Bài tập toán mẫu tam giác đồng dạng số 1 năm 2024
Trường hợp đồng dạng số 2 : 2 tam giác có 2 cạnh tương ứng tỉ lệ với nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (cạnh – góc – cạnh)xét ∆ABC và ∆DEF, ta có các tỉ số: Show
AB/DE = AC/DF Góc BAC = góc EDF \=> Ta có thể kết luận: ∆ABC ~ ∆DEF (c – g – c) Trường hợp đồng dạng số 3 : 2 tam giác có hai góc tương ứng bằng nhau (góc – góc)xét ∆ABC và ∆DEF, ta có : Góc ABC = Góc DEF Góc BAC = Góc EDF \=> ∆ABC ~ ∆DEF (g – g) B. Các định lí đồng dạng của hai tam giác vuôngĐịnh lí của 2 tam giác vuông số 1 : (cạnh huyền – cạnh góc vuông)Nếu 2 tam giác vuông thỏa mãn điều kiện: cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác này có cùng tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông này đồng dạng với nhau. Định lí của 2 tam giác vuông số 2: (hai cạnh góc vuông)Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác này lần lượt có cùng tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. Định lí của 3 tam giác vuông số 3: (góc)Nếu một trong 2 góc nhọn của tam giác này bằng một trong 2 góc nhọn của tam giác kia thì 2 tam giác vuông đó đồng dạng với nhau. C. Một số dạng bài và phương pháp chứng minh tam giác đồng dạngDạng 1: Phương pháp chứng minh 2 tam giác đồng dạng – Sử dụng hệ thức:Bài tập số 1: Cho ∆ABC (điều kiện độ dài cạnh AB < AC), có đoạn thẳng AD là đường phân giác trong. Tại miền ngoài ∆ABC ta góc BCx = góc BAD vẽ tia Cx sao cho . Gọi điểm I là giao điểm của đường thẳng Cx và đường thẳng đi qua 2 điểm A, D. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải
ta có: Góc BCx = góc BAD (theo giả thuyết) Góc D1 = Góc D2 (đối đỉnh) \=> ∆ADB ~ ∆CDI
ta có: Góc B = Góc I (do ∆ADB đồng dạng với tam giác ∆CDI) Góc A1 = góc A2 (AD là phân giác) \=> Ta có: ∆ABD ~ ∆AIC => Vậy tỉ số AD/AC = AB/AI
Ta có: ∆ADB ~ ∆CDI => ta có AD.DI = BD.CD (2) Từ hệ quả (1) và (2) : AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD² Vậy AD² = AB.AC – BD.CD Bài 2: Cho tam giác ABC có góc A bằng 90 độ, có đường cao AH. Hãy chứng minh các hệ thức sau:
Hướng dẫn giải a.Xét hai tam giác ∆ABC và ∆ HAC, ta có: Góc BAC = góc AHC = 90 độ Góc C là góc chung \=> Vậy tam giác ∆ABC ~ ∆HAC (theo định lý g – g trong tam giác vuông) Vậy AC/HC = BC/AC \=> AC2 = CH.BC (1) Chứng minh theo phương pháp tương tự ta có : AB2 = BH.BC (2)
AB2 +AC2 = BH.BC + CH.BC = (BH + CH)BC = BC2
Góc BHC = góc AHC = 90 độ Góc ABH = góc HAC cùng phụ góc BAH \=> Vậy ta có thể kết luận ∆HBA ~ ∆HAC (theo tính chất g – g trong tam giác vuông) \=> HA/HC = HB/HA Vậy suy ra: AH2 = BH.CH
\=> HA/AB = AC/BC Vậy suy ra: HA.BC = AB.AC Dạng 2 : Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet + hai đường thẳng song songBài toán: Cho ∆ABC là tam giác nhọn. Vẽ 2 đường cao được vẽ từ các đỉnh B và C lần lượt là BD và CE. Lần lượt vẽ các đường cao DF và EG của ∆ADE. Yêu cầu:
Hướng dẫn giải
ta có : BD AC (BD là đường cao) EG AC (EG là đường cao) \=> BD // EG \=> ∆ABD ~ ∆AGE
\=> AD.AE = AB.AG (1) Chứng minh tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2) Từ dữ kiện (1) và (2) ta suy ra : AD.AE = AB.AG = AC.AF
AB.AG = AC.AF (chứng minh theo câu b) => FG // BC (theo định lí đảo talet) Dạng 3 : Phương pháp chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhauBài toán: Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Yêu cầu:
Hướng dẫn giải
Góc BEH = góc CDG = 90 độ (Theo giả thuyết) Góc H1 = góc H2 (đối đỉnh) Suy ra ta có ∆HBE ~ ∆HCD (theo tính chất g – g)
HE/HD = HB/HC (do ∆HBE ~ ∆HCD) \=> HE/HB = HD/HC Mà ta có góc EHD = góc CHB (đối đỉnh) \=> Tam giác ∆HED ~ ∆HBC (do tính chất c – g – c) \=> Góc D1 = góc C1 (1) mà : Đường cao BD và CE cắt nhau tại H (theo giả thuyết) \=> Điểm H là điểm trực tâm. => AH vuông góc BC tại M. \=> góc A1 + góc ABC = 90 độ mặt khác ta có: góc C1 + góc ABC = 90 độ (2) \=> Từ dữ kiện (1) và (2) ta có: góc A1 = D1 hay: góc HDE = góc HAE
xét ∆BCD, ta có : DB = DC (theo giả thuyết) \=> ∆BCD là tam giác cân tại D => góc B1 = góc ACB mà: góc B1 = góc E1 (do ∆HED ~ ∆HBC) \=> Góc E1 = góc ACB mà: góc A2 + góc ACB = 90 độ Góc A2 = góc E2 (chứng minh trên) \=> Góc E1 + góc E2 = 90 độ hay góc DEM = 90 độ \=> ED vuông góc với EM. Trên đây là các cách chứng minh tam giác đồng dạng mà các em học sinh cần phải nắm được. Hy vọng với bài viết trên sẽ giúp các em học sinh có thêm kiến thức cần thiết cũng như đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới. |