Bài tập về đồng dư thức lớp 6

Chú ý: Do tài liệu trên web đều là sưu tầm từ nhiều nhiều nguồn khác nhau nên không tránh khỏi việc đăng tải nhiều tài liệu mà tác giả không muốn chia sẻ nhưng mình không biết, những ai có tài liệu trên web như vậy thì liên hệ với mình để mình gỡ xuống nhé!

Thầy cô nào có tài liệu tự làm muốn có thêm chút thu nhập nhỏ và chia sẻ tài liệu mình đến mọi người thì liên hệ mình để đưa tài liệu lên tài liệu tính phí, thầy cô nào có thể làm các khóa học về môn toán thì liên hệ với mình để làm các khóa học đưa lên web ạ!

Điện thoại: 039.373.2038 [zalo web cũng số này, các bạn có thể kết bạn, mình sẽ giúp đỡ]

Kênh Youtube: //bitly.com.vn/7tq8dm

Email:

Group Tài liệu toán đặc sắc: //bit.ly/2MtVGKW

Page Tài liệu toán học: //bit.ly/2VbEOwC

Website: //tailieumontoan.com

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu bài tập Chuyên đề đồng dư thức, tài liệu bao gồm 7 trang, tuyển chọn Chuyên đề đồng dư thức [có đáp án và lời giải chi tiết – nếu có], giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho bài thi môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Chuyên đề:  ĐỒNG DƯ THỨC 
 

A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :
I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m [ a - b ]| m hay m\[a - b] 

Ký hiệu : a≡b[mod m] được gọi là một đồng dư thức.

Điều kiện a≡0[mod m] có nghĩa là bội của a ⋮ m [a | m] hay m là ước của a [ m \a] .
Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b [mod m]

B/Áp dụng :

I.Các ví dụ :

Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia
Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20142004cho 11

Bài 2 : Tìm số dư khi chia A=19442005 cho 7

Bài 3 : Chứng minh rằng các số A=61000-1 và B=61001+1 đều là bội số của 7 

Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia 15325-1 cho 9

Bài 5 : Chứng minh rằng A=7.52n+12.6n  chia hết cho 19

Bài 6 :  Tìm dư trong phép chia 32003 cho 13.

Trang 1

Trang 2

Trang 3

Trang 4

Trang 5

Trang 6

Trang 7

Nhóm thuvientoan.net xin gửi đến các bạn đọc tài liệu Chuyên đề đồng dư thức. Tài liệu gồm 15 trang tuyển chọn lý thuyết và bài tập về chủ đề này. Nội dung cụ thể bao gồm:

1. Dạng toán tìm số dư trong phép chia có dư

Ví dụ 1. a] Tìm số dư trong phép chia 15325 – 1 cho 9.
              b] Tìm số dư trong phép chia 20162018+ 2 cho 5.

2. Dạng toán chứng minh sự chia hết:

Ví dụ 4. Chứng minh 42018 – 7 chia hết cho 9

3. Dạng toán xác định dấu hiệu chia hết

4. Dạng toán sử dụng các định lý

C. Bài tập vận dụng

....

Nhóm thuvientoan.net hy vọng với tài liệu Chuyên đề đồng dư thức sẽ giúp ích được cho các bạn đọc và được đồng hành cùng các bạn, cảm ơn!

Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: //bit.ly/3g8i4Dt.

Xem thêm

- Gắn hệ tọa độ Oxyz để giải các bài toán hình học không gian

- Chuyên đề giao động điều hòa

THEO THUVIENTOAN.NET

A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản :

I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m [ a - b ]| m hay m\[a - b]

Ký hiệu : a ≡ b [mod m] được gọi là một đồng dư thức.

Ví dụ : 3 ≡ - 1 [mod 4]

 5 ≡ 17 [mod 6]

18 ≡ 0 [mod 6]

Điều kiện a ≡ 0 [mod m] có nghĩa là bội của a m [a | m] hay m là ước của a [ m \ a] .

Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b [mod m]

II/ Các tính chất cơ bản :

1] Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a [mod m]

2] a ≡ b [mod m] => b ≡ a [mod m]

3] a ≡ b [mod m] và b ≡ c [mod m] => a ≡ c [mod m]

 *Chứng minh : Ta có : a ≡ b [mod m] => a - b m [m \ [a - b]

 và b ≡ c [mod m] => b - c m [m \ [b - c]

Vì a - c = [a - b] + [b - c] => a - c m [tính chất chia hết của tổng] hay

 a ≡ c [mod m].

4] ] a ≡ b [mod m] và c ≡ d [mod m] => a + c ≡ b + d [mod m]

*Chứng minh :

Ta có : a ≡ b [mod m] => a - b m => a - b = m.q1 [với q1 Z] [1]

 c ≡ d [mod m] => c - d m => c - d = m.q2 [với q2  Z] [2]

 Cộng [1] và [2] vế theo vế ta được : [a - b] + [c - d] = m.[q1 + q2]

[a + c] - [b + d] = m.[q1 + q2] => [a + c] - [b + d] m

Hay a + c ≡ b + d [mod m]

Hệ quả : a1 ≡ b1 [mod m] , a2 ≡ b2 [mod m] , . , an ≡ bn [mod m]

=> a1 + a2 + a3 + . + an ≡ b1 + b2 + b3 + . + bn[mod m]

5] a ≡ b [mod m] và c ≡ d [mod m] => a.c ≡ b.d [mod m]

*Chứng minh :

Ta có : a - b = m.q1 = > a = b + m.q1 [với q1 Z] [1]

 c - d = m.q2 => c = d + m.q2 [với q2  Z] [2]

Nhân [1] và [2] vế theo vế ta được : a.c = [b + m.q1][d + m.q2]

ac = bd + bmq2 + dmq1 + m2q1q2 ac - bd = m[bq2 + dq1 + mq1q2]

=> ac - bd m => ac ≡ bd [mod m].

Hệ quả : a] a1 ≡ b1 [mod m] , a2 ≡ b2 [mod m] , . , an ≡ bn [mod m]

=> a1.a2.a3. . .an ≡ b1.b2.b3. . .bn[mod m]

 b] a ≡ b [mod m] => an ≡ bn [mod m] - với mọi n  N

+Nhận xét :

a] * a ≡ 1 [mod 2] và b ≡ 1 [mod 2] => a + b ≡ 2 [mod 2]

Mà 2 ≡ 0 [mod 2] => a + b ≡ 0 [mod 2]

 * a ≡ 1 [mod 2] và b ≡ 1 [mod 2] => a.b ≡ 1[mod 2]

Bạn đang xem tài liệu "Tài liệu bồi dưỡng Số học Lớp 6 - Đồng dư thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Chuyên đề ĐỒNG DƯ THỨC A.Tóm tắt các kiến thức cơ bản : I/Định nghĩa : Cho m là số nguyên dương. Hai số nguyên a và b được gọi đồng với nhau theo module m, nếu a - b chia hết cho m [ a - b ]| m hay m\[a - b] Ký hiệu : a ≡ b [mod m] được gọi là một đồng dư thức. Ví dụ : 3 ≡ - 1 [mod 4] 5 ≡ 17 [mod 6] 18 ≡ 0 [mod 6] Điều kiện a ≡ 0 [mod m] có nghĩa là bội của a m [a | m] hay m là ước của a [ m \ a] . Nếu a - b không chia hết cho m, ta viết a ≡ b [mod m] II/ Các tính chất cơ bản : 1] Với mọi số nguyên a, ta có a ≡ a [mod m] 2] a ≡ b [mod m] => b ≡ a [mod m] 3] a ≡ b [mod m] và b ≡ c [mod m] => a ≡ c [mod m] *Chứng minh : Ta có : a ≡ b [mod m] => a - b m [m \ [a - b] và b ≡ c [mod m] => b - c m [m \ [b - c] Vì a - c = [a - b] + [b - c] => a - c m [tính chất chia hết của tổng] hay a ≡ c [mod m]. 4] ] a ≡ b [mod m] và c ≡ d [mod m] => a + c ≡ b + d [mod m] *Chứng minh : Ta có : a ≡ b [mod m] => a - b m => a - b = m.q1 [với q1Î Z] [1] c ≡ d [mod m] => c - d m => c - d = m.q2 [với q2 Î Z] [2] Cộng [1] và [2] vế theo vế ta được : [a - b] + [c - d] = m.[q1 + q2] [a + c] - [b + d] = m.[q1 + q2] => [a + c] - [b + d] m Hay a + c ≡ b + d [mod m] Hệ quả : a1 ≡ b1 [mod m] , a2 ≡ b2 [mod m] , ... , an ≡ bn [mod m] => a1 + a2 + a3 + ... + an ≡ b1 + b2 + b3 + ... + bn[mod m] 5] a ≡ b [mod m] và c ≡ d [mod m] => a.c ≡ b.d [mod m] *Chứng minh : Ta có : a - b = m.q1 = > a = b + m.q1 [với q1Î Z] [1] c - d = m.q2 => c = d + m.q2 [với q2 Î Z] [2] Nhân [1] và [2] vế theo vế ta được : a.c = [b + m.q1][d + m.q2] ac = bd + bmq2 + dmq1 + m2q1q2 ac - bd = m[bq2 + dq1 + mq1q2] => ac - bd m => ac ≡ bd [mod m]. Hệ quả : a] a1 ≡ b1 [mod m] , a2 ≡ b2 [mod m] , ... , an ≡ bn [mod m] => a1.a2.a3. ... .an ≡ b1.b2.b3. ... .bn[mod m] b] a ≡ b [mod m] => an ≡ bn [mod m] - với mọi n Î N +Nhận xét : a] * a ≡ 1 [mod 2] và b ≡ 1 [mod 2] => a + b ≡ 2 [mod 2] Mà 2 ≡ 0 [mod 2] => a + b ≡ 0 [mod 2] * a ≡ 1 [mod 2] và b ≡ 1 [mod 2] => a.b ≡ 1[mod 2] Điều này có nghĩa : Tổng của hai số lẻ là một số chẵn, tích của hai số lẻ là một số lẻ. b]a ≡ 3 [mod 7] => a2 ≡ 9 [mod 7] ≡ 2 [mod 2] Điều này có nghĩa : Nếu một số chia 7 dư 3 thì bình phương số đó chia 7 dư 2. +Chú ý : a]Không được chia hai vế của một đồng dư thức . Ví dụ : * 2 ≡ 12 [mod 10] nhưng 1 ≡ 6 [mod 10]. b] a ≡ 0 [mod m] và b ≡ 0 [mod m], nhưng a.b có thể đồng dư với 0 theo module m. Ví dụ : 2 ≡ 0 [mod 10] và 5 ≡ 0 [mod 10], nhưng 2.5 = 10 ≡ 10 [mod 10]. Như vậy để phép chia hai vế của đồng thức đòi hỏi phải kèm theo một số điều kiện . 6] Nếu a ≡ b [mod m] và d là ước chung của a, b sao cho [d, m] = 1 thì : a : d ≡ b : d [mod m] [ ≡ [mod m] ] *Chứng minh : Ta có a ≡ b [mod m] => a - b m => a - b = mq [1] Chia hai vế của [1] cho d [ vì d là ước chung của a, b => d ≠ 0] = - = là số nguyên [vì d là ước của a, b. Do đó - là số nguyên]. => mq d , mà [d, m] = 1 => q d Vậy - m hay ≡ [mod m] 7]Nếu a ≡ b [mod m] và d là số nguyên là ước chung của ba số a, b, m thì ≡ [mod ] *Chứng minh : Vì Nếu a ≡ b [mod m] => a - b m => a - b = mq [1] Và d là ước chung của a, b, m => d ≠ 0. Chia cả hai về [1] cho d = - = .q => - hay là ước của - Vậy : ≡ [mod ] 8]Nếu a ≡ r [mod m] với 0 ≤ r < m , thì r chính là số dư trong phép chia a cho m. Chứng minh : Ta có a ≡ r [mod m] => a - r = m.q => a = m.q + r [với 0 ≤ r < m] B/Áp dụng : I.Các ví dụ : Dạng 1 : Tìm số dư của phép chia Bài 1 : Tìm số dư trong phép chia 20042004 cho 11 Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 : Một số được gọi là chia hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa các tổng chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn kể từ trái sang phải chia hết cho 11. Ví dụ : Xét xem số 5016 có chia hết cho 11 ? Ta có [5 + 1] - [0 + 6] = 0. Vì 0 11 = > 5016 11 Giải : Ta có 2002 11 => 2004 - 2 11 => 2004 ≡ 2 [mod 11] => 20042004 ≡ 22004 [mod 11] , mà 210 ≡ 1 [mod 11] [vì 1024 - 1 11] => 20042004 = 24.22000 = 24.[210]200 ≡ 24 ≡ 5 [mod 11] Vậy 20042004 chia 11 dư 5. Bài 2 : Tìm số dư khi chia A = 19442005 cho 7 Giải : Ta có : 1944 ≡ -2 [mod 7] => 19442005 ≡ [-2]2005 [mod 7] Mà [-2]3 ≡ - 1 [mod 7] => [-23]668 ≡ 1668 [mod 7] hay [-23]668 ≡ 1 [mod 7] => [-23]668.[-2] ≡ - 2 [mod 7] hay [-2]2005 ≡ - 2 [mod 7] Vậy 19442005 cho 7 dư 5. Bài 3 : Chứng minh rằng các số A = 61000 - 1 và B = 61001 + 1 đều là bội số của 7 Giải : Ta có 6 ≡ - 1 [mod 7] => 61000 ≡ 1 [mod 7] => 61000 - 1 7 Vậy A là bội của 7 Từ 61000 ≡ 1 [mod 7] => 61001 ≡ 6 [mod 7] , mà 6 ≡ - 1 [mod 7] => 61001 ≡ -1 [mod 7] => 61001 + 1 7 Vậy B là bội của 7 Bài 4 : Tìm số dư trong phép chia 15325 - 1 cho 9 Giải : Ta có 1532 ≡ 2 [mod 9] => 15325 ≡ 25 [mod 9] , mà 25 ≡ 5 [mod 9] => 15325 ≡ 5 [mod 9] => 15325 - 1 ≡ 4[mod 9] Vậy 15325 - 1 chia cho 9 dư là 4. Bài 5 : Chứng minh rằng A = 7.52n + 12.6n chia hết cho 19 Giải : Ta có A = A = 7.52n + 12.6n = A = 7.25n + 12.6n Vì 25 ≡ 6 [mod 19] => 25n ≡ 6n [mod 19] =>7.25n ≡ 7.6n [mod 19] => 7.25n + 12.6n ≡ 7.6n + 12.6n ≡ 19.6n ≡ 0 [mod 19] . Điều này chứng tỏ A chia hết cho 19. Bài 6 : Tìm dư trong phép chia 32003 cho 13. Giải : Ta có 33 ≡ 1 [mod 13] mà 2003 = 3.667 + 2 => 32003 = [33]667. 32 33 ≡ 1 => [33]667 ≡ 1667 => [33]667. 32 ≡ 1.32 [mod 13] [33]667. 32 ≡ 9 => 32003 ≡ 9 [mod 13]. Vậy 32003 chia cho 13 dư 9 . Bai 7 : Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31 Giải : Ta có 25 ≡ 1 [mod 31] , mà 2002 = 5.400 + 2 Nên 22002 = [25]400 .22 Vì 25 ≡ 1 [mod 31] => [25]400 ≡ 1400 [mod 31] => [25]400.22 ≡ 1.22 [mod 31] => 22002 ≡ 4 [mod 31] => 22002 - 4 chia hết cho 31 Bài 8 : Chứng minh rằng : 22225555 + 55552222 chia hết cho 7 Giải : Ta có 2222 + 4 7 => 2222 ≡ - 4 [mod 7] => 22225555 ≡ [- 4]5555[mod 7] 5555 - 4 7 => 5555 ≡ 4 [mod 7] => 55552222 ≡ 42222 [mod 7] => 22225555 + 55552222 ≡ [- 4]5555 + 42222 [mod 7] Mà 42222 = [-4]2222 => [- 4]5555 + 42222 = [-4]2222. 43333 + 42222 = [-4]2222. 43333 - [- 4]2222 = [-4]2222[43333 - 1] ≡ [43] - 1[mod 7] [1] Ta lại có : 43 ≡ 1[mod 7] => 43 - 1= 63 7 => 43 - 1 ≡ 0 [mod 7] [2] Nên [- 4]5555 + 42222 ≡ 0 [mod 7] Từ [1] và [2] => 22225555 + 55552222 chia hết cho 7. Bài 9 : Tìm dư trong phép chia 570 + 750 cho 12 Giải : Ta có 52 ≡ 1[mod 12] => [52]35 ≡ 1 [mod 12] hay 570 ≡ 1[mod 12] [1] 72 ≡ 2 [mod 12] => [72]25 ≡ 1[mod 12] hay 750 ≡ 1[mod 12] [2] Từ [1] và [2] => 570 + 750 chia cho 12 dư 2. Bài 10 : Tìm số dư của A = 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 và khi chia cho 5? Giải : +Ta có 776 ≡ - 1[mod 3] => 776776 ≡ -1[mod 3] => 776776 ≡ 1 [mod 3] 777 ≡ 0 [mod 3] => 777777 ≡ 0 [mod 3] 778 ≡ 1 [mod 3] => 778778≡ 1 [mod 3] => 776776 + 777777 + 778778 khi chia cho 3 dư 2. +Ta có 776 ≡ 1 [mod 5] => 776776 ≡ 1 [mod 5] 777 ≡ - 3 [mod 5] => 777777 ≡ - 3777 [mod 5] 778 ≡ 3 [mod 5] => 778778 ≡ 3778 [mod 5] => 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 - 3777 + 3778 [mod 5] Hay 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3.3777 - 3777 [mod 5] 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 3777[3 - 1] [mod 5] 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3777 Mà 32 ≡ - 1[mod 3] => [32]388.3 ≡ 3 [mod 5] Vậy A = 776776 + 777777 + 778778 ≡ 1 + 2.3 ≡ 2 [mod 5] Vậy A chia cho 5 dư 2. Bài 11 : Tìm số dư của A = 32005 + 42005 khi chia cho 11 và khi chia cho 13 ? Giải : +Ta có : 35 ≡ 1 [mod 11] => [35]401 ≡ 1 [mod 11] Và 45 ≡ 1 [mod 11] => [45]401 ≡ 1 [mod 11] => A = 32005 + 42005 ≡ 2 [mod 11] => A chia cho 11 dư 2 +Ta có : 33 ≡ 1 [mod 13] => [33]668. 3 ≡ 1.3 [mod 13] => 32005 ≡ 3 [mod 13] Và 43 ≡ -1 [mod 13] =>[43]668 .4≡ 1.4 [mod 13] => 42005 ≡ 4 [mod 13] => A = 32005 + 42005 ≡ 7 [mod 13] => A chia cho 13 dư 7 . Bài 12 : Giả sử m là số nguyên dương. Chứng minh rằng : Nếu ac1 ≡ ac2 [mod m] và [a, m] = 1 thì c1 ≡ c2 [mod m] Giải : Ta có : ac1 ≡ ac2 [mod m] => m \ ac1 - ac2 => m \a[c1 - c2] Vì [a, m] = 1 => m \ c1 - c2 => c1 ≡ c2 [mod m] Bài 13 : Chứng minh rằng : Nếu p là một số nguyên tố và không là ước của số nguyên a thì ap - 1 ≡ 1 [mod p] Giải : Xét dãy số 1; 2; 3; ... ; p - 1. Tất cả các số này đôi một không đồng dư với nhau theo môđun p. Do đó các số a, 2a, 3a, ... ; [p - 1]a cũng đôi một không đồng dư với nhau rtheo môđun p. Bởi vì ngược lại nếu có r1a ≡ r2a [mod p] mà [a, p] = 1 => r1 ≡ r2 [mod p] - với r1, r2 là hai số nào đó của dãy số 1, 2, 3, ... , p - 1 [vô lí] Hơn nửa mõi một số của dãy a, 2a, 3a, ... , [p - 1]a đồng dư với đúng một trong các số 1, 2, 3, ... , p - 1 theo môđun p => a.2a.3a. ... .[p- 1]a ≡ 1.2.3. ... [p - 1] [mod p] hay [p - 1]!ap - 1 ≡ [p - 1]! [mod p]. Vì [p, [p - 1]!] = 1 => ap - 1 ≡ 1 [mod p] Bài 14 : Chứng minh rằng : Nếu c là số nguyên dương : a ≡ b [mod m] => ac ≡ bc [mod c.m] Giải : a ≡ b [mod m] => a - b = m.q => ac - bc = mc.q => ac ≡ bc [mod c.m] *Định lý nhỏ Fermat : Giả sử p là số nguyên tố bất kỳ, khi đó với mọi số tự nhiên n ta có np - n chia hết cho p. Giải : Ta có np - n = n[np - 1 - 1] Nếu n chia hết cho p => định lý được chứng minh. Nếu n không chia hết cho p thì [n, p] = 1, nên np - 1 ≡ 1 [mod p] =>[np - 1 - 1] chia hết cho p. Bài 15 : Bạn Thắng học sinh lớp 6A đã viết một số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó là 14. Bạn Thắng đem số đó chia cho 8 thì được số dư là 4, nhưng khi chia cho 12 thì được số dư là 3. a]Chứng minh rằng bạn Thắng đã làm sai ít nhất một phép tính chia. b]Nếu phép chia thứ nhất cho 8 là đúng thì phép chia thứ hai cho 12 có ó dư là bao nhiêu ? Hãy Tìm số bị chia. Giải : a]Gọi số đó là n = ab Vì n chia cho 8 dư 4, nên n = 8p + 4 Và n chia cho 12 dư 3, nên n = 12q + 3 => 8p + 4 = 12q + 3 [Mà 8p + 4 là số chẵn, còn 12q + 3 là số lẻ]. Do vậy bạn Thắng đã làm sai một phép chia. b]Vì a + b = 14 => ab ≡ 2 [mod 3] => 4ab ≡ 8 [mod 12] [1] Nếu ab ≡ 0 [mod 4] => 3ab ≡ 0 [mod 12] [2] Từ [1] và [2] => ab ≡ 8 [mod 12] => n chia cho 12 dư 8 Do n = 8p + 4 là số chẵn mà n = ab => b Î{0; 2; 4; 6; 8} Nếu b = 0 => a = 14 [loại - vì a là số có một chữ số khác 0] b = 2 => a = 12 [loại] b = 4 => a = 10 [loại] b = 6 => a = 8 b = 8 => a = 6 => Số cần tìm là 86 hoặc 68 => Số bị chia là 68. Dạng 2 : Tìm chữ số tận cùng của một số a]Tìm một chữ số tận cùng của an : -Nếu a có chữ số tận cùng là 0; 1; 5 hoặc 6 thì an lần lượt có chữ số tận cùng lần lượt là 0; 1; 5 hoặc 6. -Nếu a có chữ số tận cùng là 2, 3 hoặc 7, ta vận dụng nhận xét sau với k Î Z 24k ≡ 6 [mod 10] 34k ≡ 1 [mod 10] 74k ≡ 1 [mod 10] Do đó để tìm chữ số tận cùng của an với a có chữ số tận cùng là 2; 3; 7 ta lấy n chia cho 4. Giả sử n = 4k + r với r Î {0; 1; 2; 3} Nếu a ≡ 2 [mod 10] thì an ≡ 2n = 24k + r ≡ 6.2r [mod 10] Nếu a ≡ 3 [mod 10] hoặc a ≡ 7 [mod 10] thì an ≡ a4k + r ≡ ar [mod 10] Ví dụ 1 : Tìm chữ số cuối cùng của các số : a] 62009 , b] 92008 , c] 32009 , d] 22009 Giải : a] 62009 có chữ số tận cùng là 6 [vì 6 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên khác 0 vẫn bằng chính số 6] b] 92008 = [92]1004 = 811004 = 1 có chữ số tận cùng là 1 91991 = 91990.9 = [92]995.9 = 81995.9 = [1].9 = 9 có chữ số tận cùng là 9 Nhận xét : Số có chữ số tận cùng là 9 khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn khác 0 nào thì chữ số tận cùng là 1, khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên lẻ thì có số tận cùng là 9. c] 32009 = [34]502.3 = 81502.3 = [ 1].3 = 3 có chữ số tận cùng là 3. d] 22009 = 22008.2 = [24]502.2 = 16502.2 = [ 6].2 = 2 có chữ số tận cùng là 2 Ví dụ 2 : Tìm chữ số tận cùng của các số sau : a] 421 , b] 3103 , c] 84n + 1 [n Î N] d] 1423 + 2323 + 7023 Giải : a] 430 = 42.15 = [42]15 = 1615 = 6 có chữ số tận cùng là 6 421 = 420 + 1 = [42]10.4 = 1610.4 = [6].4 = 4 có chữ số tận cùng là 4 Nhận xét : Số nào có số tận cùng là 4 thì khi nâng lên luỹ thừa với số mũ tự nhiên chẵn thì có số tận cùng là 6, khi nâng lên với số mũ tự nhiên lẻ có số tận cùng là 4] b] 3103 = 3102.3 = [32]51.3 = 951.3 = [ 9].3 = 7 có chữ số tận cùng là 7 c] 84n + 1 = 84n.8 = [23]4n.8 = 212n.8 = [24]3n.8 = 163n.8 = [6].8 = . 8 có chữ số tận cùng là 8 d] 1423 = 1422.14 = [ 6].14 = . 4 2323 = 2322.23 = [232]11.23 = [ 9].23 = 7 7023 = 0 Vậy : 1423 + 2323 + 7023 = 4 + 7 + 0 = 1 có chữ số tận cùng là 1 b]Tìm hai số tận cùng của số an : Ta có nhận xét sau : 220 ≡ 76 [mod 100] 320 ≡ 01 [mod 100] 65 ≡ 76 [mod 100] 74 ≡ 01 [mod 100] Mà 76n ≡ 76 [mod 100] với n ≥ 1 5n ≡ 25 [mod 100] với n ≥ 2 Suy ra kết quả sau với k là số tự nhiên khác 0. a20k ≡ 00 [mod 100] nếu a ≡ 0 [mod 10] a20k ≡ 01 [mod 100] nếu a ≡ 1; 3; 7; 9 [mod 10] a20k ≡ 25 [mod 100] nếu a ≡ 5 [mod 10] a20k ≡ 76 [mod 100 nếu a ≡ 2; 4; 6; 8 [mod 10] Vậy để tìm hai chữ số tận cùng của an, ta lấy số mũ n chia cho 20 Bài 1 : Tìm hai chữ số tân cùng của 22003 Giải : Ta có : 220 ≡ 76 [mod 100] => 220k ≡ 76 [mod 100] Do đó : 22003 = 23.[220]100 = 8.[220]100 = [ 76].8 = 08 Vậy 22003 có hai chữ số tận cùng là 08. Bài 2 : Tìm hai chữ số tận cùng của B =