A. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$
B. $x-2y+2z-5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$
C. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z-7=0.$
D. $x-2y+2z+5=0$ hoặc $x-2y+2z+7=0.$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Ta có phương trình mặt phằng [Q] có dạng: $x-2y+2z+D=0$
Khi đó $d\left[ [P];[Q] \right]=\frac{\left| D+1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{[-2]}^{2}}+{{2}^{2}}}}=2\Rightarrow \left| D+1 \right|=6\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & D=5 \\ & D=-7 \\ \end{align} \right.$
Bài tập 10: Cho 4 điểm $A[2;2;3];B[0;1;0];\,C[1;2;1];\,D[3;1;5].$ Phương trình mặt phẳng [P] cách đều 2 đường thẳng AB và CD là:
A. $14x+4y-8z+3=0.$ B. $14x-4y-8z+1=0.$ C. $14x-4y-8z-3=0.$ D. $14x-4y-8z+3=0.$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn D
Ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right]=[-7;2;4]$ suy ra $[P]:7x-2y-4z+D=0$
Mặt khác $d\left[ A;[P] \right]=d\left[ C;[P] \right]\Leftrightarrow \left| D-2 \right|=\left| D-1 \right|\Leftrightarrow D=\frac{3}{2}.$
Vậy $[P]:14x-4y-8z+3=0.$
Bài tập 11: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a] $M[2;3;1];\,d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-2}$
b] $M[1;0;0];\,d:\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{1}$
Lời giải chi tiết
a] Ta có: $A[-2;1;-1]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=[4;2;2];\overrightarrow{{{u}_{d}}}=[1;2;-2]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[-8;10;6]$
Do đó $d[M;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{64+100+36}}{\sqrt{9}}=\frac{10\sqrt{2}}{3}.$
b] Ta có: $A[3;3;1]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}[-2;-3;-1];\overrightarrow{{{u}_{d}}}[1;2;1]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[-1;1;-1]$
Do đó $d[M;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
Bài tập 12: Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau:
a] ${{d}_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=2-3t \\ & y=2t \\ & z=4-2t \\ \end{align} \right.$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+1}{2}$
b] ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{2}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{-4}=\frac{z-1}{-5}$
Lời giải chi tiết
a]Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A[2;0;4]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[-3;2;-2]$
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B[1;2;-1]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[3;1;2]$
Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=[6;0;-9]=3[2;0;-3]$
Suy ra $[P]:2x-3z+8=0\Rightarrow d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=d[{{d}_{2}};[P]]=d[B;[P]]=\frac{\left| 13 \right|}{\sqrt{13}}=\sqrt{13}.$
Cách 2: Ta có: $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| [6;0;-9].[-1;2;-5] \right|}{\sqrt{36+81}}=\sqrt{13}.$
b] Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A[1;0;-1]$ và có VTCP $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[1;-2;2]$
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B[2;3;1]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[2;-4;-5]$
Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=[18;9;0]=9[2;1;0]$
Suy ra $[P]:2x+y-2=0\Rightarrow d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=d[{{d}_{2}};[P]]=d[B;[P]]=\sqrt{5}$
Cách 2: Ta có: $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| 9[2;1;0].[1;3;2] \right|}{9\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
Bài tập 13: Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng $[d]:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{1}$ và điểm $M[-3;1;2].$ Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:
A. $\sqrt{14}.$ B. $\sqrt{6}.$ C. $2\sqrt{5}.$ D. $2\sqrt{7}.$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn A
Ta có: $A[1;-1;2]\in d\Rightarrow \overrightarrow{AM}=[-4;2;0];\overrightarrow{{{u}_{d}}}=[2;1;1]\Rightarrow \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]=[2;4;-8]$
Do đó $d[M;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{4+16+64}}{\sqrt{6}}=\sqrt{14}.$
Bài tập 14: Trong không gian tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{3}$ và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$ . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$
A. $\sqrt{26}.$ B. $\frac{\sqrt{13}}{13}.$ C. $\frac{\sqrt{26}}{13}.$ D. $2\sqrt{2}.$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn C
Cách 1: Đường thẳng ${{d}_{1}}$ qua $A[1;2;3]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[1;2;3]$
Đường thẳng ${{d}_{2}}$ qua $B[1;0;1]$ và có VTCP: $\overrightarrow{{{u}_{2}}}=[-1;1;1]$
Gọi [P] là mặt phẳng chứa ${{d}_{1}}$ và song song với ${{d}_{2}}$ ta có: $\overrightarrow{{{n}_{[P]}}}=\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]=[-1;-4;3]=-[1;4;-3]$
Suy ra $[P]:x+4y-3z=0\Rightarrow d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=d\left[ {{d}_{2}}[P] \right]=d[B;[P]]=\frac{\left| -2 \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{2}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$
Cách 2: Ta có: $d[{{d}_{1}};{{d}_{2}}]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]\overrightarrow{AB} \right|}{\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}};\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right]}=\frac{\left| [-1;-4;3].[0;-2;-2] \right|}{\sqrt{1+16+9}}=\frac{\left| 2 \right|}{\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}}{13}.$
Bài tập 15: Cho mặt phẳng $[P]:2x-y-2z=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{2}.$ Tọa độ điểm A thuộc Ox sao cho A cách đều d và [P] là
A. $A[-3;0;0].$ B. $A[3;0;0].$ C. $A[3;3;0].$ D. $A[3;0;3].$
Lời giải chi tiết
Đáp án: Chọn B
Gọi $A[t;0;0]$ suy ra $d[A;[P]]=\frac{2\left| t \right|}{3};d[A;d]=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}$ trong đó $M[1;0;-2]$
Suy ra $d[A;d]=\frac{\left[ \overrightarrow{AM};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right]}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=\frac{\sqrt{16+{{[2t-4]}^{2}}+{{[2-2t]}^{2}}}}{3}=\frac{2\left| t \right|}{3}$
$\Leftrightarrow 36-24t+4{{t}^{2}}=0\Leftrightarrow t=3.$ ..