc ba d b c a − = − ⇔ − − =⇒ − − == (0,75 ®iÓm) b. d c b a = ⇒ d dc b ba dc ba d b dc ba d b c a + = + ⇔ + + =⇒ + + == (0,75 ®iÓm) C©u 2: V× tÝch cña 4 sè : x2 – 1 ; x2 – 4; x2 – 7; x2 – 10 lµ sè ©m nªn ph¶i cã 1 sè ©m hoÆc 3 sè ©m. Ta cã : x2 – 10< x2 – 7< x2 – 4< x2 – 1. XÐt 2 trêng hîp: + Cã 1 sè ©m: x2 – 10 < x2 – 7 ⇒ x2 – 10 < 0 < x2 – 7
47. 10 ⇒ x2 =9 ( do x ∈ Z ) ⇒ x = ± 3. ( 0,5 ®iÓm) + cã 3 sè ©m; 1 sè d¬ng. x2 – 4< 0< x2 – 1 ⇒ 1 < x2 < 4 do x∈ Z nªn kh«ng tån t¹i x. VËy x = ± 3 (0,5 ®iÓm) C©u 3: Tríc tiªn t×m GTNN B = |x-a| + | x-b| víi a-------
48. ®Ò sè 9 C©u 1(2®): a) A = 2 - 99 100 100 1 100 102 2 2 2 2 − = − (1® ) b) 2 3 1 5 1n n n− + ⇔ +M M (0,5® ) n + 1 -1 1 -5 5 n -2 0 -6 4 { }6; 2;0;4n⇒ = − − (0,5® ) C©u 2(2®): a) NÕu x ≥ 1 2 − th× : 3x - 2x - 1 = 2 => x = 3 ( th¶o m·n ) (0,5®) NÕu x < 1 2 − th× : 3x + 2x + 1 = 2 => x = 1/5 ( lo¹i ) (0,5®)
49. 3 b) => 1 2 3 2 3 4 x y z− − − = = vµ 2x + 3y - z = 50 (0,5®) => x = 11, y = 17, z = 23. (0,5®) C©u 3(2®): C¸c ph©n sè ph¶i t×m lµ: a, b, c ta cã : a + b + c = 213 70 vµ a : b : c = 3 4 5 : : 6: 40: 25 5 1 2 = (1®) => 9 12 15 , , 35 7 14 a b c= = = (1®) C©u 4(3®): KÎ DF // AC ( F thuéc BC ) (0,5® ) => DF = BD = CE (0,5® ) => ∆ IDF = ∆ IFC ( c.g.c ) (1® ) => gãc DIF = gãc EIC => F, I, C th¼ng hµng => B, I, C th¼ng hµng (1®) C©u 5(1®): => 7.2 1 1 (14 1) 7 7 x y x y + = ⇒ + = => (x ; y ) cÇn t×m lµ ( 0 ; 7 ) ---------- §¸p ¸n ®Ò sè 10 C©u 1: a) Ta cã: 2 1 1 1 2.1 1 −= ; 3 1 2 1 3.2 1 −= ; 4 1 3 1 4.3 1 −= ; …; 100 1 99 1 100.99 1 −= VËy A = 1+ 100 99 100 1 1 100 1 99 1 99 1 .... 3 1 3 1 2 1 2 1 =−=−      + −       + − +      + − b) A = 1+             +      +      2 21.20 20 1 .... 2 5.4 4 1 2 4.3 3 1 2 3.2 2 1 = = 1+ ( ) ==+ 21...432 2 1 2 21 ... 2 4 2 3 =       −1 2 22.21 2 1 = 115. C©u 2: a) Ta cã: 417 > ; 526 > nªn 15412617 > hay 1012617 > Cßn 99 < 10 .Do ®ã: 9912617 >++
50. 10 1 3 1 > ; …..; 10 1 100 1 = . VËy: 10 10 1 .100 100 1 .... 3 1 2 1 1 1 => C©u 3: Gäi a,b,cña lµ c¸c ch÷ sè cña sè cã ba ch÷ sè cÇn t×m . V× mçi ch÷ sè a,b,cña kh«ng vît qu¸ 9 vµ ba ch÷ sè a,b,cña kh«ng thÓ ®ång thêi b»ng 0 , v× khi ®ã ta kh«ng ®îc sè cã ba ch÷ sè nªn: 1 ≤ a+b+c ≤ 27 MÆt kh¸c sè ph¶i t×m lµ béi cña 18 nªn a+b+c =9 hoÆc a+b+c = 18 hoÆc a+b+c=17 Theo gi¶ thiÕt, ta cã: 6321 cbacba ++ === Do ®ã: ( a+b+c) chia hÕt cho 6 Nªn : a+b+c =18 ⇒ 3 6 18 321 ==== cba ⇒ a=3; b=6 ; cña =9 V× sè ph¶i t×m chia hÕt cho 18 nªnch÷ sè hµng ®¬n vÞ cña nã ph¶i lµ sè ch½n. VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ: 396; 936. C©u 4: a) VÏ AH ⊥ BC; ( H ∈BC) cña ∆ABC + hai tam gi¸c vu«ng AHB vµ BID cã: BD= AB (gt) Gãc A1= gãc B1( cïng phô víi gãc B2) ⇒ ∆AHB= ∆BID ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH⊥ BI (1) vµ DI= BH + XÐt hai tam gi¸c vu«ng AHC vµ CKE cã: Gãc A2= gãc C1( cïng phô víi gãc C2) AC=CE(gt) ⇒ ∆AHC= ∆CKB ( c¹nh huyÒn, gãc nhän) ⇒AH= CK (2) tõ (1) vµ (2) ⇒ BI= CK vµ EK = HC. b) Ta cã: DI=BH ( Chøng minh trªn) t¬ng tù: EK = HC Tõ ®ã BC= BH +Hc= DI + EK. C©u 5: Ta cã: A = 12001 −+− xx = 20001200112001 =−+−≥−+− xxxx VËy biÓu thøc ®· cho ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ 2000 khi x-2001 vµ 1-x cïng dÊu, tøc lµ : 1 ≤ x ≤ 2001 biÓu ®iÓm :
51. ®iÓm . a. 1 ®iÓm b. 1 ®iÓm C©u 2: 2 ®iÓm : a. 1 ®iÓm b . 1 ®iÓm . C©u 3 : 1,5 ®iÓm C©u 4: 3 ®iÓm : a. 2 ®iÓm ; b. 1 ®iÓm . C©u 5 : 1,5 ®iÓm . --------- §¸p ¸n ®Ò sè11 C©u1: a, (1) 04 5 349 1 324 5 1 325 4 1 326 3 1 327 2 =− + + + + + ⇔ xxxxx (0,5 ® ) ...... 0) 5 1 324 1 325 1 326 1 327 1 )(329( =+⇔ x 3290329 −=⇔=+⇔ xx (0,5® ) b, a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 ⇔ 5 3 7x x− = + (1) (0,25 ®) §K: x ≥ -7 (0,25 ®)
52. 3 7 1 5 3 7 x x x x − = + ⇒  − = − + …. (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u 2: a, 2007432 7 1 ..... 7 1 7 1 7 1 7 1 1 −−+−=S ; 200632 7 1 ..... 7 1 7 1 7 1 177 −−+−+−=S (0.5®) 2007 7 1 78 −=S 8 7 1 7 2007 − =⇒ S (0,5®) b, !100 1100 ....... !3 13 !2 12 !100 99 ...... !4 3 !3 2 !2 1 − − + − = (0,5®) ................... 1 !100 1 1 <−= (0,5®) c, Ta cã −+2 3n )22(33232 222 nnnnnnn −−+=−+ + (0,5®) ................. ( ) 10231010.210.35.210.3 22 M−− −=−=− nnnnnn (0,5®) C©u 3: Gäi ®é dµi 3 c¹nh lµ a , b, c, 3 chiÒu cao t¬ng øng lµ x, y, z, diÖn tÝch S ( 0,5® ) x S a 2 = y S b 2 = z S c 2 = (0,5®) z S y S x Scba 4 2 3 2 2 2 432 ==⇒==⇒ (0,5®) 346 432 zyx zyx ==⇒==⇒ vËy x, y, z tØ lÖ víi 6 ; 4 ; 3 (0,5®) C©u4: GT; KL; H×nh vÏ (0,5®) a, Gãc AIC = 1200 (1 ® ) b, LÊy ACH ∈ : AH = AQ .............. IPIHIQ ==⇒ (1 ® ) C©u5: B ; LN ( ) 312; 2 +−⇔ nLNB NN V× ( ) ( ) 331201 22 ≥+−⇒≥− nn ®¹t NN khi b»ng 3 (0,5®) DÊu b»ng x¶y ra khi 101 =⇔=− nn vËy B ; LN 3 1 =⇔ B vµ 1=n (0,5®) --------- §¸p ¸n ®Ò sè 12 C©u 1 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1 ®iÓm a) (x-1) 5 = (-3) 5 ⇒ x-1 = -3 ⇔ x = -3+1 ⇔ x = -2 b) (x+2)( 15 1 14 1 13 1 12 1 11 1 −− ) = 0 15 1 14 1 13 1 12 1 11 1 −−++ ≠ 0 ⇒x+2 = 0 ⇔ x = 2
53. 2 x = 0 ⇔ ( x ) 2 - 2 x = 0 ⇔ x ( x - 2) = 0 ⇒ x = 0 ⇒ x = 0 hoÆc x - 2 = 0 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4 C©u 2 : 3 ®iÓm . Mçi c©u 1,5 ®iÓm a) 8 1 4 5 =+ y x , 8 1 8 25 =+ y x , 8 215 y x − = x(1 - 2y) = 40 ⇒ 1-2y lµ íc lÎ cña 40 . ¦íc lÎ cña 40 lµ : ±1 ; ±5 . §¸p sè : x = 40 ; y = 0 x = -40 ; y = 1 x = 8 ; y = -2 x = -8 ; y = 3 b) T×m x∈z ®Ó A∈Z. A= 3 4 1 3 1 − += − + xx x A nguyªn khi 3 4 −x nguyªn ⇒ 3−x ∈¦(4) = {-4 ; -2 ;-1; 1; 2; 4} C¸c gi¸ trÞ cña x lµ : 1 ; 4; 16 ; 25 ; 49 . C©u 3 : 1 ®iÓm 2 35 −x - 2x = 14 ⇔ 35 −x = x + 7 (1) §K: x ≥ -7 (0,25 ®) ( ) ( ) 5 3 7 1 5 3 7 x x x x − = + ⇒  − = − + …. (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). C©u4. (1.5 ®iÓm) C¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7, 5, 3 12 15 180 15357 0 == ++ === CBACBA ⇒ A= 840 ⇒ gãc ngoµi t¹i ®Ønh A lµ 960 B = 600 ⇒ gãc ngoµi t¹i ®Ønh B lµ 1200 C = 360 ⇒ gãc ngoµi t¹i ®Ønh C lµ 1440 ⇒ C¸c gãc ngoµi t¬ng øng tØ lÖ víi 4 ; 5 ; 6 b) 1) AE = AD ⇒ ∆ ADE c©n ⇒ µ µ µ · 1E D E EDA= = µ 1E = µ0 180 2 A− (1) ∆ABC c©n ⇒ µ µB C= · 1AB C = µ0 180 2 A− (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ µ · 1E ABC=
54. BC a) XÐt ∆EBC vµ ∆DCB cã BC chung (3) · ·EBC DCB= (4) BE = CD (5) Tõ (3), (4), (5) ⇒ ∆EBC = ∆DCB (c.g.c) ⇒ · ·BEC CDB= = 900 ⇒ CE ⊥ AB . ………………………………………. §¸p ¸n ®Ò sè 13 Bµi 1: 3 ®iÓm a, TÝnh: A = 1 11 60 . 364 71 300 475 . 11 12 1. 3 31 111 60 ). 4 1 91 5 ( 100 175 3 10 ( 11 12 ) 7 176 7 183 ( 3 31 − − − = − − −−−
55. ®iÓm Ta cã: +) 1 + 4 +7 +……+ 100 = ( 1+100) + ( 4 + 97) +…….+ ( 49+ 52) = 101 . 34 = 1434 34 cÆp +) 1434 – 410 = 1024 +) ( 18 . 123 + 9 . 436 . 2 + 3 . 5310. 6 ) = 18 . ( 123 + 436 + 5310 ) = 18 . 5869 = 105642 VËy A = 105642 : 1024 ≈ 103,17 Bµi 2: 2 §iÓm Giäi sè cÇn t×m lµ x, y, z. Sè nhá lµ x , sè lín nhÊt lµ z. Ta cã: x ≤y≤ z (1) Theo gi¶ thiÕt: 2 111 = zyx (2). Do (1) nªn z = xzyx 3111 ≤ VËy: x = 1. Thay vµo (2) , ®îc: yzy 2 1 11 ≤=+ VËy y = 2. Tõ ®ã z = 2. Ba sè cÇn t×m lµ 1; 2; 2. Bµi 3: 2 §iÓm Cã 9 trang cã 1 ch÷ sè. Sè trang cã 2 ch÷ sè lµ tõ 10 ®Õn 99 nªn cã tÊt c¶ 90 trang. Trang cã 3 ch÷ sè cña cuèn s¸ch lµ tõ 100 ®Õn 234, cã tÊt c¶ 135 trang. Suy ra sè c¸c ch÷ sè trong tÊt c¶ c¸c trang lµ: 9 + 2 . 90 + 3. 135 = 9 + 180 + 405 = 594 Bµi 4 : 3 §iÓm Trªn tia EC lÊy ®iÓm D sao cho ED = EA. Hai tam gi¸c vu«ng ∆ABE = ∆DBE ( EA = ED, BE chung) Suy ra BD = BA ; · ·BAD BDA= . Theo gi¶ thiÕt: EC – EA = A B VËy EC – ED = AB Hay CD = AB (2) Tõ (1) vµ (2) Suy ra: DC = BD. VÏ tia ID lµ ph©n gi¸c cña gãc CBD ( I ∈BC ). Hai tam gi¸c: ∆CID vµ ∆BID cã : ID lµ c¹nh chung, CD = BD ( Chøng minh trªn). · ·CID = IDB ( v× DI lµ ph©n gi¸c cña gãc CDB ) VËy ∆CID = ∆BID ( c . g . c) ⇒ µ ·C = IBD . Gäi µC lµ α ⇒ · µ ·BDA = C + IBD = 2 ⇒ µC = 2 α ( gãc ngoµi cña ∆ BCD) mµ µ µA = D ( Chøng minh trªn) nªn µA = 2 α αα +⇒ 2 = 900 ⇒ α = 300 .
56. µC = 300 vµ µA = 600 ------ Híng dÉn gi¶i ®Ò sè 14 Bµi 1.a. XÐt 2 trêng hîp : * 5x ≥ ta ®îc : A=7. * 5x < ta ®îc : A = -2x-3.
57. < 2 10 2 3 10 3x x⇒ − > ⇒ − − > − hay A > 7. VËy : Amin = 7 khi 5x ≥ . Bµi 2. a. §Æt : A = 2 2 2 2 1 1 1 1 ....... 5 6 7 100 + + + + Ta cã : * A < 1 1 1 1 ......... 4.5 5.6 6.7 99.100 + + + + = 1 1 1 1 1 1 ..... 4 5 5 6 99 100 − + − + + − = 1 1 1 4 100 4 − < * A > 1 1 1 1 1 1 1 ......... 5.6 6.7 99.100 100.101 5 101 6 + + + + = − > . b. Ta cã : 2 9 5 17 3 3 3 3 a a a a a a + + + − + + + = 4 26 3 a a + + = = 4 12 14 4( 3) 14 14 4 3 3 3 a a a a a + + + + = = + + + + lµ sè nguyªn Khi ®ã (a + 3) lµ íc cña 14 mµ ¦(14) = 1; 2; 7; 14± ± ± ± . Ta cã : a = -2;- 4;- 1; - 5; 4 ; - 10; 11 ; -17. Bµi 3. BiÕn ®æi : ( )12 1 30.A n n n= + − + §Ó ( )6 1 30 6A n n n n ⇒ − + M M * ( )1 30n n n n− ⇒ ⇒M M n ∈ ¦(30) hay n∈ {1, 2 , 3, 5 , 6 , 10 , 15 , 30}. * ( ) ( )30 6 1 6 1 3n n n n⇒ − ⇒ −M M M + { }3 3,6,15,30 .n n⇒ =M +( ) { }1 3 1,10 .n n− ⇒ =M ⇒ n∈ {1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 30}. -Thö tõng trêng hîp ta ®îc : n = 1, 3, 10, 30 tho· m·n bµi to¸n. Bµi 4. -Trªn Oy lÊy M’ sao cho OM’ = m. Ta cã : N n»m gi÷a O, M’ vµ M’N = OM. -Dùng d lµ trung trùc cña OM’ vµ Oz lµ ph©n gi¸c cña gãc xOy chóng c¾t nhau t¹i D. - ' ( . . )ODM M DN c g c MD ND= ⇒ =V V ⇒ D thuéc trung trùc cña MN. -Râ rµng : D cè ®Þnh. VËy ®êng trung trùc cña MN ®i qua D cè ®Þnh. Bµi 5. -D¹ng tæng qu¸t cña ®a thøc bËc hai lµ : ( ) 2 f x ax bx c= + + (a≠ 0). - Ta cã : ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1f x a x b x c− = − + − + . - ( ) ( )1 2f x f x ax a b x− − = − + = 2 1 0 a b a = ⇒  − = 1 2 1 2 a b  = ⇒  = VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : ( ) 21 1 2 2 f x x x c= + + (c lµ h»ng sè). x z d d m n i ym' o
58. Víi x = 1 ta cã : ( ) ( )1 1 0 .f f= − + Víi x = 2 ta cã : ( ) ( )1 2 1 .f f= − …………………………………. + Víi x = n ta cã : ( ) ( )1 .n f n f n= − − ⇒ S = 1+2+3+…+n = ( ) ( )0f n f− = ( )2 1 2 2 2 n nn n c c + + + − = . Lu ý : Häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a. Bµi h×nh kh«ng vÏ h×nh kh«ng chÊm ®iÓm. -------- §¸p ¸n ®Ò sè 15 C©u1 (lµm ®óng ®îc 2 ®iÓm) Ta cã: 2 2 8 20 x x x x − + − = 2 2 2 10 20 x x x x x − − + − = 2 ( 2)( 10) x x x x − − + (0,25®)
59. ≠ 0 ⇒ x ≠ 2; x ≠ -10 (0,5®) MÆt kh¸c 2x − = x-2 nÕu x>2 -x + 2 nÕu x< 2 (0,25®) * NÕu x> 2 th× 2 ( 2)( 10) x x x x − − + = ( 2) ( 2)( 10) x x x x − − + = 10 x x + (0,5®) * NÕu x <2 th× . 2 ( 2)( 10) x x x x − − + = ( 2) ( 2)( 10) x x x x − − − + = 10 x x − + (®iÒu kiÖn x ≠ -10) (0,5®) C©u 2 (lµm ®óng ®îc 2®) Gäi sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 Líp 7A,7B, 7C theo thø tù lµ x, y, z (x> 0; y >0 ; z >0) Theo ®Ò ra ta cã { 94(1) 3 4 5 (2) x y z x y z + + = = = (0,5®) BCNN (3,4,5) = 60 Tõ (2) ⇒ 3 60 x = 4 60 y = 5 60 z hay 20 x = 15 y = 12 z (0,5®) ¸p dông tÝnh chÊt d·y tû sè b»ng nhau ta cã : 20 x = 15 y = 12 z = 20 15 12 x y z+ + + + = 94 47 =2 (0,5®)⇒ x= 40, y=30 vµ z =24 (0,5®) Sè häc sinh ®i trång c©y cña 3 líp 7A, 7B, 7C lÇn lît lµ 40, 30, 24. C©u 3 (lµm ®óng cho 1,5®) §Ó 2006 10 53 9 + lµ sè tù nhiªn ⇔ 102006 + 53 M 9 (0,5®) §Ó 102006 + 53 M 9 ⇔ 102006 + 53 cã tæng c¸c ch÷ sè chia hÕt cho 9 mµ 102006 + 53 = 1+ 0 +0 +.........+ 0 + 5+3 = 9M 9 ⇒ 102006 + 53 M 9 hay 2006 10 53 9 + lµ sè tù nhiªn (1®) C©u 4 (3®) - VÏ ®îc h×nh, ghi GT, KL ®îc 0,25® a, ∆ABC cã µ ¶ 1 2A A= (Az lµ tia ph©n gi¸c cña ¶A ) µ µ 1 1A C= (Ay // BC, so le trong) ⇒ ¶ µ 2 1A C ABC= ⇒V c©n t¹i B mµ BK ⊥ AC ⇒ BK lµ ®êng cao cña ∆ c©n ABC
60. lµ trung tuyÕn cña ∆ c©n ABC (0,75®) hay K lµ trung ®iÓm cña AC b, XÐt cña ∆ c©n ABH vµ ∆ vu«ng BAK. Cã AB lµ c¹ng huyÒn (c¹nh chung) ¶ µ 0 2 1( 30 )A B= = V× ¶ ¶ µ { 0 2 0 0 0 1 30 2 90 60 30 AA B = = = − = ⇒ ∆ vu«ng ABH = ∆ vu«ng BAK⇒ BH = AK mµ AK = 2 2 AC AC BH⇒ = (1®) c, ∆AMC vu«ng t¹i M cã AK = KC = AC/2 (1) ⇒ MK lµ trung tuyÕn thuéc c¹nh huyÒn ⇒ KM = AC/2 (2) Tõ (10 vµ (2) ⇒ KM = KC ⇒ ∆KMC c©n. MÆt kh¸c ∆AMC cã ¶ µ ·0 0 0 0 0 90 A=30 90 30 60M MKC= ⇒ = − = ⇒ ∆AMC ®Òu (1®) C©u 5. Lµm ®óng c©u 5 ®îc 1,5® X©y dùng s¬ ®å c©y vµ gi¶i bµi to¸n §¸p ¸n : T©y ®¹t gi¶i nhÊt, Nam gi¶i nh×, §«ng gi¶i 3, B¾c gi¶i 4 ----- §¸p ¸n ®Ò sè 16 C©u 1: (2®) a) XÐt kho¶ng 3 2 ≥x ®îc x = 4,5 phï hîp 0,25 ®
61. ®îc x = - 4 5 phï hîp 0,25 ® b) XÐt kho¶ng 2 3 ≥x §îc x > 4 0,2® XÐt kho¶ng 2 3 4 hoÆc x < -1 0,1® c) XÐt kho¶ng 3 1 ≥x Ta cã 3x - 1 ≤ 7 3 8 ≤⇒ x Ta ®îc 3 8 3 1 ≤≤ x XÐt kho¶ng 3 1 810 .315 > (810 .310 )3 = 2410 .3 0,8® VËy 230 +330 +430 > 3.224 0,2® C©u 3: a) H×nh a. AB//EF v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau EF//CD v× cã hai gãc trong cïng phÝa bï nhau VËy AB//CD b) H×nh b. AB//EF V× cã cÆp gãc so le trong b»ng nhau 0,4® CD//EF v× cã cÆp gãc trong cïng phÝa bï nhau 0,4® VËy AB//CD 0,2® C©u 4: (3®) a) MN//BC ⇒ MD//BD ⇒ D trung ®iÓm AP 0,3 ® BP võa lµ ph©n gi¸c võa lµ trung tuyÕn nªn còng lµ ®êng cao BD ⊥ AP 0,2® T¬ng tù ta chøng minh ®îc BE ⊥ AQ 0,5 ® b) AD = DP
62. ⇒ DP = BE ⇒ BE = AD 0,5 ® ⇒ MDMEcgcMADMBE =⇒∆=∆ )..( 0,3® BP = 2MD = 2ME = BQ VËy B lµ trung ®iÓm cña PQ 0,2® c) BDE∆ vu«ng ë B, BM lµ trung tuyÕn nªn BM = ME 0,4® ADB∆ vu«ng ë D cã DM lµ trung tuyÕn nªn DM = MA 0,4® DE = DM + ME = MA + MB 0,2® C©u 5: 1® A = x− + 4 10 1 A lín nhÊt → x−4 10 lín nhÊt 0,3® XÐt x > 4 th× x−4 10 < 0 XÐt 4 < x th× x−4 10 > 0 →a lín nhÊt →4 - x nhá nhÊt ⇒ x = 3 0,6® ----------
63. sè 17 C©u 1: ( mçi ý 0,5 ®iÓm ). a/. 4 3x + - x = 15. b/. 3 2x − - x > 1. ⇔ 4 3x + = x + 15 ⇔ 3 2x − > x + 1 * Trêng hîp 1: x ≥ - 3 4 , ta cã: * Trêng hîp 1: x ≥ 2 3 , ta cã: 4x + 3 = x + 15 3x - 2 > x + 1 ⇒ x = 4 ( TM§K). ⇒ x > 3 2 ( TM§K). * Trêng hîp 2: x < - 3 4 , ta cã: * Trêng hîp 2: x < 2 3 , ta cã: 4x + 3 = - ( x + 15) 3x – 2 < - ( x + 1) ⇒ x = - 18 5 ( TM§K). ⇒ x < 1 4 ( TM§K) VËy: x = 4 hoÆc x = - 18 5 . VËy: x > 3 2 hoÆc x < 1 4 . c/. 2 3x + ≤ 5 ⇔ 5 2 3 5x− ≤ + ≤ ⇔ 4 1x− ≤ ≤ C©u 2: a/.Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 ( 1 ) (- 7)A = (-7)2 + (- 7)3 + … + (- 7)2007 + (- 7)2008 ( 2) ⇒ 8A = (- 7) – (-7)2008 Suy ra: A = 1 8 .[(- 7) – (-7)2008 ] = - 1 8 ( 72008 + 7 ) * Chøng minh: A M 43. Ta cã: A= (- 7) + (-7)2 + … + (- 7)2006 + (- 7)2007 , cã 2007 sè h¹ng. Nhãm 3 sè liªn tiÕp thµnh mét nhãm (®îc 669 nhãm), ta ®îc: A=[(- 7) + (-7)2 + (- 7)3 ] + … + [(- 7)2005 + (- 7)2006 + (- 7)2007 ] = (- 7)[1 + (- 7) + (- 7)2 ] + … + (- 7)2005 . [1 + (- 7) + (- 7)2 ] = (- 7). 43 + … + (- 7)2005 . 43 = 43.[(- 7) + … + (- 7)2005 ] M 43 VËy : A M 43 b/. * §iÒu kiÖn ®ñ:
64. 3 vµ n M 3 th× m2 M 3, mn M 3 vµ n2 M 3, do ®ã: m2 + mn + n2 M 9. * §iÒu kiÖn cÇn: Ta cã: m2 + mn + n2 = ( m - n)2 + 3mn. (*) NÕu m2 + mn + n2 M 9 th× m2 + mn + n2 M 3, khi ®ã tõ (*),suy ra: ( m - n)2 M 3 ,do ®ã ( m - n) M 3 v× thÕ ( m - n)2 M 9 vµ 3mn M 9 nªn mn M 3 ,do ®ã mét trong hai sè m hoÆc n chia hÕt cho 3 mµ ( m - n) M 3 nªn c¶ 2 sè m,n ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 3: Gäi ®é dµi c¸c c¹nh tam gi¸c lµ a, b, c ; c¸c ®êng cao t¬ng øng víi c¸c c¹nh ®ã lµ ha , hb , hc . Ta cã: (ha +hb) : ( hb + hc ) : ( ha + hc ) = 3 : 4 : 5 Hay: 1 3 (ha +hb) = 1 4 ( hb + hc ) = 1 5 ( ha + hc ) = k ,( víi k ≠ 0). Suy ra: (ha +hb) = 3k ; ( hb + hc ) = 4k ; ( ha + hc ) = 5k . Céng c¸c biÓu thøc trªn, ta cã: ha + hb + hc = 6k. Tõ ®ã ta cã: ha = 2k ; hb =k ; hc = 3k. MÆt kh¸c, gäi S lµ diÖn tÝch ABCV , ta cã: a.ha = b.hb =c.hc ⇒ a.2k = b.k = c.3k ⇒ 3 a = 6 b = 2 c C©u 4: Gi¶ sö DC kh«ng lín h¬n DB hay DC ≤ DB. * NÕu DC = DB th× BDCV c©n t¹i D nªn ·DBC = ·BCD .Suy ra: ·ABD = ·ACD .Khi ®ã ta cã: ADBV = ADCV (c_g_c) . Do ®ã: ·ADB = ·ADC ( tr¸i víi gi¶ thiÕt) . * NÕu DC < DB th× trong BDCV , ta cã ·DBC < ·BCD mµ ·ABC = ·ACB suy ra: ·ABD > ·ACD ( 1 ) . XÐt ADBV vµ ACDV cã: AB = AC ; AD chung ; DC < DB. Suy ra: ·DAC < ·DAB ( 2 ) .
65. (2) trong ADBV vµ ACDV ta l¹i cã ·ADB < ·ADC , ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy: DC > DB. C©u 5: ( 1 ®iÓm) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc: x y− ≥ x - y , ta cã: A = 1004x − - 1003x + ≤ ( 1004) ( 1003)x x− − + = 2007 VËy GTLN cña A lµ: 2007. DÊu “ = ” x¶y ra khi: x ≤ -1003. --------- Híng dÉn chÊm ®Ò 18 C©u 1-a (1 ®iÓm ) XÐt 2 trêng hîp 3x-2 ≥ 0. 3x -2 <0 => kÕt luËn : Kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n. b-(1 ®iÓm ) XÐt 2 trêng hîp 2x +5 ≥ 0 vµ 2x+5<0 Gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh => kÕt luËn. C©u 2-a(2 ®iÓm ) Gäi sè cÇn t×m lµ abc abc M 18=> abc M 9. VËy (a+b+c) M 9 (1) Ta cã : 1 ≤ a+b+c ≤27 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra a+b+c =9 hoÆc 18 hoÆc 27 (3) Theo bµi ra 1 a = 2 b = 3 c = 6 cba ++ (4) Tõ (3) vµ (4) => a+b+c=18. vµ tõ (4) => a, b, c mµ abc M 2 => sè cÇn t×m : 396, 936. b-(1 ®iÓm ) A=(7 +72 +73 +74 ) + (75 +76 +77 +78 ) + ...+ (74n-3 + 74n-2 +74n-1 +74n ). = (7 +72 +73 +74 ) . (1+74 +78 +...+74n-4 ). Trong ®ã : 7 +72 +73 +74 =7.400 chia hÕt cho 400 . Nªn A M 400 C©u 3-a (1 ®iÓm ) Tõ C kÎ Cz//By cã : ¶ · 2C + CBy = 2v (gãc trong cïng phÝa) (1) ¶ · 1C + CAx = 2v⇒ V× theo gi¶ thiÕt C1+C2 +α +γ = 4v =3600 . VËy Cz//Ax. (2) Tõ (1) vµ (2) => Ax//By. C©u 4-(3 ®iÓm) ∆ABC c©n, ACB =1000 => CAB = CBA =400 . Trªn AB lÊy AE =AD. CÇn chøng minh AE+DC=AB (hoÆc EB=DC) ∆AED c©n, DAE = 400 : 2 =200 .
66. = 800 =400 +EDB (gãc ngoµi cña ∆EDB) => EDB =400 => EB=ED (1) Trªn AB lÊy C’ sao cho AC’ = AC. C ∆ CAD = ∆ C’AD ( c.g.c) D  AC’D = 1000 vµ DC’E = 800 . VËy ∆DC’E c©n => DC’ =ED (2) Tõ (1) vµ (2) cã EB=DC’. A C E B Mµ DC’ =DC. VËy AD +DC =AB. C©u 5 (1 ®iÓm). S=(-3)0 +(-3)1 + (-3)2 +(-3)3 +...+ (-3)2004 . -3S= (-3).[(-3)0 +(-3)1 +(-3)2 + ....+(-3)2004 ] = (-3)1 + (-3)2 + ....+(-3)2005 ] -3S-S=[(-3)1 + (-3)2 +...+(-3)2005 ]-(3)0 -(-3)1 -...-(-3)2005 . -4S = (-3)2005 -1. S = 4 1)3( 2005 − −− = 4 132005 + ---------
67. 19 Bµi 1: Ta cã : - 2 1 6 1 12 1 20 1 30 1 42 1 56 1 72 1 90 1 −−−−−−−− = - ( 10.9 1 9.8 1 8.7 1 7.6 1 6.5 1 5..4 1 4.3 1 3..2 1 2.1 1 ) 1® = - ( 10 1 9 1 9 1 8 1 ..... 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 −+−++−+−+− ) 1® = - ( 10 1 1 1 − ) = 10 9− 0,5® Bµi 2: A = xx −+− 52 Víi x<2 th× A = - x+ 2+ 5 – x = -2x + 7 >3 0,5® Víi 2≤ x ≤ 5 th× A = x-2 –x+5 = 3 0,5® Víi x>5 th× A = x-2 +x –5 = 2x –7 >3 0,5® So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng ta thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 3 <=> 2 ≤ x ≤ 5 1® Bµi 3: a. Trªn tia ®èi cña tia OC lÊy ®iÓm N sao cho ON = OC .Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. nªn OM lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c BNC. Do ®ã OM //BN, OM = 2 1 BN Do OM vu«ng gãc BC => NB vu«ng gãc BC Mµ AH vu«ng gãc víi BC v× thÕ NB // AH (1®) T¬ng tù AN//BH Do ®ã NB = AH. Suy ra AH = 2OM (1®) A CB OG H
68. K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AG vµ HG th× IK lµ ®êng trung b×nh cña tam gi¸c AGH nªn IK// AH IK = 2 1 AH => IK // OM vµ IK = OM ; ∠ KIG = ∠ OMG (so le trong) ∆IGK = ∆ MGO nªn GK = OG vµ ∠ IGK = ∠ MGO Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng 1® Do GK = OG mµ GK = 2 1 HG nªn HG = 2GO §êng th¼ng qua 3 ®iÓm H, G, O ®îc gäi lµ ®êng th¼ng ¬ le. 1® Bµi 4: Tæng c¸c hÖ sè cña mét ®a thøc P(x) bÊt kú b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc ®ã t¹i x=1. VËy tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc: 0,5® P(x) = (3-4x+x2 )2006 . (3+4x + x2 )2007 B»ng P(1) = (3-4+1)2006 (3+4+1)2007 = 0 0,5® --------
69. 20 C©u 1: Ta cã: 220 ≡ 0 (mod2) nªn 22011969 ≡ 0 (mod2) 119 ≡ 1(mod2) nªn 11969220 ≡ 1(mod2) 69 ≡ -1 (mod2) nªn 69220119 ≡ -1 (mod2) VËy A ≡ 0 (mod2) hay A M 2 (1®) T¬ng tù: A M 3 (1®) A M 17 (1®) V× 2, 3, 17 lµ c¸c sè nguyªn tè ⇒ A M 2.3.17 = 102 C©u 2: T×m x a) (1,5®) Víi x < -2 ⇒ x = -5/2 (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 0 ⇒ kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > 0 ⇒ x = ½ (0,5®) b) (1,5®) Víi x < -2 ⇒ Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi -2 ≤ x ≤ 5/3 ⇒ Kh«ng cã gi¸ trÞ x nµo tho¶ m·n (0,5®) Víi x > 5/3 ⇒ x = 3,5 (0,5®) Bµi 3:
70. chøng minh ®îc IH = 0M A IH // 0M do ∆ 0MN = ∆ HIK (g.c.g) I E Do ®ã: ∆IHQ = ∆ M0Q (g.c.g) ⇒ QH = Q0 F H N QI = QM P b) ∆ DIM vu«ng cã DQ lµ ®êng trung K Q O tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn nªn R QD = QI = QM B D M C Nhng QI lµ ®êng trung b×nh cña ∆ 0HA nªn c) T¬ng tù: QK = QN = QE = OB/2 QR = QP = QF = OC/2 Bµi 4(1®): V× 3|x-5| ≥ 0 ∀x ∈ R Do ®ã A = 10 - 3|x-5| ≤ 10 VËy A cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 10 ⇔ |x-5| = 0 ⇔ x = 5 -------- §¸p ¸n ®Ò 21 Bµi 1. §iÒu kiÖn x ≥ 0 (0,25®) a) A = - 7 9 (0,5®) b) 3+x > 0 ⇒ A = -1 ⇔ 35 −−=− xx ⇒ x = 1 (0,5®) c) Ta cã: A = 1 - 3 8 +x . (0,25®) §Ó A ∈ Z th× 3+x lµ íc cña 8 ⇒ x = {1; 25} khi ®ã A = {- 1; 0} (0,5®) Bµi 2. a) Ta cã: 17 −=− xx ⇔ 3 2;3 1 )1(7 01 2 =⇔    −== ≥ ⇔    −=− ≥− x xx x xx x (1®) b) Ta cã: 2M = 2 – 22 + 23 – 24 + …- 22006 + 22007 (0,25®)
71. 1 + 22007 (0,25®) ⇒ M = 3 122007 + (0,5®) c) Ta cã: A = x4 + 2x2 +1 ≥ 1 víi mäi x ⇒ §PCM. (1®) Bµi 3. Ta cã: 0 0 ˆ ˆˆ 180 30 1 2 3 6 A B C = = = = 0 0 0ˆ ˆˆ30 ; 60 ; 90A B C⇒ = = = (0,5®) VËy tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng t¹i C (0,5®) Bµi 4. GT, KL (0,5®) a) Gãc AIC = 1200 (1®) b) LÊy H ∈ AC sao cho AH = AN (0,5®) Tõ ®ã chøng minh IH = IN = IM (1®) Bµi 5. A = 1 + x−6 2000 (0,5®) AMax ⇔ 6 – x > 0 vµ nhá nhÊt ⇒ 6 – x = 1 ⇒ x = 5. VËy x = 5 tho· m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n khi ®ã A Max= 2001 (0,5®) -------- §¸p ¸n ®Ò 22 C©u 1: (2.5®) a. a1. 5540152015 2 1 2 1 . 2 1 4 1 . 2 1       =            =            (0.5®) a2. 3025 9 1             3 1 : = 3050 3 1             3 1 : = 20 3       (0.5®) b. A = 3 1 )51(3.2 )31.(3.2 20.63.2 6.29.4 810 810 8810 945 = + − = + − (0.5®) c. c1. 33 7 = 0.(21) c2. 22 7 = 0,3(18) (0.5®) c3. 0,(21) = 33 7 99 21 = ; c4. 5,1(6) = 5 6 1 (0.5®)
72. khèi lîng cña 3 khèi 7, 8, 9 lÇn lît lµ a, b, c (m3 ) ⇒ a + b + c = 912 m3. (0.5®) ⇒ Sè häc sinh cña 3 khèi lµ : 2,1 a ; 4,1 b ; 6,1 c Theo ®Ò ra ta cã: 2,11,4.3 ab = vµ 6,1.54,1.4 cb = (0.5®) ⇒ 20 6,1.154,1.122,1.4 === cba (0.5®) VËy a = 96 m3 ; b = 336 m3 ; c = 480 m3 . Nªn sè HS c¸c khèi 7, 8, 9 lÇn lît lµ: 80 hs, 240 hs, 300 hs. (0.5®) C©u 3: ( 1.5®): a.T×m max A. Ta cã: (x + 2)2 ≥ 0 ⇒ (x = 2)2 + 4 ≥ 4 ⇒ Amax= 4 3 khi x = -2 (0.75®) b.T×m min B. Do (x – 1)2 ≥ 0 ; (y + 3)2 ≥0 ⇒ B ≥1 VËy Bmin= 1 khi x = 1 vµ y = -3 (0.75®) C©u 4: (2.5®) KÎ CH c¾t MB t¹i E. Ta cã ∆ EAB c©n t¹i E ⇒∠EAB =300 ⇒ ∠EAM = 200 ⇒∠CEA = ∠MAE = 200 (0.5®) Do ∠ACB = 800 ⇒ ∠ACE = 400 ⇒ ∠AEC = 1200 ( 1 ) (0.5®) MÆt kh¸c: ∠EBC = 200 vµ ∠EBC = 400 ⇒ ∠CEB = 1200 ( 2 ) (0.5®) Tõ ( 1 ) vµ ( 2 ) ⇒ ∠AEM = 1200 Do ∆EAC = ∆EAM (g.c.g) ⇒ AC = AM ⇒ ∆MAC c©n t¹i A (0.5®) Vµ ∠CAM = 400 ⇒ ∠AMC = 700 . (0.5®) C©u 5: (1.5®) Gi¶ sö a2 vµ a + b kh«ng nguyªn tè cïng nhau ⇒ a2 vµ a + b Cïng chia hÕt cho sè nguyªn tè d: ⇒a2 chia hÕt cho d ⇒a chia hÕt cho d vµ a + b chia hÕt cho d ⇒b chia hÕta cho d (0.5®) ⇒ (a,b) = d ⇒tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy (a2 ,a + b) =1. (0.5®) ------- E 300 100 M C BA H
73. : 1) X¸c ®Þnh a, b ,c 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba = 2 241210 2095435 24 )5(4 12 )3(3 10 )1(5 −= −− +−−−− = − −− = − +− = − cbacba => a = -3 ; b = -11; c = -7. C¸ch 2 : 6 5 4 3 2 1 − = + = − cba = t ; sau ®ã rót a, b ,c thay vµo t×m t =- 2 t×m a,b,c. 2) Chøng minh §Æt d c b a = = k => a= kb ; c = kd Thay vµo c¸c biÓu thøc :
74. II: TÝnh: 1) Ta cã :2A= 2( 99.97 1 .... 7.5 1 5.3 1 + ) = 99 32 99 1 3 1 99 1 97 1 ..... 7 1 5 1 5 1 3 1 =−=−−+− =>A = 99 16 2) B = = 515032 3 1 3 1 ..... 3 1 3 1 3 1 −−+− = )3( 1 )3( 1 ..... )3( 1 )3( 1 )3( 1 515032 − + − − + − + − )3( 1 )3( 1 ..... )3( 1 )3( 1 )3( 1 5251432 − + − + − + − + − => = − B 3 1 )3( 1 3 1 52 − − − = 52 51 3 13 −− => B = 51 51 3.4 )13( −− C©u III Ta cã : 0.2(3) = 0.2 + 0.0(3) = + 10 2 . 10 1 0,(1).3 = 9 1 . 10 3 10 2 + = 30 7 0,120(32) = 0,12 + 0,000(32) =0,12+1000 1 .0,(32)= 0,12+1000 1 .0,(01).32 = 99 1 . 1000 32 100 12 + =12375 1489 C©u IV : Gäi ®a thøc bËc hai lµ : P(x) = ax(x-1)(x-2) + bx(x-1)+c(x-3) + d P(0) = 10 => -3c+d =10 (1) P(1) = 12 => -2c+d =12 =>d =12+2c thay vµo (1) ta cã -3c+12+2c =10 =>c=2 , d =16 P(2)= 4 => 2b -2+16 = 4 > b= -5 P(3) = 1 => 6a-30 +16 =1 => a = 2 5 VËy ®a thøc cÇn t×m lµ : P(x) = 16321521 2 5 +−+−−−− )()())(( xxxxxx => P(x) = 3 2 5 x - 1012 2 25 2 ++ xx C©u V: a) DÔ thÊy ∆ADC = ∆ABE ( c-g-c) => DC =BE . V× AE ⊥ AC; AD ⊥ AB mÆt kh¸c gãc ADC = gãc ABE
75. Víi BE. b) Ta cã MN // DC vµ MP // BE => MN ⊥ MP MN = 2 1 DC = 2 1 BE =MP; VËy ∆ MNP vu«ng c©n t¹i M. --------- §¸p ¸n ®Ò 24 Bµi 1:
76. 3 3 3 3 3 3 8 10 11 12 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 8 10 11 12 2 3 4 − + + + − + − + − − + − (0,25®) A = 1 1 1 1 1 1 1 3 3 8 10 11 12 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 5 5 8 10 11 12 2 3 4     − + + + − ÷  ÷    +     − − + + + − ÷  ÷     (0,25®) A = 3 5 − + 3 5 = 0 (0,25®) b) 4B = 22 + 24 + ... + 2102 (0,25®) 3B = 2102 – 1; B = 102 2 1 3 − (0,25®) Bµi 2: a) Ta cã 430 = 230 .415 (0,25®) 3.2410 = 230 .311 (0,25®) mµ 415 > 311 ⇒ 430 > 311 ⇒ 230 + 330 + 430 > 3.2410 (0,25®) b) 4 = 36 > 29 33 > 14 (0,25®) ⇒ 36 + 33 > 29 + 14 (0,25®) Bµi 3: Gäi x1, x2 x3 lÇn lît lµ sè ngµy lµm viÖc cña 3 m¸y ⇒ 1 2 3 3 4 5 x x x = = (1) (0,25®) Gäi y1, y2, y3 lÇn lît lµ sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y ⇒ 1 2 3 6 7 8 y y y = = (2) (0,25®) Gäi z1, z2, z3 lÇn lît lµ c«ng suÊt cña 3 m¸y ⇒ 5z1 = 4z2 = 3z3 ⇔ 1 2 3 1 1 1 5 4 3 z z z = = (3) (0,25®) Mµ x1y1z1 + x2y2z2 + x3y3z3 = 359 (3) (0,25®) Tõ (1) (2) (3) ⇒ 1 1 1 2 2 2 3 3 3 395 15 18 40 3957 5 3 15 x y z x y z x y z = = = = (0,5®) ⇒ x1y1z1 = 54; x2y2z2 = 105; x3y3z3 = 200 (0,25®) VËy sè thãc mçi ®éi lÇn lît lµ 54, 105, 200 (0,25®) Bµi 4:
77. (c.g.c) (0,5®) ⇒ · ·ABM ADM= (1) (0,25®) Ta cã · · · = +BMC MBD BDM (gãc ngoµi tam gi¸c) (0,25®) ⇒ · · · · ·0 0 0 60 60 120BMC MBA BDM ADM BDM= + + = + + = (0,25®) b) Trªn DM lÊy F sao cho MF = MB (0,5®) ⇒ FBM ®Òu (0,25®) ⇒ DFBAMB (c.g.c) (0,25®) ⇒ · · 0 120DFB AMB= = (0,5®) Bµi 6: Ta cã 1 2 (2) 3. ( ) 4 2 x f f= ⇒ + = (0,25®) 1 1 1 ( ) 3. (2) 2 2 4 x f f= ⇒ + = (0,25®) ⇒ 47 (2) 32 f = (0,5®) ------- ®¸p ¸n ®Ò 25 C©u 1 M A B C D E F
78. 0 suy ra x = 1 (tho· m·n) NÕu < 0 suy ra x = -3 (tho· m·n) b.    =− = ⇒ − =−= 63 1 6 3 2 1 6 1 x yxx y ; hoÆc    −=− −= 63 1 x y ;hoÆc 2 3 3 y x =  − = hoÆc 3 3 2 y x = −  − = − ;hoÆc 6 3 1 y x =  − = ; hoÆc 6 3 1 y x = −  − = − hoÆc 2 3 3 y x = −  − = − ; hoÆc 3 3 2 y x =  − = Tõ ®ã ta cã c¸c cÆp sè (x,y) lµ (9,1); (-3, -1) ; (6, 2) ; (0,- 2) ; (5, 3) ; (1, -3) ; (4, 6); (2, -6) c. Tõ 2x = 3y vµ 5x = 7z biÕn ®æi vÒ 3 7 5 3 7 5 30 2 21 14 10 61 89 50 63 89 50 15 x y z x y z x y z− + = = ⇒ = = = = = − +  x = 42; y = 28; z = 20 C©u 2 a. A lµ tÝch cña 99 sè ©m do ®ã 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1.3 2.4 5.3 99.101 1 1 1 .... 1 4 9 16 100 2 3 4 100 1.2.3.2....98.99 3.4.5...99.100.101 101 1 1 2.3.4...99.100 2.3.4......99.100 200 2 2 A A       − = − − − − = ÷ ÷ ÷  ÷       = = > ⇒ < − g g ggg g b. B = 1 3 4 4 1 3 3 3 x x x x x + − + = = + − − − B nguyªn ( )4 4 ˆ 3 3 nguen x x ′⇔ ⇔ − ∈ − U { }4;25;16;1;49x⇒ ∈ C©u 3 Thêi gian ®i thùc tÕ nhiÒu h¬n thêi gian dù ®Þnh Gäi vËn tèc ®i dù ®Þnh tõ C ®Õn B lµ v1 == 4km/h VËn tèc thùc tÕ ®i tõ C ®Õn B lµ V2 = 3km/h Ta cã: 1 1 1 2 2 2 4 3 3 4 V t V va V t V = = = (t1 lµ thêi gian ®i AB víi V1; t2 lµ thêi gian ®i CB víi V2) tõ 1 2 1 2 1 2 3 15 15 4 4 3 4 3 1 t t t t t t − = ⇒ = = = = −  t2 = 15 . 4 = 60 phót = 1 giê VËy qu·ng ®êng CB lµ 3km, AB = 15km Ngêi ®ã xuÊt ph¸t tõ 11 giê 45 phót – (15:4) = 8 giê C©u 4 a. Tam gi¸c AIB = tam gi¸c CID v× cã (IB = ID; gãc I1 = gãc I2; IA = IC)
79. AID = tam gi¸c CIB (c.g.c)  gãc B1 = gãc D1 vµ BC = AD hay MB =ND  tam gi¸c BMI = tam gi¸c DNI (c.g.c)  Gãc I3 = gãc I4  M, I, N th¼ng hµng vµ IM = IN Do vËy: I lµ trung ®iÓm cña MN c. Tam gi¸c AIB cã gãc BAI > 900  gãc AIB < 900  gãc BIC > 900 d. NÕu AC vu«ng gãc víi DC th× AB vu«ng gãc víi AC do vËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A C©u 5. P = 4 10 10 1 4 4 x x x − + = + − − P lín nhÊt khi 10 4 x− lín nhÊt XÐt x > 4 th× 10 4 x− < 0 XÐt x< 4 th× 10 4 x− > 0  10 4 x− lín nhÊt  4 – x lµ sè nguyªn d¬ng nhá nhÊt  4 – x = 1  x = 3 khi ®ã 10 4 x− = 10  Plín nhÊt = 11. ---------
80. ®Ò 26 Bµi 1 : a) T×m x . Ta cã 62 −x + 5x =9 62 −x = 9-5x * 2x –6 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 khi ®ã 2x –6 = 9-5x ⇒ x = 7 15 kh«ng tho· m·n. (0,5) * 2x – 6 < 0 ⇔ x< 3 khi ®ã 6 – 2x = 9-5x ⇒ x= 1 tho· m·n. (0,5) VËy x = 1. b) TÝnh . (1+2+3+...+90).( 12.34 – 6.68) :       +++ 6 1 5 1 4 1 3 1 = 0. (0,5) ( v× 12.34 – 6.68 = 0). c) Ta cã : 2A = 21 + 22 +23 + 24 + 25 +...+ 2101 ⇒ 2A – A = 2101 –1. (0,5) Nh vËy 2101 –1 < 2101 . VËy A
81. a) T¹i x = 9 16 ta cã : A = 7 1 9 16 1 9 16 = − + ; t¹i x = 9 25 ta cã : A = 4 1 9 25 1 9 25 = − + ; (1) b) Víi x >1 . §Ó A = 5 tøc lµ 4 9 2 3 5 1 1 =⇔=⇔= − + xx x x . (1) Bµi 4 : E thuéc ph©n gi¸c cña ABC nªn EN = EC ( tÝnh chÊt ph©n gi¸c) suy ra : tam gi¸c NEC c©n vµ ENC = ECN (1) . D thuéc ph©n gi¸c cña gãc CAB nªn DC = DM (tÝnh chÊt ph©n gi¸c ) suy ra tam gi¸c MDC c©n . vµ DMC =DCM ,(2) . Ta l¹i cã MDB = DCM +DMC (gãc ngoµi cña ∆CDM ) = 2DCM. T¬ng tù ta l¹i cã AEN = 2ECN . Mµ AEN = ABC (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän). MDB = CAB (gãc cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc cïng nhän ). Tam gi¸c vu«ng ABC cã ACB = 900 , CAB + CBA = 900 , suy ra CAB = ABC = AEN + MDB = 2 ( ECN + MCD ) suy ra ECN + MCD = 450 . VËy MCN = 900 –450 =450 . (1,5) Bµi 5 : Ta cã P = -x2 –8x + 5 = - x2 –8x –16 +21 = -( x2 +8x + 16) + 21 = -( x+ 4)2 + 21; (0,75) Do –( x+ 4)2 ≤0 víi mäi x nªn –( x +4)2 +21 ≤ 21 víi mäi x . DÊu (=) x¶y ra khi x = -4 Khi ®ã P cã gi¸ trÞ lín nhÊt lµ 21. --------
82. 27 C©u 1: (3®) b/ 2-1 .2n + 4.2n = 9.25 suy ra 2n-1 + 2n+2 = 9.25 0,5® suy ra 2n (1/2 +4) = 9. 25 suy ra 2n-1 .9 =9. 25 suy ra n-1 = 5 suy ra n=6. 0,5® c/ 3n+2 -2n+2 +3n -2n =3n (32 +1)-2n (22 +1) = 3n .10-2n .5 0,5® v× 3n .10 M10 vµ 2n .5 = 2n-1 .10 M10 suy ra 3n .10-2n .5 M10 0,5® Bµi 2: a/ Gäi x, y, z lÇn lît lµ sè häc sinh cña 7A, 7B, 7C tham gia trång c©y(x, y, z∈z+ ) ta cã: 2x=3y = 4z vµ x+y+z =130 0,5® hay x/12 = y/8 = z/6 mµ x+y+z =130 0,5® suy ra: x=60; y = 40; z=30 -7(4343 -1717 ) b/ -0,7(4343 -1717 ) = 0,5®10 Ta cã: 4343 = 4340 .433 = (434 )10 .433 v× 434 tËn cïng lµ 1 cßn 433 tËn cïng lµ 7 suy ra 4343 tËn cïng bëi 7 1717 = 1716 .17 =(174 )4 .17 v× 174 cã tËn cïng lµ 1 suy ra (174 )4 cã tËn cïng lµ 1 suy ra 1717 = 1716 .17 tËn cïng bëi 7 0,5® suy ra 4343 vµ 1717 ®Òu cã tËn cïng lµ 7 nªn 4343 -1717 cã tËn cïng lµ 0 suy ra 4343 -1717 chia hÕt cho 10 0,5®
83. lµ mét sè nguyªn. Bµi 3: 4®( Häc sinh tù vÏ h×nh) a/∆ MDB=∆ NEC suy ra DN=EN 0,5® b/∆ MDI=∆ NEI suy ra IM=IN suy ra BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN 0,5® c/ Gäi H lµ ch©n ®êng cao vu«ng gãc kÎ tõ A xuèng BC ta cã ∆ AHB=∆ AHC suy ra HAB=HAC 0,5® gäi O lµ giao AH víi ®êng th¼ng vu«ng gãc víi MN kÎ tõ I th× ∆ OAB=∆ OAC (c.g.c) nªn OBA = OCA(1) 0,5® ∆ OIM=∆ OIN suy ra OM=ON 0,5® suy ra ∆ OBN=∆ OCN (c.c.c) OBM=OCM(2) 0,5® Tõ (1) vµ (2) suy ra OCA=OCN=900 suy ra OC ┴ AC 0,5® VËy ®iÓm O cè ®Þnh. ------- §¸p ¸n ®Ò 28 C©u 1: (2®). a. a + a = 2a víi a ≥ 0 (0,25®) Víi a < 0 th× a + a = 0 (0,25®). b. a - a -Víi a≥ 0 th× a - a = a – a = 0 -Víi a< 0 th× a - a = - a - a = - 2a c.3(x – 1) - 2x + 3 -Víi x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ - 3 Ta cã: 3(x – 1) – 2 x + 3 = 3(x – 1) – 2(x + 3) = 3x – 3 – 2x – 6 = x – 9. (0,5®) -Víi x + 3 < 0 → x< - 3 Tacã: 3(x – 1) - 2x + 3 = 3(x – 1) + 2(x + 3). = 3x – 3 + 2x + 6 = 5x + 3 (0,5®). C©u 2: T×m x (2®). a.T×m x, biÕt: 5x - 3 - x = 7 ⇔ 5 3 7x x− = + (1) (0,25 ®)
84. -7 (0,25 ®) ( ) ( ) 5 3 7 1 5 3 7 x x x x − = + ⇒  − = − + …. (0,25 ®) VËy cã hai gi¸ trÞ x tháa m·n ®iÒu kiÖn ®Çu bµi. x1 = 5/2 ; x2= - 2/3 (0,25®). b. 2x + 3 - 4x < 9 (1,5®) ⇔2x + 3 < 9 + 4x (1) §K: 4x +9 ≥ 0 ⇔ x ≥ 9 4 − (1)⇔ ( )4 9 2 3 4 9x x x− + < − < + 2 3x− < < − (t/m§K) (0,5®). C©u 3: Gäi ch÷ sè cña sè cÇn t×m lµ a, b, c. V× sè cµn t×m chia hÕt 18 → sè ®ã ph¶i chia hÕt cho 9. VËy (a + b + c ) chia hÕt cho 9. (1) (0,5®). Tacã: 1 ≤ a + b + c ≤ 27 (2) V× 1 ≤ a ≤ 9 ; b ≥ 0 ; 0 ≤ c ≤ 9 Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) nhËn c¸c gi¸ trÞ 9, 18, 27 (3). Suy ra: a = 3 ; b = 6 ; c = 9 (0,5®). V× sè cµn t×m chia hÕt 18 nªn võa chia hÕt cho 9 võa chia hÕt cho 2 → ch÷ sè hµng ®¬n vÞ ph¶i lµ sè ch½n. VËy ssè cµn t×m lµ: 396 ; 963 (0,5®). -VÏ h×nh ®óng viÕt gi¶ thiÕt, kÕt luËn ®óng (0,5®). -Qua N kÎ NK // AB ta cã. EN // BK ⇒ NK = EB EB // NK EN = BK L¹i cã: AD = BE (gt) ⇒ AD = NK (1) -Häc sinh chøng minh ∆ ADM = ∆ NKC (gcg) (1®) ⇒ DM = KC (1®) ------
85. 29 Bµi 1: Ta cã: 10A = 2007 2007 2007 10 10 9 = 1 + 10 1 10 1 + + + (1) T¬ng tù: 10B = 2008 2008 2008 10 10 9 = 1 + 10 1 10 1 + + + (2) Tõ (1) vµ (2) ta thÊy : 2007 2008 9 9 10 1 10 1 > + + ⇒ 10A > 10B⇒ A > B Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: A = 1 1 1 1 . 1 ... 1 (1 2).2 (1 3).3 (1 2006)2006 2 2 2        ÷  ÷  ÷ − − − ÷  ÷  ÷+ + +  ÷  ÷  ÷       = 2 5 9 2007.2006 2 4 10 18 2007.2006 2 . . .... . . .... 3 6 10 2006.2007 6 12 20 2006.2007 − − = (1) Mµ: 2007.2006 - 2 = 2006(2008 - 1) + 2006 - 2008 = 2006(2008 - 1+ 1) - 2008 = 2008(2006 -1) = 2008.2005 (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã:
86. 6.3 2008.2005 (4.5.6...2008)(1.2.3...2005) 2008 1004 . . .... 2.3 3.4 4.5 2006.2007 (2.3.4...2006)(3.4.5...2007) 2006.3 3009 = = = Bµi 3:(2®iÓm) Tõ: x 1 1 1 x 1 8 y 4 y 8 4 − = ⇒ = − Quy ®ång mÉu vÕ ph¶i ta cã : 1 x - 2 y 8 = . Do ®ã : y(x-2) =8. §Ó x, y nguyªn th× y vµ x-2 ph¶i lµ íc cña 8. Ta cã c¸c sè nguyªn t¬ng øng cÇn t×m trong b¶ng sau: Y 1 -1 2 -2 4 -4 8 -8 x-2 8 -8 4 -4 2 -2 1 -1 X 10 -6 6 -2 4 0 3 1 Bµi 4:(2 ®iÓm) Trong tam gi¸c tæng ®é dµi hai c¹nh lín h¬n c¹nh thø 3. VËy cã: b + c > a. Nh©n 2 vÕ víi a >0 ta cã: a.b + a.c > a2 .(1) T¬ng tù ta cã : b.c + b.a > b2 (2) a.c + c.b > c2 (3). Céng vÕ víi vÕ cña (1), (2), (3) ta ®îc: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2 . Bµi 5:(3 ®iÓm) VÏ tia ph©n gi¸c ·ABK c¾t ®êng th¼ng CK ë I. Ta cã: IBCV c©n nªn IB = IC. BIAV = CIAV (ccc) nªn · · 0 BIA CIA 120= = . Do ®ã: BIAV = BIKV (gcg) BA=BK⇒ b) Tõ chøng minh trªn ta cã: · 0 BAK 70= ------- C K A I B
87. 30 C©u 1: ( 2 ®iÓm ) a. Do 1 11 22 − < nn víi mäi n 2≥ nªn . ( 0,2 ®iÓm ) A< C = 1 1 ..... 14 1 13 1 12 1 2222 − − + − + − n ( 0,2 ®iÓm ) MÆt kh¸c: C = ( ) ( )1.1 1 .... 5.3 1 4.2 1 3.1 1 +− ++ nn ( 0,2 ®iÓm) =       + − − −+−+− 1 1 1 1 .... 5 1 3 1 4 1 2 1 3 1 1 1 2 1 nn ( 0,2 ®iÓm) = 1 4 3 2 3 . 2 1 1 11 2 1 1 <=<      + −−+ nn (0,2 ®iÓm ) VËy A < 1 b. ( 1 ®iÓm ). B = ( )2222 2 1 ... 6 1 4 1 2 1 n ++ ( 0,25 ®iÓm )
88. 0,25 ®iÓm ) = ( )A+1 2 1 2 ( 0,25 ®iÓm ) Suy ra P < ( ) 2 1 11 2 1 2 =+ ;Hay P < 2 1 (0,25 ®iÓm ) C©u 2: ( 2 ®iÓm ) Ta cã 1 1 1+ > +k k k víi k = 1,2………..n ( 0,25 ®iÓm ) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C« Si cho k +1 sè ta cã: ( )1 1 1 1 11 1 1...11 1 . .1....1.11 11 + +=+ + = + + < + = + kkkk k k k k k k kk k kk (0,5 ®iÓm ) Suy ra 1 <       + −+< 1 11 1 11 kkk kk ( 0,5 ®iÓm ) LÇn lît cho k = 1,2, 3,…………………… n råi céng l¹i ta ®îc. n < 1 1 1 1 ......... 2 3 2 13 +<−+< + + + n n n n nn ( 0,5 ®iÓm) => [ ] n=α C©u 3 (2 ®iÓm ) Gäi ha , hb ,hc lÇn lît lµ ®é dµi c¸c ®êng cao cña tam gi¸c. Theo ®Ò bµi ta cã: ( ) 1020 2 875 cbacbaaccbba hhhhhhhhhhhh = ++ = + = + = + ( 0,4 ®iÓm ) => 325 abc hhh == => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 ®iÓm ) MÆt kh¸c S = cba chbhha 2 1 2 1 . 2 1 == ( 0,4 ®iÓm ) => cba h c h b h a 111 == (0 , 4 ®iÓm ) => a :b : c = 6:15:10 5 1 : 2 1 : 3 11 : 1 : 1 == cba hhh (0 ,4 ®iÓm ) VËy a: b: c = 10 : 10 : 6 C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trªn tia Ox lÊy A′, trªn tia Oy lÊy B′ sao cho O A′ = O B′ = a ( 0,25 ®iÓm ) Ta cã: O A′ + O B′ = OA + OB = 2a => A A′ = B B′ ( 0,25 ®iÓm ) Gäi H vµ K lÇn lît lµ h×nh chiÕu Cña A vµ B trªn ®êng th¼ng A′ B′ y
89. A′ = tam gi¸c KB B′ ( c¹nh huyÒn, gãc nhän ) ( 0,5 ®iÓm ) => H ,BKA ′=′ do ®ã HK = BA ′′ (0,25 ®iÓm) Ta chøng minh ®îc HK AB≤ (DÊu “ = “ ⇔ A trïng A′ B trïng B′ (0,25 ®iÓm) do ®ã ABBA ≤′′ ( 0,2 ®iÓm ) VËy AB nhá nhÊt ⇔ OA = OB = a (0,25®iÓm ) C©u 5 ( 2 ®iÓm ) Gi¶ sö Qdcba ∈= ( 0,2 ®iÓm ) => adba −=+ => b +b +2 adadbc 22 = ( 0,2 ®iÓm) => 2 ( ) adcbadbc 22 −−−+= ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm) => 4bc = ( )cbad −−+2 2 + 4 d2 a – 4b ( )cbad −−+2 a ( 0,2 ®iÓm) => 4 d ( )cbad −−+2 a = ( )cbad −−+2 2 + 4d 2 a – 4 bc ( 0,2 ®iÓm) * NÕu 4 d ( )cbad −−+2 # 0 th×: ( ) )(4 44 2 222 cbadd abadcbad a −−+ −+−−+ = lµ sè h÷u tØ (0,2 5®iÓm ) ** NÕu 4 d ( )cbad −−+2 = 0 th×: d =0 hoÆc d 2 + a-b – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : 0=++ cba => Qcba ∈=== 0 (0,25 ®iÓm ) + d 2 + a-b – c = 0 th× tõ (1 ) => adbc −= V× a, b, c, d 0≥ nªn Qa ∈= 0 ( 0,25 ®iÓm ) VËy a lµ sè h÷u tØ. Do a,b,c cã vai trß nh nhau nªn cba ,, lµ c¸c sè h÷u tØ ------ PNE.edu.vn website giáo dục cung cấp tài liệu học tập môn Toán miễn phí !
90.

Bài tập este khó điểm 9 10 violet năm 2024

Bài Viết Liên Quan

Quảng Cáo

Có thể bạn quan tâm

Toplist được quan tâm

Quảng cáo

Xem Nhiều

Quảng cáo

Chúng tôi

Điều khoản

Trợ giúp

Mạng xã hội