Vậy bài tập về cực trị của hàm số có những dạng phổ biến nào? Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này. Trước khi vào nội dung chính, chúng ta cần tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản về cực trị của hàm số.
I. Kiến thức về cực trị của hàm số cần nhớ
1. Định nghĩa cực trị hàm số:
- Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên khoảng [a;b] [a có thể là, b có thể là +] và điểm x0 [a;b].
a] Nếu tồn tại số h>0 sao cho f[x]0 sao cho f[x]>f[x0] với mọi x [x0- h; x0+ h] và x x0thì ta nói hàm số f[x] đạt cực tiểu tại x0.
* Chú ý:
Nếu hàm số f[x] đạt cực đại [cực tiểu] tại x0 thì:
x0được gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của hàm số.
f[x0] được gọi là giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] của hàm số, ký hiệu: fCĐ [fCT]
M[x0;f[x0]] gọi là điểm cực đại [điểm cực tiểu] của đồ thị.
Các điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị
Giá trị cực đại [giá trị cực tiểu] còn gọi là cực đại [cực tiểu] và gọi chung là cực trị của hàm số.
Nếu hàm số y = f[x] có đạo hàm trên khoảng [a;b] và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f'[x0] = 0.
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Khi f'[x] đổi dấu từ dương sang âm qua x = c thì x = c được gọi là điểm cực đại của hàm số.
Khi f'[x] đổi dấu từ âmsang dươngqua x = c thì x = c được gọi là điểm cực tiểu của hàm số.
3. Cách tìm cực trị [Quy tắc tìm cực trị] của hàm số
* Quy tắc tìm cực trị 1:
- Bước 1: Tìm tập xác định
- Bước 2: Tính f'[x]. Tìm các điểm tại đó f'[x] = 0 hoặc f'[x] không xác định.
- Bước 3: Lập bảng biến thiên
- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị
* Quy tắc tìm cực trị 2:
- Bước 1: Tìm tập xác định
- Bước 2: Tính f'[x].Giải phương trìnhf'[x] = 0 tìm các nghiệm xi [i=1,2,...]
- Bước 3:Tính f''[x] và tính các giá trị f''[xi]
- Bước 4:Dựa vào dấu của f''[xi] suy ra tính chất cực trị tại xi.
II. Các dạng bài tập về cực trị [cực đại, cực tiểu] của hàm số.
° Dạng 1: Xác định điểm cực trị, tìm điểm cực trị của hàm số
* Ví dụ 1 [Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12]:Áp dụng Quy tắc 1, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a] y = 2x3+ 3x2- 36x - 10
b] y = x4 + 2x2 - 3
c]
d] y = x3[1 - x]2
e]
* Lời giải:
a] y = 2x3+ 3x2- 36x - 10
- TXĐ: D = R
- Ta có y' = 6x2+ 6x - 36
- Cho y' = 0 6x2+ 6x - 36 = 0 x = -3 hoặc x = 2
- Bảng biến thiên:
-Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = -3 ; yCĐ= 71; và đạt cực tiểu tại x = 2; yCT= -54.
b] y = x4+ 2x2- 3
- TXĐ: D = R
- Ta có: y'= 4x3+ 4x = 4x[x2+ 1];
- Cho y' = 0 4x[x2+ 1] = 0 x = 0
- Bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; yCT= -3; Hàm số không có điểm cực đại.
c]
-TXĐ: D = R{0}
- Ta có:
- Bảng biến thiên:
- Kết luận: Vậy hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ= -2; vàđạt cực tiểu tại x = 1; yCT= 2.
d] y = x3[1 - x]2
-TXĐ: D = R
- Ta có: y'= [x3].[1 x]2+ x3.[[1 x]2]
= 3x2[1 x]2+ x3.2[1 x][1 x]
= 3x2[1 x]2- 2x3[1 x]
= x2[1 x][3 5x]
- Cho y' = 0 x2[1 x][3 5x] = 0 x = 0; x = 1 hoặc x = 3/5
- Bảng biến thiên:
- Kết luận:Vậy hàm số đạt cực đại tại
* Lưu ý: x = 0 không phải là cực trị vì tại điểm đó đạo hàm bằng 0 nhưng đạo hàm không đổi dấu khi đi qua x = 0.
e]
- TXĐ: D=R
- Ta có:
- Bảng biến thiên:
- Kết luận:Vậy hàm số đạt cực tiểu tại
* Ví dụ 2 [Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12]:Áp dụng Quy tắc 2, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a] y = x4- 2x2+ 1
b] y = sin2x x
c] y = sinx + cosx
d] y = x5- x3- 2x + 1
* Lời giải:
a] y = x4- 2x2+ 1
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y' = 4x3- 4x = 0 4x[x2 1] = 0 x = 0 hoặc x = ±1.
- Ta có: y" = 12x2- 4. Tính y'' tại các điểmx = 0 và x = ±1.
y"[0] = -4 < 0 x = 0 là điểm cực đại của hàm số, yCĐ = 1
y"[1] = 8 > 0 x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT= 0
y"[-1] = 8 > 0 x = -1 là điểm cực tiểu của hàm số, yCT= 0
b] y = sin2x x
-TXĐ: D = R
- Ta có:y' = 2cos2x 1 = 0
- Ta có: y'' = -4sin2x. Tính y'' tại
c] y = sinx + cosx
- TXĐ: D=R
- Ta có: y' = cosx - sinx = 0
- Ta có:
- Kết luận: Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm
d] y = x5- x3- 2x + 1
- TXĐ: D = R
- Ta có: y'= 5x4- 3x2- 2 = 0
[x2 - 1][5x2 + 2]= 0
x2- 1= 0 x = 1 hoặc x = -1
- Ta có: y" = 20x3- 6x
y"[-1] = -20 + 6 = -14 < 0
x = -1 là điểm cực đại của hàm số.
y"[1] = 20 6 = 14 > 0
x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
* Nhận xét: Theo kinh nghiệm thì các hàm vô tỉ thông thường các em nên áp dụng quy tắc 1, còn đối với các hàm
° Dạng 2:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị [Tìm m để hàm có có cực đại, cực tiểu].
* Ví dụ 1 [Bài4 trang 18 SGK Giải tích 12]:Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số
y = x3- mx2- 2x + 1; luôn luôn có một cực đại và một điểm cực tiểu.
° Lời giải:
-TXĐ: D = R
- Ta có: y' = 3x2- 2mx 2 = 0
- Ta có:y = 6x 2m.
- Kết luận:Vậy hàm số luôn có 1 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu với mọi giá trị của m.
* Ví dụ2 [Bài 6 trang 18 SGK Giải tích 12]:Xác định giá trị của tham số m để hàm số m để hàm số
* Lời giải:
a] TXĐ: D=R{-m}
* Cách 1 [áp dụng quy tắc 1]:
- Ta có bảng biến thiên sau:
- Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -m 1, mà theo bài ra hàm số đạt cực đại tại x = 2, nên ta có: -m 1 = 2 m = -3 yCT = 1
* Cách 2 [áp dụng quy tắc 2]:
- Tính y'', có:
- Hàm số đạt cực đại tại
+]
+]
- Đối chiếu điều kiện ta thấy m=-1 [loại], m=-3 [thỏa mãn]
- Với m=-3 yCT= 1
° Dạng 3:Tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
* Ví dụ 1[Bài 5 trang 18 SGK Giải tích 12]:Tìm a và b để các cực trị của hàm số
* Lời giải:
- TXĐ: D = R.
- Ta có: y = 5a2x2+ 4ax 9.
y = 10a2x + 4a.
¤ Nếu a = 0 thì y = -9 < 0 với x R
Hàm số không có cực trị [loại]
¤Nếu a 0 ta có:y = 5a2x2+ 4ax 9 = 0
- Ta có:
- Theo yêu cầu bài ra, thì hàm số đạt cực đại tại x0 = -5/9:
- Hàm số đã cho có cực trị đều dương yCT> 0.
» Với
» Với
- Kết luận: Vậy các giá trị a,b cần tìm là:
* Ví dụ 2: Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 - 8m2x2 + 3 có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
°Lời giải:
- TXĐ: D=R
- Ta có: y' = 4x[x2 - 4m2]
- Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt m 0.
- Khi đó, các điểm cực trị là A[2m;-16m2+3]; B[0;3]; C[-2m;-16m2+3]
Nên BC = BA, tam giác ABC cân tại B. Để tam giác ABC vuông cân thì:
- Kết luận: Với m =±1/8 thì hàm số trên có 3 điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.