Giải thích các bước giải:
a,
Ta có:
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \left[ { - 4; - 2} \right] \Rightarrow AB = 2\sqrt 5 \\\overrightarrow {BC} \left[ {7;1} \right] \Rightarrow BC = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {AC} \left[ {3; - 1} \right] \Rightarrow CA = \sqrt {10}
\end{array}\]
b,
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} \left[ { - 4; - 2} \right];\overrightarrow {AC} \left[ {3; - 1} \right]\\\cos A = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \frac{{\left[ { - 4} \right].3 + \left[ { - 2} \right]\left[ { - 1} \right]}}{{2\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat A = 135^\circ
\end{array}\]
c,
Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC
Phương trình đường thẳng BC đi qua B và C là \[y = \frac{1}{7}x - \frac{6}{7}\]
Phương trình đường thẳng AH đi qua A và vuông góc BC là y=-7x+22
H là giao điểm của AH và BC nên \[H\left[ {\frac{{16}}{5}; - \frac{2}{5}} \right]\]
§1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN Vectơ chỉ phương của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ U được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng A nếu U * 0 và giá của U song song hoặc trùng A. Phương trình tham sô' của đường thẳng X = x0 + y = y0 + u2t [t e R] Định nghĩa: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A đi qua điểm M0[x0; y0] và nhận U [Ui; u2] làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham sô' của đường thẳng A là: u9 . Nêu Ui * 0 thì k = — là hệ sô góc của A. U1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng Định nghĩa: Vectơ n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng A nếu n*0 và n vuông góc với vectơ ch? phương của A. Phương trình tổng quát của đường thẳng Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng. Nhận xét: Nếu đường thẳng A có phương trình là ax + by + c = 0 thì A có vectơ pháp tuyến là n = [a; b] và vectơ chỉ phương là U = [-b; a]. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn Đường thẳng A cắt Ox và Oy lần lượt tại M[a, 0] và N[0; b] [với a * 0, b * 0] có phương trình là: — + Ị = 1 a b VỊ trí tương đổi của hai đường thẳng ChoA,: aìX + b,y + c, = 0 A2: a2x + b2y + c2 = 0 A,, A2 cắt nhau A-I H A2 a1 b1 = 0 ai bi • a2 b2 hoặc • a2 b2 b1 Cl *0 C1 ai b2 c2 c2 a2 *0 , , a. bi A2 cat nhau -A. —L Ai — A2 o Trường hợp a2, b2, c2 đều khác 0, thì: „ . ai bi C1 A, // A2 —L = -—L TÍ — ai bi C1 A[ = A2 AA- = p- = -Al. a2 b2 c2 Góc giữa hai đưởng thẳng Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của các góc đó được gọi [à số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b, hay góc giữa a và b. Khi a song song hoặc trùng với b ta quy ước góc giữa chúng bằng 0° Cho A|: A,x + B^y + C-I = 0 và A2: A2X + B2y + c2 = 0 a là góc giữa A, và A2 thì cosa = I A4An + B.|B2 ị i'f2 1 A2+B2 = COS [rvnJ Đặc biệt: ả] 1A2o A,A2 + B,B2 = 0 Nếu Ai và A2 có phương trình y - k,x + m, và y = k2x + m2 thì Ai 1 A2 k1.k2 = - 1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng A có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0[x0; yo]. Khoảng cách từ điểm Mo đến đường thẳng A, kí hiệu là d[M0,A]. được tính bởi công thức: d[M0,A]: Ti |ax0 +by0 + c| B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Lập phương trình tham sô' của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau: d đi qua điểm M[2; 1] và có vectơ chỉ phương u = [3; 4]; d đi qua điểm M[-2; 3] và vectơ pháp tuyến là n = [5; 1]. [ỹiắé Ta có: M[2; 1] và U = [3; 4]. Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M và có vectơ , , , " - fx = 2 + 3t chỉ phương u là: < [y = l + 4t M[-2; 3]; vectơ pháp tuyến n = [5; 1] thì d có vectơ chỉ phương U = [1; -5] , f X = -2 + t Phương trình tham sô của d là: < [y = 3-5t Lập phương trình tổng quát của đường thẳng A trong mỗi trường hợp sau: A đi qua M[-5; -8] và có hệ sô’ góc k = -3; b] A đi qua hai điểm A[2; 1] và B[-4; 5]. ỹiắi Phương trình đường thẳng A đi qua M[-5; -8] có hệ sô' góc k = -3 là: y - yM = k[x - XM] y + 8 = -3[x + 5] 3x + y + 23 = 0 A có vectơ chỉ phương AB = [-6; 4] x , •> » V - íx = 2 - 6t Phương trình tham sô của đường thắng A đi qua A và B là: < [y = l + 4t Khử t ta được: x -2 = y -1 2x + 3y - 7 - 0. 3. -6 4 Cho tam giác ABC, biết A[1; 4], B[3; -1] và C[6; 2]. Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC và CA; Lập phương trình tổng quát cùa đường cao AH và trung tuyến AM. Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là: X~*A = y-yA -5x + 5 = 2y - 8 o 5x + 2y - 13 = 0 XB-XA yB-yA 3-1 -1"4 Tương tự BC: X - y - 4 = 0; CA: 2x + 5y - 22 = 0 Đường cao AH đi qua A[ 1; 4] vuông góc với BC nên AH: X + y + c = 0 AH qua A[l; 4] nên l + 4 + C = 0=>C = -5. Vậy phương trình đường cao AH: X + y - 5 = 0. M là trung điểm của BC thì M Phương trình trung tuyến AM: ^x+y-5 = 0. XA-XM yA-yM 4_i 2 2 Viết phương trinh tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M[4; 0] và điểm N[0; -1]. Áp dụng phương trình đoạn chắn. Phương trình đường thẳng qua hai điểm M[4; 0] và N[0; -1] là 4 + “ = lo-x + 4y + 4 = 0 X - 4y - 4 = 0. 4-1 7 J Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng Ơ1 và d2 sau đày: df 4x - 10y + 1 = 0 và d2: X + y + 2 = 0; dt: 12x - 6y + 10 = 0 và d2: c = 5 + t_ [y = 3 + 2t d,:8x+ 10y - 12 = 0 và d2: jx = z6 + 5t ly = 6-4t 4 -10 Ta có — —— nên di và d2 cắt nhau. 11 Phương trình t ,ng quát của d2 là: d2 : 2x - y - 7 = 0. _ , 12 -6 10 , .. , Ta có — = nên di // d2. 2-1-7 Phương trình tổng quát của d2 là: d2: 4x + 5y - 6 = 0. , 8 _ 10 _ -12 . , _ , Ta có — = = —— nên di = d2. IX 2 I 6. Cho đường thẳng d có phương trinh tham sô' 4 5-6 y = 3 + t Tìm điểm M thuộc d và cách điểm A[0; 1] một khoảng bằng 5. ỹiẰi Ta có M[2 + 2t; 3 + t] e d và AM = 5 AM = 5 AM2 = 25 [2 + 2t]2 + [2 + t]2 = 25 5t2 + 12t - 17 = 0 » Vậy có hai điểm M thoả mãn đề bài là: Mi[4; 4]; M2^-^;--|j. Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng dt và ci2 lần lượt có phương trình dư4x-2y + 6 = 0 và d2: X - 3y + 1 = 0. ỹiẦí Ta có dp 4x - 2y + 6 = 0 d2: X - 3y + 1 = 0. Gọi tp là góc giữa di và d2 có: costp = 10 _ 72 1072 - 2 |aia2+bib2| _ |4 + 6| _ 10 - VĩẽTĨ.TĩTõ " 72Õ.7ĨÕ Vậy: [p = 45°. A[3; 5], B[1;-2], C[1;2], Tìm khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau: A: 4x + 3y + 1 =0; d: 3x - 4y - 26 = 0; m: 3x + 4y - 11 =0. Ta có A[3; 5] A: 4x + 3y + 1 = 0 Ta có C[l; 2] m: 3x + 4y - 11 = 0 d[C,m] , l” ựgl- nl ■ 0 . vậỵ c e m. 79 + 16 Tim bán kính của đường trồn tàm C[-2; -2] tiếp xúc với đường thẳng A: 5x+ 12y-10 = 0 ỹiải Bán kính đường tròn là khoảng cách từ c đến A. R g d[C, A] = 725 +144 13 „ 44 Vậy R = c. BÀI TẬP LÀM THÊM Cho tam giác ABC có phương trinh cạnh AB là 6x - 3y + 2 = 0. Các đường cao qua đỉnh A và B lần lượt là 4x - 3y + 1 = 0,7x + 2y - 22 = 0. Lập phương trình tổng quát hai cạnh AC, BC và đường cao qua c. ‘rựcứcttỹ [tẩn Gọi H là trực tâm tam giác ABC: [A] = AB r\ AH => A[-l; -1] |B[ = AB n HB => B[2; 4] AC: 2x - 7y - 5 - 0; BC: 3x + 4y - 22 = 0; CH: 3x + 5y - 23 = 0 Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác ABC nếu cho B[-4; -5] và hai đường cao có phương trình là: 5x + 3y - 4 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0 Giả sử hai đường cao AH: 3x + 8y.+ 13 = 0; CK: 5x + 3y - 4 = 0 AB qua A và vuông góc với CK nên AB: 3x - 5y - 13 = 0 BC qua B và vuông góc với AH nên BC: 8x - 3y + 17 = 0 AC: 5x + 2y - 1 = 0 Cho ba trung điểm của ba cạnh của tam giác là: M, [2 ; 1], M2[5 ; 3], M3[3; -4]. Viết phương trinh tổng quát các cạnh của tam giác. a] 2x + 3y + 1 =0 và 4x + 5y - 6 = 0; b] 4x - y + 2 = 0 và -8x + 2y + 1 =0; c] 3x - 2y + 1 =0 và -6x + 4y - 2 = 0. 5. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu cho A[1; 3] và hai Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây, nếu chúng cắt nhau thì tìm tọa độ giao điểm. đường trung tuyến có phương trình là: X - 2y + 1 = 0 và y - 1 =0. Cho tam giác ABC, có trung điểm một cạnh là M[-1; 1] còn hai cạnh kia có phương trinh là X + y - 2 = 0 và 2x + 6y + 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác. dẳtí Giả sử M là trung điểm BC, hai cạnh có phương trình đã cho là AB, AC. Xác định được A, các trung điểm p, Q của các cạnh AB và AC. Cho hình vuông đỉnh A[-4; 5] và một đường chéo đặt trên đường thẳng 7x - y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh và đường chéo thứ hai của hình vuông. dẩti Đường chéo AC: X + 7y - 31 = 0 Đường thẳng AB hợp với đường chéo AC một góc 45°. Cho hai điểm P[2; 5] và Q[5; 1]. Viết phương trình đường thẳng đi qua p sao cho khoảng cách từ Q đến đường thẳng đó bằng 3. ĩ]afitĩ: 7x + 24y — 134 = 0. Cho tam giác ABC có diện tích bằng , hai đỉnh A[3; -3], B[3; -2] và trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng 3x - y - 8 = 0. Tìm tọa độ đỉnh c. Cho ba đường thẳng dư 3x + 4y - 6 = 0; d2: 4x + 3y - 1 = 0; d3: y = 0. Gọi A là giao điểm của d, và d2, {B} = d2 n d3; {C} = d, nd2 Viết phương trình phân giác trong của góc A và tính diện tích tam giác ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp AABC. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm P[2; 1] sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d[: 2x - y + 5 = 0 và đ2: 3x + 6y - 1 =0 tạo thành một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của dì và d2. 4».' 3x + y - 5 = 0; X - 3y - 5 = 0.
14:29:0614/05/2020
Tuy nhiên, để Viết được phương trình các cạnh của tam giác ABC hay viết phương trình đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến và đường phân giác, ngoài việc nhớ cách viết phương trình đường thẳng các em cần nhớ được tính chất của các đường này.
Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu một số loại bài tập thường gặp về viết phương trình các cạnh, phương trình đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác của góc trong tam giác và mối quan hệ qua lại giữa các đường thẳng này.
• Loại 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A, B, C.
* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A[3;-1], B[6;2] và C[1;4]. Hãy viết phương trình đường thẳng AB, BC và CA.
° Lời giải:
- Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
- Tương tự PTTQ của đường thẳng BC là:
- Tương tự PTTQ của đường thẳng CA là:
• Loại 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh A và 2 đường cao BI và CH.
* Ví dụ: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết A[2;2] và đường cao BI và CH có phương trình lần lượt là 9x - 3y - 4 = 0 và x + y - 2 = 0.
° Lời giải:
- Vì BI ⊥ AC nên vectơ pháp tuyến của BI là vectơ chỉ phương của AC tức là:
⇒ PTĐT AC qua A[2;2] có VTPT [1;3] có pt:
¤ Lưu ý: Có thể viết PTĐT AC có VTPT [1;3] có dạng: x + 3y + m = 0 qua A[2;2] nên thay A vào pt được: 2 + 3.2 + m = 0 ⇒ m = -8 ⇒ PTĐT AC là: x + 3y - 8 = 0.
- Tương tự vì CH ⊥ AB nên vectơ pháp tuyến của CH là vectơ chỉ phương của AB tức là:
⇒ PTĐT AB qua A[2;2] có VTPT [-1;1] có pt:
- Tọa độ B là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi đường thẳng AB và BI:
Giải hệ trên được B[2/3;2/3]
- Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi đường thẳng AC và CH:
Giải hệ này được C[-1;3].
⇒ Phương trình tổng quát cạnh BC của tam giác có dạng:
° Loại 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm A và 2 đường trung tuyến BM và CN.
* Ví dụ: Cho tam giác ABC có A[2;1] và hai đường trung tuyến BM và CN có phương trình lần lượt là: 2x + y - 1 = 0 và x - 1 = 0.
° Lời giải:
- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ pt tạo bởi BM và CN:
- Gọi B[xB;yB], vì B thuộc đường trung tuyến BM nên ta có:
2xB + yB - 1 = 0 ⇒ yB = -2xB + 1 ⇒ B[xB; -2xB+1]
- Gọi C[xC;yC], vì C thuộc đường trung tuyến CN nên ta có:
xC - 1 = 0 ⇒ xC = 1 ⇒ C[1;yC]
- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên có:
- Bài toán giờ trở về lập pt các cạnh của tam giác biết tọa độ điểm A[2;1], B[0;1] và C[1;-5] như loại 1.[Các em tự làm tiếp].
° Loại 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC khi biết tọa độ điểm các trung điểm
* Ví dụ: Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết tọa độ các trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M[2;0], N[2;2] và P[-1;3]
° Lời giải:
• Cách 1: Sử dụng tính chất trung điểm [cách phổ biến thường dùng].
- Vì M là trung điểm của cạnh BC nên có:
- Vì N là trung điểm của cạnh CA nên có:
- Vì P là trung điểm của cạnh AB nên có:
- Để tìm tạo độ A,B,C của tam giác ta đi giải hệ phương trình:
- Vậy ta có tọa độ các điểm A[-1;5], B[-1;1] và C[5;-1]
- Lập phương trình các cạnh tương tự loại 1.
• Cách 2: Sử dụng tính tổng vectơ của hình bình hành [các em vẽ hình để dễ hình dung].
- Tứ giác ANMP là hình bình hành nên có:
- Tứ giác BMNP là hình bình hành nên:
- Tương tự CMPN là hình bình hành nên:
- Từ đây ta quay lại loại 1 lập pt các cạnh tam giác ABC khi biết tọa độ các đỉnh.
° Loại 5: Viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác ABC khi biết tọa độ A,B,C.
* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A[3;-1], B[6;2] và C[1;4]. Hãy viết phương trình các đường trung tuyến của tam giác.
¤ Lời giải:
• Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác, đường trung tuyến từ đỉnh A đi qua trung điểm của cạnh BC. Gọi M[xM;yM] là trung điểm của BC, khi đó ta có:
- Phương trình tổng quát đường trung tuyến hạ từ A xuống BC là:
• Làm tương tự với các đường trung tuyến hạ từ B xuống AC và C xuống AB.
° Loại 6: Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC khi biết tọa độ A,B,C.
* Ví dụ: Cho tam giác ABC biết A[3;-1], B[6;2] và C[1;4]. Hãy viết phương trình các đường cao của tam giác.
¤ Lời giải:
• Sử dụng tính chất đường cao trong tam giác, đường cao hạ từ đỉnh A vuông góc với cạnh BC nên có vectơ BC là pháp tuyến.
⇒ Phương trình đường cao đi qua A[3;-1] có vectơ pháp tuyến
• Tương tự, đường cao qua B vuông góc AC nhận AC làm vectơ pháp tuyến; đường cao qua C vuông góc AB nhận AB làm vectơ pháp tuyến.
° Loại 7: Viết phương trình các đường phân giác của tam giác ABC khi biết tọa độ A,B,C.
* Phương pháp giải:
- Cho 2 đường thẳng cắt nhau [d1]: A1x + b1y + C1 = 0 và [d2]: A2x + B2y + C2 = 0.
- Sử dụng tính chất đường phân giác, điểm M[x;y] bất kỳ thuộc đường phân giác luôn cách đều 2 đường thẳng [d1] và [d2]. Tức là, phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:
* Chú ý: Cho đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 và hai điểm A[xA; yA]; B[xB;yB ].
- Đặt f[x;y] = Ax + By + C:
+ A và B nằm về cùng một phía đối với ∆ ⇔ f[xA; yA].f[xB; yB] > 0
+ A và B nằm khác phía đối với ∆ ⇔ f[xA; yA]. f[xB; yB] < 0
* Ví dụ: Cho tam giác ABC có A[0;2], B[1;2] và C[3;6]. Phương trình đường phân giác trong các góc A,B,C của tam giác.
¤ Lời giải:
• Sử dụng tính chất đường phân giác trong tam giác. Bất kỳ điểm M nào nằm trên đường phân giác góc A cách đều cạnh AB và AC.
Tức là M[xM;yM] nằm trên đường phân giác góc A thì:
⇒ Như vậy trước hết cần lập phương trình đường thẳng AB, AC và BC, sau đó tính khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường phân giác tới 2 cạnh tương ứng.
• Viết pt đường phân giác góc A
- Đường thẳng AB qua A[0;2] có VTCP:
⇒ PT đường thẳng AB: 0[x - 0] + 1[y - 2] = 0 ⇔ y - 2 = 0
- Tương tự AC qua A[0;2] có VTCP:
⇒ PT đường thẳng AC: 4[x - 0] – 3[y - 2] = 0 ⇔ 4x - 3y + 6 = 0
⇒ Các đường phân giác góc A là:
- Ta đặt f1[x;y] = x - 2y + 4
⇒ f1[B].f1[C] = [1 - 2.2 + 4][3 - 2.6 + 4] = -5 < 0
⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng: x - 2y + 4 = 0.
⇒ Đường phân giác trong góc A là: x - 2y + 4 = 0
- Ta đặt f2[x;y] = 2x + y - 2
⇒ f2[B].f2[C] = [2.1 + 2 - 2][2.3 + 6 - 2] = 20 > 0
⇒ Đường phân giác ngoài góc A là: 2x + y - 2 = 0
• Viết pt đường phân giác góc B và C tương tự
Hy vọng với bài viết Viết Phương trình các cạnh, đường cao, trung trực, trung tuyến, phân giác của Tam Giác ABC ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.