Phương trình chính tắc của E có độ dài trục lớn 2a 10

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau. Bài 32 trang 103 SGK Hình học 10 Nâng cao – Bài 5. Đường Elip

Viết phương trình chính tắc của đường elip (E) trong mỗi trường hợp sau

a) (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai \(e = {{\sqrt 3 } \over 2};\)

b) (E) có độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4;

c) (E) có một tiêu điểm là \(F(\sqrt 3 ;0)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right).\)

a) Ta có:

\(\eqalign{ & 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4 \cr & e = {c \over a} = {{\sqrt 3 } \over 2} \Rightarrow c = 2\sqrt 3 \cr

& {b^2} = {a^2} – {c^2} = 16 – 12 = 4 \cr} \)

Vậy \((E):{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1.\)

b) Ta có: 

Quảng cáo

\(\eqalign{ & 2b = 8 \Leftrightarrow b = 4 \cr & 2c = 4 \Leftrightarrow c = 2 \cr

& {a^2} = {b^2} + {c^2} = 16 + 4 = 20 \cr} \) 

Vậy \((E):{{{x^2}} \over {20}} + {{{y^2}} \over {16}} = 1.\)

c) Ta có: \(c = \sqrt 3  \Rightarrow {a^2} – {b^2} = 3\)

Giả sử: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)

\(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\) nên \({1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình:

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a^2} – {b^2} = 3 \hfill \cr {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {a^2} = {b^2} + 3 \hfill \cr 4{b^4} + 5{b^2} – 9 = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {b^2} = – {9 \over 4}\,(loai) \hfill \cr

{b^2} = 1 \Rightarrow {a^2} = 4 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy  \((E):{{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)

Với Công thức viết phương trình chính tắc của Elip Toán lớp 10 Hình học chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn Công thức viết phương trình chính tắc của Elip biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Công thức viết phương trình chính tắc của Elip - Toán lớp 10

I. Lý thuyết tổng hợp.

- Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 và F2 và một độ dài không đổi 2a lớn hơn F1F2. Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho F1M+F2M=2a.

- Phương trình chính tắc của elip: Cho elip (E) có các tiêu điểm F1 và F2. Điểm M thuộc elip khi và chỉ khi F1M+F2M=2a. Chọn hệ trục tọa độ Oxy, cho F1(-c; 0) và F2(c; 0). Khi đó ta có:

M (x; y) ∈(E)⇔x2a2+y2b2=1. (1)  với b2=a2−c2

Phương trình (1) là phương trình chính tắc của elip.

II. Các công thức.

Từ các thông tin đề bài cho, ta tìm a, b dựa vào các công thức:

+ Hai tiêu điểm: F1(-c; 0) và F2(c; 0)

+ Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1 (0; -b) và B2(0; b)

+ Độ dài trục lớn: A1A2=2a

+ Độ dài trục nhỏ: B1B2=2b

+ Tiêu cự: F1F2=2c

+ Tâm sai của (E): e=ca<1

+ b2=a2−c2

Từ đó tìm ra a và b để viết phương trình chính tắc của elip: x2a2+y2b2=1

III. Ví dụ minh họa.

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 12, độ dài trục nhỏ là 6.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1 (0; -b) và B2(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: A1A2=2a=12⇒a=6

Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2=2b=6⇒b=3 

Ta có phương trình chính tắc của elip: x262+y232=1⇔x236+y29=1.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 12 và tâm sai là 0,5 . Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Lời giải:

Bài 3: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 18, độ dài trục nhỏ là 10.

Lời giải:

Gọi các đỉnh của elip là: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1 (0; -b) và B2(0; b)

Ta có độ dài trục lớn: A1A2=2a=18⇒a=9

Ta có độ dài trục nhỏ: B1B2=2b=10⇒b=5 

Ta có phương trình chính tắc của elip: 

x292+y252=1⇔x281+y225=1

IV. Bài tập tự luyện.

Bài 1: Lập phương trình elip (E) biết độ dài trục lớn là 20, độ dài trục nhỏ là 14.

Bài 2: Cho elip (E) có tiêu cự là 18 và tâm sai là 0,5. Lập phương trình chính tắc của elip (E).

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 10 đầy đủ và chi tiết khác:

Công thức xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng song song 

Công thức xác định tâm và bán kính của đường tròn hay, chi tiết nhất 

Công thức viết phương trình đường tròn 

Công thức viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 

Công thức xác định tiêu điểm, tiêu cự, tâm sai, độ dài trục lớn, trục bé của Elip 

BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP KIẾN THỨC CẦN NAM vững Elip Cho hai điểm cố định F1, F2và độ dài không đổi 2a lớn hơn FiFg. Elip là tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho: MFi + MF2 = 2a. Trong đó: Tiêu điểm của elip là Fb F2 Tiêu cự của elip chính là độ dài F1F2 - 2c. Phương trình chính tắc Cho hệ trục tạo độ Oxy với o là trung điểm của F!F2; trục hoành trùng với tiêu cự, sao cho Fi(-c; 0) và F2(c; 0); trục tung trùng với đường trung trực của F1F2. Trong hệ trục Oxy đó, elip có phương trình 2 2 . z . z x y chính tắc là: —r + = 1 a2 b2 Hình dạng của elip Elip có trục đối xứng là Ox và Oy, tâm đối xứng là o. Elip cắt Ox tại Ai(-a; 0) và A2(a; 0); cắt Oy tại B1(O; -b) và B2(0; b). Khi đó: + A1, A2, Bi, B2 gọi là đỉnh của elip + AịA2 = 2a gọi là trục lớn của elip + B1B2 = 2b gọi là trục nhỏ của elip. Liên hệ giữa đường tròn và elip Đường tròn X2 + y2 = a2 được co về trục Ox thành elip X2 V2 b —7 + = 1, với hệ số co k = —(()< b < a). a b a GIẢI BÀI TẬP Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh của các elip có phương trình sau: a)^- + 7- = l; b) 4x2 + 9y2 = 1; c) 4x2 + 9y2 = 36. 25 9 Giải a) Ta có: a2 = 25 => a = 5 b2 = 9 => b = 3 Vậy c2 = a2 - b2 = 25 - 9 = 16 => c = 4 Độ dài trục lớn là A1A2 = 10 Độ dài trục nhỏ là B1B2 = 6 Tiêu điểm là Fi(-4; 0); F2(4; 0) Tọa độ các đính là A1(—5; 0); As(5; 0); B1(O; -3); Ba(0;3) b) Ta có: a2 Độ dài trục lớn là AjA2 = 1 Độ dài trục nhỏ là B1B2 = Tiêu điểm là F, Tọa độ các đỉnh là Chia 2 vế của phương trình cho 36, ta được Ta có: a2 = 9 => a = 3 => c = V5 b2 = 4 => b = 2 Vậy: c2 = a2 - b2 =9-4 = 5 Độ dài trục lớn là A1A2 = 6 Độ dài trục nhỏ là B]B2 = 4 Tiêu điểm là Fị(-\/5;0); F,(V5;()j Tọa độ các đỉnh là Ai(-3; 0); A2(3; 0); B1(O; -2); B2(0; 2) Lập phương trình chính tắc của elip, biết: Độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là 8 và 6. Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6. Giải a) Vì độ dài trục lớn A1A2 = 2a = 8 nên a = 4 Vì độ dài trục nhỏ B1B2 - 2b = 6 nên b = 3 Vậy phương trình cua (E) là — + — = i 25 16 a) Vì độ dài trục lớn AjA2 = 2a = 10 nên a - 5 Vì tiêu cự F!F2 = 2c = 6 nên c = 3 Ta có: b2 = a2 - c2 = 25 - 9 = 16 2 2 . x X y Vậy phương trình (E) là — + — = 1. 25 16 Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau: . 12 a) Elip đi qua các điểm M(0; 3) và N 3;—— 1 5 b) Elip có một tiêu điểm là F,i—v/3;0l và điểm V3 M 1;— 2 nằm trên elip. Giải a) Phương trình (E) có dạng: —— + = 1 a b „ 9 . , ọ „ M(0; 3) e (E) « 0 + -- = 1 o b2 = 9 b 9 144 25b2 ” 12 5 (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra a" a2 = 25 b2 =9 Vì M e (E) nên -y + = 1 a 4b (1) (2) X’ y- Vậy phương trình của (E) là —— + — = 1 25 9 b) Vì (E) có tiêu điểm F( í -ạ/3;0 ị nên ta có c = V3 Mặt khác c2 = a2 - b2 nên a2 - b2 = = 3 Từ (1) và (2) suy ra < hay Vậy phương trình của (E) là -—F -— = 1 Để cắt một báng hiệu quảng cáo hình elip có trục lớn là 80cm và trục nhó là 40cm từ một tâm ván ép hình chừ nhật có kích thước 80cm X 40cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hình dưới. Hoi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván .ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu? Giải Vì trục lờn của clip A]A2 = 2a = 80cm nên a = 40 (cm) => a2 = 1600 Vì trục nhỏ của clip bhB-2 = 2b = 40cm nên b = 20 (cm) => b2 = 400 3 1-2 Ta có: c2 = a2 — b2 = 1600 - 400 = 1200 Suy ra c = 20 VH Vậy phải ghim 2 cây đinh F], F2 cách mép tấm ván ép là: AiFi = A2F2 = 40 - 20 Vi * 5,36(cm) Độ dài của vòng dây là: MFi + MF2 + F1F2 = 80 + 40 Vi ~ 149,28(cm) Cho hai đường tròn Cl (Fl; R1) và c2 (F2; Rọ). Cj nằm trong c2 và F1 F2. Đường trong c thay đối luôn tiêp xúc ngoài với C1 và tiếp xúc trong với c2. Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn c di động trên một elip. Giải Vì (C) có tâm là M và bán kính Rtiếp xúc ngoài với (C1) tại A, nên: MF1 = R + Rj. Đồng thời (C) tiếp xúc trong với (C2) tại A2 nên MF2 = R2 - R Suy ra MF1 + MF2 = R2 - R + R1 + R = R-. 4- R2 Vì Ri + R2 không đổi nên tâm M của (C) luôn di động trên 1 elip tiêu điểm F1jF2, độ dài trục lớn R1 R2.