Bài 28 trang 120 sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao
|
\(\eqalign{ & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2 - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow {MN} = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}} \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Cho tứ diệnSABCcó \(SC = CA = AB = a\sqrt 2 ,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giácABCvuông tạiA. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t < 2a)\) LG a Tính độ dài đoạnMN. Tìm giá trịtđểMNngắn nhất. Lời giải chi tiết: Ta chọn hệ trụcOxyzsao cho gốc tọa độOtrùngA, tiaOxchứaAC, tiaOychứaABvà tiaOzcùng hướng tớitiaCS (h.98).Khi đó, ta có: \(A(0;0;0),B(0;a\sqrt 2 ;0),C(a\sqrt 2 ;0;0),\) \(S(a\sqrt 2 ;0;a\sqrt 2 ),\) \(\eqalign{ & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2 - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right) \cr & \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow {MN} = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}} \cr & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}} \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \) Dấu "=" xảy ra khi \(t = {{2a} \over 3}\) thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2a. VậyMNngắn nhất bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\) khi \(t = {{2a} \over 3}.\) LG b Khi đoạnMNngắn nhất, chứng minhMNlà đường vuông góc chung củaBCvàSA. Lời giải chi tiết: KhiMNngắn nhất thì : \(\overrightarrow {MN} = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 3};{{a\sqrt 2 } \over 3}; - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SA} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung củaSAvàBC.
|
