VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11.
Nội dung bài viết Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Phương pháp. Các ví dụ rèn luyện kĩ năng. Ví dụ 1: Giải phương trình 2 cosx – 3 = 0. Ví dụ 2: Giải phương trình 2sinx – 1 = 0. Ví dụ 3: Giải phương trình tan 2x. Quá dễ để nhận ra có 4 vị trí biểu diễn nghiệm của phương trình đã cho trên đường tròn lượng giác là A, B, C, D. Cách trắc nghiệm. Ta có x = k có 4 vị trí biểu diễn. Ví dụ 4: Hỏi trên đoạn phương trình 3 cotx – 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Phương trình 2sinx + 1 = 0 có nghiệm là.
Câu 4: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 sin4x. So sánh hai nghiệm ta được x = 1 là nghiệm dương nhỏ nhất. Nhận thấy chưa có đáp án nào phù hợp. Ta biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác [hình vẽ]. Nếu tính luôn hai điểm A, B thì có tất cả 6 điểm cách đều nhau nên ta gặp được 6 điểm này thành một họ nghiệm, đó là xskt. Suy ra nghiệm của phương trình. Câu 6: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cosx + m = 1 = 0 có nghiệm? Phương trình có nghiệm. Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên của tham số m. Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2108; 2018] để phương trình m cosx + 1 = 0 có nghiệm? Phương trình có nghiệm. Vậy có tất cả 2018 giá trị nguyên của tham số m. Câu 8: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình m – 2 sin 2x = m + 1 nhận x = 2 làm là một nghiệm của phương trình [m − 2]sin 2x = m + 1 nên m = –4 là giá trị cần tìm. Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình [m + 1]sin x + 2 = m =0 có nghiệm.
06:46:5522/07/2021
Phương trình lượng giác thường gặp đó là: Phương trình bậc nhất bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối vơi sinx và cosx dạng asinx + bcosx = c; và các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai.
• Bài tập phương trình lượng giác thường gặp, bậc nhất, bậc hai và bậc nhất với sinx, cosx
I. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác và cách giải.
1. Định nghĩa PT bậc nhất với một hàm số lượng giác
- Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
at + b = 0 [1]
Trong đó: a, b là các hằng số [a ≠ 0] và t là mọt trong các hàm số lượng giác [sin, cos, tan hoặc cot].
2. Cách giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
- Chuyển vế, rồi chia cả hai vế cho a ta được đưa phương trình [1] về phương trình lượng giác cơ bản.
* Ví dụ 1: Giải các phương trình lượng giác bậc nhất sau:
> Lời giải:
a] 2sinx – 3 = 0 ⇔ sin x = 3/2 , vô nghiệm vì |sinx| ≤ 1
b] √3tanx + 1 = 0 ⇔ tanx = [-√3]/3 ⇔ x = [-π]/6 + kπ, k ∈ Z.
* Ví dụ 2: Giải phương trình lượng giác sau:
> Lời giải:
- Ta có:
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Là các phương trình qua một số bước biến đổi, ta có thể đưa pt đó về dạng pt bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
* Ví dụ: Giải phương trình sau: 3sinx - sin2x = 0
> Lời giải:
- Ta có: 3cosx - sin2x = 0
⇔ 3cosx - 2sinxcosx = 0
⇔ cosx[3 - 2sinx] = 0
⇔ cosx = 0 hoặc 3 - 2sinx = 0
Với cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
Với 3 - 2sinx = 0 ⇔ sinx = 3/2 > 1 nên vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm: x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
II. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác và cách giải.
1. Định nghĩa PT bậc hai với một hàm số lượng giác
- Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:
at2 + bt + c = 0 [a ≠ 0]
Trong đó a, b, c là các hằng số và t là một trong số các hàm số lượng giác.
2. Định nghĩa PT bậc hai với một hàm số lượng giác
- Bước 1: Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn [nếu có].
- Bước 2: Giải phương trình bậc 2 với ẩn phụ.
- Bước 3: Đưa vè việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:
> Lời giải:
- Đặt t = cosx với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.
- Ta được phương trình bậc hai theo t: 3t2 - 5t + 2 = 0
Ta thấy a + b + c = 3 - 5 + 2 = 9 nên theo Vi-ét ta có t1 = 1; t2 = c/a = 2/3. Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện.
+ Với cosx = 1 ⇔ cosx = cos0 ⇔ x = k2π, k ∈ Z.
+ Với cosx = 2/3 ⇔ x = ± arccos[2/3] + k2π, k ∈ Z.
- Ta đặt: t = tanx
- Ta được phương trình bậc hai theo t: 3t2 - [2√3]t + 3 = 0 [1]
Δt = [-2√3]2 - 4.3.3 = -24 < 0
⇒ Phương trình [1] vô nghiệm, vậy không có x thỏa mãn bài toán.
3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Là các phương trình qua một số bước biến đổi, ta có thể đưa pt đó về dạng pt bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
* Ví dụ: Giải phương trình: 3cos26x + 8sin3x.cos3x – 4 = 0.
> Lời giải:
- Ta có: cos26x + 8sin3x cos3x - 4 = 0
⇔ 3[1 - sin26x]+ 4sin6x - 4 = 0
⇔ -3sin26x + 4sin6x - 1 = 0
Đặt t = sin6x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.
- Ta được phương trình bậc hai theo t: -3t2 + 4t - 1 = 0
Để ý a + b + c = = -3 + 4 - 1 = 0 nên pt có nghiệm t1 = 1; t2 = 1/3. Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện, nên:
+ Với t = 1 ⇔ sin6x = 1 = sin[π/2]
⇔ 6x = π/2 + k2π ⇔ x = π/12 + kπ/3 [k ∈ Z].
+ Với t = 1/3 ⇔ sin6x = 1/3
III. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx và cách giải
1. Công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx
- Qua chứng minh, ta có công thức biến đổi biểu thức asinx + bcosx như sau:
Với:
2. Cách giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Xét phương trình asinx + bcosx = c [*]
Với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 [a2 + b2 ≠ 0]
Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình [*] có thể đưa ngày về phương trình lượng giác cơ bản.
Nếu a ≠ 0 và b ≠ 0, ta áp dụng công thức biến đổi asinx + bcosx ở trên.
* Ví dụ: Giải phương trình sau:
> Lời giải:
- Ta có:
[Chia cả hai vế của pt cho ta được]
Trên đây là nội dung lý thuyết về một số phương trình lượng giác thường gặp: Phương trình bậc nhất bậc hai đối với một hàm số lượng giác; phương trình bậc nhất đối vơi sinx và cosx dạng asinx + bcosx = c; và các phương trình đưa được về dạng phương trình bậc nhất, bậc hai. Hy vọng các em đã hiểu rõ để có thể áp dụng vào các bài tập liên quan.