Cho hàm số [y = f[ x ] ]. Hàm số [y = f'[ x ] ] có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số [y = f[ [[x^2] - 1] ] ] có bao nhiêu điểm cực trị?
Câu 83197 Vận dụng cao
Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\]. Hàm số \[y = f'\left[ x \right]\] có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số \[y = f\left[ {{x^2} - 1} \right]\] có bao nhiêu điểm cực trị?
Đáp án đúng: a
Phương pháp giải
- Đặt \[y = g\left[ x \right] = f\left[ {{x^2} - 1} \right]\].
- Tính đạo hàm hàm số \[y = g\left[ x \right]\] [đạo hàm hàm hợp].
- Giải phương trình \[g'\left[ x \right] = 0\].
- Lập BBT và kết luận số điểm cực trị của hàm số.
Cực trị của hàm số --- Xem chi tiết
...Lý thuyết cực trị của hàm số
Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.
Định nghĩa
Giả sử hàm số f xác định trên K [K ⊂ ℝ] và x0 ∈ K
a] x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] < f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.
b] x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}
→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.
Chú ý:
1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.
2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.
3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lí 1
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’[x0] = 0.
Chú ý:
1] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.
2] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
Định lí 2
a] Nếu f’[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b] Nếu f’[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực đại tại x0.
Định lí 3
Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.
a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.
Cách tìm cực trị của hàm hợp cực hay, có lời giải
Trang trước Trang sau
Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]
a. Kiến thức cần nhớ
- Đạo hàm của hàm hợp:
[f[u[x]]]' = u'[x].f'[u[x]]
- Tính chất đổi dấu của biểu thức:
Gọi x = α là một nghiệm của phương trình: f[x] = 0. Khi đó
+] Nếu x = α là nghiệm bội bậc chẳn [[x - α]2,[x - α]4,...] thì hàm số y = f[x] không đổi dấu khi đi qua α.
+] Nếu x = α là nghiệm đơn hoặc nghiệm bội bậc lẻ [[x - α],[x - α]3,...] thì hàm số y = f[x] đổi dấu khi đi qua α.
b. Phương pháp
Đề tìm cực trị của hàm số y = f[u[x]] ta làm như sau:
- Bước 1: Tính [f[u[x]]]'
- Bước 2: Giải phương trình [f[u[x]]]' = 0 dựa vào đồ thị hay bảng biến thiên của hàm số y = f[x]
- Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số
- Bước 4: Kết luận về các điểm cực trị
Ví dụ 1: Cho hàm số y = f[x]. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình bên.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[x2 - 3].
A. 2.
B. 3
C. 4.
D. 5.
Lời giải
Chọn B
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu của y = f'[x] như sau
Hỏi hàm số g[x] = f[x2 - 2x] có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn A
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có một điểm cực tiểu.
Ví dụ 3: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ sau. Số điểm cực trị của hàm số y = f[x] + 2x là:
A. 4.
B. 1.
C. 3.
D. 2.
Lời giải
Chọn B
Dựa vào đồ thị ta có: Trên [-∞;-1] thì f'[x] > -2 ⇔ f'[x] + 2 > 0.
Trên [-1;x0] thì f'[x] > -2 ⇔ f'[x] + 2 > 0.
Trên [x0;+∞] thì f'[x] < -2 ⇔ f'[x] + 2 < 0.
Bảng biến thiên của hàm g[x]
Vậy hàm số g[x] = f[x] + 2x có 1 cực trị.
Bài 1: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] trên R và đồ thị của hàm số f'[x] như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trụ hàm số g[x] = f[x2 - 2x - 1].
A. 6
B. 5.
C. 4.
D. 3.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy hàm số có đúng ba cực trị.
Bài 2: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình bên.
Hàm số g[x] = f[-x2 + 3x] có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3.
B. 4
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn C
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 5 điểm cực trị.
Bài 3: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[3 - x].
A. 2.
B. 3.
C. 5.
D. 6.
Lời giải
Chọn B
Vậy hàm số g[x] = f[3 - x] có 3 điểm cực trị.
Bài 4: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số g[x] = f[x] + 3x có bao nhiểu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải
Chọn B
Ta có g'[x] = f'[x] + 3; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = -3.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = -3.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bài 5: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R. Đồ thị của hàm số y = f'[x] như hình vẽ.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = 2f[x] - x2 + 2x + 2017.
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 7.
Lời giải
Chọn B
Ta có g'[x] = 2f'[x]-2x + 2 = 2[f'[x]-[x-1]].
Dựa vào hình vẽ ta thấy đường thẳng y = x-1 cắt đồ thị hàm số y = f'[x] tại 3 điểm: [-1;-2], [1;0], [3;2].
Dựa vào đồ thị ta có
Vậy hàm số y = g[x] có 3 điểm cực trị.
Bài 6: Cho hàm số bậc bốn y = f[x]. Đồ thị hình bên dưới là đồ thị của đạo hàm f'[x]. Hàm số
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn C
Bảng xét dấu
Từ đó suy ra hàm số
Bài 7: Cho hàm số f[x], bảng biến thiên của hàm số f'[x] như sau:
Số điểm cực trị của hàm số y = f[4x2 - 4x] là
A. 9.
B. 5.
C. 7.
D. 3.
Lời giải
Chọn B
Vậy phương trình y' = 0 có 7 nghiệm bội lẻ phân biệt nên hàm số có 7 điểm cực trị.
Bài 8: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới.
Hàm số
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải
Chọn C
Ta có g'[x] = f'[x] - x2 + 2x - 1; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = [x - 1]2.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và parapol [P]: y = [x-1]2.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực đại tại x = 1.
Bài 9: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới. Hàm số g[x] = 2f[x]+x2 đạt cực tiểu tại điểm
A. x = -1.
B. x = 0.
C. x = 1.
D. x = 2.
Lời giải
Chọn B
Ta có g'[x] = 2f'[x] + 2x; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = -x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = -x.
Dựa vào đồ thị ta suy ra
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài 10: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số g[x] = f[f[x]] có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3.
B. 5.
C. 4.
D. 6.
Lời giải
Chọn C
Dựa vào đồ thị suy ra:
● Phương trình [1] có hai nghiệm x = 0 [nghiệm kép] và x = a[a > 2].
● Phương trình [2] có một nghiệm x = b[b > a].
Vậy phương trình g'[x] = 0 có nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g[x] = f[f[x]] có 4 điểm cực trị.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Trang trước Trang sau