Các phương pháp chứng minh hình học lớp 8

1. Chứng minh : Hai đoạn thẳng bằng nhau

Cách 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng này cùng bằng một đoạn thứ ba.

Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai đoạn

thẳng đó.

Cách 3: Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là 2 cạnh bên của một tam giác cân hay là hai

cạnh của 1 tam giác đều.

Cách 4 : Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ

nhật, hình thoi hay hình vuông.

2. Chứng minh : Hai góc bằng nhau

Cách 1: Hai góc cùng bằng góc thứ ba.

Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai góc

đó.

Cách 3: Chứng minh có hai tam giác đồng dạng mà hai tam giác này chứa hai góc

đó.

Cách 4 : Chứng minh hai góc (nhọn) này là các góc có cạnh tương ứng song song

hoặc vuông góc.

Cách 5: Chứng minh 2 góc này là các góc đáy của tam giác cân, hình thang cân hay

là các góc của tam giác đều.

Cách 6: Chứng minh 2 góc là các góc đối của hình bình hành, hình thoi.

Cách 7 : Dùng các tính chất bằng nhau của cặp góc đối đỉnh, so le, đồng vị.

Bạn đang xem tài liệu "Các phương pháp chứng minh hình học phẳng", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 1 CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG GV. Lê Anh Tuấn, Tổ Toán, Trường Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai Lời nói đầu: Người ta nói: “ Phương Pháp là thầy của các thầy ”. Điều này thật đúng. Đặc biệt trong chứng minh hình học, học sinh luôn gặp khó khăn trong việc tìm hướng chứng minh bài toán. Hy vọng rằng, những tổng kết qua bài viết này sẽ giúp ích cho việc dạy cũng như học hình học phẳng. 1. Chứng minh : Hai đoạn thẳng bằng nhau Cách 1: Chứng minh 2 đoạn thẳng này cùng bằng một đoạn thứ ba. Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai đoạn thẳng đó. Cách 3: Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là 2 cạnh bên của một tam giác cân hay là hai cạnh của 1 tam giác đều. Cách 4 : Chứng minh 2 đoạn thẳng đó là các cạnh đối của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông. 2. Chứng minh : Hai góc bằng nhau Cách 1: Hai góc cùng bằng góc thứ ba. Cách 2: Chứng minh có hai tam giác bằng nhau mà hai tam giác này chứa hai góc đó. Cách 3: Chứng minh có hai tam giác đồng dạng mà hai tam giác này chứa hai góc đó. Cách 4 : Chứng minh hai góc (nhọn) này là các góc có cạnh tương ứng song song hoặc vuông góc. Cách 5: Chứng minh 2 góc này là các góc đáy của tam giác cân, hình thang cân hay là các góc của tam giác đều. Cách 6: Chứng minh 2 góc là các góc đối của hình bình hành, hình thoi. Cách 7 : Dùng các tính chất bằng nhau của cặp góc đối đỉnh, so le, đồng vị. a b c 2 1 1A B Chẳng hạn: Nếu a // b , c là 1 cát tuyến cắt a và b thì: A1 = A2 : đối đỉnh A1 = B1 : đồng vị A2 = B1 : so le trong ... GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 2 3. Chứng minh : 2 đường thẳng song song Cách 1: Hai đt cùng song song với đt thứ ba thì song song. Cách 2: Hai đt cùng vuông góc với đt thứ ba thì song song. Cách 3: Nếu 2 đt định trên một cát tuyến những góc so le bằng nhau, hay góc đồng vị bằng nhau thì chúng song song với nhau. a b c 2 1 1A B Chẳng hạn : Nếu có
  2 1 1 1 hay A B A B= = thì a // b Cách 4: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác hay hình thang. Cách 5: Sử dụng định lý Talet đảo Cách 6: Các cạnh đối diện của hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. 4. Chứng minh : ba điểm thẳng hàng Để Cm 3 điểm A, B, C thẳng hàng làm như sau Cách 1: Chứng minh A thuộc BC Cách 2: A CB chứng minh  0180ABC = Cách 3: a A CB Chứng minh : AB // a và AC // a Cách 4: d A CB chứng minh : AB và AC cùng vuông góc với d GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 3 5. Chứng minh : các đường thẳng đồng qui a b c I Cách 1: Gọi I là giao điểm của a và b. Chứng minh I thuộc c( hay c đi qua I) Cách 2: chứng minh 3 đường thẳng a, b, c là 3 đường cao hay 3 đường trung tuyến, trung trực hay phân giác của một tam giác. 6. Chứng minh : Tam giác vuông H CMB A Cách 1: Tam giác có 1 góc vuông hay 2 góc phụ nhau Cách 2: Khi một đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng ( AM = BC/2 = MB = MC) Cách 3: Khi tam giác nội tiếp đường tròn đường kính BC Cách 4 : Khi một trong các hệ thức sau đây được nghiệm đúng AB2 + AC2 = BC2 ( Pitago đảo) AH2 = HB.HC ; AB2 = BC.BH ; AC2 = BC.CH ** Chứng minh : Tam giác vuông cân Tam giác ABC vuông tại A có một trong các yếu tố: + Góc B hay góc C bằng 450 + AB = AC + 2BC AB= GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 4 7. Chứng minh : Tam giác cân H B C A Cách 1: Hai cạnh bằng nhau AB = AC Cách 2: Hai góc bằng nhau :  B C= Cách 3 : Đường cao AH cũng là đường phân giác góc A ( hay đường trung tuyến) 8. Chứng minh : Tam giác đều Cách 1 : Ta giác có 3 cạnh bằng nhau Cách 2: Tam giác cân có một góc bằng 600. 9. Chứng minh : Tứ giác là hình thang D C A B Cách CM: Chứng minh tứ giác có 2 cạnh đối song song ( AB // CD) **Chứng minh : Tứ giác là hình thang cân Tứ giác ABCD là hình thang và có một trong các yếu tố sau đây: + Hai góc đáy bằng nhau ( góc C = góc D hay góc A = góc B) + Hai đường chéo bằng nhau ( AC = BD) + ABCD nội tiếp một đường tròn. 10. Chứng minh : Tứ giác là hình bình hành O C A D B Cách 1: Các cặp cạnh đối song song đôi một ( AB//CD và BC // AD) Cách 2: Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau( AB //CD và AB = CD) Cách 3: Các cặp cạnh đối bằng nhau đôi một ( AB = CD và BC = AD) Cách 4 : Các góc đối bằng nhau đôi một (    ,A C B D= = ) Cách 5 : Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ( OA = OC và OB = OD). GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 5 11. Chứng minh : Tứ giác là hình chữ nhật B D C A Cách 1: Tứ giác có 3 góc vuông ( A = B = C = 900) Cách 2: Hình bình hành có 1 góc vuông. Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo bằng nhau (AC = BD) 12. Chứng minh : Tứ giác là hình thoi C A B D Cách 1: Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau Cách 2 : Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau ( chẳng hạn AB = BC) Cách 3 : Hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc ( AC vuông BD) Cách 4 : Hình bình hành có 1 đường chéo là phân giác của góc hợp bởi hai cạnh. 13. Chứng minh : Tứ giác là hình vuông D C BA Cách 1: Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau. Cách 2: Hình thoi có 1 góc vuông. 14. Chứng minh : Tứ giác nội tiếp Cách 1: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800 O A D C B Chứng minh :    0 0180 hay 180DAB DCB ADC ABC+ = + = GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 6 • Đặc biệt 1 D O B A C A,C nhìn đường kính DB dưới 1 góc vuông thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BC. • Đặc biệt 2 Tứ giác có 1 góc bằng góc ngoài của góc đối Cách 2: Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm O cho trước. Cách 3 : Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới góc bằng nhau O A B D C Chẳng hạn ta chứng minh được :  DAC DBC= thì suy ra được ABCD nội tiếp. Đặc biệt: Tứ giác có 2 đỉnh liên tiếp cùng nhìn 1 cạnh dưới một góc vuông. D O A B C GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 7 Chẳng hạn : B, C nhìn AD dưới góc 900 thì ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD 15. Chứng minh : một đường thẳng là trung trực của một đoạn thẳng a MA B D E Cách 1: khi đt đó vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm( MA = MB và a vuông góc AB tại M) Cách 2: Khi 2 điểm của đt cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng ( DA = DB và EA = EB) Cách 3: Khi đt đó là đường phân giác, đường cao hay đường trung tuyến của một tam giác cân đã biết. Cách 4: Khi đt là đường chéo của một hình thoi hay một hình vuông đã biết. Cách 5: khi đt nối tâm của 2 đường tròn cắt nhau. 16. Chứng minh : một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn d O A Chứng minh (d) là tiếp tuyến của đường tròn (O,R) tại A. Ta chứng minh: Cách 1: A thuộc (O,R) và d vuông góc OA tại A Cách 2: d vuông góc OA tại A và OA = R 17. Chứng minh: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cách 1: chứng minh OA = OB = OC Cách 2: chứng minh O là giao điểm của 2 đường trung trực của 2 cạnh tam giác ABC. GV. Lê Anh Tuấn Cao Đẳng Sư Phạm Đồng Nai 8 18. Chứng minh: I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Cách làm : chứng minh I là giao điểm của 2 tia phân giác trong 2 góc của tam giác. 19. Chứng minh: H là trực tâm tam giác ABC Cách làm : chứng minh H là giao điểm của 2 đường cao của tam giác này. 20. Chứng minh: các đẳng thức và bất đẳng thức về độ dài Cách làm: Thông thường ta sử dụng các kết quả về a) Hệ thức lượng trong tam giác vuông b) Tỉ số đồng dạng của tam giác. c) Công thức tính chu vi và diện tích các hình. d) Định lý Talet e) Bất đẳng thức về cạnh trong tam giác.

Tài liệu đính kèm:

• 
  Phuong phap CM hinh hoc phang.pdf

PHƯƠNG PHÁP  CHỨNG MINH HÌNH HỌC

1. CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU
1. Ba trường hợp bằng nhau của tam giác thường:

v      Cạnh – Góc –Cạnh ( c-g-c)

v      Góc –cạnh –Góc ( g-c-g)

v      Cạnh-Cạnh-Cạnh (c-c-c)

1. Trường  hợp đặc biệt của tam giác vuông:

v      Cạnh huyền – Góc nhọn.

v      Cạnh huyền – Cạnh góc vuông

1. CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU
1. Sử dụng yếu tố độ dài của đoạn thẳng:

v      Hai đọan thẳng có cùng độ dài ( đo được)

v      Hai đoạn thẳng cùng bằng đoạn thẳng thứ ba(tính chất bắt cầu)

v      Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng (hay hiệu) của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một.

1. Sử dụng hai tam giác bằng nhau:

·        Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

1. Sử dụng định nghĩa tính chất các hình:

v   Định nghĩa trung điểm của đoạn thẳng, trung tuyến của tam giác.

v   Cạnh bên của tam giác cân, hình thang cân.

v   Các cạnh của tam giác đều.

v   Bán kính của đường tròn.

v   Đường trung trực của đoạn thẳng, đường trung bình của tam giác của hình thang.

v   Đoạn chắn song song.

v   Trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông.

v   Các cạnh của hình bình hành.

v   Hai dây trương cung bằng nhau trong một đường tròn hoặc hai đường tròn bằng nhau.

1. CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU.

v    Hai góc có cùng số đo góc

v   Hai góc cùng bằng góc thứ ba.

v   Hai góc cùng bù hoặc cùng phụ với góc thứ ba

v   Hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau.

v   Định nghĩa tia phân giác của một góc.

v   Hai góc đối đỉnh.

v   Hai góc so le trong, so le ngoài, đồng vị tạo bởi hai đường thẳng song song với một cát tuyến.

v   Hai góc cùng nhọn hoặc cùng tù có cạnh tương ứng song song hoặc tương ứng vuông góc.

v   Hai góc ở đáy của tam giác cân, hình thang cân

v   Các góc của tam giác đều.

D)            CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

v     Chứng minh các cặp góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau.

v     Chứng minh hai đường thẳng cùngsong song hoặc cùng vuông góc                          với một đường thẳng

v     Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, của hình thang.

v     Chứng minh các cặp góc cùng phía bù nhau.

v     Các  cạnh đối của hình bình hành.

v     Hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau trong một đường tròn.

E)            CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.

v     Ba điểm cùng thuộc một tiahoặc một đường thẳng.

v     Hai đoạn thẳng nối hai trong ba điểm ấy tạo thành góc 1800

v     Dùng tiên đề Ơclic

v     Tính chất hai góc đối đỉnh.

v     Tính chất hai tâm và tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc

v     Đường kính thì đi qua tâm.

v     Tính chất giao điểm hai đường chéo trong hình bình hành.

F)            CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

v     Góc tạo bởi hai đường thẳng đó bằng 900

v     Dựa theo định lí:” Hai đường thẳng song song, đường nào vuông góc với đường thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thứ hai.

v     Chứng minh chúng là đường cao và cạnh tương ứng trong tam giác

v     Phân giác của hai góc kề bù.

v     Đường kính đi qua trung điểm của dây cung( không đi qua tâm)

v     Đường trung trực của đoạn thẳng.

v     Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

G)           CHỨNG MINH TAM GIÁC CÂN.

v     Tam giác có hai cạnh hoặc hai góc bằng nhau.

v     Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh  đồng thời cũng là đường cao, đường phân giác.

v     + Tam giác cân có một góc bằng 600 là tam giác đều.

H)           CHỨNG MINH TAM GIÁC VUÔNG.

v     Tam giác có một góc vuông.

v     Dự theo định lí đảo của định lí Pitago

v     Tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy.

v     Tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

I)              DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG

     Tứ giác có hai cạnh song song.

J)             DẤU HIỆU NHÂN BIẾT HÌNH THANG VUÔNG

     Hình thang  có một góc vuông

K)           DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THANG CÂN

v     Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

v     Hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

L)            DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH BÌNH HÀNH

v     Tứ giác có các cạnh đối song song

v     Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau

v     Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

v     Tứ giác có các góc đối bằng nhau.

v     Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

M)         DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH CHỮ NHẬT

v     Tứ giác có ba góc vuông

v     Hình thang cân có một góc vuông.

v     Hình bình hành có một góc vuông.

v     Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau.

N)           DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH THOI

v     Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau

v     Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.

v     Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc

v     Hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc.

O)           DẤU HIỆU NHẬN BIẾT HÌNH VUÔNG

v     Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

v     Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc.

v     Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc.

v     Hình thoi có một góc vuông .

v     Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau.