Khoảng cách từ giao điểm 2 tiệm cận đến tiếp tuyến

Một số bài toán vận dụng cao liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Xét hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}\,\,\left[ ad-bc\ne 0 \right]\,\left[ C \right]$

Gọi $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $\left[ C \right]$ khi đó $M\left[ {{x}_{0}};\frac{a{{x}_{0}}+b}{c{{x}_{0}}+d} \right]$

Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}$ và tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$

Khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận là:

${{d}_{1}}=\left| {{x}_{0}}+\frac{d}{c} \right|=\left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|$ [ khoảng cách đến tiệm cận đứng]

${{d}_{2}}=\left| {{y}_{0}}-\frac{a}{c} \right|=\left| \frac{ab-dc}{c\left[ c{{x}_{0}}+d \right]} \right|$ [ khoảng cách đến tiệm cận ngang]

Khi đó: ${{d}_{1}}.{{d}_{2}}=\left| \frac{ad-bc}{{{c}^{2}}} \right|=p$

Bài 1: Cho M là giao điểm của đồ thị hàm số với $\left[ C \right]y=\frac{2x-1}{2x+3}$ với trục hoành. Khi đó tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là:

1. 4

1. 6

1. 8

1. 2

Đáp án D

Bài toán 1: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ $M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải

$\sum{kc={{d}_{1}}+{{d}_{2}}\ge 2\sqrt{{{d}_{1}}.{{d}_{2}}}=2\sqrt{p}}$ [ áp dụng bất đẳng thức cosi]

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ${{d}_{1}}={{d}_{2}}\Leftrightarrow {{\left| c{{x}_{0}}+d \right|}^{2}}=\left| ad-bc \right|\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{d}{c}\pm \sqrt{p}$

Bài 1: [THPT Trần Phú- Hải Phòng-2017] Cho hàm số $y=\frac{x+2}{x-2}$ có đồ thị $\left[ C \right]$ . Tìm tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc $\left[ C \right]$ sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất.

1. $M\left[ 0;-1 \right]$

1. $M\left[ 2;2 \right]$

1. $M\left[ 1;-3 \right]$

1. $M\left[ 4;3 \right]$

Bài 2: Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x-3}$ có đồ thị $\left[ C \right]$ . Gọi S là tổng khoảng cách từ A đến hai đường tiệm cận của $\left[ C \right]$. Giá trị nhỏ nhất của S là:

1. $\sqrt{6}$

1. $2\sqrt{6}$

1. 6

1. 12

Bài 3: Số điểm thuộc đồ thị hàm số $\left[ H \right]:y=\frac{2x-1}{x+1}$ có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của $\left[ H \right]$ nhỏ nhất là:

1. 3

1. 2

1. 1

1. 0

Bài 1: D

Bài 2: B

Bài 3: B

Bài toán 2: Tìm$M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

Hướng dẫn giải

${{d}_{1}}=\left| {{x}_{0}}+\frac{d}{c} \right|=\left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|$

${{d}_{2}}=\left| {{y}_{0}}-\frac{a}{c} \right|=\left| \frac{ab-dc}{c\left[ c{{x}_{0}}+d \right]} \right|$

${{d}_{1}}=k{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left| \frac{c{{x}_{0}}+d}{c} \right|=k\left| \frac{ad-bc}{c\left[ c{{x}_{0}}+d \right]} \right|\Leftrightarrow {{\left[ c{{x}_{0}}+d \right]}^{2}}=k\left| ad-bc \right|$

Bài 1:Cho hàm số $y=\frac{3x-1}{x-3}$ có đồ thị là $\left[ C \right]$. Tìm điểm M thuộc đồ thị $\left[ C \right]$ sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.

1. ${{M}_{1}}\left[ 1;-1 \right];{{M}_{2}}\left[ 7;5 \right]$

1. ${{M}_{1}}\left[ 1;1 \right];{{M}_{2}}\left[ -7;5 \right]$

1. ${{M}_{1}}\left[ -1;1 \right];{{M}_{2}}\left[ 7;5 \right]$

1. ${{M}_{1}}\left[ 1;1 \right];{{M}_{2}}\left[ 7;-5 \right]$

Đáp án C

Bài toán 3: Tìm$M\left[ {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right]$ trên đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ sao cho khoảng cách từ M đến I là ngắn nhất, với I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số [ I là giao điểm của hai đường tiệm cận].

Hướng dẫn giải

$M\left[ {{x}_{0}};\frac{a{{x}_{0}}+b}{c{{x}_{0}}+d} \right]$; $I\left[ -\frac{d}{c};\frac{a}{c} \right]$

[ Áp dụng bất đẳng thức Cosi]

$\Rightarrow IM\ge \sqrt{2p}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi ${{d}_{1}}={{d}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{d}{c}\pm \sqrt{p}$

Tính chất: Gọi M là một điểm bất kỳ trên đồ thị $\left[ C \right]$, tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận tại hai điểm A và B. Khi đó M là trung điểm của AB và tam giác IAB có diện tích không đổi, với I là tâm đối xứng của đồ thị[ giao điểm của hai đường tiệm cận].

Bài viết gợi ý: