Nghiệm của phương trình tan x cos x

12:47:2821/07/2021

Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào?

• Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

1. Phương trình sinx = a [1]

- Nếu |a| > 1: phương trình [1] vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.

 Khi đó phương trình [1] có các nghiệm là

 Nếu α thỏa mãn điều kiện  và sinα = a thì ta viết:

 α = arcsina.

 Khi đó các nghiệm của phương trình [1] là:

 x = arcsina + k2π, k ∈ Z

 và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó sinx = 1 

° a = -1 khi đó sinx = -1

° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

° Đặc biệt nếu:

 +]

 +]

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] sinx = 1/3;

b] sin[x + 45o] = [-√2]/2.

> Lời giải:

a] sin⁡x = 1/3

⇔ x = arcsin[1/3].

- Vậy phương trình sin⁡x = 1/3 có các nghiệm là:

 x = arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z

và x = π - arcsin[1/3] + k2π, k ∈ Z

b] sin[x + 45o] = -[√2]/2.

- Vì: [-√2]/2 = sin⁡[-45o] nên

 sin⁡[x + 45o] = [-√2]/2

⇔ sin⁡[x+45o] = sin⁡[-45o]

⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z

 và x + 45o = 180o - [-45o] + k360o, k ∈ Z

⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z

 và x = 180o - [-45o ] - 45o + k360o,k ∈ Z

Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z

2. Phương trình cosx = a [2]

- Nếu |a| > 1: phương trình [2] vô nghiệm.

- Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.

 Khi đó phương trình [2] có các nghiệm là:

 x = α + k2π, k ∈ Z

 và x = -α + k2π, k ∈ Z.

Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cosα = a thì ta viết:

 α = arccosa.

Khi đó các nghiệm của phương trình [2] là:

 x = arccosa + k2π, k ∈ Z

 và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.

* Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt:

° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z

° a = -1 khi đó cosx = -1 

° a = 0 khi đó cosx = 0 

° Đặc biệt nếu:

 +] 

 +]

* Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau:

a] cosx = [-1]/2;

b] cosx = 2/3;

c] cos[x + 30o] = √3/2.

> Lời giải:

a] cosx = [-1]/2;

- Vì [-1]/2 = cos[2π/3] nên cosx = [-1]/2

⇔ cosx = cos[2π/3]

⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z

b]cos ⁡x = 2/3

⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z

c] cos[x + 30o] = √3/2.

- Vì [√3]/2 = cos30o nên cos⁡[x + 30o]= [√3]/2

⇔ cos⁡[x + 30o] = cos30o

⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z

⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z

3. Phương trình tanx = a [3]

- Điều kiện:

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và tanα = a thì ta viết:

 α = arctana.

Khi đó các nghiệm của phương trình [3] là: x = arctana + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +] tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +] tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau:

a] tanx = 1;      b] tanx = -1;      c] tanx = 0.

> Lời giải:

a] tan⁡x = 1 ⇔ tanx = tan⁡[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b] tanx = -1 ⇔ tan⁡x = tan⁡[-π/4] ⇔ x =[-π/4] + kπ, k ∈ Z

c] tan⁡x = 0 ⇔ tan⁡x = tan⁡0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

4. Phương trình cotx = a [4]

- Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.

- Nếu α thỏa mãn điều kiện  và cotα = a thì ta viết:

 α = arccota.

Khi đó các nghiệm của phương trình [4] là: x = arccota + kπ, k ∈ Z

* Đặc biệt nếu:

 +] cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z

 +] cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z.

* Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau

a] cotx = 1;

b] cotx = -1;

c] cotx = 0.

> Lời giải:

a]cot⁡x = 1 ⇔ cot⁡x = cot[π/4] ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z

b]cot⁡x = -1 ⇔ cot⁡x = cot⁡[-π/4] ⇔ x = [-π/4] + kπ,k ∈ Z

c]cot⁡x = 0 ⇔ cot⁡x = cot⁡[π/2] ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z

> Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý:

- Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn.

- Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.

Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải. KhoiA hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.

Cùng tìm hiểu phương trình lượng giác qua bài viết cùng bài giảng dưới đây nhé!.

Các dạng phương trình lượng giác

Phương trình sinx = m

Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\sin \alpha = m\].

Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = \pi – \alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]

Phương trình cosx = m

Nếu \[\left | m \right |\]>1: Phương trình vô nghiệm

Nếu \[\left | m \right |\] \[\leq\] 1 thì chọn 1 góc \[\alpha\] sao cho \[\cos \alpha = m\] .

Khi đó nghiệm của phương trình là \[\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi & \\ x = – \alpha + k2\pi & \end{matrix}\right.\] với \[k \epsilon \mathbb{Z}\]

Phương trình tanx = m

Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\tan \alpha = m\].

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\[\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k \epsilon \mathbb{Z}]\]

Hoặc \[\tan x = m \Leftrightarrow m – \arctan m + k\pi\] [m bất kỳ]

Chú ý: \[\tan x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\], \[\tan x\] không xác định khi \[x = \frac{\pi }{2} + k\pi\]

Phương trình cot[x] = m

Chọn góc \[\alpha\] sao cho \[\csc \alpha = m\].

Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

\[\csc x = \csc \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi [k\epsilon \mathbb{Z}]\] Hoặc \[\cot x = m \Leftrightarrow m = \textrm{arccsc}m + k\pi\] [m bất kỳ]

Chú ý: \[\csc x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi\],

\[\csc x\] không xác định khi \[x = k\pi\]

Vòng tròn lượng giác cho các bạn tham khảo:

Phương trình lượng giác chứa tham số

Phương trình lượng giác chứa tham số dạng \[a\sin x + b \cos x = c\] có nghiệm khi và chỉ khi \[a^{2} + b^{2} \geq c^{2}\]

Để giải phương trình lượng giác chứa tham số có hai cách làm phổ biến là:

• Thứ nhất đưa về PT lượng giác cơ bản
• Thứ hai sử dụng phương pháp khảo sát hàm

Phương pháp 1: Đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản

• Điều kiện có nghiệm của phương trình lượng giác
• Kết hợp những kiến thức đã học đưa ra các điều kiện làm cho phương trình dạng cơ bản có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Ví dụ: Xác định m để phương trình \[[m^{2} – 3m + 2]\cos ^{2}x = m[m-1]\] [1] có nghiệm.

Cách giải

\[[1]\Leftrightarrow [m-1][m-2]\cos ^{2}x = m [m-1]\] [1’]

Khi m = 1: [1] luôn đúng với mọi \[x\epsilon \mathbb{R}\]

Khi m = 2: [1] vô nghiệm

Khi \[m\neq 1; m\neq 2\] thì:

[1’] \[\Leftrightarrow [m-2]\cos ^{2}x = m \Leftrightarrow \cos ^{2}x = \frac{m}{m-2}\]  [2]

Khi đó [2] có nghiệm \[\Leftrightarrow 0\leq \frac{m}{m-2}\leq 1\Leftrightarrow m\leq 0\]

Vậy [1] có nghiệm khi và chỉ khi m = 1, \[m\leq 0\]

Phương pháp 2: Sử dụng phương pháp khảo sát

Giả sử phương trình lượng giác chứa tham số m có dạng: g[x,m] = 0 [1]. Xác định m để phương trình [1] có nghiệm \[x\epsilon D\]

Phương pháp:

• Đặt ẩn phụ t = h[x] trong đó h[x] là 1 biểu thức thích hợp trong phương trình [1]
• Tìm miền giá trị [điều kiện] của t trên tập xác định D. Gọi miền giá trị của t là D1
• Đưa phương trình [1] về phương trình f[m,t] = 0
• Tính f’[m, t] và lập bảng biến thiên trên miền D1
• Căn cứ vào bảng biến thiên và kết quả của bước 4 mà các định giá trị của m.

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về phương trình lượng giác của DINHNGHIA.VN. Nếu có góp ý hay băn khoăn thắc mắc gì các bạn bình luận bên dưới nha.Cảm ơn các bạn! Nếu thấy hay thì chia sẻ nhé ^^

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây nhé:

[Nguồn: www.youtube.com]

Please follow and like us: