- LG a
- LG b
Cho hàm số: \[y = f\left[ x \right] = {x^4}-2m{x^2} + {m^3}-{m^2}\]
LG a
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \[m = 1\].
Phương pháp giải:
- Thay \[m\] được hàm số cần khảo sát.
- Khảo sát tóm tắt:
+ Tìm TXĐ.
+ Xét sự biến thiên.
+ Vẽ đồ thị.
Lời giải chi tiết:
Với \[m = 1\] ta được hàm số \[y = {x^4} - 2{x^2}\].
TXĐ: \[D = \mathbb{R}\]
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
Chiều biến thiên:
Có \[y' = 4{x^3} - 4x = 4x[{x^2} - 1]\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left[ { - 1;0} \right]\] và \[\left[ {1; + \infty } \right]\]
Nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\].
Hàm số đạt cực đại tại \[x = 0\] và \[{y_{CD}} = 0\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = \pm 1\] và \[{y_{CT}} = - 1\].
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
+] Điểm uốn: \[y'' = 12{x^2} - 4;\]
\[y'' = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 4 = 0\] \[ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x = \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}\]
Đồ thị hàm số nhận các điểm \[\left[ { \pm \frac{1}{{\sqrt 3 }}; - \frac{5}{9}} \right]\] làm điểm uốn.
+] Cắt trục Oy tại \[\left[ {0;0} \right]\]
+] Cắt trục Ox tại các điểm \[\left[ {0;0} \right],\left[ { \pm \sqrt 2 ;0} \right]\]
LG b
Xác định \[m\] để đồ thị \[\left[ {{C_m}} \right]\] của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số tiếp xúc trục hoành tại hai điểm phân biệt nếu và chỉ nếu hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu và \[{y_{CT}} = 0\].
Lời giải chi tiết:
Để \[\left[ {{C_m}} \right]\] tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là hàm số đã cho có hai điểm cực tiểu, \[1\] điểm cực đại và \[{y_{CT}} = 0\].
Ta có: \[y' = 4{x^3} - 4mx = 4x\left[ {{x^2} - m} \right]\]; \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\].
Để hàm số có hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại thì phương trình \[{x^2} = m\] có hai nghiệm phân biệt khác \[0\]
+] Nếu m 0 thì x2 m 0 với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.
+] Nếu m > 0 thì y = 0 khi x = 0; x = m hoặc x = -m.
Khi đó hàm số có hai điểm cực tiểu là \[x = \sqrt m \] và \[x = - \sqrt m \];
\[ \Rightarrow {y_{CT}} = f\left[ { \pm \sqrt m } \right]\] \[ = {m^2} - 2{m^2} + {m^3} - {m^2} = {m^3} - 2{m^2}\]
\[{y_{CT}} = 0 \Leftrightarrow {m^3} - 2{m^2} = 0\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\left[ {KTM} \right]\\m = 2\left[ {TM} \right]\end{array} \right.\].
Vậy \[m = 2\] là giá trị cần tìm.