Các dạng phương trình mũ và logarit
|
15:45:5123/09/2020 Tuy nhiên, phương pháp giải phương trình mũ và logarit bằng hàm số đối với một số bài toán mang lại hiệu quả rất bất ngờ. Cách giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số như thế nào? chúng ta cùng tham khảo bài viết dưới đây. » Đừng bỏ lỡ: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình cực hay ° Hàm số - kiến thức cần nhớ • Tính chất 1: Nếu hàm f(x) tăng (hoặc giảm) trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = k có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b). • Tính chất 2: Nếu hàm f(x) tăng trong khoảng (a;b) và hàm g(x) là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b), (do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b): f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x)). ° Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số ta thực hiện các bước sau: • Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f(x) = k. • Bước 2: Xét hàm số y = f(x). Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến). • Bước 3: Nhận xét: - Với x = x0 ⇔ f(x) = f(x0) = k, do đó x = x0 là nghiệm. - Với x > x0 ⇔ f(x) > f(x0) ⇔ f(x) > k, nên phương trình vô nghiệm. - Với x < x0 ⇔ f(x) < f(x0) ⇔ f(x) < k, nên phương trình vô nghiệm. • Bước 4: Kết luận: x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình. ° Bài tập vận dụng giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số * Bài tập 1: Giải các phương trình mũ và logarit sau: a) 2x + 5x = 7 b) log3(x+3) + log5(x+5) = 2 * Lời giải: - Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm hằng. a) 2x + 5x = 7 - Ta có: VT = 2x + 5x , là hàm đồng biến VP = 7, là một hàm hằng. → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì: VT = 21 + 51 = 7 = VP ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) log3(x+3) + log5(x+5) = 2 - Điều kiện: x ≥ -3. - Ta có: VT = log3(x+3) + log5(x+5) là một hàm đồng biến VP = 2 là hàm hằng → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Mặt khác, ta thấy: với x = 0 (thỏa điều kiện x ≥ -3) thì: VT =log3(3) + log5(5) = 1 + 1 = 2 = VP ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. * Bài tập 2: Giải các phương trình sau. a) 5x = 6 - x b) log6x = 7 - x. * Lời giải: - Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm số bậc 1. a) 5x = 6 - x - Ta có: VT = 5x , là hàm đồng biến VP = 6 - x, là một hàm nghịch biến. → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì: VT = 51 = 5; VP = 6 - 1 = 5 ⇒ VT = VP ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. b) log6x = 7 - x. - Ta có: VT = log6x , là hàm đồng biến VP = 7 - x, là một hàm nghịch biến. → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Mặt khác, ta thấy: với x = 6 thì: VT = log66 = 1; VP = 7 - 6 = 1 ⇒ VT = VP ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 6. * Bài tập 3: Giải pương trình: log2x + log5(2x+1) = 2. * Lời giải: - Điều kiện logarit có nghĩa: x >0 - Ta có: VT = log2x + log5(2x+1) , là hàm đồng biến. VP = 2 là hàm hằng. → Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Mặt khác, ta thấy: với x = 2 thì: VT = log22 + log5(2.2+1) = 1 + 1 = 2 = VP. ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. • Cũng có thể lập luận như sau: - Nhận thấy x = 2 là nghiệm. + Nếu x > 2 thì: log2x > log22 = 1; log5(2x + 1) > log2(2.2 + 1) = 1. ⇒ log2x + log5(2x+1) > 2 ⇒ Phương trình vô nghiệm. + Nếu 0 log2x < log22 = 1; log5(2x + 1) < log2(2.2 + 1) = 1. ⇒ log2x + log5(2x+1) < 2 ⇒ Phương trình vô nghiệm. → Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. * Bài tập 4: Giải phương trình: 31-x - log2x - 1 = 0 * Lời giải: - Điều kiện log có nghĩa: x > 0 - Ta có: - Ta thấy: VT = (1/3)x-1 : của phương trình là một hàm nghịch biến. VP = log2x + 1: của phương trình là một hàm đồng biến. → Vì vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. - Mặt khác, ta nhẩm thấy x = 1 là nghiệm của phương trình vì:
 ⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. * Bài tập 5: Giải phương trình: * Lời giải: - Điều kiện: x≠0 - Nhận thấy:
- Do đó phương trình (*) tương đương với phương trình:
- Mặt khác:
- Đối chiếu điều kiện x = 0 (loại), x = 2 (nhận). ⇒ Phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2. * Bài tập tự làm (vận dụng giải phương trình mũ và logarit phương pháp bằng hàm số) * Bài tập 1: Giải phương trình mũ sau: Xem lời giải * Đề bài: Giải phương trình sau: * Hướng dẫn: - Nhân 2 vế với phương trình với 3 đưa 2 vế phương trình về dạng: f(t) = 3t + 3t, (t ∈ R) - Suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất. f(t) = 2t + 3t + t, (t ∈ R) - Suy ra x = 1 là nghiệm duy nhất. 09:04:5318/12/2018 Các em đã ôn tập về luỹ thừa trong bài hướng dẫn trước, trong phần này chúng ta sẽ ôn lại kiến thức về phương trình mũ và bất phương trình mũ. Nếu các em chưa nhớ các tính chất của hàm số mũ, các em có thể xem lại Tại Đây A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ I. Phương trình mũ cơ bản + Là dạng phương trình ax = b; (*), với a, b cho trước và 0 - Nếu b≤ 0: Phương trình (*) vô nghiệm - Nếu b>0: II. Phương pháp giải Phương trình mũ và Bất phương trình mũ 1. Phương pháp đưa về cùng cơ số - Ta sử dụng phép biến đổi tương đương sau: af(x) = ag(x) ⇔ a = 1 hoặc - Logorit hoá và đưa về cùng cơ số: * Dạng 1: Phương trình af(x) = b ⇔ * Dạng 2: Phương trình: af(x) = bg(x) ⇔ hoặc: * Ví dụ: Giải các phương trình sau: a) b) * Lời giải: a) ⇔ ⇔ x2 - x + 8 = 2 - 6x ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x= -2 hoặc x = -3 b) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = 1 2. Phương pháp dùng ẩn phụ * Khi sử dụng phương pháp này ta nên thực hiện theo các bước sau: B1: Đưa PT, BPT về dạng ẩn phụ quen thuộc. B2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ. B3: Giải PT, BPT với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa điều kiện. B4: Thay giá trị t tìm được vào giải PT, BPT mũ cơ bản B5: Kết luận. * Loại 1: Các số hạng trong PT, BPT có thể biểu diễn qua af(x) nên đặt t = af(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + Baf(x) + C = 0 ⇒ bậc 2 ẩn t. + Dạng 2: Aa3f(x) + Ba2f(x) + Caf(x) + D = 0 ⇒ bậc 3 ẩn t. + Dạng 3: Aa4f(x) + Ba2f(x) + C = 0 ⇒ trùng phương ẩn t. > Lưu ý: Trong loại này ta còn gặp một số bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được một phương trình, Bpt vẫn chứa x ta gọi đó là các bài toán đặt ẩn phụ không hoàn toàn. * Loại 2: Phương trình đẳng cấp bậc n đối với af(x) và bf(x). - Hay gặp một số dạng sau: + Dạng 1: Aa2f(x) + B(a.b)f(x) + Cb2f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a2f(x) đưa về loại 1 dạng 1 + Dạng 2: Aa3f(x) + B(a2.b)f(x) + C(a.b2)f(x) + D.b3f(x) = 0 ⇒ Chia 2 vế cho a3f(x) đưa về loại 1 dạng 2 º Tổng quát: Với dạng này ta sẽ chia cả 2 vế của Pt cho an.f(x) hoặc bn.f(x) với n là số tự nhiên lớn nhất có trong Pt Sau khi chia ta sẽ đưa được Pt về loại 1. Loại 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo + Dạng 1: A.af(x) + B.bf(x) + C = 0 với a.b=1 ⇒ Đặt ẩn phụ t = af(x) ⇒ bf(x) = 1/t + Dạng 2: A.af(x) + B.bf(x) + C.cf(x) = 0 với a.b=c2. ⇒ Chia 2 vế của Pt cho cf(x) và đưa về dạng 1. 3. Phương pháp logarit hóa + Đôi khi ta không thể giải một PT, BPT mũ bằng cách đưa về cùng một cơ số hay dùng ấn phụ được, khi đó ta thể lấy logarit hai vế theo cùng một sơ số thích hợp nào đó PT, BPT mũ cơ bản (phương pháp này gọi là logarit hóa) + Dấu hiệu nhận biết: PT loại này thường có dạng af(x).bg(x).ch(x)=d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau) khi đó ta có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c). B. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1. Bất phương trình mũ cơ bản - Xét bất phương trình ax > b - Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với mọi x∈R - Nếu b>0, thì BPT tương đương với ax > - Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab * Lời giải: a) 2-x=28 ⇔ -x =8 ⇔ x =-8 b) 2-x=8 ⇔ 2-x= 23 ⇔ -x =3 ⇔ x =-3 c) ⇔ x2 - 4x = 0 ⇔ x(x - 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4 d) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a - b + c =0 nên có 1 nghiệm x = -1 nghiệm còn lại x = -c/a = -2) * Bài tập 2: Giải các phương trình mũ sau a) * Lời giải: a) b) (cách nhẩm nghiệm: Do các hệ số của Pt bậc 2 trên có a + b + c =0 nên có 1 nghiệm x = 1 nghiệm còn lại x = c/a = 2) c) 2x+1 + 2x-2 = 36 ⇔ 2.2x + 2x/4 = 36 ⇔ 8.2x + 2x = 144 ⇔ 9.2x = 144 ⇔ 2x = 16 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = 4 * Giải phương trình mũ áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ * Bài tập 3: Giải các phương trình mũ sau a) 9x - 4.3x + 3 = 0 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 c) 5x + 51-x -6 = 0 d) 25x -2.5x - 15 = 0 * Lời giải: a) 9x - 4.3x + 3 = 0 đặt t = 3x với t>0 ta được phương trình: t2 - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 (2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0). với t = 1 ⇔ 3x = 1 ⇔ x=0 với t = 3 ⇔ 3x = 3 ⇔ x=1 b) 9x - 3.6x + 2.4x = 0 chia 2 vế của phương trình cho 4x ta được phương trình sau t2 - 3.t + 2 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 2 (2 nghiệm đều thoả t>0) với t = 1 ⇔ (3/2)x = 1 ⇔ x=0 với t = 2 ⇔ (3/2)x = 2 ⇔ c) 5x + 51-x -6 = 0 ⇔ 5x + 5.5-x -6 = 0 Đặt t = 5x (với t>0) thì 5-x = 1/t ta được phương trình: với t = 1 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 với t = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x=1 d) d) 25x -2.5x - 15 = 0 ⇔ 52x - 2.5x - 15 = 0 đặt t = 5x với t>0 ta được phương trình t2 - 2t - 15 = 0 ⇔ t = 5 (nhận) hoặc t = -3 (loại) với t = 5 ⇔ 5x = 1 ⇔ x=0 * Giải phương trình mũ bằng phương pháp logarit hoá * Bài tập 4. Giải các phương trình mũ sau a) 3x = 2 b) 2x.3x = 1 * Lời giải: a) 3x = 2 ta logarit cơ số 3 hay vế Pt ⇔ log33x = log32 ⇔ x = log32 b) 2x.3x = 1 ⇔ (2.3)x = 1 ⇔ 6x = 1 ⇔ log66x =log61 ⇔ x = 0 hoặc có thể làm như sau, lấy logarit cơ số 2 của 2 vế ta được Pt ⇔ log2(2x.3x) = log21 ⇔ log2(2x.3x) = 0 ⇔ log22x + log23x = 0 ⇔ x+ x.log23 = 0 ⇔ x(1+ log23) = 0 ⇔ x = 0 * Giải các bất phương trình mũ sau * Bài tập 5: Giải bất phương trình a) 2x-1 < 5 b) 0,3x+2>7 c) e) * Lời giải: a) 2x-1 < 5 ⇔ x - 1 < log25 ⇔ x < 1+log25 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: b) 0,3x+2>7 ⇔ x + 2 < log0,37 ⇔ x < -2 + log0,37 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: c) Ta có: BPT ⇔ x2+3x-4 > 2(x-1) ⇔ x2 + x - 2 > 0 ⇔ x<-2 hoặc x>1 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: d) BPT ⇔ 33(1-2x) < 3(-1) ⇔ 3-6x<-1 ⇔ 6x-4>0 ⇔ x>(2/3) Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: e) BPT ⇔ ⇔ x > 8(x-2) ⇔ 16 > 7x ⇔ x < 16/7 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: f) Ta có: ⇔ Khi đó ta có BPT ⇔ ⇔ x-1 ≥ x2-3 ⇔ -x2 + x + 2 ≥ 0 ⇔ -1≤x≤2 Vậy bất phuơng trình đã cho có tập nghiệm là: * Bài tập 6. Giải các PT, BPT mũ sau (tự giải) a) 36x - 3.30x +2.25x = 0 b) 3x+1 = 5x-2 c) 52x+1 - 7x+1 = 52x + 7x d) e) f) 9x - 3.6x + 2.4x > 0 g) 25x - 6.5x +5 > 0
Hy vọng với phần ôn tập về phương trình và bất phương trình mũ ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về nội dung này, mọi thắc mắc các em hãy để lại bình luận dưới bài viết để được hayhochoi.vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt. |
