Hỏi Đáp Bao nhiêu

Hàm số fx 2 1 có bao nhiêu cực trị

Hàm số y=fx có đúng ba cực trị là−2, −1 và 0. Hỏi hàm số y=fx2−2x có bao nhiêu điểm cực trị?

A.3.

B.4.

C.5.

D.6.

Đáp án và lời giải

Đáp án:A

Lời giải:Lời giải
Chọn A
Vì hàm số y=fx có đúng ba cực trị là −2, −1 và 0 nênf′x=0⇔x=−2x=−1x=0.
Ta có: y′=fx2−2x′=2x−2f′x2−2x
y′=0⇔x=1f′x2−2x=0⇔x=1x2−2x=−2x2−2x=−1x2−2x=0⇔x=1x−12=0x=0x=2⇔x=1x=0x=2.
Vậy hàm số y=fx2−2x có 3 cực trị.
Chú ý: Ta có thể chọn f′x=xx+1x+2 nhận −2, −1 và 0làm nghiệm đơn.
Khi đó: y′=fx2−2x′=2x−2f′x2−2x=2x−2x2−2xx2−2x+1x2−2x+2
Rõ ràng từ đây dễ dàng kiểm tra về tính cực trị của hàm sốy=fx2−2x.

Câu hỏi thuộc đề thi sau. Bạn có muốn thi thử?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Cực trị của hàm số - Hàm số và Ứng dụng - Toán Học 12 - Đề số 8

Làm bài

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Cho hàm số
. Hàm số
có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Tìm
để hàm số
có
điểm cực trị
Khẳng định nào sau đây sai? .
Cho hàmsố
, với
làthamsố; gọi
,
làcácđiểmcựctrịcủahàmsốđãcho. Giátrịlớnnhấtcủabiểuthức
bằng:
Cho hàmsố
. Biểuthứcliênhệgiữagiátrịcựcđại
vàgiátrịcựctiểu
là ?
Biết phương trình
với
có đúng hai nghiệm thực. Hỏi đồ thị hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để hàm số
có
điểm cực trị.
Cho hàm số
Tìm m để hàm sốđạt cực đại tại
Đường thẳng nối điểm cực đại với điểm cực tiểu của đồ thị hàm số
đi qua điểm
khi
bằng
Tìm
để hàm số
có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Hàm số
đạt cực tiểu tại
khi:
Tìm m đểhàmsố
đạtcựctiểutại
?
Cho hàmsố
. Khẳngđịnhnàosauđâylàđúng?
Gọi m0 là giá trị thực của tham số m để hàm số y=x33+mx2+m2−1x+1 đạt cực trị tạix0=1, các giá trị của m0 tìm được sẽ thoả mãn điều kiện nào sau đây?
Gọi
là hai điểm cực trị của hàm số
Tính giá trị của biểu thức
Biết
là các điểm cực trị của đồ thịhàm số
Tính giá trị của hàm số tại
Điểmcựcđạicủahàmsố
là:
Tìm
để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
.
Cho hàmsố
liêntụcvàcóđạohàm
trên
. Hìnhbênlàđồthịcủahàmsố
. Hàmsố
đạtcựcđạitạiđiểmnàotrongcácđiểmsauđây:
Tìm các giá trị của tham số
để đồ thị hàm số:
có ba điểm cực trị . Đồng thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Cho hàm số
, hàm số
đạt cực tiểu tại:
Cho hàmsố
. Tìmtấtcảcácgiátrịthựccủa
đểđồthịhàmsốcóhaiđiểmcựctrị
,
saochobađiểm
,
,
thẳnghàng, trongđó
làgốctọađộ.
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng :
Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số y=x3−3mx+2 cắt đường tròn tâm I1;1, bán kính bằng 1 tại 2 điểm phân biệt A,B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Cho hàm số
. Tìm m để đồ thị hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1
Biết đồ thị hàm số y=x3−3x+1 có hai điểm cực trị A,B . Khi đó phương trình đường thẳng AB là:
Cho hàm số
đạt cực tiểu tại
khi:
Cho hàm số
. Biểu thức liên hệ giữa giá trị cực đại
và giá trị cực tiểu
là ?
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số
có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều?
Cho hàm số
. Tọa độ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là:
Cho hàm số
có bảng biến thiên như sau.
.

Giá trị cực đại của hàm số là ?
Cho hàm số
có đồ thị là
. Gọi
là các điểm cực trị của
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Cho hàmsố
. Tìm m để
và 2 điểmcựcđại, cựctiểuthẳnghàng?
Đồ thị của hàm số
có hai điểm cực trị là gốc tọa độ
và điểm
thì phương trình của hàm số là:
Cho hàm số
có đồ thị là
. Gọi
là các điểm cực trị của
. Tính độ dài đoạn thẳng
?
Cho hàm số
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có một điểm cực tiểu.
Cho hàm số
với
,
là các tham số thực thỏa mãn
. Tìm số cực trị của hàm số
.
Hàm số
có điểm cực tiểu là:
Tìm giá trị thực của tham số
để hàm số
đạt cực tiểu tại
.
Hàm số y=−x3+1 có bao nhiêu điểm cực trị?
Hàm số y=fx có đúng ba cực trị là−2, −1 và 0. Hỏi hàm số y=fx2−2x có bao nhiêu điểm cực trị?

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

Thuỷ phân hoàn toàn 89 gam chất béo bằng dung dịch NaOH để điều chế xà phòng thu được 9,2 gam glixerol. Biết muối của axit béo chiếm 60% khối lượng xà phòng. Khối lượng xà phòng thu được là ?
Cho mạch AB xoay chiều gồm hai nhánh nối tiếp: nhánh AM chỉ có cuộn dây. Nhánh MB chỉ cóđiện trở R. Điện áp uAB = 110
cos 628t [V], UAM = UMB = 110V. Biểu thức điện áp hai đầu cuộn dây là:
Chất X có công thức phân tửC2H4O2, cho chất X tác dụng với dd NaOH tạo ra muối và nước. Chất X thuộc loại:
Hỗn hợp Xgồm metyl fomat, anđehit acrylic và metyl acrylat. Đốt cháy hoàn toàn m gam Xrồi hấp thụhết sản phẩm cháy vào dung dịch Ca[OH]2dư, thu được 9 gam kết tủa và khối lượng dung dịch giảm 3,78 gam. Giá trịcủa m là:
Một cá thể có kiểu gen
. Nếu hoán vị gen xảy ra ở cả 2 cặp NST tương đồng thì qua thụ phấn có thể tạo ra tối đa bao nhiêu dòng thuần ở thế hệ sau?
Tìm nguyên hàm của hàm số
.
Cho các cặp dung dịch sau: [1] Na2CO3 và AlCl3; [2] NaNO3 và FeCl2; [3] HCl và Fe[NO3]2; [4] NaHCO3 và BaCl2; [5] NaHCO3 và NaHSO4. Số cặp xảy ra phản ứng khi trộn các chất trong các cặp đó với nhau ở nhiệt độ thường là ?
Cho số phức
thỏa mãn
tính giá trị biểu thức
Người ta tổ chức thực hành nghiên cứu thí nghiệm bằng cách như sau. Họ tiến hành quan sát một tia lửa điện bắn từ mặt đất bắn lên với vận tốc 15m/s. Hỏi sau 2,5 giây thì tia lửa điện đấy có chiều cao là bao nhiêu?
Hỗn hợp X gồm Mg và MgO được chia thành 2 phần bằng nhau. Cho phần 1 tác dụng hết với dung dịch HCl thu được 3,136 lít khí [đktc]; cô cạn dung dịch và làm khô thì thu được 14,25 g chất rắn khan A. Cho phần 2 tác dụng hết với HNO3 thì thu được0,448 lít khí X, cô cạn dung dịch thu được 23g chất rắn B. Phần trăm khối lượng của Mg trong hỗn hợp X là ?

Lý thuyết cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số có thể đạt được. Trong hình học, nó biểu diễn khoảng cách lớn nhất từ điểm này sang điểm kia và khoảng cách nhỏ nhất từ điểm này sang điểm nọ. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của hàm số.

Định nghĩa

Giả sử hàm số f xác định trên K [K ⊂ ℝ] và x0 ∈ K

a] x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] < f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}

→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực đại của hàm số f.

b] x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng [a;b] ⊂ K chứa điểm x0 sao cho f[x] > f[x0], ∀ x ∈ [a;b] \{x0}

→ Khi đó f[x0] được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f.

Chú ý:

1] Điểm cực đại [cực tiểu] x0 được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] của hàm số được gọi chung là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập hợp K.

2] Nói chung, giá trị cực đại [cực tiểu] f[x0] không phải là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên tập K; f[x0] chỉ là giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] của hàm số f trên một khoảng [a;b] chứa x0.

3] Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm [x0; f[x0]] được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

Định lí 1

Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’[x0] = 0.

Chú ý:

1] Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0.

2] Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.

Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lí 2

a] Nếu f’[x] đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực tiểu tại x0.

b] Nếu f’[x] đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 [theo chiều tăng] thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Định lí 3

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng [a;b] chứa điểm x0, f’[x0] = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a] Nếu f’’[x0] < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.

b] Nếu f’’[x0] > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.

c] Nếu f’’[x0] = 0 thì ta chưa thể kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu đạo hàm.

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Tìm điều kiện để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Tìm điều kiện để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ nguyên
Bài toán tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có tính chất đối xứng
Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Tìm cực trị của hàm số: bậc 3, trùng phương, phân thức hữu tỉ, căn thức, lượng giác
Thủ thuật Casio tìm cực trị của hàm số
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] tại điểm M[x0;y0]
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số [C]: y = f[x] biết tiếp tuyến đi qua điểm A[xA;yA]
Tập hợp điểm của số phức
Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian
Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số cho bởi công thức y = f[x]
Xét tính đơn điệu của hàm số y = f[x] khi cho hàm số y = f'[x]
Bài toán cực trị số phức

Số lần xuất hiện cực trị của hàm số trong đề thi trung học phổ thông quốc gia là khá nhiều. Bài viết dưới đây sẽ hướng dẫn tìm cực trị của hàm số một cách chi tiết với các bước, kèm với nó là ví dụ minh họa có lời giải để bạn tiện theo dõi

Để tìm cực trị ta có 2 cách đó là dùng bảng biến thiên và biện luận đạo hàm cấp 2. Mời bạn cùng theo dõi

Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay, có lời giải

Trang trước Trang sau

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]

a. Hàm số y = |f[x]|

Để tìm cực trị của hàm số y = |f[x]| ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = |f[x]| từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f[x] .

Chú ý: - Đồ thị hàm số y = |f[x]| gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f[x] nằm trên Ox

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f[x] nằm dưới Ox

- Số điểm cực trị của hàm số y = |f[x]| bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = f[x] và số nghiệm bội lẻ của phương trình f[x] = 0

b. Hàm số y = f[|x|]

Để tìm cực trị của hàm số y = f[|x|] ta sẽ lập bảng bảng thiên hoặc vẽ đồ thị hàm số y = f[|x|] từ đồ thị hay bảng biến thiên của hàm y = f[x] .

Chú ý: - Đồ thị hàm số y = f[|x|] gồm 2 phần:

+ Phần đồ thị y = f[x] nằm bên phải trục Oy [C1]

+ Phần lấy đối xứng [C1] qua Oy

- Số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] bằng 2 lần số điểm cực trị dương của hàm số y = f[x] và cộng thêm 1.

Ví dụ 1: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị [C] như hình vẽ bên. Hàm số y = f[|x|] có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Lời giải

Chọn C

Đồ thị[C'] của hàm số y = f[|x|] được vẽ như sau.

+ Giữ nguyên phần đồ thị của[C] nằm bên phải trục tung ta được [C1]

+ Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị của [C1] ta được[C2]

+ Khi đó [C'] = [C1]∪[C2] có đồ thị như hình vẽ dưới

Từ đồ thị [C'] ta thấy hàm số y = f[|x|] có 5 điểm cực trị.

Ví dụ 2: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau. Đồ thị hàm số y = |f[x]| có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 6.

C. 3.

D. 7.

Lời giải

Chọn D

Đồ thị hàm y = |f[x]| gồm 2 phần.

+ Phần đồ thị y = f[x] nằm trên Ox

+ Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y = f[x] nằm dưới Ox

Đồ thị hàm số y = f[x] giao với trục Ox tại các điểm có hoành độ x1; x2; x3; x4

Từ đó ta có bảng biến thiên của y = |f[x]|

Từ bảng biến thiên này hàm số y = |f[x]| có 7 điểm cực trị.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = |[x - 1][x - 2]2|. Số điểm cực trị của hàm số là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải

Chọn C

Mặt khác phương trình f[x] = [x - 1][x - 2]2 = 0 có 1 nghiệm đơn x = 1

Ta có số điểm cực trị của hàm số y = |[x - 1][x - 2]2| là tổng số điểm cực trị của hàm số f[x] = [x - 1][x - 2]2 và số nghiệm bội lẻ của phương trình f[x] = 0.

Vậy số điểm cực trị của hàm số y = |[x - 1][x - 2]2| là 3

Bài 1: Cho hàm số

, số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Số điểm cực trị dương của hàm số y = f[x] là n thì số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là 2n + 1

Ta có f'[x] = x3 + x2 - 2x = x[x - 1][x + 2]

Hàm số y = f[x] có một điểm cực trị dương nên hàm số y = f[|x|] có 3 điểm cực trị.

Bài 2: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = x[x + 2]4 [x2+8]. Số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn B

Do f'[x]chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x = 0 nên hàm số f[x] có 1 điểm cực trị x = 0.

Số điểm cực trị dương của hàm số y = f[x] là n thì số điểm cực trị của hàm số y = f[|x|] là 2n + 1

Do đó hàm y = f[|x|] có duy nhất 1 điểm cực trị.

Bài 3: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau.

Hàm số y = f[|x-3|] có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5

B. 6

C. 3

D. 1

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Đồ thị hàm số y = f[|x - 3|] được suy ra từ đồ thị hàm số y = f[x] bằng cách ta suy ra đồ thị hàm y = f[|x|] rồi tịnh tiến đồ thị hàm số y = f[|x|] sang phải 3 đơn vị.

Ta có bảng biến thiên của hàm số y = f[|x|] như sau.

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f[|x|] có ba điểm cực trị nên khi tịnh tiến đồ thị y = f[|x|] sang phải 3 đơn vị ta được hàm số y = f[|x - 3|] cũng có ba điểm cực trị.

Bài 4: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như sau.

Hàm số y = f[|x|] có các điểm cực tiểu là:

A. x = 3.

B. x = 0.

C. x = ±4.

D. x = 2.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn C

Ta có

nên bảng biến thiên của hàm số là y = f[|x|].

Suy ra hàm số y = f[|x|] đạt cực tiểu tại x = ±4

Bài 5: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x3 - 2x2][x3 - 2x]. Hàm số y = |f[x]| có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 9.

B. 8.

C. 7.

D. 6.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y = f[x] có 4 điểm cực trị, suy ra f[x] = 0 có tối đa 5 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số y = |f[x]| có tối đa 4 + 5 = 9 điểm cực trị.

Bài 6: Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên R, có bảng xét dấu của f'[x] như sau

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] + 2020 là:

A. 5.

B. 4.

C. 0.

D. 3.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số

Khi đó ta có bảng xét dấu của hàm số y = f[|x|] như sau

Suy ra đồ thị hàm số y = f[|x|] có 5 điểm cực trị.

Suy ra đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] có 5 cực trị [Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f[|x|] sang phải 2 đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi].

Suy ra đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] + 2020 có 5 cực trị [Tịnh tiến đồ thị hàm số y = f[|x - 2|] lên trên 2020 đơn vị thì số điểm cực trị không thay đổi].

Bài 7: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình vẽ. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên để hàm số y = |f[x] + 2m - 1| có 5 điểm cực trị.

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 5.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Ta có hàm số y = f[x] có 2 điểm cực trị nên hàm số y = f[x] + 2m - 1 có 2 điểm cực trị.

Hàm số y = |f[x] + 2m - 1| có 5 điểm cực trị ⇒ f[x] + 2m - 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.

Để phương trình f[x] + 2m - 1 = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì đường thẳng y = -2m + 1 cắt đồ thị hàm số y = f[x] tại 3 điểm phân biệt

Vậy hàm số y = |f[x] + 2m - 1| có 5 điểm cực trị thì

. Vì m ∈ Z nên m ∈ {0,1}.

Bài 8: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x3 - 2x2][x3 - 2x], với mọi x ∈ R. Hàm số y = |f[1 - 2018x]| có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị.

A. 9.

B. 2022.

C. 11.

D. 2018.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Ta có f'[x] = x3[x - 2][x2 - 2]. Cho

Bảng biến thiên

Suy ra hàm số y = f[x] có 4 điểm cực trị.

Và phương trình f[x] = 0 có tối đa 5 nghiệm.

Do đó hàm số y = |f[x]| có tối đa 9 điểm cực trị.

Mà hàm số y = |f[x]| và hàm số y = |f[1 - 2018x]| có cùng số điểm cực trị.

Suy ra hàm số y = |f[1 - 2018x]| có tối đa 9 điểm cực trị.

Bài 9: Cho hàm số y = f[x] xác định và liên tục trên R, có f'[x] = x2 - 1. Hàm số f[|x2 - 2|] có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 2.

B. 5.

C. 7.

B. 4.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn D

Bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên thì g[x] có hai điểm cực tiểu x ≥ 0. Do đó hàm f[|x2-2|] sẽ có 4 cực tiểu.

Bài 10: Tổng các giá trị nguyên của tham số m để hàm số

có 5 điểm cực trị là

A. 2016.

B. 1952.

C. -2016.

D. -496.

Hiển thị đáp án

Lời giải

Chọn A

Để thỏa yêu cầu thì đồ thị [C]: y = f[x] cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:

. Mà m ∈ Z nên m ∈ {1;2;3;...;63}.

Tổng các giá trị nguyên m là:

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải [nâng cao - Phần 2]

Trang trước Trang sau

Bài giảng: Các dạng bài tìm cực trị của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên Tôi]

Câu 31: Biết rằng hàm số f[x] có đạo hàm là f'[x] = x.[x - 1]2.[x - 2]3.[x - 3]5. Hỏi hàm số f[x] có bao nhiêu điểm cực trị ?

Quảng cáo

A. 4 B. 3

C. 2 D. 1

Hiển thị đáp án

Ta có

Tuy nhiên lại xuất hiện nghiệm kép tại x = 1 [nghiệm kép thì y' qua nghiệm không đổi dấu] nên hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 32: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm liên tục trên R và hàm số y = f'[x] có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?

Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A. Hàm số y = f[x] đạt cực đại tại điểm x = -1.

B. Hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại điểm x = 1.

C. Hàm số y = f[x] đạt cực tiểu tại điểm x = -2.

D. Hàm số y = f[x] đạt cực đại tại điểm x = -2.

Hiển thị đáp án

Dựa vào đồ thị hàm số y = f'[x], ta có các nhận xét sau:

• f'[x] đổi dấu từ “-” sang “+” khi đi qua điểm x = -2

Suy ra x = - 2 là điểm cực trị và là điểm cực tiểu của hàm số y = f[x].

• f'[x] không đổi dấu khi đi qua điểm x = -1, x = 1

Suy ra x = -1, x = 1 không là các điểm cực trị của hàm số y = f[x].

Vậy hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = -2

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 33: Cho hàm số y = f[x]. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g[x] = f[|x + m|] có 5 điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. Vô số.

Hiển thị đáp án

Từ đồ thị hàm số f'[x] ta thấy f'[x] cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ dương [và 1 điểm có hoành độ âm]

Suy ra: f[x] có 2 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị [ gồm 2 điểm cực trị âm, 2 điểm cực trị dương và điểm x = 0].

Suy ra: f[|x + m|] có 5 điểm cực trị với mọi m [vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số].

Chú ý: Đồ thị hàm số f[|x + m|] có được bằng cách lấy đối xứng trước rồi mới tịnh tiến.

Đồ thị hàm số f[|x| + m] có được bằng cách tịnh tiến trước rồi mới lấy đối xứng.

Suy ra chọn đáp án D.

Quảng cáo

Câu 34: Cho hàm số y = f[x]. Đồ thị hàm số y = f'[x] như hình vẽ bên dưới.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số g[x] = f[|x| + m] có 5 điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. Vô số.

Hiển thị đáp án

Từ đồ thị f'[x] ta có:

Suy ra bảng biến thiên của f[x]

Yêu cầu bài toán trở thành hàm số f[x + m] có 2 điểm cực trị dương [vì khi đó lấy đối xứng qua Oy ta được đồ thị hàm số f[|x| + m] có đúng 5 điểm cực trị].

Từ bảng biến thiên của f[x] suy ra f[x + m] luôn có 2 điểm cực trị dương ⇔ tịnh tiến f[x] [sang trái hoặc sang phải] phải thỏa mãn

• Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị nên m < 1.

• Tịnh tiến sang phải không vượt quá 2 đơn vị nên .

Suy ra -2 ≤ m < 1 -m ∈ Z→ m ∈ {-2; -1; 0}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 35: Với giá trị nào của thì hàm số y = x4 – 2mx2 + 4 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất?

Hiển thị đáp án

Ta có đạo hàm: y' = 4x2 - 4mx

- Để hàm có 3 cực trị thì m > 0 [1]

Gọi A[0;4], B[-√m; -m4 + 4], C[-√m; -m4 + 4]

SABC = 1/2.d[A;BC].BC = 1/2.|yB - yA|.|xC - xB| = 1/2.m2.2√m

+ Ta có:

; BC = 2√m

và

nên:

Ta tìm min của R:

* Ta có:

Do đó:

Dấu “=” xảy ra khi:

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 36: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x + 1].[x - 1]2.[x - 2] + 1 với mọi x ∈ R. Hàm số g[x] = f[x] - x có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Hiển thị đáp án

Ta có g[x] = f[x] – x nên:

g'[x] = f'[x] – 1 = [x + 1].[x - 1]2.[x - 2].

g' = 0 ⇔ [x + 1].[x - 1]2.[x - 2] = 0

Ta thấy x = -1 và x = 2 là các nghiệm đơn còn x = 1 là nghiệm kép nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 37: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x2 - 1].[4 - x] với mọi x∈ R. Hàm số g[x] = f[3 - x] có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 0 B. 1

C. 2 D.3

Hiển thị đáp án

Ta có: g'[x] = -f'[3 - x] = [[3 - x]2 - 1][4 - [3 - x]] = [2 - x][4 - x][x + 1];

g'[x] = 0 ⇔ [2 - x][4 - x][x + 1] = 0

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g[x] đạt cực đại tại x = 2.

Suy ra chọn đáp án B.

Quảng cáo

Câu 38: Cho hàm số f[x] có đạo hàm f'[x] = x2.[x - 1].[x - 4]2 với mọi x ∈ R. Hàm số g[x] = f[x2] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Hiển thị đáp án

Ta có g[x] = f[x2] nên g'[x] = 2xf'[x2] = 2x5[x2 - 1][x2 - 4]2

g'[x] = 0 ⇔ 2x5[x2 - 1][x2 - 4]2 = 0

Ta thấy x = 1, x = -1[là hai nghiệm đơn] và x = 0 [là các nghiệm bội lẻ] nên hàm số g[x] có 3 điểm cực trị.

Tại x = 2 và x = -2 là nghiệm bội chẵn nên hai điểm này không là điểm cực trị của của hàm số.

Vậy hàm số g[x] = f[x2] có ba điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 39: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = x2 - 2x với mọi x ∈ R. Hàm số g[x] = f[x2 – 8x] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Hiển thị đáp án

Ta có: g'[x] = 2[x - 4].f'[x2 - 8x] = 2[x - 4][[x2 - 8x]2 - 2[x2 - 8x]];

g'[x] = 0 ⇔ 2[x - 4][[x2 - 8x]2 - 2[x2 - 8x]] = 0

Ta thấy x = 4 + 3√2 hoặc x = 4 - 3√2, x = 0, x = 8 và x = 4 đều là các nghiệm đơn nên hàm số g[x] có 5 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 40: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm cấp 3 liên tục trên R và thỏa mãn f[x].f'''[x] = x[x - 1]2[x + 4]3 với mọi x ∈ R. Hàm số g[x] = [f'[x]]2 - 2f[x].f''[x] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 B. 2

C. 3 D. 6

Hiển thị đáp án

Ta có: g'[x] = 2f''[x].f'[x] - 2f'[x].f''[x] - 2f[x].f'''[x] = -2f[x].f'''[x];

g'[x] = 0 ⇔ f[x].f'''[x] = 0 ⇔ x[x - 1]2[x + 4]3 = 0

Ta thấy x = 0 và x = -4 là các nghiệm đơn, x = 1 là nghiệm bội chẵn nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị tại x = 0 và x = -4.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 41: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm cấp 2 liên tục trên R và thỏa mãn [f'[x]]2 + f[x].f''[x] = 15x4 + 12x với mọi x. Hàm số g[x] = f[x].f'[x] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

Hiển thị đáp án

Ta có: g'[x] = [f'[x]]2 + f[x].f''[x] = 15x4 + 12x

g'[x] = 0 ⇔ 15x4 + 12x = 0

Nhận thấy x = 0 và

là các nghiệm bội lẻ nên hàm số g[x] có 2 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 42: Cho hàm số f[x] có đạo hàm f'[x] = [x + 1]4.[x - 2]5.[x + 3]3 với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[|x|] là

A. 1 B. 3

C. 5 D. 7

Hiển thị đáp án

Ta có: f'[x] = 0 ⇔ [x + 1]4[x - 2]5[x + 3]3 = 0

Do f'[x] chỉ đổi dấu khi x đi qua x = -3 và x = 2.

⇒ hàm số f[x] có 2 điểm cực trị x = -3 và x = 2 trong đó chỉ có 1 điểm cực trị dương

⇒ hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị [cụ thể là x = -2, x = 0, x = 2 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|].

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 43: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x - 1].[x - 2]4.[x2 – 4] với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[|x|] là

A. 1 B. 3

C. 5 D. 7

Hiển thị đáp án

* Ta có: f'[x] = 0 khi [x - 1].[x - 2]4.[x2 - 4] = 0

* Do f'[x] đổi dấu khi x đi qua các điểm điểm x = 1, x = 2 hoặc x = -2 nên hàm số f[x] có 3 điểm cực trị nhưng chỉ có 2 điểm cực trị dương là x = 1 và x = 2.

* suy ra: hàm số f[|x|] có 5 điểm cực trị [cụ thể là x = 2 hoặc x = -2; x = 1 hoặc x = -1; x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|]].

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 44: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = x.[x + 2]4.[x2 + 4] với mọi x. Số điểm cực trị của hàm số g[x] = f[|x|] là

A. 0 B. 1

C. 3 D. 5

Hiển thị đáp án

Ta có f'[x] =0 khi và chỉ khi: x.[x + 2]4.[x2 + 4] = 0

* Do f'[x] chỉ đổi dấu khi x đi qua điểm x = 0 ∈ Oy

Nên hàm số f[x] có 1 điểm cực trị x = 0 ∈ Oy

Suy ra, hàm số f[|x|] có 1 điểm cực trị [cụ thể là x = 0 do tính đối xứng của hàm số chẵn f[|x|].

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 45: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = x2.[x + 1].[x2 + 2mx + 5] với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m > -10 để hàm số g[x] = f[|x|] có 5 điểm cực trị ?

A. 6 B. 7

C. 8 D. 9

Hiển thị đáp án

Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f[|x|] nên yêu cầu bài toán khi và chỉ khi f[x] có 2 điểm cực trị dương. [*]

Xét:

Do đó [*] xảy ra khi [1] có hai nghiệm dương phân biệt :

-m > -10, m ∈ Z→ m ∈ {-9; -8; -7; -6; -5; -4; -3}.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 46: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x + 1]2[x2 + m2 - 3m - 4]3[x + 3]5 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g[x] = f[|x|] có 3 điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D.6

Hiển thị đáp án

Xét f'[x] = 0

Để hàm số g[x] có ba điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số f[x] có 1 điểm cực trị dương. Khi đó, [1] có hai nghiệm trái dấu nên: m2 - 3m - 4 < 0 ⇔ -1 < m < 4

-m ∈ Z→ m ∈ {0; 1; 2; 3}

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 47: Cho hàm số f[x] có đạo hàm f'[x] = [x + 1]4.[x - m]5.[x + 3]3 với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-5, 5] để hàm số g[x] = f[|x|] có 3 điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Hiển thị đáp án

Xét f'[x] = 0

• Nếu m = -1 thì hàm số f[x] có hai điểm cực trị âm [x = -3, x = -1]. Khi đó, hàm số f[|x|] chỉ có 1 cực trị là x = 0. Do đó m = -1 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Nếu m = -3 thì hàm số f[x] không có cực trị. Khi đó, hàm số f[|x|] chỉ có 1cực trị là x = 0. Do đó m = -3 không thỏa yêu cầu đề bài.

• Khi

thì hàm số f[x] có hai điểm cực trị là x = m và x = -3 < 0

Để hàm số f[|x|] có 3 điểm cực trị thì hàm số f[x] phải có hai điểm cực trị trái dấu

⇔ m > 0 -m ∈ Z, m ∈ [-5;5]→ m ∈ {1; 2; 3; 4; 5}

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 48: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = x2.[x + 1].[x2 + 2mx + 5] với mọi x. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g[x] = f[|x|] có đúng 1 điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Hiển thị đáp án

Xét f'[x] = 0

Theo yêu cầu bài toán ta suy ra

Trường hợp 1. Phương trình [1] có hai nghiệm âm phân biệt:

Trường hợp này không có giá trị nguyên âm nào của m thỏa mãn.

Trường hợp 2. Phương trình [1] vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

⇔ Δ' = m2 - 5 ≤ 0

⇔ -√5 ≤ m ≤ √5 -m ∈ Z-→ m ∈ {-2; -1}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 49: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm f'[x] = [x - 1]2.[x2 – 2x] với mọi x. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g[x] = f[x2 - 8x + m] có 5 điểm cực trị ?

A. 15 B. 16

C. 17 D. 18

Hiển thị đáp án

Xét f'[x] = 0 ⇔ [x - 1]2[x2 - 2x] = 0

Ta có: g'[x] = 2[x - 4].f'[x2 - 8x + m];

g'[x] = 0 ⇔ 2[x - 4].f'[x2 - 8x + m] = 0

Yêu cầu bài toán trở thành g'[x] = 0 có 5 nghiệm bội lẻ hay mỗi phương trình [1], [2] đều có hai nghiệm phân biệt khác 4. [*]

Xét đồ thị [C] của hàm số y = x2 – 8x và hai đường thẳng d1: y = -m, d2: y= -m + 2 [như hình vẽ].

Khi đó [*] xảy ra khi d1, d2 cắt [C] tại bốn điểm phân biệt ⇔ -m > -16 ⇔ m < 16

Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa mãn: {1, 2, 3, .., 15}

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 50: Cho hàm số f[x] xác định trên R và có đồ thị f[x] như hình vẽ bên dưới. Hàm số g[x] = f[x] - x đạt cực đại tại

A. x = - 1 B. x = 0

C. x = 1 D. x = 2

Hiển thị đáp án

Ta có: g'[x] = f'[x] - 1; g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = 1

Suy ra số nghiệm của phương trình g'[x] = 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm số f'[x] và đường thẳng y = 1.

Dựa vào đồ thị ta suy ra

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g[x] đạt cực đại tại x = -1

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 51: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình bên. Hàm số g[x] = f[-x2 + 3x] có bao nhiêu điểm cực đại ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Hiển thị đáp án

Ta có g'[x] = [-2x + 3].f'[x2 + 3x]

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số có 3 điềm cực đại.

Suy ra chọn đáp án A.

Câu 54: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình bên. Đồ thị của hàm số g[x] = [f[x]]2 có bao nhiêu điểm cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

C. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

D. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.

Hiển thị đáp án

Dựa vào đồ thị ta có:

g'[x] = 2f'[x].f[x]; g'[x] = 0

Ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g[x] có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 55: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số g[x] = f[f[x]] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

Hiển thị đáp án

Dựa vào đồ thị ta thấy f[x] đạt cực trị tại x = 0, x = 2.

Suy ra

Ta có: g'[x] = f'[x].f'[f[x]];

Dựa vào đồ thị suy ra:

• Phương trình [1] có hai nghiệm x = 0 [nghiệm kép] và x = a [a > 2]

• Phương trình [2] có một nghiệm x = b [b > a]

Vậy phương trình g'[x] = 0 có 4 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2, x = a và x = b. Suy ra hàm số g[x] = f[f[x]] có 4 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 56: Cho hàm số y = f[x] có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm số điểm cực trị của hàm số g[x] = 2f[x] – 3f[x]

A. 2 B. 3

C. 4 D. 5

Hiển thị đáp án

Ta có: g'[x] = f'[x][2f[x].ln2 - 3f[x].ln3];

Dựa vào đồ thị ta thấy:

• có ba nghiệm bội lẻ phân biệt [vì đồ thị hàm số y = f[x] có 3 điểm cực trị].

• f[x] ≥ -1, ∀x ∈ R nên phương trình [2] vô nghiệm.

Vậy hàm số g[x]= 2f[x] – 3f[x] có 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 57: Để hàm số sau đạt cực đại tại x = 2 thì m thuộc khoảng nào ?

A. [0; 2] B. [-4; -2]

C. [-2; 0] D. [2; 4]

Hiển thị đáp án

• Tập xác định: D = R \ {-m}.

• Đạo hàm:

• Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y'[2] = 0

• Với m = -3

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2 nên m = -3 ta nhận.

• Với m = -1

Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 nên m = - 1 ta loại.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 58: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h[x] = |2f[x]- 3| có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 4 B. 5

C. 7 D. 9

Hiển thị đáp án

Xét g[x] = 2f[x] + 3 nên g'[x] = 2.f'[x]

g'[x] = 0 ⇔ f'[x] = 0

Ta tính được:

Bảng biến thiên của hàm số g[x]

Dựa vào bảng biến thiên suy ra

• Đồ thị hàm số g[x] có 4 điểm cực trị.

• Đồ thị hàm số g[x] cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.

Suy ra đồ thị hàm số h[x] = |2f[x] – 3| có 7 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án C.

Câu 59: Cho hàm số y = f[x] có đồ thị như hình vẽ bên. Đồ thị hàm số g[x] = f[|x - 2|] + 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 2 B. 3

C. 5 D. 7

Hiển thị đáp án

Đồ thị hàm số g[x] = f[|x - 2|] + 1 được suy ra từ đồ thị hàm số f[x] như sau:

Bước 1: Lấy đối xứng qua Oy nhưng vì đồ thị đã đối xứng sẵn nên bước này bỏ qua.

Bước 2: Tịnh tiến đồ thị ở bước 1 sang phải 2 đơn vị.

Bước 3: Tịnh tiến đồ thị ở bước 2 lên trên 1 đơn vị.

Vì phép tịnh tiến không làm ảnh hưởng đến số cực trị nên ta không quan tâm đến bước 2 và bước 3. Từ nhận xét Bước 1 ta thấy số điểm cực trị của đồ thị hàm số g[x] bằng số điểm cực trị của đồ thị hàm số f[x] là 3 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 60: Cho hàm số y = f[x] có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Hỏi hàm số g[x] = f[x2 + 1] có bao nhiêu điểm cực trị ?

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

Hiển thị đáp án

Ta có g[x] = f[x2 + 1] nên g'[x] = 2x.f'[x2 + 1]

Vậy g'[x] = 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x = 0 nên hàm số g[x] có 1 điểm cực trị.

Suy ra chọn đáp án B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Hàm số y=fx có đúng ba cực trị là−2, −1 và 0. Hỏi hàm số y=fx2−2x có bao nhiêu điểm cực trị?

Bài tập trắc nghiệm 60 phút Cực trị của hàm số - Hàm số và Ứng dụng - Toán Học 12 - Đề số 8

Chia sẻ

Một số câu hỏi khác cùng bài thi.

Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.

Lý thuyết cực trị của hàm số

Định nghĩa

Định lí 1

Định lí 2

Định lí 3

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Cách tìm cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay, có lời giải

120 Bài tập Cực trị của hàm số chọn lọc, có lời giải [nâng cao - Phần 2]

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề