Bài tập mã hoa tuyến tính gx mx

Mục tiêu: Nghiên cứu giá trị của một số thăm dò trên siêu âm trong tiên lượng tình trạng thai nhi ở sản phụ bịtiền sản giật và so sánh hiệu quả của các chỉ số Doppler trong thăm dò đánh giá tình trạng sức khoẻ của thai ở thaiphụ tiền sản giật.Đối tượng và phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tiến hành trên 153 sản phụ tiền sản giật được điều trịtại Khoa Phụ Sản - Bệnh viện Trường Đại Học Y Dược Huế từ tháng 12/2012 đến tháng 2/2016, nghiên cứu tiếncứu lâm sàng.Kết quả: Tìm được giá trị điểm cắt tiên lượng thai suy và IUGR của RI ĐMTC ở tuổi thai 34 -37 tuần là 0,6, giátrị điểm cắt 2,6 của tỷ số S/D ĐMTC ở tuổi thai 34 - 37 tuần trong tiên lượng thai suy với Se 100% và Sp là 60%.Giá trị điểm cắt RI ĐMR trong tiên lượng thai suy ở tuổi thai 34 – 37 tuần tại điểm cắt là 0,64 với Se là 90,9%, ở tuổithai >37 tuần là 0,75 với Se là 100%, điểm cắt RI ĐMR trong tiên lượng IUGR ở tuổi thai 34 -37 là 0,74 và ở tuổithai > 37 tuần ở điểm cắt 0,76.Kết luận: Nghiên cứu đã sử dụng phương pháp ...

TÓM TẮT: Rút gọn thuộc tính là bài toán quan trọng trong bước tiền xử lý dữ liệu của quá trình khai phá dữ liệu và khám phá tri thức. Trong mấy năm gần đây, các nhà nghiên cứu đề xuất các phương pháp rút gọn thuộc tính trực tiếp trên bảng quyết định gốc theo tiếp cận tập thô mờ [Fuzzy Rough Set FRS] nhằm nâng cao độ chính xác mô hình phân lớp. Tuy nhiên, số lượng thuộc tính thu được theo tiếp cận FRS chưa tối ưu do ràng buộc giữa các đối tượng trong bảng quyết định chưa được xem xét đầy đủ. Trong bài báo này, chúng tôi đề xuất phương pháp rút gọn thuộc tính trực tiếp trên bảng quyết định gốc theo tiếp cận tập thô mờ trực cảm [Intuitionistic Fuzzy Rough Set IFRS] dựa trên các đề xuất mới về hàm thành viên và không thành viên. Kết quả thử nghiệm trên các bộ dữ liệu mẫu cho thấy, số lượng thuộc tính của tập rút gọn theo phương pháp đề xuất giảm đáng kể so với các phương pháp FRS và một số phương pháp IFRS khác.

Trong phần này, nhóm tác giả trình bày cụ thể và chi tiết hơn về FDI tại Việt Nam sau hơn ba thập kỷ dựa trên các tiêu chí bao gồm những sự kiện nổi bật, thực trạng và triển vọng.

Hiện nay, tại chùa Bảo Ninh Sùng Phúc [huyện Chiêm Hóa, Tuyên Quang] còn lưu giữ được tấm bia cổ duy nhất thuộc các tỉnh miền núi phía Bắc nước ta có niên đại từ thời nhà Lý. Nội dung văn bia chép về dòng họ Hà và những đóng góp của dòng họ này đối với vùng đất Vị Long nói riêng và đất nước nói chung ở thế kỷ XI - XII. Trong đó phải kể đến công lao to lớn của nhân vật lịch sử Hà Di Khánh.

Văn học Việt Nam nửa đầu thế kỉ XX được xem là giai đoạn “giao thời”, với sự đấu tranh giữa thơ Cũ và thơ Mới, giữa truyền thống và cách tân, tồn tại nhiều khuynh hướng, dòng phái khác nhau. Từ góc độ thể loại, không ít người cho đây là thời điểm thơ tự do thắng thế, thơ Đường luật nói chung bị xem là hết mùa, lỗi thời. Song vẫn còn đó một minh chứng hùng hồn cho sự hiện diện của thơ Nôm Đường luật Việt Nam ở nửa đầu thế kỉ XX, đó là Nôm Đường luật Phan Bội Châu. Bài viết trên cơ sở chỉ ra một vài đặc điểm về ngôn ngữ trong thơ Nôm Đường luật Phan Bội Châu thời kỳ ở Huế, từ đó cho thấy những đổi mới, cách tân của Phan Sào Nam trong việc sử dụng thể thơ truyền thống của dân tộc.

Malpera “Amida Kurd” [Swêd] bi Ezîz ê Cewo Mamoyan ra. Yên êzdî û êzdîtî. Li ser rêya hevhatin û yekîtîyê. Gotûbêj. Weşanên “Amida Kurd”, s. 2022. Ev berevoka gotûbêjên malpera “Amida Kurd” bi lêgerîner, nivîskar û rojnamegerê kurd Ezîz ê Cewo ra li ser mijara wan pirsgirêkan e, yên ku li ser rêya hevhatin û yekîtîya civaka netewî-ayînî ya kurdên êzdî dibin asteng. Mamosta Ezîz ê Cewo di nava goveka van gotûbêjan da bingehên wan pêvajoyên dîrokî ravedike, yên ku bûne sedemên bûyerên bobelatî û rojên reş û giran di jîyana êzdîyan da. Wisa jî pêvajoyên îroyîn û rê û rêbazên lêgerandin û berterefkirina wan pirsgirêkan tên govtûgokirin, ên ku hê jî di nava jîyana êzdîyan da rû didin… Ev weşana ji bo govekek a berfireh a xwendevanan hatye armanckirin.

• 1. I. NHÓM VÀ NHÓM CON A. LÝ THUYẾT 1. Nhóm 1.1.Định nghĩa Cho tập X khác rỗng, * là phép toán hai ngôi trong X. [X,*] được gọi là nhóm nếu: i] Mọi a,b,c∈ X, ta có a*[b*c]= [a*b]*c ii] Tồn tại phần tử Xe∈ sao cho Xx ∈ , ta có e*x = x*e = x iii] Mọi phần tử Xx ∈ luôn tồn tại Xx ∈, sao cho exxxx == ** ,, Nếu [X,*] có tính giao hoán thì X được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel. 1.2. Định lý [ về điều kiện tương đương với nhóm] Cho X là tập khác rỗng, * là phép toán hai ngôi thỏa: [a*b]*c=a*[b*c], mọi Xcba ∈., . Khi đó các phát biểu sau là tương đương: i] X là nhóm ii] Các phương trình a*x=b và x*a=b có nghiệm trong X, mọi a, b X∈ iii]Trong X có phần tử đơn vị trái và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo trái iv] Trong X có phần tử đơn vị phải và mọi phần tử trong X đều có nghịch đảo phải 1.3. Định lý Cho [X,.] là một nhóm thì ta có các khẳng định sau: i] Mỗi phần tử của X chỉ có một phần tử nghịch đảo ii] Nếu xy = xz [ yx = zx] thì y = z [luật giản ước] iii] Với mọi x, y X∈ , ta có [xy] 111 −−− = xy iv] [ x 1− ]-1 = x , với mọi Xx ∈ 2. Nhóm con 2.1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H là một tập con khác rỗng của G. Ta nói rằng H là nhóm con của G nếu H với phép toán cảm sinh của phép toán trong G là một nhóm. Kí hiệu GH ≤ . Dễ thấy tập hợp chỉ gồm một phần tử đơn vị của nhóm G lập thành một nhóm và được gọi là nhóm đơn vị . Kí hiệu là 1 hoặc {e} Nếu H G≤ , H 1≠ , H G≠ thì H được gọi là nhóm con thực sự của G. Kí hiệu GH < 2.2. Định lý [ về điều kiện tương đương với nhóm con] Cho GH ⊂ , H ≠ Ø. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i] GH ≤ ii] Mọi yx, ,H∈ thì xy H∈ và x H∈−1 iii] Mọi yx, ,H∈ ta có xy H∈−1 2.3. Định nghĩa Cho G là nhóm, GH < i] H được gọi là nhóm con tối đại của G nếu không tồn tại GN < sao cho GNH =< SH . Bài 2. Cho G là nhóm, A, B là hai tập con của G. Chứng minh rằng: a] Nếu BA ⊂ thì >>⊂>>>=>⊂∪>>=>⊂∈< , in , k∈Z, i= k,1 . Nếu Bxi ∈ , ki ,1=∀ thì >∪∈< BAx Nếu kiAxi ,1, =∀>∈< thì >∪∈< BAxi [do >∪>⊂∪∈< BAx . Nếu 1x , >∈∪∈< BAxj , với klj ,1+= [vì >∪>⊂∪⊂< BAB . Suy ra >∪∈< BAx Do đó >∪>⊂∪>>==>>=>< BA c] Ta chứng minh >>=>=1]. Đặt i k i AA 1= ∪= Suy ra >∪>=>=∪>=>>==>=∪=< = i n i n HHHH 1 21 ... và HiHk=HkHi, nkiki ,1,; =≠∀ c] Nếu G là nhóm Abel và >∪=∪=< HKKH . Thậy vậy, ta có KH khác rỗng [ do K và H khác rỗng]. Lấy k1h1, k2h2 bất kỳ thuộc KG với k1, k2 thuộc K; h1, h2 thuộc H. Khi đó [ ][ ] [ ]1 2 1 212 1 21 1 2 1 211 1 2211 −−−−−− == khhkkkkhhkhkhk . Vì GK ≤ nên Kkk ∈−1 21 . Vì GH  nên HkhhkHhh ∈∈ −−− 1 2 1 212 1 21 , . Do đó [ ][ ] KHhkhk ∈ −1 2211 . Vậy GKH ≤ Lấy x bất kỳ thuộc HK ∪ . Khi đó x thuộc K hoặc x thuộc H . Nếu x thuộc K thì KHxex ∈= [vì e H∈ ]. Nếu Hx ∈ thì KHexx ∈= [vì ]Ke ∈ . Suy ra KHx ∈ hay KHHK ⊂∪ Giả sử tồn tại M là nhóm con của G chứa HK ∪ . Lấy kh bất kỳ thuộc KH với HhKk ∈∈ , . Khi đó    ⊂∪⊂∈ ⊂∪⊂∈ MHKHh MHKKk nên Mkh∈ [ vì GM ≤ ]. Do đó MKH ⊂ Vậy >∪=< HKKH Ta chứng minh KH=HK. Thật vậy, lấy kh bất kỳ thuộc KH với HhKk ∈∈ , thì kh=khk-1 k. Vì GH  nên Hkhk ∈−1 , do đó HKkkhkkh ∈= −1 . Suy ra HKKH ⊂ . Tương tự ta được KHHK ⊂ . Vậy HK=KH . b] Ta chứng minh >∪=< = i k i k HHHH 1 21 ... [*] bằng phương pháp quy nạp theo n Với n=1 thì [*] hiển nhiên đúng Với n=2 thì [*] đúng do chứng minh trên
• 14. luôn có >∪=< = i k i k HHHH 1 21 ... , với k>1, trong đó 1,1,,,1, −==≤ kjGHkiGH ji  . Ta chứng minh >∪=< + = + i k i k HHHH 1 1 121 ... , trong đó kjGHkiGH ji ,1,,1,1; =+=≤  . Đặt i k i k HSHHHH 1 2 121 ,... + = + ∪== . Theo giả thiết quy nạp thì >=< SH . Vì GHGH ≤,1  nên theo kết quả câu a] ta có >∪>>=∪=< = i n i n HHHH 1 21 ... và kiHHHH ikki .,∀= n,1= c] Vì G là nhóm Abel và niGHi ,1, =≤ nên niGHi ,1, = . Theo kết quả câu b] thì >∪∪∪=< nn HHHHHH ...... 2121 . Vậy ta có điều phải chứng minh. Bài 4. Cho H là nhóm con chuẩn tắc của G. Chứng minh rằng nếu H và G/H hữu hạn sinh thì G là nhóm hữu hạn sinh Giải. Gọi H= < x1, x2, …, xn > ; >=< myyyHG ,...,,/ 21 . Ta chứng minh >=< mn yyyxxxG ,...,,,,...,, 2121 . Đặt >=< mn yyyxxxK ,...,,,,...,, 2121 . Lấy g bất kỳ thuộc G. Nếu Hg ∈ thì Kg ∈ [ vì KH ⊂ ] Nếu HGg ∈ thì eg ≠ và [ ] [ ] [ ] lm l mm yyyg ... 21 21= với ∈∈ lmHGy jj ,;/ Z, j = l,1 Vì thế lm l mm yyyg ...21 21= . Do đó [ ] Hyyyg lm l mm ∈ −1 21 21 . Nên [ ] kl n k nnm l mm xxxyyyg ...2121 21 1 21 = − . Suy ra lk m l mmn k nn yyyxxxg ...... 2121 2121= . Nên Kg ∈ . Do đó G = K hay G là nhóm sinh bởi tập hợp { }mn yyyxxx ,...,,,,...,, 2121 . Vậy G là nhóm hữu hạn sinh. Bài 5. Chứng minh rằng nếu H là nhóm con thực sự của G thì G = . Giải. Ta có HG G⊂ nên GHG >⊂< [ 5.1]. Lấy g bất kỳ thuộc G. Trường hợp Hg ∈ . Giả sử tồn tại x thuộc GH sao cho Hgx ∈ . Khi đó hgxHh =∈∃ : . Do đó Hhgx ∈= −1 [ do GH ≤ ] [ mâu thuẫn HGx ∈ ] . Nên HGxHgx , ∈∀∉ . Hay HGgx ∈ . Do đó >∈< HGgx . Vì thế tồn tại x’ thuộc sao cho gx= x’ . Do vậy >∈ 1, n ∈Z và [ ]1, 1n n = . Ta có [ ] 0 1 1 1 1 . .f f n nf n n n n n     = = = = ÷  ÷     với 0 1 n n f   = ÷   Như vậy n lại là ước của n1. Vô lý Vậy chỉ có một đồng cấu 0 từ nhóm cộng các số hữu tỷ Q và nhóm cộng các số nguyên Z, Q không đẳng cấu với Z nên Q không là một nhóm xiclic [ bài 3 ] Bài 11. Tìm tất cả các đồng cấu từ a] Z6 đến Z18 b] Z18 đến Z6 c] Một nhóm xiclic cấp n đến chính nó d] Một nhóm xiclic cấp n đến một nhóm xiclic vô hạn Giải. Ta có mỗi đồng cấu f : Zn → Zm hoàn toàn được xác định bởi [ ] kf =1 [ tức [ ] kxxf = ] Theo bài 6 thì f là đồng cấu khi và chỉ khi mkn . Bởi vậy ta có a] Mỗi đồng cấu f : Z6 → Z18 hoàn toàn xác định bởi kf =]1[ với 180 =∈< Sg . Vậy >=< SG . Bài 14. Chứng minh rằng : a] Ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. b]Nhóm thương của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. Giải. a] Cho G là nhóm hữu hạn sinh với tập sinh là S, G’ là nhóm và ' : GGf → là đồng cấu. Ta chứng minh = Imf. Thật vậy, Imf khác rỗng vì fe Im∈ . Lấy 21, yy bất kỳ thuộc Imf. Khi đó [ ] [ ]221121 ;:. xfyxfyGxx ==∈∃ . Do đó [ ] [ ][ ] fxfxfyy Im 1 21 1 21 ∈= −− . Nên ' Im Gf ≤ Lấy y bất kỳ thuộc f[S] thì [ ]xfySx =∈∃ : . Do đó fy Im∈ , vì thế [ ] fSf Im⊂ . Giả sử tồn tại ' GH ≤ chứa f[S] . Lấy y bất kỳ thuộc Imf thì tồn tại x thuộc G sao cho y = f[x]. Vì Gx ∈ nên kn k nn xxxx ...21 21= , với ∈∈ ii nkSx ,; Z, i= k,1 . Do đó [ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ] Hxfxfxfxfy kn k nn ∈== ...21 21 [ GH ≤ và [ ] [ ] ]HSfxf i ⊂∈ . Nên Imf H⊂ . Vì thế >=< ][Im Sff . Vậy ảnh đồng cấu của nhóm hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh. b] Cho G là nhóm, GH  . Xét toàn cấu chính tắc HGG /: →π xx  Theo chứng minh trên thì [ ] >>==< ii SG , với { } nixxxS iimiii ,1,,, 21 == . Ta chứng minh =G >==∈< Sx Do đó G = . Vậy i n i G 1= Π =. D] MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1] Các phát biểu sau là đúng hay sai:
• 30. bất kỳ G, G, luôn tồn tại đồng cấu từ G và G, . b] Mọi đồng cấu nhóm là đơn cấu khi và chỉ khi hạt nhân của nó chỉ chứa phần tử đơn vị. c] Một đồng cấu nhóm có thể có hạt nhân là tập rỗng. d] Tồn tại duy nhất đồng cấu từ Z7 → Z12. e] Có tất cả bốn đồng cấu từ Z3 → Z12 f] Với X, Y là 2 nhóm xiclic cấp m, n [ ]m n≠ tồn tại đẳng cấu nhóm từ X vào Y. g] Nhóm cộng các số hữu tỷ Q là một nhóm xiclic. h] Cho :f X Y→ là đồng cấu nhóm, và X = a . Khi đó f[x] có thể không là nhóm xiclic. 2] Cho G là nhóm và :f G G G× → [ g1, g2 ]  g1 g2 Chứng minh rằng f là đồng cấu nhóm khi và chỉ khi G là nhóm Abel. 3] Chứng minh rằng nếu A là một nhóm con chuẩn tắc của X thì tồn tại một song ánh từ tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X chứa A đến tập hợp các nhóm con chuẩn tắc của X/A. 4] Cho G là nhóm và 35G = . Chứng minh rằng G≅ Z35 5] Cho :f X Y→ là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và A là nhóm con của X. Chứng minh rằng [ ]1 f f A AB− =   , với erB K f= . 6] Cho :f X Y→ là đồng cấu từ nhóm X đến nhóm Y và 15A = . Chứng minh rằng [ ], erX Y K f⊆ CHƯƠNG IV. ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ NHÓM GIẢI ĐƯỢC A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Cho G là nhóm, H ≤ G, a ∈ G [i] Tập Ha ={ ha|h∈H } được gọi là lớp ghép phải của a đối với nhóm con H [ii] Tập aH ={ah| h∈H } được gọi là lớp ghép trái của a đối với nhóm con H Nhận xét. Cho G là nhóm, H ≤ G. Khi đó, mọi a ∈ G, ta có |aH| = |Ha| = |H| [ ở đây ta hiểu |aH| là lực lượng của tập aH ]
• 31. X là nhóm và H ≤ X, số các lớp ghép trái [ hoặc phải ] của x theo nhóm con H được gọi là chỉ số của H trong X, kí hiệu [ ]:X H 3. Định lý Lagrange Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn X. Khi đó H là ước của X và [ ]:X H = X H 4. Công thức lớp X là hữu hạn, khi đó: X = [ ]Z X + i I∈ ∑ [ ][ ]iX C x , [ ]ix Z X∉ Chú ý. Cho X là nhóm. Khi đó [i] Nếu H ≤ X thì X = H . [ ]:X H , [ X tùy ý ] [ii] Nếu X- hữu hạn, H X thì /X H = X H [iii] Nếu X- hữu hạn, khi đó∀ x ∈X, x là ước của X 5. Định nghĩa Giả sử X là nhóm, khi đó: [i] Nếu x X∈ có số nguyên dương m sao cho xm =e thì m được gọi là số mũ của x. [ii] Số nguyên dương m được gọi là số mũ của nhóm X nếu m là số nguyên dương sao cho xm = e, mọi x thuộc X iii] Cho p là một số nguyên tố. Nhóm X được gọi là nhóm strictly p-closed nếu tồn tại duy nhất H là p-nhóm con Sylow của G và G/H là nhóm giao hoán với số mũ là ước của p-1 6. Mệnh đề Cấp của nhóm hữu hạn X là một số mũ của nó. 7. Định nghĩa Giả sử p là số nguyên tố, khi đó: [i] Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p. [ii] Nhóm H được gọi là p- nhóm con của nhóm X nếu H ≤ X và H là p- nhóm. [iii] Nhóm H được gọi là p- nhóm con Sylow của nhóm X nếu H là p- nhóm con của X và H = pn là lũy thừa cao nhất của p chia hết X 8. Tính chất. [i] Giả sử X là nhóm Abel, hữu hạn cấp m và p là số nguyên tố chia hết cho m. Khi đó X có chứa một nhóm con cấp p. [ii] [ Định lý Sylow 1 ] Giả sử X là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố chia hết cho X . Khi đó luôn luôn tồn tại p- nhóm Sylow của X. [iii] [ Hệ quả Cauchy ] Nếu số nguyên tố p chia hết cấp của nhóm hữu hạn X thì trong X sẽ tồn tại phần tử cấp p. iv] [ Định lý Sylow 2 ] Giả sử X là nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố của X . Khi đó: • Mọi p- nhóm con H của X đều nằm trong p-nhóm con Sylow nào đó của X • Nếu 1 2,P P là p-nhóm con sylow của X chúng liên hợp với nhau, tức là ∃ x ∈ X sao cho P2 = x. P1. x-1 [ P1 =xP2x-1 ]. • Nếu r là số các p- nhóm con Sylow của X thì r ≡ 1 [ mod p ], r X
• 32. m, p ] = 1, p nguyên tố, khi đó số p- nhóm con Sylow của X là ước của m. [vi] Nếu H là p- nhóm con Sylow cấp t duy nhất của X thì H  X. [vii] Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu G có đúng một p- nhóm con Sylow với mỗi p là ước nguyên tố của G thì G là tích trực tiếp của các p- nhóm con Sylow của nó. 9. Định nghĩa. Cho dãy các nhóm con của nhóm G 0 1 11 ... n nG G G G G−= ≤ ≤ ≤ ≤ = [*] sao cho [ ]1 0, 1i iG G i n+ ∀ = − . Dãy [*] được gọi là dãy chuẩn tắc của G và kí hiệu là 0 1 11 ... n nG G G G G−= =    Với [*] là dãy chuẩn tắc của G, khi đó i] Số n đựoc gọi là độ dài của chuỗi ii] Các [ ]0,iG i n∀ = được gọi là các số hạng của dãy iii] Các nhóm thương [ ]1 / 0, 1i iG G i n+ ∀ = − được gọi là các nhân tử của dãy 10. Định nghĩa. i] Dãy chuẩn tắc của G được gọi là dãy Abel nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm giao hoán. ii] Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy xiclic nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm xiclic iii] Dãy chuẩn tắc của nhóm G được gọi là dãy hợp thành nếu tất cả các nhân tử của dãy đều là nhóm đơn. 11. Định nghĩa. i] Cho G là nhóm, H G H được gọi là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G nếu H 1 ⇒ H K∩ = 3 [ đều này không thể vì H∩ K ≤ H, H∩ K  K và H K∩ = H nên H∩ K = H nên H⊂ K ⇒ H ≤ K mà H không là ước của K ] Ta có HK = H K H K∩ = 15 = X Mặt khác HK⊂ X ⇒ HK = X [2] Ta có H, K là nhóm xiclic [ có cấp nguyên tố ] và [ H , K ] = 1 nên HK = X là nhóm xyclic Vậy X là nhóm Abel Bài 5. Cho G là nhóm hữu hạn, H G. a] Chứng minh rằng nếu H, G/H là p- nhóm thì G là p- nhóm b]Chứng minh rằng nếu H là p- nhóm, G là p- nhóm thì G/H là p- nhóm Giải . a] Ta có /G H = G H = pk [ do G/H là p-nhóm ] ⇒ G = pk H = pk pl = pk+l [ H là p- nhóm ] ⇒ G là p- nhóm.
• 35. là p- nhóm, H là p- nhóm Ta có G = pm H = pn [ H < G, m ≥ n ], p nguyên tố ⇒ / m m n n G p G H p H p − = = = ⇒ G/H là p- nhóm Bài 6. a] Chứng minh rằng nếu nhóm X≠ { }e là p- nhóm hữu hạn thì { }[ ]Z X e≠ b] Chứng minh rằng mọi p- nhóm đều là nhóm giải được. Giải . a] Xét công thức lớp: [ ][ ] : [ ] i i I i X Z X X C x x Z X ∈ = +    ∉ ∑ Do [ ]ix Z X∉ , tức : i ix X x x xx∃ ∈ ≠ Do đó [ ]iC x là nhóm con thực sự của nhóm X. Do X là p- nhóm nên [ 1]X pα α= ≥ [ ]iC x là nhóm con thực sự của nhóm X nên [ ]iC x X ⇒ [ ] [ ] [ ] : i i i X p X C x C x C x α = =   là lũy thừa của p ⇒ [ ]Z X là một bội của p Do đó [ ]Z X { }e≠ b] Gọi X là p- nhóm và n X p= với n là số tự nhiên. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 0, 1 n = 0 thì { }X e= là nhóm Abel nên X là nhóm giải được với chuỗi giải được là X { }e≥ n = 1 thì X p= ⇒ X là nhóm xiclic nên X là nhóm Abel, do đó X là nhóm giải được Giả sử định lý đúng cho mọi nhóm cấp pk [1 ]k n〈 〈 xét tâm giao hoán Z[X] của X . Theo định lý Lagrange thì tồn tại số tự nhiên r≤ n để [ ] r Z X p= . Theo a thì Z[X] khác { }e nên r≠ 0 Vì thế / [ ] [ ] n rX X Z X p Z X − = = [ X hữu hạn, Z[X]< X ] Do giả thuyết quy nạp nên X/Z[X] là nhóm giải được. Theo bài 4 thì X là nhóm giải được Bài 7. a] Chứng minh rằng nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z[X] không phải là nhóm xiclic. b] Chứng minh rằng mọi nhóm cấp p2 đều là nhóm Abel với p là số nguyên tố. Giải . a] Giả sử X/Z[X] là nhóm xiclic ⇒ ∃ z0 ∈ X, X/Z[X] = oz Mọi x, y ∈ X, tồn tại k, m ∈ Z sao cho 0 0 k k x z z= = , 0 0 m m y z z= = . Suy ra tồn tại z1, z2 ∈ Z[X] sao cho x = z k 0 z1, y = z m 0 z2
• 36. ]0 1 0 2 0 1 0 2 k m k m xy z z z z z z z z= = = [ ][ ]0 0 1 2 0 0 1 2 0 2 0 1 yxk m m k m k z z z z z z z z z z z z= = = Do đó X là nhóm Abel Vậy nếu X không phải là nhóm Abel thì X/Z[X] không thể là nhóm xiclic b] Giả sử 2 G p= p là số nguyên tố Ta có 2 G p= là p- nhóm theo 6a] thì Z[G] ≠ {e}. Do đó [ ]Z G p= hoặc 2 [ ]Z G p= Nếu Z[G] = p ⇒ 2 / [ ] [ ] G p G Z G p Z G p = = = ⇒ G/Z[G] là nhóm xiclic ⇒ G là nhóm Abel 7a] Nếu 2 [ ]Z G p= ⇒ / [ ] 1 / [ ] [ ] G G Z G G Z G Z G = = ⇒ là nhóm xiclic ⇒ G là nhóm Abel Bài 8. Nếu nhóm X khác { }e không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X được gọi là nhóm đơn. Chứng minh rằng nhóm giải được là nhóm đơn khi và chỉ khi nó là nhóm giải được cấp nguyên tố. Giải. [ ]⇒ Giả sử X là nhóm đơn giải được với dãy Abel là: { }0 1 ... nX X X X e= ≥ ≥ ≥ = Không mất tính tổng quát giả sử 1i iX X +≠ với mọi i= n,1 Do 1X X< , nhưng X là nhóm đơn và 1X X= nên { }1X e= . Vì X giải được nên 0 1/X X X= Abel. Do đó nếu H là nhóm con của X thì H cũng là nhóm con chuẩn tắc của X. Mà X chỉ có hai nhóm con chính tắc tầm thường { }e và X nên X chỉ có hai nhóm con tầm thường. Thật vậy, nếu X có thêm một nhóm con khác X và { }e là K thì K cũng là nhóm con chuẩn tắc của X trái giả thiết X là nhóm đơn. Theo bài 8 chương II thì X là nhóm xiclic cấp nguyên tố nên X là nhóm giải được cấp nguyên tố. [ ]⇐ Giả sử X là nhóm giải được cấp nguyên tố thì { }X e≠ ; X chỉ có hai nhóm con X và{ }e nên X không có nhóm con chuẩn tắc nào ngoài X và { }e . Do đó X là nhóm đơn. Vậy X là nhóm đơn giải được Bài 9. Chứng minh rằng H, K là nhóm giải được thì H K× là nhóm giải được. Giải. H là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được: { }0 1 ... nH H H H e= ≥ ≥ ≥ = K là nhóm giải được nên ta có chuỗi giải được : { }0 1 ... mK K K K e= ≥ ≥ ≥ = Không mất tính tổng quát giả sử n m〉 { } { }0 1 1... ...m m nK K K K e K K e+= ≥ ≥ ≥ ≥ = ≥ ≥ = { }0 0 1 1 ... ,n n H KH K H K H K H K e e× = × ≥ × ≥ ≥ × =
• 37. 1 1i i i iH K H K− −× ×< và 1 1 /i i i iH K H K− −× × là nhóm Abel Thật vậy, mọi 1 1[ , ] i iz x y H K− −= ∈ × , 1 2[ , ] i il l l H K= ∈ × , với 1 1 1 2, , ,i i i ix H y K l H l K− −∈ ∈ ∈ ∈ Vì H giải được nên 1 1 ixl x H− ∈ K giải được nên 1 2 iyl y K− ∈ Ta có 1 1 1 1 2[ , ][ , ][ , ]zlz x y l l x y− − − = 1 1 1 2[ , ] i ixl x yl y H K− − = ∈ × Do đó 1 1i i i iH K H K− −× ×< Mọi 1 2 1 2 1 1[ , ], [ , ] i im x x n y y H K− −= = ∈ × Ta có 122111 ,,, −− ∈∈ ii KyxHyx Do H giải được nên 1 1 1 1 1 1 ix y x y H− − ∈ [ 1,i n= ] K giải được nên 1 1 2 2 2 2 ix y x y K− − ∈ [ 1,i n= ] Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2[ , ][ , ]mnm n x y x y x y x y− − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2[ , y x ] i ix y x y x y H K− − − − = ∈ × Do đó 1 1 /i i i iH K H K− −× × là nhóm Abel Vậy H K× là nhóm giải được Bài 10. a] Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 6 đều giải được b] Hỏi mọi nhóm cấp pq với pq là các số nguyên tố có phải là nhóm giải được không ? Tại sao ? Giải . a] 2.3X = ⇒ Trong X tồn tại 3-nhóm con Sylow Gọi r là số 3-nhóm con Sylow [mod3] 1 2 r r r ≡ ⇒ ⇒ =  ⇒ Trong X tồn tại duy nhất 3-nhóm con Sylow H do đó , 3H X H =< , / 2 X X H H = = Vậy H giải được, /X H giải được do đó X giải được b] Với 2 p q X p X= ⇒ = ⇒ giải được. Không mất tính tổng quát giả sử p > q Khi đó theo định lý Sylow thì trong X tồn tại q – nhóm con Sylow Gọi r là số q – nhóm con Sylow Khi đó 1[mod ] 1 r q r r p ≡ ⇒ =  [ ]q p〉 ⇒ Tồn tại duy nhất q – nhóm con Sylow H nên ,H X H q=< , / X pq X H p H q = = = Nên H, X/H là nhóm giải được do đó X là nhóm giải được. Bài 11. Chứng minh rằng mọi cấp 30 đều giải được Giải. Ta có 30 2.3.5X = = ⇒ Trong X tồn tại 5-nhóm con Sylow Gọi r là số 5-nhóm con Sylow, theo định lý Sylow
• 38. r r r ≡ = ⇒  =  • r = 1, khi đó trong X tồn tại duy nhất 5-nhóm con Sylow H 5, =⇒ HXH < nên H giải được. Mặt khác / X X H H = = 6 ⇒ X/H giải được Vậy X giải được • r = 6, khi đó trong X có 6 nhóm 5-nhóm con Sylow ⇒ Tập hợp 6 nhóm 5-nhóm con Sylow có 25 phần tử [mỗi nhóm có 5 phần tử, trong mỗi nhóm đều có chung phần tử đơn vị và mỗi nhóm đều là nhóm xiclic [ do cấp nguyên tố ] nên ngoài phân tử đơn vị các phần tử ở mỗi nhóm là khác nhau nên bất kỳ 2 nhóm 5-nhóm con Sylow có chung một phần tử khác ngoài đơn vị thì chúng phải trùng nhau ] Do X = 2.3.5 nên trong X tồn tại 3-nhóm con Sylow Gọi t là số 3- nhóm con Sylow [ ]    = = ⇒    ≡ ⇒ 10 1 10 3mod1 t t t t Với t =10 loại do trong X không có đủ phần tử ⇒ t = 1 Vậy tồn tại 3-nhóm con Sylow K trong X ⇒ , 3K X K =< nên K giải được. Mặt khác, / 10 2.5 X X K K = = = ⇒ X/K giải được Vậy X/K giải được và K giải được nên X giải được Vậy mọi nhóm cấp 30 đều giải được . Bài 12. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp pqr với p, q, r là các số nguyên tố r 〉 pq đều là nhóm giải được. Giải . Ta có X pqr= ⇒ Trong X tồn tại r –nhóm con Sylow Gọi a là số r –nhóm con Sylow. 1[mod ]a r a pq ≡ ⇒   Do r〉 pq nên a = 1 ⇒ Trong X tồn tại duy nhất r-nhóm con Sylow H⇒ ,H X H r=< . Mặt khác / X qpr X H qp H r = = = Vậy H giải được, X/H giải được nên X giải được Vậy mọi nhóm cấp pqr [ p, q, r là số nguyên tố ], r〉 pq đều là nhóm giải được. Bài 13. a]Chứng minh rằng mọi cấp 12 đều giải được. b] Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 588 là nhóm giải được Giải . a] Giả sử 2 12 2 .3X = = ⇒ Trong X tồn tại 3- nhóm con Sylow Gọi r là số 3- nhóm con Sylow, khi đó
• 39. X tồn tại duy nhất 3- nhóm con Sylow H nên H < X và |H| = 3. Mặt khác |X/H| = 2 2 2 3 3.2 || || == H X Ta có 3H H= ⇒ giải được, 2 / 2X H = nên X/H giải được. Do đó X giải được. b] Giả sử 2 2 588 2 .3.7X = = ⇒ Trong X tồn tại 7-nhóm con Sylow Gọi r là số 7-nhóm con Sylow 1[mod7] 1 12 r r r ≡ ⇒ ⇒ =  ⇒ Tồn tại duy nhất 7-nhóm con Sylow H của X ⇒ 2 , 7H X H =< nên H giải được. Mặt khác 2 / 2 .3 12 /X H X H= = ⇒ giải được. Do đó X giải được Vậy mọi nhóm cấp 588 là nhóm giải được D. MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: a] Mọi nhóm cấp 9 đều giải được b] Mọi nhóm cấp nguyên tố đều giải được c] Mọi nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho 5 đều chứa nhóm xiclic cấp 5 d] Cho G là nhóm cấp 8, trong G tồn tại nhóm con cấp 3 e] Mọi nhóm cấp 45 đều có chứa nhóm con chuẩn tắc cấp 9 f] Mọi nhóm cấp 27 đều có chứa phần tử cấp 3 2] Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 28 đều giải được 3] Cho H, K là hai nhóm con giải được của nhóm X và XH < Chứng minh rằng HK là nhóm giải được 4] Chứng minh rằng mọi nhóm cấp lẻ bé hơn 60 đều giải được 5] Chứng minh rằng Sn là nhóm giải được với n < 5 6] Chứng minh rằng Sn không là nhóm giải được với 5≥n
• 40. LŨY LINH A. LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa Ta nói rằng nhóm con K chuẩn hóa H nếu [ ]GK N H≤ [ ] { }[ ]1 :aHaGN H a G H− = ∈ = Như vậy K chuẩn hóa H khi và chỉ khi [ ],H K H= 2. Định nghĩa Cho H là nhóm con của G, tâm của H trong G là CG[H] = { x∈G |xh = hx, mọi h∈ H }= {x ∈G| [x, h] = e, mọi h∈ H } Ta nói nhóm con K tâm hoán H nếu [ ]GK C H≤ Như vậy [ ]GK C H≤ khi và chỉ khi [ ], 1H K = 3. Tính chất [i] Nếu K G< và K H G≤ ≤ thì [ ],H G K≤ khi và chỉ khi: [ ]/ /H K Z G K≤ [ii] Nếu ,H K G≤ và :f G L→ là đồng cấu thì f [[H, K]] = [f[H], f[K]] [iii] Cho G là một nhóm hữu hạn và H G< . Nếu P là một nhóm con Sylow của H thì . [ ]GG H N P= và [ ]:G H là ước của [ ]GN P [iv] Cho H G< . Khi đó G/H là nhóm giao hoán khi và chỉ khi , G H≤ v] Nếu P là một p-nhóm con Sylow của một nhóm hữu hạn G thì NG[P] bằng chuẩn hóa của nó trong G 4. Định nghĩa Nhóm con đặc trưng [ ]i Gγ của G được xác định bằng quy nạp như sau: [ ] GG =1γ , [ ] [ ][ ]GGG ii ,1 γγ =+ Nhận xét [i] [ ] [ ][ ] [ ] , 12 ,, GGGGGG === γγ [ii ] 1[ ] [ ]i iG Gγ γ+ ≤ Từ [ ]1 1[ ] [ ]; [ ], [ ]i i i iG G G G Gγ γ γ γ+ +≤ = và tính chất 3 [i] ta được 1 1[ ] / [ ] [ / [ ]i i iG G Z G Gγ γ γ+ +≤ 5. Định nghĩa Chuỗi tâm dưới [ hay chuỗi tâm giảm ] của G là chuỗi: 1 2[ ] [ ] ...G G Gγ γ= ≥ ≥
• 41. trên [ ]i Gξ là nhóm con đặc trưng của G xác định bằng quy nạp như sau: [ ]0 1 [ ] 1, [ ] / [ ] / [ ]i i i G G G Z G Gξ ξ ξ ξ+ = = Tức là nếu : / [ ]i iv G G Gξ→ là đồng cấu tự nhiên thì 1 [ ]i Gξ + là nghịch ảnh của tâm [ ]1 1 [ / [ ]; [ ] [ / [ ]i i i iZ G G G v Z G Gξ ξ ξ+ − = Ta có 1 [ ] [ ]G Z Gξ = vì 1 0 0 [ ] / [ ] [ / [ ]]G G Z G Gξ ξ ξ= Suy ra 1 [ ] /1 [ /1]G Z Gξ = hay 1 [ ] [ ]G Z Gξ = 7. Định nghĩa [i] Chuỗi tâm trên [ hay chuỗi tâm tăng ] của G là chuỗi 0 1 2 1 [ ] [ ] [ ]G G Gξ ξ ξ= ≤ ≤ … Nếu không có gì nhầm lẫn ta có thể viết gọn lại 2 ξ thay cho 2 [ ]Gξ và iγ thay cho [ ]i Gγ [ii] Chuỗi chuẩn tắc 0 11 ... nG G G G= =< < < với iG G< và [ ]1 1/ /i i iG G Z G G− −≤ được gọi là chuỗi trung tâm. [iii] Nhóm con hoán tử trên của G được định nghĩa bằng quy nạp [ ] [ ] [ ]10 ; , i i i G G G G G +  = =   với mọi 0i ≥ Với 0i = ta kí hiệu [ ] [ ]1 , , ,G G G G G= ⇒ = Ta có [ ]i G G< với mọi i Chuỗi [ ] [ ] [ ]0 1 2 ...G G G G= ≥ ≥ ≥ được gọi là chuỗi dẫn xuất của G. 8. Tính chất [i] Cho G là nhóm. Nếu tồn tại c∈ N sao cho [ ]c G Gξ = thì: [ ] [ ]GG ic i − + ≤ ξγ 1 với mọi i và khi đó 1[ ] 1c Gγ + = Ngược lại, nếu tồn tại c∈ N sao cho 1[ ] 1c Gγ + = thì [ ] [ ]GG ic i − + ≤ ξγ 1 với mọi i và [ ]c G Gξ = . [ii] Chuỗi chuẩn tắc của G 0 11 ... nG G G G= =< < < là chuỗi trung tâm khi và chỉ khi [ ] 1,i iG G G −≤ với mỗi i = 1,…, n. [iii] Nếu 0 1 2... 1nG G G G G= => > < là chuỗi giải được thì [ ]i iG G≥ với mọi i N∈ iv] Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại n∈ N sao cho [ ] 1 n G = Nhận xét. Chuỗi dẫn xuất là chuỗi giải được khi và chỉ khi G là nhóm giải được. 9. Định nghĩa [i] Cho M G≤ , nhóm con của M của G được gọi là nhóm con cực đại của G nếu M G〈 và G không có nhóm con của H nào để M H G〈 〈 . Nếu. G vô hạn thì G có thể không có nhóm con cực đại nào. Nhận xét. Cho K G< , khi đó K là nhóm con cực đại của /G G K⇔ có cấp nguyên tố [ii] Cho G là nhóm. Nhóm con của Frattini của nó ký hiệu là [ ]GΦ được định nghĩa bằng giao của tất cả các nhóm con cực đại của G. Nếu một nhóm G [vô hạn ] không có nhóm con cực đại, ta định nghĩa [ ] GG =Φ 10. Định nghĩa
• 42. , A là một tập khác rỗng các tự đẳng cấu của G. H được gọi là A con bất biến nếu [ ] , ,h H h H Aϕ ϕ∈ ∀ ∈ ∈ Nhận xét. Nếu A = 1, mọi nhóm con của G là bất biến Nếu H là một G nhóm con bất biến thì H được gọi là nhóm con đặc trưng của G, kí hiệu H char G. Vậy H char G nếu [ ]H Hϕ = với tự đẳng cấu ϕ của G 11. Tính chất i] Nếu [ ]H Hϕ ≤ với mọi tự đẳng cấu ϕ thì H char G. ii] Nếu H char G thì H G< iii] Cho GH ≤ , nếu [ ] HHf ≤ , ∈∀f AutG thì H char G iv] Nếu H char G thì GH < v] Nếu H char K, K char G thì H char G vi] Nếu H char K, GK < thì GH < vii] Cho G là nhóm xiclic hữu hạn, nếu GH ≤ thì H char G vii] Cho GK < . Khi đó K là nhóm con cực đại của G khi và chỉ khi G/K có cấp nguyên tố 12. Định nghĩa Phần tử Gx ∈ được gọi là phần tử không sinh nếu nó có thể được loại ra khỏi tập sinh. Tức là nếu ,G x Y= thì G Y= . 13. Tính chất [i] Với mọi nhóm G, mhóm con Frattini [ ]GΦ là tập tất cả các phần tử không sinh. [ii] Cho G là một nhóm. Khi đó, [ ]GΦ là nhóm con đặc trưng của G. [iii] Cho G là nhóm. Khi đó [ ]GΦ là nhóm con chuẩn tắc của G iv] Nếu H là một nhóm con của G sao cho [ ]HGG Φ= thì H = G 14 . Nhóm lũy linh Một nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên c sao cho [ ]1 1c Gγ + = Số c nhỏ nhất như vậy gọi là nhóm lớp của nhóm lũy linh G. Như vậy có thể G là nhóm lũy linh nếu tồn tại c∈N sao cho c Gξ = Nhận xét. [i] Đối với nhóm lũy linh, chuỗi các tâm giảm và chuỗi các tâm tăng là các chuỗi chuẩn tắc có cùng chiều dài. [ii] Một nhóm là lũy linh lớp 1 nếu và chỉ nếu nó là nhóm Abel. Thật vậy, 1 [ ]G Gξ = nếu và chỉ nếu [ ]Z G G= nếu và chỉ nếu G Abel. Vậy mọi nhóm Abel đều là lũy linh [iii] Một nhóm lũy linh lớp 2 có thể biểu diễn dưới dạng [ ] [ ] [ ], 1 2 G G Z G Gγ ξ≤ ≤ = Mỗi nhóm không Abel bậc 3 p là nhóm lũy linh lớp 2.[ xem bài 16 phần bài tập] B. CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH THƯỜNG GẶP Bài toán. Chứng minh nhóm G là lũy linh Phương pháp giải.
• 43. tiến hành các bước sau: [i] Lập chuỗi tâm dưới của G [ ] [ ] ...21 ≥≥= GGG γγ [ii] Tìm số tự nhiên c sao cho 1[ ] 1c Gγ + = Cách 2. Ta tiến hành các bước sau: [i] Lập chuỗi tâm dưới của G [ ] [ ] ...1 10 ≤≤= GG ξξ [ii] Tìm số tự nhiên c sao cho c Gξ = C. MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1. Chứng minh rằng mọi nhóm lũy linh G đều là nhóm giải được. Giải. Ta có [ ] [ ], i iG G iγ≤ ∀ [∗] Thật vậy, ta sẽ chứng minh [∗ ] bằng quy nạp. ● Với [ ] [ ]1 1, ,i G G G= = 1[ ]G Gγ = , mà [ ],G G G≤ nên [∗ ] đúng với i =1 ● Giả sử [∗ ] đúng với i = k, tức [ ] [ ]k kG Gγ≤ . Ta cần chứng minh [ ] [ ]1 1 k kG Gγ+ +≤ Ta có [ ] , k G G k≤ ∀ mà [ ] [ ]k kG Gγ≤ [ theo giả thiết quy nạp ] Do đó [ ] [ ] [ ], , k k kG G G Gγ  ≤     , suy ra [ ] [ ]1 1 k kG Gγ+ +≤ Vậy [∗ ] đúng với mọi i Do G là nhóm lũy linh nên tồn tại c ∈ N sao cho [ ]1 1c Gγ + = Do đó [ ]1 1 c G + ≤ Suy ra [ ]1 1 c G + = Vậy G là nhóm giải được. Bài 2. Chứng minh rằng mỗi p- nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh Giải. ●Nếu 1G = thì G lũy linh ● Nếu 1G ≠ . Giả sử G là p- nhóm hữu hạn Ta có |G| = |Z[G]| + ∑ [ G: C[xi] ] , xi ∉ Z[G] Vì |G| = pr , G≠ 1 nên Z[G]≠ 1⇒ Z[G] = ps Do p |G| và p |Z[G]| nên p [ ∑ [ G: C[xi] ] ] Do 1G ≠ nên [ ] 1≠GZ Ta có [ ]1 1Z Gξ = ≠ Nếu 1 / 1G ξ ≠ thì [ ]1 / 1Z G ξ ≠ Ta có [ ]2 1 1 / /Z Gξ ξ ξ= , do đó nếu 1 Gξ ≠ thì 2 1 ξ ξ≠ , suy ra 1 2 ξ ξ〈
• 44. ≠ thì 3 2 ξ ξ≠ … Nếu 2 Gξ ≠ thì 1i i ξ ξ+ ≠ . Do đó ta được chuỗi 0 1 11 ..... i iξ ξ ξ ξ += 〈 〈 〈 〈 Vì G hữu hạn nên tồn tại k sao cho k ξ = G Vậy G lũy linh. Bài 3. Chứng minh rằng nếu 1G ≠ là nhóm lũy linh thì [ ] 1Z G ≠ . Giải . Giả sử 1G ≠ là nhóm lũy linh lớp c, ta có [ ]1 1c Gγ + = và [ ] 1c Gγ ≠ Theo tính chất 8i] ta được [ ] [ ] [ ]GZGGc =≤≠ 1 1 ξγ Vậy [ ] 1Z G ≠ Bài 4. Chứng minh rằng nhóm con H của một nhóm lũy linh G là nhóm lũy linh. Hơn nữa nếu G là nhóm lũy linh lớp c thì H là nhóm lũy linh lớp c≤ Giải. Ta có H G≤ nên [ ] [ ]i iH Gγ γ≤ với mọi i [∗] Ta sẽ chứng minh [∗ ] bằng quy nạp theo i ●Với i = 1 thì [ ]1 1[ ] ;H H G Gγ γ= = mà H G≤ nên [ ] [ ]1 1H Gγ γ≤ Vậy [∗ ] đúng với i = 1 ● Giả sử [∗ ] đúng với i k= , tức là ta có [ ] [ ]k kH Gγ γ≤ ● Ta sẽ chứng minh [∗ ] đúng với i = k + 1 Tức chứng minh [ ] [ ]1 1k kH Gγ γ+ +≤ Ta có [ ] [ ]1 ,k kH H Hγ γ+ =    [ ]1[ ] [ ],k kG G Gγ γ+ = Mà [ ] [ ]k kH Gγ γ≤ [ giả thiết quy nạp ] H G≤ Do đó [ ] [ ], [ ],k kH H G Gγ γ≤   Hay 1 1[ ] [ ]k kH Gγ γ+ +≤ Vậy [∗ ] đúng với mọi i Mặt khác, G là nhóm lũy linh nên tốn tại số tự nhiên c sao cho 1[ ] 1c Gγ + = Do đó 1[ ] 1c Hγ + ≤ Vậy [ ]1 1c Hγ + = . Hay H là nhóm lũy linh lớp c≤ Bài 5. a] Chứng minh rằng nếu G là nhóm lũy linh và :f G H→ là một toàn cấu thì H lũy linh. b] Chứng minh rằng nếu G là nhóm lũy linh lớp c và H G< thì G/H là nhóm lũy linh lớp c≤ Giải. a] Giả sử :f G H→ là một toàn cấu. Ta có [ ][ ] [ ]i iH f Gγ γ≤ với mọi i [∗ ] Thật vậy ta chứng minh [∗ ] bằng quy nạp ●Với i = 1 thì 1[ ]H Hγ =