Bài 54 trang 108 sbt hình học 10 nâng cao

LG a

Chứng minh rằng \(A\) ở ngoài đường tròn;

Lời giải chi tiết:

\((C)\) có tâm \(I(3 ; -1)\), bán kính \(R=2.\)

\(IA = \sqrt {{{(1 - 3)}^2} + {{(3 + 1)}^2}}\)

\( = 2\sqrt 5 > R\), suy ra \(A\) nằm ngoài \((C).\)

LG b

Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) kẻ từ \(A;\)

Lời giải chi tiết:

\(A\) nằm ngoài \((C)\) nên từ \(A\) ta kẻ được hai tiếp tuyến đến \((C).\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có phương trình:

\(\alpha (x - 1) + \beta (y - 3) = 0 \)

\( \Leftrightarrow \alpha x + \beta y - \alpha - 3\beta = 0 \) \(({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).

\(\Delta \) tiếp xúc với (C)

\( \Leftrightarrow d(I ; \Delta ) = R \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{|3\alpha - \beta - \alpha - 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} }} = 2\)

\(|\alpha - 2\beta | = \sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} \)

\( \Leftrightarrow \beta (3\beta - 4\alpha ) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\beta = 0\\\beta = \dfrac{4}{3}\alpha .\end{array} \right.\)

Với \(\beta = 0\), ta chọn \(\alpha = 1\), ta được tiếp tuyến thứ nhất : \(x-1=0.\)

Với \(\beta = \dfrac{4}{3}\alpha \), ta chọn \(\alpha = 3, \beta = 4\), ta được tiếp tuyến thứ hai: \(3x+4y-15=0.\)

LG c

Gọi \(T_1, T_2\)là các tiếp điểm ở câu b), tính diện tích tam giác \(AT_1T_2\).

Lời giải chi tiết:

Từ câu b), giải hệ để tìm ra tọa độ tiếp điểm \(T_1, T_2\)của các đường tiếp tuyến với \((C)\). Tính góc giữa hai đường tiếp tuyến . Từ đó tính diện tích của tam giác \(AT_1T_2\).