13:48:0617/03/2022
Vậy cách giải dạng toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối như thế nào? chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua bài viết này.
I. Cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối
- Tìm GTNN, GTLN của biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối thường có 2 dạng sau:
• Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0.
- Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a [với a là số đã biết] để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a
- Hoặc, ta biến đổi biểu thức A về dạng A ≤ b [với b là số đã biết] từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
• Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.
Phương pháp: Sử dụng tính chất, với mọi x, y ∈ Q, ta có:
|x + y| ≤ |x| + |y|
|x – y| ≥ |x| - |y|
II. Vận dụng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
* Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 2022| + 1
* Lời giải:
- Ta có: A = |2x + 2022| + 5
Vì |2x + 2022| ≥ 0, với mọi x
Suy ra |2x + 2022| + 5 ≥ 0 + 5, ∀ x
Do đó A ≥ 5, ∀ x
Vậy GTNN của A là , khi |2x + 2022| = 0,
nghĩa là: 2x + 2022 = 0 ⇒ x = -1011.
* Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = 2022 - |5x + 15|
* Lời giải:
- Ta có: B = 2022 - |5x + 15|
Vì |5x + 15| ≥ 0, ∀x
⇒ -|5x + 15| ≤ 0, ∀x
⇒ -|5x + 15| + 2022 ≤ 2022, ∀x
⇒ 2022 - |5x + 15| ≤ 2022, ∀x
Suy ra B ≤ 2022, ∀x
Vậy GTLN của B là 2022, khi |5x + 15| = 0,
Tức là 5x + 15 = 0 ⇒ x = -3.
* Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x – 10| + |x – 2022|
* Lời giải:
- Ta có: C = |x – 10| + |x – 2022|
= |x – 10| + |-[x – 2022]| [vì |a| = |-a|]
= |x – 10| + |2022 – x|
Vì |x – 1| + |2022 – x| ≥ |x – 1 + 2022 – x| [theo tính chất ở phần lý thuyết]
Mà |x – 1 + 2022 – x| = |2022 – 1| = |2021| = 2021
Suy ra C ≥ 2021
Vậy GTNN của C là 2021.
* Bài tập 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: D = |x + 2022| - |x – 2018|
* Lời giải:
- Ta có: D = |x + 2022| - |x – 2018| ≤ |x + 2022 – [x – 2018]| [áp dụng tính chất ở phần lý thuyết]
Vì |x + 2022 – [x – 2018]| = |x + 2022 – x + 2018| = |4040| = 4040
Suy ra D ≤ 4040
Vậy GTLN của D là 4040.
* Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 2|3x - 5| - 1
* Lời giải:
- Ta có: M = 2|3x - 5| - 1
|3x - 5| ≥ 0, ∀x
⇒ 2|3x - 5| ≥ 0, ∀x
Do đó 2|3x - 5| - 1 ≥ -1, ∀x
Vậy GTNN của M = -1 tại 3x - 5 = 0 ⇔ x = 5/3.
* Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của N = 7 + |3 - x|
* Hướng dẫn:
N đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 tại x = 3.
* Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của K = 15 - 4|x - 3|
* Lời giải:
- Với mọi x ta có: |x - 3| ≥ 0
⇒ -4|x - 3| ≤ 0, ∀x
⇒ -4|x - 3| + 15 ≤ 15, ∀x
Vậy giá trị lớn nhất của K = 15 tại -4|x - 3| = 0 ⇔ x = 3.
* Bài tập 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức I = 9 - |3x - 2|
* Hướng dẫn:
I đạt giá trị lớn nhất bằng 9 tại x = 2/3.
* Bài tập 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = |x + 5| + |x - 3| + 4
* Lời giải:
- Ta có: |x – 3| = |-[x – 3]| = |3 – x| [vì |a| = |-a|]
Khi đó P = |x + 5| + |3 – x| + 4
Mà |x + 5| + |3 - x| ≥ |x + 5 + 3 - x| = |8| = 8
Nên P = |x + 5| + |x - 3| + 4 = |x + 5| + |3 – x| + 4 ≥ 8 + 4 = 12
* Bài tập 10: Tìm giá trị của x và y để biểu thức
* Lời giải:
Ta có: |3x + 5| ≥ 0, ∀x; |4y + 3| ≥ 0, ∀y
⇒ |3x + 5| + |4y + 3| ≥ 0, ∀x, y
⇒|3x + 5| + |4y + 3| + 9 ≥ 0 + 9 = 9, ∀x, y
Suy ra: Q ≤ 20/3, ∀x, y
Dấu "=" xảy ra khi:
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 20/3 khi x = -5/3 và y = -3/4.
* Bài tập 11. Tìm GTNN của các biểu thức:
a] A = 2|5x - 3| - 1
b] B = 5|3 - 4x| - 2
c] C = 2x2 + 5|y - 3| - 7
* Bài tập 12: Tìm GTLN của các biểu thức:
a] A = 9 - |2x - 5|
b]
Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.
Bài toán min max chứa dấu giá trị tuyệt đối là dạng bài toán vận dụng, vận dụng cao trong trong chương 1 của chương trình 12
Bài toán tổng quát. Cho hàm số $f[x]$ xác định trên $[a;b]$. Tìm min, max của hàm số $y=|f[x]|$ trên $[a;b]$
Phương pháp 1. Giả sử $m, M$ là GTNN và GTLN của hàm số $f[x]$ trên $[a;b]$. Khi đó $$\max_{[a;b]}|f[x]|=\max\{|m|, |M|\}$$
$$\min_{[a;b]}|f[x]|=\begin{cases}m \ [m>0]\\0 \ [m0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m2\end{array}\right.$ thì áp dụng công thức tính nhanh ta được
$$\begin{cases}\displaystyle\min_{[0;2]}|y|=|m|-2\\ \displaystyle\max_{[0;2]}|y|=|m|+2\end{cases}$$
Suy ra
$$\min_{[0;2]}|y|+\max_{[0;2]}|y|=6\Leftrightarrow |m|=3\Leftrightarrow m=\pm 3\ [\text{thỏa}]$$
Vậy có $2$ số nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 3. Tìm tham số để GTLN của hàm số $y=|f[x]+g[m]|$ trên đoạn $[a;b]$ đạt GTNN.
Ghi nhớ.
$\max\{\alpha,\beta\}\ge \dfrac{\alpha+\beta}{2}$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha=\beta$
$|\alpha|+|\beta|\ge |\alpha+\beta|$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\alpha,\beta$ cùng dấu, tức là $\alpha\beta\ge 0$
Ví dụ. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y=|x^2+2x+m-4|$ trên đoạn $[-2;1]$ đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số $m$ bằng bao nhiêu?