Với các số phức z thỏa mãn |z − 2 + 2i| = 2, tìm giá trị nhỏ nhất của |z − 2 + i|.

Hay nhất

Chọn B

Đặt \(z=x+yi\). Từ \(\left|z\right|=1\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} =1\Leftrightarrow y^{2} =1-x^{2} .\)

Ta có
\({\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2} =\left|z^{2} +\frac{1}{z} +\frac{1}{2z^{2} } \right|^{2} =\left|z^{2} +\overline{z}+\frac{1}{2} \overline{z}^{2} \right|^{2} } \)

\(=\left|\left(x^{2} -y^{2} +2xyi\right)+\left(x-yi\right)+\frac{1}{2} \left(x^{2} -y^{2} -2xyi\right)\right|^{2} \)

\(=\left|\frac{3}{2} x^{2} -\frac{3}{2} \left(1-x^{2} \right)+x+y\left(x-1\right)i\right|^{2} \)

\( =\left(3x^{2} +x-\frac{3}{2} \right)^{2} +\left(1-x^{2} \right)\left(x-1\right)^{2} \)

\(=8x^{4} +8x^{3} -8x^{2} -5x+\frac{13}{4} \)
Đặt \(f(x)=8x^{4} +8x^{3} -8x^{2} -5x+\frac{13}{4}\) với \(x\in \left[-1;1\right]\)
\(f'(x)=32x^{3} +24x^{2} -16x-5=0\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} {x=\frac{-1}{4} (t/m)} \\ {x=\frac{-1+\sqrt{11} }{4} (t/m)} \\ {x=\frac{-1-\sqrt{11} }{4} (loai)} \end{array}\right. .\)

\( f\left(-1\right)=\frac{1}{4} ;\, \, \, \, f\left(1\right)=\frac{25}{4} ;\, \, f\left(\frac{-1}{4} \right)=\frac{125}{32} ;\, \, \, f\left(\frac{-1+\sqrt{11} }{4} \right)=\frac{1}{8} .\)
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\left|z^{4} +z+\frac{1}{2} \right|^{2}\) bằng \(\frac{1}{8}\)

Cho số phức z thỏa mãn 2−iz−2+iz¯=2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng

A. 2 .

B. 1 .

C. 55 .

D. 255 .

Đáp án và lời giải

Đáp án:C

Lời giải:Lời giải
Chọn C
Đặt z=x+yi x,y∈ℝ .
+) Ta có: 2−ix+yi−2+ix−yi=2i
⇔2x+y+−x+2yi−2x+y+x−2yi=2i
⇔−2x+4y=2⇔x=2y−1 .
+) z2=x2+y2=2y−12+y2=5y2−4y+1=5y−252+15≥15,∀y ⇒z≥55 .
Dấu "=" xảy ra ⇔x=−15y=25 .
Vậy giá trị nhỏ nhất của z bằng 55 khi z=−15+25i .

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Phần thực, phần ảo, modun của số phức - Toán Học 12 - Đề số 3

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

• Cho số phức

  
  biết
  
  . Phần thực của số phức
  
  là

• Tính mô đun của số phức z thỏa z−2i z¯=1−5i .
  

• cho số phức z thỏa mãn

  
  . Modun của số phức
  
  là ?

• Cho sốphức

  
  . Tínhmôđuncủasốphức
  
  .

• Tính môđun của số phức z , biết z¯=4−3i1+i .
  

• Cho số phức z , biết

  
  . Khi đó số phức z có phần ảo bằng baonhiêu?

• Xét số phức

  
  thỏa mãn
  
  Khẳng định nào dưới đây đúng ?

• Cho hai số thực

  
  thỏa mãn phương trình
  
  . Khi đó, giá trị của
  
  và
  
  là:

• Cho hai số phức

  
  và
  
  . Tính môđun cùa
  
  ?

• Cho số phức

  
  thỏa mãn điều kiện
  
  . Tính môđun của số phức
  
  .

• Cho hai số phức

  
  và
  
  thỏa mãn
  
  . Xét số phức
  
  . Tìm
  
  .

• Tính môđun của số phức z thỏa mãn

  
  .

• Cho sốphức

  
  . Môđuncủasốphức
  
  bằng

• Kíhiệu

  
  làhainghiệmphứccủaphươngtrình
  
  . Tính
  
  .

• Cho sốphức

  
  khác
  
  
  . Tìm phần ảo của sốphức
  
  .

• Cho số phức

  
  . Phần thực, phần ảo của
  
  lần lượt là

• Cho 3 sốphức

  
  ;
  
  và
  
  . Tìm môđunsốphức
  
  .

• Cho số phức z=2+i. Tính |z|.

• [ Mức độ 1] Môđun của số phức z=1−3i bằng
  

• Cho sốphức

  
  Khiđóphầnthựca vàphầnảob củasốphức
  
  là:

• Cho số phức

  
  . Tìm phần thực và phần ảo của số phức
  

• Cho sốphức

  
  thỏamãn
  
  và
  
  . Tính
  
  .

• Phần thực và phần ảo của số phức: z=1−3i
  

• Phần thực, phần ảo của số phức

  
  thỏa mãn
  
  lần lượt là :

• Cho số phức z thỏa mãn: (2−3i)z+(4+i)z¯=−(1+3i)2 . Xác định phần thực và phần ảo của z.
  

• Cho số phức z thỏa mãn z+2−3i1−i=1+i2015 . Tìm phần ảo b của số phức w=z+2−3i
  

• Cho số phức z thỏa mãn 3z¯−i−2+3iz=7−16i . Môđun của số phức z bằng.
  

• Cho số phức z thỏa mãn 2−iz−2+iz¯=2i . Giá trị nhỏ nhất của z bằng
  

• Trong các sô phức thỏa điều kiện

  
  mô đun nhỏ nhất của số phức
  
  bằng:

• Tìm phần thực và phần ảo của số phức

  

• Cho hai số thực

  
  thỏa mãn phương trình
  
  . Khi đó, giá trị của
  
  và
  
  là:

• Tính môđun của số phức z , biết z thỏa mãn iz=3+4i.
  

• Cho số phức

  
  thỏa mãn
  
  . Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức
  
  trên mặt phẳng tọa độ.

• Cho số phức

  
  thỏa mãn điều kiện
  
  . Tìm phần ảo của số phức
  

• Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

  
  Mô đun của số phức
  
  là ?

• Tìm phần ảo b của số phức z2 , biết 1+iz=1z.
  

• Mô đun của số phức z thỏa mãn phương trình

  
  là ?
  

• Cho số phức

  
  thỏa mãn:
  
  . Môđuncủasốphức
  
  là:

• Trongcácsốphức

  
  thỏa điềukiện
  
  , tìmphầnthựccủasốphức
  
  cómôđunlớnnhất?

• Cho số phức z thỏa mãn

  
  . Tính modun của z :

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

• Yêu cầu về tính chuẩn xác của văn bản thuyết minh là?

• Yêu cầu đầu tiên cũng là yêu cầu quan trọng nhất của một văn bản thuyết minh là gì?

• Chức năng chính của ngôn ngữ nghệ thuật là:

• Ngôn ngữ nghệ thuật còn gọi là:

• Câu văn sau đây có mấy cách sửa lỗi:

  qua tác phẩm “ Tắt đèn” của Ngô Tất Tố đã cho ta thấy hình ảnh người phụ nữ nông thôn trong chế độ cũ.

• Ý nào sau đây đúng với cấu trúc một văn bản thuyết minh thường gặp:

• Chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống cho câu sau:

  Chị Sứ yêu biết bao nhiêu cái………., nơi chị đã oa oa cất tiếng khóc ………, nơi quả ngọt trái sai đã …….da dẻ chị.

• Trong câu văn: “ Ba-sô là thi sĩ” tác giả đã sử dụng phương pháp thyết minh nào?

• Trong đoạn văn sau tác giả đã sử dụng phương pháp thuyết minh nào:

  “ Ngô Tử Văn là một chàng áo vải. Vì cứng cỏi mà ldám đốt cháy đền tà, chống lại yêu ma, làm một việc hơn cả thần và người. Bởi thế được nổi tiếng và được giữ chức vị ở minh ti, thật là xứng đáng( Trích Chuyện chức phán sự đền Tản Viên – Nguyễn Dữ)

• Tiếng Việt có nguồn gốc từ đâu?