1. Tìm các cặp đường thẳng cắt nhau và song song với nhau trong số các cặp đường thẳng sau:
a, y = 1 - x b, y = $\sqrt{2}$x - 2
c, y = -0,5x d, y = 3 - 0,5x
e, y = 1 + $\sqrt{2}$x f, y = -x + 4
Xem lời giải
Hai đường thẳng y = ax + b và. Lý thuyết đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Bài 4. Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau.
A. Tóm tắt kiến thức:
1. Đường thẳng song song:
Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ song song với nhau khi và chỉ khi a = a’, b ≠ b’ và trùng nhau khi và chỉ khi a = a’, b = b’.
2. Đường thẳng cắt nhau:
Hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’ cắt nhau khi và chỉ khi a ≠ a’.
Mời các em tham khảo tổng hợp lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau cùng một số dạng bài thường gặp và hướng dẫn cách làm, qua đó nắm được các định lý, công thức và áp dụng hoàn thành các bài tập.
I. Lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng \[d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\] và \[d':y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]\].
1. Đường thẳng song song
Hai đường thẳng \[y = ax + b [a\ne 0]\] và \[y = a'x + b' [a'\ne 0]\] song song với nhau khi và chỉ khi \[a = a', b ≠ b'\] và trùng nhau khi và chỉ khi \[a = a', b = b'\].
2. Đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng \[y = ax + b [a\ne 0]\] và \[y' = a'x + b' [a'\ne 0]\] cắt nhau khi và chỉ khi \[a ≠ a'\].
Ngoài ra, \[d \bot d' \Leftrightarrow a.a' = - 1\].
Ghi nhớ:
+] \[d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\]
+] \[d \] cắt \[ d' \Leftrightarrow a \ne a'\].
+] \[d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].
II. Các dạng toán thường gặp về Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Dạng 1: Chỉ ra vị trí tương đối của hai đường thẳng cho trước. Tìm tham số m để các đường thẳng thỏa mãn vị trí tương đối cho trước.
Phương pháp:
Cho hai đường thẳng \[d:y = ax + b\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\] và \[d':y = a'x + b'\,\,\left[ {a' \ne 0} \right]\].
+] \[d{\rm{//}}d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b \ne b'\end{array} \right.\]
+] \[d\] cắt \[d' \Leftrightarrow a \ne a'\].
+] \[d \equiv d' \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = a'\\b = b'\end{array} \right.\].
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Phương pháp:
+] Sử dụng vị trí tương đối của hai đường thẳng để xác định hệ số.
Ngoài ra ta còn sử dụng các kiến thức sau
+] Ta có \[y = ax + b\] với \[a \ne 0, b \ne 0\] là phương trình đường thẳng cắt trục tung tại điểm \[A\left[ {0;b} \right]\], cắt trục hoành tại điểm \[B\left[ { - \dfrac{b}{a};0} \right]\].
+] Điểm \[M\left[ {{x_0};{y_0}} \right]\] thuộc đường thẳng \[y = ax + b\] khi và chỉ khi \[{y_0} = a{x_0} + b\].
Dạng 3: Tìm điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi tham số \[m\]
Phương pháp:
Gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] là điểm cần tìm khi đó tọa độ điểm \[M\left[ {x;y} \right]\] thỏa mãn phương trình đường thẳng \[d\].
Đưa phương trình đường thẳng \[d\] về phương trình bậc nhất ẩn \[m\].
Từ đó để phương trình bậc nhất \[ax + b = 0\] luôn đúng thì \[a = b = 0\]
Giải điều kiện ta tìm được \[x,y\].
Khi đó \[M\left[ {x;y} \right]\] là điểm cố định cần tìm.
III. Bài tập về Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau
Cho hàm số \[ y = ax + 3\]. Hãy xác đinh hệ số a trong mỗi trường hợp sau:
a] Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng \[y = -2x\];
b] Khi \[x = 1 + \sqrt 2\] thì \[y = 2 + \sqrt 2\] .
Lời giải:
a] Đồ thị của hàm số \[y = ax + 3\] song song với đường thẳng \[y = - 2x\] nên \[a = -2\]
Vậy hệ số a của hàm số là: \[a = -2\]
b] Khi \[x = 1 + \sqrt 2\] thì \[y = 2 + \sqrt 2\]
Ta có:
\[\eqalign{ & 2 + \sqrt 2 = a\left[ {1 + \sqrt 2 } \right] + 3 \cr & \Leftrightarrow a\left[ {1 + \sqrt 2 } \right] = \sqrt 2 - 1 \cr & \Leftrightarrow a = {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 + 1}} \cr & \Leftrightarrow a = {{{{\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}^2}} \over {\left[ {\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {\sqrt 2 - 1} \right]}} \cr & = {{2 - 2\sqrt 2 + 1} \over {2 - 1}} = 3 - 2\sqrt 2 \cr} \]
Vậy hệ số a của hàm số là: \[a = 3 - 2\sqrt 2 \]
=>> Xem thêm nhiều bài tập khác trong chuyên đề vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 9 để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng làm bài
******************
Trên đây là lý thuyết Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau bao gồm các kiến thức cần nắm và những dạng bài liên quan. Hy vọng đây sẽ là tài liệu hữu ích phục vụ việc học tập của các em. Ngoài ra, các em hãy truy cập doctailieu.com để tham khảo thêm nhiều tài liệu học Toán lớp 9 phong phú khác mà chúng tôi đã sưu tầm và tổng hợp nhé. Chúc các em luôn học tốt và đạt kết quả cao!
Cho hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’:
Thông báo: Giáo án, tài liệu miễn phí, và các giải đáp sự cố khi dạy online có tại Nhóm giáo viên 4.0 mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!
- Hai đường thẳng vuông góc với nhau: a.a’ = -1.
- Hai đường thẳng song song với nhau: a = a’ và b ≠ b’.
- Hai đường thẳng cắt nhau: a ≠ a’.
- Hai đường thẳng trùng nhau: a = a’ và b = b’.
Trong chương trình toán lớp 9, bên cạnh phần đại số thì hình học là một phần không kém quan trọng. Hình học hỗ trợ kỹ năng tư duy toán học tượng hình. Để học tốt toán cần tìm hiểu và ghi nhớ kỹ lưỡng các công thức.
Hình học trong toán 9
Toán học là môn học quan trọng, cần được đầu tư kỹ lưỡng về thời gian học. Thời lượng làm bài tập chia đều cho khoảng thời gian trong ngày. Tìm kiếm thêm tài liệu để tham khảo, tìm hiểu bài tập để làm bổ sung.
Bên cạnh đó kết hợp với nâng cao năng lực tự học tìm hiểu cái mới. Giải quyết các bài khó bằng phương pháp tự học, học nhóm. Lập nhóm để giúp nhau học tập hiệu quả hơn. Kết hợp vui chơi giải trí, thư giãn đầu óc. Lớp 9 là lớp cuối cấp, chuẩn bị bước vào kì thi vào lớp 10, hẳn sẽ gặp nhiều áp lực.
Nhưng các em chưa cần phải quá bận tâm về vấn đề này. Phía trước còn chặng đường dài học tập. Tập trung ôn luyện để chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp. Nắm vững kiến thức làm tiền đề cho các cấp học sau này. Dùng kiến thức để áp dụng trong cuộc sống hằng ngày.
Bên cạnh đó, học tập không bao giờ là đủ, không chỉ môn toán mà còn những môn học khác cũng cần được chú trọng. Nền tảng khoa học để bổ trợ cho nhau.
Hai đường thẳng song song
Phần hình học của chương trình toán lớp 9 gồm các kiến thức đã có từ lớp trước. Được triển khai và chuyên sâu hơn. Nội dung về không gian, hình khối. Trung điểm, tia, đường thẳng, các phương pháp chứng minh.
Để làm tốt bài tập cần nắm rõ các công thức tính toán [tính diện tích, thể tích]. Các điều kiện để bằng nhau, giao nhau, song song, đồng dạng. Về đường thẳng có các trạng thái, trường hợp như sau: vuông góc với nhau, song song với nhau, cắt nhau và cuối cùng là trùng nhau.
Hai đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a’= -1. Khi đó, chúng gặp nhau và tạo thành 1 góc 90 độ. Trường hợp song song là khi chỉ số a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này thì 2 đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau tại 1 số thời điểm. Khi chỉ số a ≠ a’ sẽ dẫn đến trường hợp 2 đường thẳng giao nhau. Trùng nhau ở trường hợp a = a’.
Hai đường thẳng cắt nhau
Hai đường thẳng cắt nhau là dạng cơ bản của chủ đề mối quan hệ giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng được gọi là cắt nhau khi chúng cùng đi qua một điểm. Như vậy, với từng dạng toán về hai đường thẳng cắt nhau ta có cách giải khác nhau. Thứ nhất, chứng minh hai đường thẳng đã cho cắt nhau. Phương pháp làm như sau:
- Bước 1: Lập hệ phương giao điểm của hai đường thẳng
- Bước 2: Tìm nghiệm của hệ phương trình đó. Nếu hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ hai đường thẳng cắt nhau. Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng không cắt nhau. Nếu hệ phương trình vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng nhau.
- Bước 3: Kết luận và kiểm tra lại bài.
Đây là phương pháp chung đối với dạng toán này. Nếu mà hai phương trình đường thẳng đã cho là hai đường thẳng cụ thể thì có thể tìm trực tiếp nghiệm. Nếu hai đường thẳng cho ở dạng tham số thì cần biện luận theo tham số. Trong nhiều trường hợp kể cả là phương trình chứa tham số nhưng vẫn tìm được giao điểm cụ thể của hai đường thẳng.
Dạng toán thứ hai là chứng minh một điểm thuộc đường thẳng này cũng thuộc đường thẳng kia. Đây là dạng toán cơ bản mà tất cả học sinh đều được làm. Nó sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn mối quan hệ cắt nhau giữa hai đường thẳng.
Phương pháp làm hết sức đơn giản. Chỉ cần thay giá trị tọa độ của điểm đã cho vào công thức hai đường thẳng. Nếu cả hai đều thỏa mãn [luôn đúng] thì chứng minh được bài toán. Điều này cũng có nghĩa là đây chính là giao điểm của hai đường thẳng.
Hai đường thẳng vuông góc
Như chúng tôi đã trình bày ở trên, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi mà tích hệ số góc của chúng bằng -1. Vậy, với chuyên đề này có những dạng toán nào. Thứ nhất, chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Học sinh chỉ cần xác định đúng hệ số góc của đường thẳng. Đây là bước học sinh dễ mắc sai lầm nhất. Cần đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát thì mới được xác định hệ số góc. Khi đã có hệ số góc của hai đường thì thực hiện tích của chúng. Nếu tích thỏa mãn bằng -1 thì chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Có thể bạn quan tâm: Bài tập toán lớp 7 theo chuyên đề có chọn lọc
Dạng toán thứ hai là tìm giá trị tham số để thỏa mãn hai đường thẳng vuông góc. Các bước làm cụ thể như sau:
- Bước 1: Xác định hệ số góc của hai đường thẳng theo tham số
- Bước 2: Lập biểu thức tích hai hệ số góc bằng -1
- Bước 3. Giải phương trình chứa tham số đã lập ở bước 2
- Bước 4: Kết luận và kiểm tra lại bài
Hai dạng toán này là dạng cơ bản thường gặp. Tuy nhiên khi lên các lớp cao hơn độ khó cũng cao hơn hẳn. Ví dụ, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, tìm góc trong hình khong gian,…
Tóm lại, mối quan hệ giữa các đường thẳng là nền tảng cơ bản cho kiến thức nâng cao hơn. Do đó, các bạn cần nắm chắc tất cả lý thuyết liên quan đến chuyên đề này. Đồng thời cố gắng vận dụng nhanh chóng và linh hoạt để nâng cao kết quả học tập.
Sưu tầm: Trần Thị Nhung
Tải tài liệu miễn phí ở đây
Tải tài liệu miễn phí ở đây