Giải toán bằng cách lập hệ phương trình dạng phần trăm

Cập nhật lúc: 17:39 31-10-2018 Mục tin: LỚP 9

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ 2 tỉnh A và B cách nhau \[400km\] đi ngược chiều và gặp nhau sau \[5h\]. Nếu vận tốc của mỗi xe không thay đổi nhưng xe đi chậm xuất phát trước xe kia \[40\] phút thì 2 xe gặp nhau sau \[5\]h\[22\] phút kể từ lúc xe chậm khởi hành. Tính vận tốc mỗi xe.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của xe nhanh là \[x \ km/h\], vận tốc của xe chậm là \[y \ km/h\]  [\[x,y>0]\].

Hai xe cùng khởi hành một lúc và đi ngược chiều sau \[5h\] gặp nhau nên ta có phương trình \[5[x+y]=400 \ \ [1]\]

Thời gian xe đi chậm hết \[5h22'=\dfrac{161}{30}\]

Thời gian xe đi nhanh hết \[\dfrac{161}{30}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{141}{3}\] giờ

Vì xe đi chậm xuất phát trước \[40'=\dfrac{2}{3}h\]

Quãng đường xe đi chậm đi được là \[\dfrac{161}{30}y\]

Quãng đường xe đi nhanh đi được là \[\dfrac{141}{30}x\]

Cả 2 xe đi được \[\dfrac{161}{30}y+\dfrac{141}{30}x=400 \ \ [2]\]

Kết hợp [1] và [2] ta có hệ phương trình

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 9 - Xem ngay

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com. , cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Chuyên đề giải bài Toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 là một dạng toán quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán.

Tài liệu tóm tắt toàn bộ kiến thức lý thuyết kèm theo 142 bài tập vận dụng có đáp án kèm theo. Thông qua chuyên đề giải bài Toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình các bạn có thêm nhiều gợi ý tham khảo, trau dồi vốn kiến thức củng cố kỹ năng giải Toán. Ngoài ra các em học sinh lớp 9 tham khảo thêm một số tài liệu như: Chuyên đề rút gọn biểu thức và các bài toán liên quan, Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, Tổng hợp kiến thức Toán 9.

Chuyên đề giải bài Toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9 có 8 dạng toán cơ bản:

• Dạng toán chuyển động.
• Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học.
• Dạng toán công việc làm chung, làm riêng.
• Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nước.
• Dạng toán tìm số.
• Dạng toán sử dụng các các kiến thức về %.
• Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hóa học.

Giải bài Toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình lớp 9

I. Phương pháp giải chung.

Bước 1. Lập PT hoặc h PT:

- Chọn ẩn, đơn vi cho ẩn, điều kiện thích hở cho ẩn.

- Biểu đạt các đại lượng khác theo ẩn [ chú ý thống nhất đơn vi].

- Dựa vào các dữ kiện, điều kiện của bài toán để lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Bước 2 Giải PT hoặc hệ phương trình

Bước 3. Nhận đinh so sánh kết quả bài toán tìm kết quả thích hợp, trả lời [bằng câu viết] nêu rõ đơn vi của đáp số.

II. Các dạng toán cơ bản.

1. Dạng toán chuyển động;

2. Dạng toán liên quan tới các kiến thức hình học;

3. Dạng toán công việc làm chung, làm riêng;

4. Dạng toán chảy chung, chảy riêng của vòi nước;

5. Dạng toán tìm số;

6. Dạng toán sử dụng các kiến thức về \%;

7. Dạng toán sử dụng các kiến thức vật lý, hoá hoc.

III. Các Công thức cần lưu ý khi gbt bc lpt hpt.

[S - quãng đường; V - vận tốc; T- thời gian ];

2. Chuyển động của tàu, thuyền khi có sự tác động của dòng nước;

IV. Bài tập áp dụng

Bài toán 1. Dạng toán chuyển động

Một Ô tô đi từ A đến B cùng một lúc, Ô tô thứ hai đi từ B về A với vận tốc bằng

vận tốc Ô tô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi Ô tô đi cả quãng đường AB mất bao lâu.

Đáp án

Gọi thời gian ô tô đi từ A đến B là

;

Ta có vận tốc Ô tô đi từ A đến B là :

Vận tốc Ô tô đi từ B về A là:

Sau 5 giờ Ô tô đi từ A đến B đi được quãng đường là; 5 .

Sau 5 giờ ô tô đi từ B đến A đi được quãng đường là;

Vì sau 5 giờ chúng gặp nhau do đó ta có phương trình:

Giải phương trình ta được:

Bài toán 2: 

Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B.

Bài toán 3: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h. Khi đi từ B về A người ấy đi đường khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút. Tính quãng đường AB?

Bài toán 4: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngược dòng là 9 km/h [có cả vận tốc dòng nước] và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

Dạng 2: Toán thêm bớt một lượng

Bài 5. Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 học sinh. nếu chuyển 5 học sinh từ lớp 9A sang lớp 9B thì số học sinh ở hai lớp bằng nhau. Tính số học sinh mỗi lớp.

Bài 6: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi lấy ra ở thùng thứ nhát một lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lượng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lượng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng?

Dạng 3: Toán phần trăm

Bài 7. Hai trường A, B có 250 học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 học sinh đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trường A đạt 80%, trường B đạt 90%. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi vào lớp 10.

Dạng 4: Toán làm chung làm riêng

Bài 8. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể.

Bài 9. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. Nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì được 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu.

.......................

Mời các bạn tải File tài liệu để xem thêm nội dung chi tiết tài liệu

Cập nhật: 05/01/2022

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 là một dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kì, bài kiểm tra, đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải được dạng toán lập hệ phương trình ở lớp 9, học sinh cần nắm được 2 cách giải hệ phương trình bậc nhất là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. Ngoài ra, kỹ năng quan trọng là cách đặt ẩn và biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn để có được một hệ phương trình.

1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Cách giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Lập hệ phương trình.
  • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ [thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…]. Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp [ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…].
  • Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
  • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
• Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
• Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

2. Các dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thường gặp:

Dạng 1: Chuyển động [trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy]

Đối với dạng toán này, cần chú ý đến điều kiện của ẩn:

• Nếu gọi $x$ là vận tốc của chuyển động thì điều kiện là $x>0$.
• Đặt thời gian chuyển động là $y$ thì điều kiện là $y \ge 0$.
• Một số công thức:
  • Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, s=v.t;
  • Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng;
  • Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước;
  • Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước.
• Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu:
  • Thời gian hai xe đi được là như nhau,
  • Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
• Cách đổi đơn vị thời gian, vận tốc:
  • 1 h [1 giờ] = 60 phút.
  • 1 [m/s] = 3,6 [km/h], vì 1 m = 1/1000 km và 1 s = 1/3600 giờ.
  • 1 [km/h] = 5/18 [m/s].

Ví dụ 1. Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô-tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ô-tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ô-tô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ [đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$]. Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ô-tô đi hết quãng đường BC trong 30 phút [bằng 0,5 giờ] và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

• Quãng đường AC dài $2y$ [km], quãng đường BC dài $0,5x$ [km].
• Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là $\frac{2y}{x}$ [km/h].
• Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là $0,5\frac{x}{y}$ [km/h].
• Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {{x^2} = 4{y^2}} \end{array}} \right. \end{array}\] Vì \[ x,y>0 \] nên từ phương trình \[ {{x^2} = 4{y^2}} \] suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được $$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ [thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$].
• Vậy, vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng [Bài toán vòi nước]

Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h.

Hướng dẫn. 

• Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x [điều kiện x > 0 , x tính bằng giờ]
• Gọi thời gian vòi sau chảy chảy một mình đầy bể là  y [điều kiện y > 4 , y tính bằng giờ]
• Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể.
• Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

• Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = 15/4 h, nên trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được

$1 : \frac{15}{4} = \frac{4}{15} $ bể.

• Suy ra, ta có phương trình

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}$

• Mặt khác, nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là $y – x = 4$ nên ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}\\ y – x = 4 \end{cases}$$
• Giải hệ phương trình này tìm được $x=6,y=10$.
• Vậy, vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h; vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h.

Ví dụ 2.  Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

Hướng dẫn. 

• Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ [giờ], thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ [giờ]. Điều kiện x, y>5.
• Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

• Mà theo đề bài, cả hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{5}$ bể. Do đó ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$$
• Mặt khác, nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nên ta
  có phương trình $$3.\frac{1}{x}+4.\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$$
• Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3} \end{cases}.$$
• Giải hệ phương trình này tìm được $x=7,5$ và $y=15$ [thỏa mãn điều kiện].
• Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ.

Ví dụ 3. Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?

Hướng dẫn. 

• Gọi thời gian lớp 9A, 9B hoàn thành xong công việc là $x$ [giờ] và $y$ [giờ], điều kiện $x>5,y>0$.
• Trong 1 giờ, lớp 9A làm được: $\frac{1}{x}$ [công việc], lớp 9B làm được $\frac{1}{y}$ [công việc]. Nên trong 1 giờ, cả 2 lớp làm được

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ công việc.

• Mà theo đề bài, cả hai lớp cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc nên ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$$
• Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Tức là $x-y=5$.
• Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\ x-y=5 \end{cases}$$
• Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế, tìm được $y=-3$ [loại] hoặc $y=10$ [thỏa mãn]. Từ đó tìm được $x=15$.

Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.

Chú ý cách tính tỉ lệ phần trăm.

Ví dụ 1.  Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm
được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Hướng dẫn. 

• Gọi $x,y$ là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch, điều kiện x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.
• Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $$x+y=600.$$
• Số sản phẩm tăng thêm của tổ I là: $ \frac{18}{100} x$ sản phẩm. Số sản phẩm tăng của tổ II là: $ \frac{18}{100} y$ sản phẩm.
• Do số sản phẩm của hai tổ vượt mức 120 [sản phẩm] nên ta có phương trình $$\frac{18}{100}x + \frac{21}{100}y = 120. $$
• Từ đó ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} x+y=600 \\ \frac{18}{100} x+\frac{21}{100} y=120 \end{array}\right.$$
• Giải hệ này tìm được $x=200, y=400$ [thỏa mãn điều kiện].

Ví dụ 3. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

Hướng dẫn. 

Ví dụ 4. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

Hướng dẫn. 

Dạng 4: Toán có nội dung hình học.

• Khi đặt ẩn là độ dài các đoạn thẳng, độ dài các cạnh thì điều kiện của ẩn là không âm.
• Diện tích hình chữ nhật $S = x.y$, với $ x$ là chiều rộng; $y$ là chiều dài.
• Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}a.h_a$ với $a$ là độ dài một cạnh tam giác và $h_a$ là chiều cao ứng với cạnh đó.
• Định lý Pitago trong tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là $c$, độ dài hai cạnh góc vuông là $a,b$ thì $$a^2+b^2=c^2.$$

Ví dụ 1.  Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn.

• Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ [đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$].
• Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2[x + y] = 34$$
• Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $[y + 3]$ m, chiều rộng $[x +2]$ m nên có diện tích là $[x + 2][y + 3]$.
• Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình: $$[x+2][y+3]= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} 2\left[ {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}34\\ \left[ {x + 2} \right]\left[ {y + 3} \right] = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45 \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.
• Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

Ví dụ 2. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

Hướng dẫn. 

Ví dụ 3. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn. 

Dạng 5: Toán về tìm số.

• • Số có hai, chữ số được ký hiệu là $\overline{ab} $, điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b \le 9; a,b \in \mathbb{N}$.
  • Giá trị của số: $\overline{ab} = 10a+b$.
  • Số có ba, chữ số được ký hiệu là $\overline{abc}$ thì $\overline{abc} = 100a +10b + c$,  điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b,c \le 9; a,b,c \in \mathbb{N}$.
  • Tổng hai số $x; y$ là: $x+ y$.
  • Tổng bình phương hai số $x, y$ là: $x^2+y^2$.
  • Bình phương của tổng hai số $x, y$ là: $[x+y]^2$.
  • Tổng nghịch đảo hai số $x, y$ là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

Ví dụ 1.  Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được sốmới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

Hướng dẫn.

• Gọi chữ số số cần tìm là $\overline{xy}$, điều kiện $x ,y\in \mathbb{N}, 0 < x \le  9, 0 \le y \le 9$.
• Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: $$x+y=14.$$
• Đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: $\overline{yx}-\overline{xy}=18$ hay  chính là $$10y+x-[10x+y]=18$$
• Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} x+y=14 \\ 10y+x-[10x+y]=18 \end{cases}$$
• Giải hệ này, tìm được $x=6,y=8$ [thỏa mãn điều kiện] nên số cần tìm là $68$.

Ví dụ 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị .

Hướng dẫn.

• Gọi chữ số hàng chục là $a$, chữ số hàng đơn vị là $b$, điều kiện $a,b\in \mathbb{N}; 1\le a\le 9; 0\le b\le 9$.
• Số cần tìm là $\overline{ab}$ có giá trị $\overline{ab}=10a+b$.
• Ta có chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình: $$ b-a=5$$
• Lại có, khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là $\overline{a1b}$ có giá trị $\overline{a1b}=100a+10+b$.
• Do số mới lớn hơn số ban đầu là 280 đơn vị nên ta có phương trình: $$100a+10+b-[10a+b]=280$$
• Ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} -a+b=5 \\ [100 a+10+b]-[10 a+b]=280\end{array}\right.$$
• Giải hệ này, tìm được $a=3,b=8$ đều thỏa mãn điều kiện nên số cần tìm là $38$.

Ví dụ 3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.

Hướng dẫn.

Ví dụ 4.  Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.

Hướng dẫn.

3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng $\frac{1}{4}$. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng $\frac{5}{24}$. Tìm phân số đó.

Bài 2. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng $\frac{3}{2}$. Tìm phân số đó.

Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left[ {3x – 1} \right]\left[ {2y + 3} \right] = \left[ {2x – 1} \right]\left[ {3y + 4} \right]\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left[ {1 + k} \right]y = 0\\ \left[ {1 – k} \right]x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$