Phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 ví dụ

Phương pháp: Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = sin(π/6). 

c) tanx – 1 = 0

b) 2cosx = 1. 

d) cotx = tan2x.

Lời giải

Dạng 2: Phương trình bậc nhất có một hàm lượng giác

Phương pháp: Đưa về phương trình cơ bản, ví dụ asinx + b = 0 ⇔  sinx = -b/a

Ví dụ: Giải phương trình sau:

Dạng 3: Phương trình bậc hai có một hàm lượng giác 

Dạng 4: Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx

Xét phương trình asinx + bcosx = c (1) với a, b là các số thực khác 0.

Dạng 5: Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng

Phương pháp

Phương trình đối xứng là phương trình có dạng:

a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c = 0 (3)

Phương pháp giải:

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ:

Thay vào (3) ta được phương trình bậc hai theo t.

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng:

a(sinx – cosx) + bsinxcosx + c = 0 (4)

I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

\(at + b = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Trong đó, \(a,b\) là các hằng số \(\left( {a \ne 0} \right)\) và \(t\) là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Chia cả hai vế cho \(a\) ta được được \(\left( 1 \right)\) về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}2\cos x - \sqrt 3  = 0\\ \Leftrightarrow 2\cos x = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \cos x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \cos \frac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array}\)

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ:

\(\begin{array}{l}5\sin x - \sin 2x = 0\\ \Leftrightarrow 5\sin x - 2\sin x\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \sin x\left( {5 - 2\cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\5 - 2\cos x = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = \frac{5}{2}\left( {VN\,vi\,\frac{5}{2} > 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in Z\end{array}\)

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

\(a{t^2} + bt + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Trong đó \(a,b,c\) là các hằng số và \(t\) là một trong số các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).

- Giải phương trình với ẩn phụ.

- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

\({\tan ^2}x - \tan x - 2 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(t = \tan x\) thì (1) là:

\({t^2} - t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x =  - 1\\\tan x = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = \arctan 2 + k\pi \end{array} \right.,k \in Z\end{array}\)

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI \(\sin x\) VÀ \(\cos x\)

Xét phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\)

+) Chia hai vế phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

+) Gọi \(α\) là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto \(\overrightarrow {OM}  = (a;b)\) thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:

\(\sin (x + \alpha ) = {c \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

Chú ý : Để phương trình \(\sin (x + a) = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\) có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

\(\left| {{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right| \le 1\)

\(\Leftrightarrow \left| c \right| \le \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \)

\(\Leftrightarrow {c^2} \le {a^2} + {b^2}\)

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm.

Loigiaihay.com

12:47:2821/07/2021

Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?

• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

1. Phương trình sinx = a (1)

- Nếu |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

 Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là

 Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết:

 α = arcsina.

 Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là:

 x = arcsina + k2π, k ∈ Z

 và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó sinx = 1 

° a = -1 khi đó sinx = -1

° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

° Đặc biệt nếu:

 +)

 +)

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) sinx = 1/3;

b) sin(x + 45o) = (-√2)/2.

> Lời giải:

a) sin⁡x = 1/3

⇔ x = arcsin(1/3).

- Vậy phương trình sin⁡x = 1/3 có các nghiệm là:

 x = arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z

và x = π - arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z

b) sin(x + 45o) = -(√2)/2.

- Vì: (-√2)/2 = sin⁡(-45o) nên

 sin⁡(x + 45o) = (-√2)/2

⇔ sin⁡(x+45o) = sin⁡(-45o)

⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z

 và x + 45o = 180o - (-45o) + k360o, k ∈ Z

⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z

 và x = 180o - (-45o ) - 45o + k360o,k ∈ Z

Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z

2. Phương trình cosx = a (2)

- Nếu |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

 Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là:

 x = α + k2π, k ∈ Z

 và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cosα = a thì ta viết:

 α = arccosa.

Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là:

 x = arccosa + k2π, k ∈ Z

 và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z

° a = -1 khi đó cosx = -1 

° a = 0 khi đó cosx = 0 

° Đặc biệt nếu:

 +) 

 +)

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) cosx = (-1)/2;

b) cosx = 2/3;

c) cos(x + 30o) = √3/2.

> Lời giải:

a) cosx = (-1)/2;

- Vì (-1)/2 = cos(2π/3) nên cosx = (-1)/2

⇔ cosx = cos(2π/3)

⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z

b)cos ⁡x = 2/3

⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z

c) cos(x + 30o) = √3/2.

- Vì (√3)/2 = cos30o nên cos⁡(x + 30o)= (√3)/2

⇔ cos⁡(x + 30o) = cos30o

⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z

3. Phương trình tanx = a (3)

- Điều kiện:

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết:

 α = arctana.

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +) tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +) tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

a) tanx = 1;      b) tanx = -1;      c) tanx = 0.

> Lời giải:

a) tan⁡x = 1 ⇔ tanx = tan⁡(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b) tanx = -1 ⇔ tan⁡x = tan⁡(-π/4) ⇔ x =(-π/4) + kπ, k ∈ Z

c) tan⁡x = 0 ⇔ tan⁡x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

4. Phương trình cotx = a (4)

- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết:

 α = arccota.

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +) cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z.

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau

a) cotx = 1;

b) cotx = -1;

c) cotx = 0.

> Lời giải:

a)cot⁡x = 1 ⇔ cot⁡x = cot(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b)cot⁡x = -1 ⇔ cot⁡x = cot⁡(-π/4) ⇔ x = (-π/4) + kπ,k ∈ Z

c)cot⁡x = 0 ⇔ cot⁡x = cot⁡(π/2) ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z

> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải, hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.