Câu 1. Hình đa diện dưới đây gồm bao nhiêu mặt
A.\[13\]. B. \[8\]. C. \[11\]. D. \[9\].
Câu 2. Cho \[a\] là số thực dương tùy ý, \[\dfrac{{{a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}}\] bằng
A. \[{a^{\dfrac{1}{3}}}\]. B. \[{a^{\dfrac{5}{4}}}\].
C. \[{a^{\dfrac{3}{4}}}\]. D. \[{a^{\dfrac{4}{5}}}\].
Câu 3. Cho hàm số \[y = f[x]\]có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \[\left[ {0;1} \right]\]. B. \[\left[ { - 1;0} \right]\].
C. \[\left[ {1; + \infty } \right]\]. D. \[\left[ { - 1;1} \right]\].
Câu 4. Cho khối chóp tứ giác đều \[S.ABCD\]có cạnh đáy bằng \[\sqrt 2 a\] và tam giác \[SAC\]đều. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A. \[\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{2}\]. B. \[\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
C. \[\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].D. \[\dfrac{{3\sqrt 3 {a^3}}}{2}\].
Câu 5. Cho khối hộp có thể tích bằng \[12{a^3}\] và diện tích mặt đáy \[4{a^2}\]. Chiều cao của khối hộp đã cho bằng
A. \[6a\].B. \[a\].C. \[3a\]. D. \[9a\].
Câu 6. Cho hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên đoạn \[\left[ { - 3;1} \right]\]và có đồ thị như hình vẽ. Gọi \[M\] và \[m\]lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn \[\left[ { - 3;1} \right]\]. Giá trị của \[M - m\] bằng
A.\[6\]. B. \[2\]. C. \[8\]. D. \[4\].
Câu 7. Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có bảng biến thiên là:
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\[\left[ { - 1;3} \right]\]. B.\[\left[ { - 3;2} \right]\].
C.\[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\]. D.\[\left[ {3; + \infty } \right]\].
Câu 8. Đồ thị hàm số \[y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}}\] có một đường tiệm cận đứng là
A.\[x = 3\]. B.\[y = 2\].
C.\[x = - 3\]. D.\[y = - 2\].
Câu 9. Tập xác định của hàm số \[y = {\left[ {3x - 1} \right]^{ - 4}}\] là
A.\[\left[ {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right]\]. B.\[\left[ { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right]\].
C.\[\mathbb{R}\]. D.\[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\]
Câu 10. Tập xác định của hàm số \[y = \ln \left[ {2x - 1} \right]\] là
A.\[\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right]\]. B.\[\left[ { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right]\].
C.\[\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right]\]. D.\[\left[ { - \infty ;\dfrac{1}{2}} \right]\]
Câu 11. Cho \[a\] là số thực dương tùy ý, \[\dfrac{{{{\left[ {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right]}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}}\] bằng
A.\[{a^{\sqrt 7 }}\]. B.\[{a^2}\]. C.\[{a^{ - \sqrt 7 }}\]. D.\[{a^{ - 2}}\].
Câu 12. Cho khối lăng trụ \[ABC.A'B'C'\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\] và \[AA' = \sqrt 6 a\]. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
A.\[\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{4}\]. B.\[\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{2}\].
C.\[\dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\].D.\[\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{2}\].
Câu 13. Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có bảng biến thiên như sau:
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A.\[ - 1\].B.\[2\].C. \[1\].D.\[ - 3\].
Câu 14. Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có đồ thị như hình vẽ
Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là
A.\[\left[ {3; - 1} \right]\]. B.\[\left[ { - 1;3} \right]\].
C.\[\left[ {4;1} \right]\]. D.\[\left[ {1;4} \right]\].
Câu 15. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm sô nào dưới đây?
A.\[y = \dfrac{{x - 1}}{{2x - 1}}\].
B.\[y = - {x^3} + 3x - 2\].
C.\[y = {x^4} - 2{x^2} + 1\].
D.\[y = \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}}\].
Câu 16. Số đỉnh của khối bát diện đều là
A.\[6\].B.\[4\]. C.\[8\]. D.\[12\].
Câu 17. Cho \[a,\,b,\,c\] là các số thực dương và khác \[1\] thỏa mãn \[{\log _a}b = 3,\,{\log _a}c = - 4\]. Giá trị của \[{\log _a}\left[ {{b^3}{c^4}} \right]\] bằng
A.\[ - 7\]. B.\[6\].C.\[5\].D.\[7\].
Câu 18. Số các giá trị nguyên của \[m\] để hàm số \[y = {x^3} - 3m{x^2} - \left[ {12m - 15} \right]x + 7\] đồng biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; + \infty } \right]\] là
A.\[8\].B.\[6\].C.\[5\].D.\[7\].
Câu 19. Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A.\[y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\].
B.\[y = - {x^3} + 3x + 1\].
C.\[y = - {x^4} + x + 1\].
D.\[y = {x^3} + 3x + 1\].
Câu 20. Đạo hàm của hàm số \[y = x\ln x\] trên khoảng \[\left[ {0; + \infty } \right]\] là
A.\[\ln x - 1\]. B.\[\ln x + 1\].
C.\[\ln x + x\]. D.\[\ln - x\].
Câu 21. Với \[a\] là số thực dương tùy ý, \[{\log _5}{a^6}\] bằng
A.\[6 + {\log _5}a\]. B.\[\dfrac{1}{6} + {\log _5}a\].
C. \[\dfrac{1}{6}{\log _5}a\]. D.\[6{\log _5}a\].
Câu 22. Đồ thị hàm số nào dưới đây có đường tiệm cận ngang qua điểm \[A\left[ {2;3} \right]\]
A.\[y = \dfrac{{x + 3}}{{3x + 2}}\].
B.\[y = \dfrac{{2x + 1}}{{x - 2}}\].
C. \[y = \dfrac{{3x + 1}}{{2x - 2}}\].
D.\[y = \dfrac{{3x + 2}}{{x + 3}}\].
Câu 23. Cho khối chóp có thể tích bằng \[10{a^3}\] và chiều cao bằng \[5a\]. Diện tích mặt đáy của khối chóp đã cho bằng
A.\[2{a^2}\]. B.\[6{a^2}\].
C.\[12{a^2}\]. D.\[4{a^2}\].
Câu 24. Cho khối chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[\sqrt 2 a\], \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và \[SA = \sqrt 3 a\]. Thể tích của khối chóp đã cho bằng
A.\[\dfrac{{2\sqrt 6 {a^3}}}{3}\]. B.\[\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
C.\[\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\]. D.\[\dfrac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\].
Câu 25. Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm của phương trình \[3f\left[ x \right] - 7 = 0\] là:
A. \[4\]. B. \[1\].C. \[0\].D. \[2\]
Câu 26. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số các đường tiệm cận [tiệm cận đứng và tiệm cận ngang] của đồ thị hàm số đã cho bằng
A. \[3\]. B. \[2\]. C. \[4\]. D. \[1\].
Câu 27. Cho khối chóp \[S.ABC\] có thể tích bẳng \[24{a^3}\], gọi \[M\] là trung điểm \[AB\], \[N\] là điểm trên cạnh \[SB\] sao cho \[SN = 2NB\]. Thể tích khối chóp \[S.MNC\] bằng
A.\[8{a^3}\]B.\[4{a^3}\]. C.\[6{a^3}\]. D.\[12{a^3}\].
Câu 28. Cho khối hộp \[ABCD.A'B'C'D'\] có thể tích là \[V\], gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Thể tích của khối chóp \[O.A'B'C'D'\].
A. \[\dfrac{V}{3}\]. B. \[\dfrac{V}{6}\]. C. \[\dfrac{V}{4}\]. D. \[\dfrac{V}{2}\].
Câu 29. Cho hàm số \[y = f\left[ x \right]\] có bảng xét dấu của \[f'\left[ x \right]\] như sau:
Hàm số \[y = f\left[ {1 - 2x} \right]\] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.\[\left[ {0;2} \right]\]. B.\[\left[ { - \infty ;1} \right]\].
C.\[\left[ {1; + \infty } \right]\]. D.\[\left[ {1;2} \right]\].
Câu 30. Cho hàm số \[y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\] thỏa mãn \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = 4\]. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A.\[m > 5\]. B.\[4 \le m \le 5\].
C.\[2 \le m < 4\]. D.\[m < 2\].
Câu 31. Đạo hàm của hàm số \[y = \dfrac{{2x + 1}}{{{3^x}}}\] là
A. \[\dfrac{{2 - [2x + 1]\log 3}}{{{3^{2x}}}}\].
B.\[\dfrac{{2 - [2x + 1]\log 3}}{{{3^x}}}\].
C.\[\dfrac{{2 - [2x + 1]\ln 3}}{{{3^{2x}}}}\].
D.\[\dfrac{{2 - [2x + 1]\ln 3}}{{{3^x}}}\].
Câu 32. Cho hàm số \[f\left[ x \right]\] có đạo hàm \[f'\left[ x \right] = x{\left[ {x + 3} \right]^2}\], \[\forall x \in \mathbb{R}\]. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
A.\[3\]. B.\[1\].C.\[0\].D.\[2\].
Câu 33. Cho khối hộp chữ nhật \[ABCD.A'B'C'D'\] có \[AB = a\], \[AD = 2a\] và \[AC' = a\sqrt {14} \]. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng
A.\[8{a^3}\].B.\[10{a^3}\]. C.\[6{a^3}\]. D.\[4{a^3}\].
Câu 34. Đạo hàm của hàm số \[y = {\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]^{\dfrac{1}{4}}}\] là:
A.\[\left[ {6x - 2} \right]{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}\].
B. \[\dfrac{{\left[ {3x - 1} \right]{{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{2}\].
C. \[\left[ {3x - 1} \right]{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}\].
D. \[\dfrac{{\left[ {3x - 1} \right]{{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{4}\].
Câu 35. Đồ thị hàm số \[y = - 2{x^3} + 3{x^2} - 7\] có 2 điểm cực trị là \[A\] và \[B\]. Diện tích tam giác \[OAB\] [với \[O\] là gốc tọa độ] bằng
A.\[6\]. B.\[7\]. C.\[\dfrac{7}{2}\]. D.\[\dfrac{{13}}{2}\].
Câu 36. Đồ thị hàm số \[y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}}\] cắt đường thẳng \[y = 2x + m\] [\[m\] là tham số] tại hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\], giá trị nhỏ nhất của \[AB\] bằng
A. \[\dfrac{{3\sqrt {10} }}{2}\]. B. \[3\sqrt {10} \].
C. \[\dfrac{{5\sqrt 2 }}{2}\]. D. \[5\sqrt 2 \].
Câu 37. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \[y = {x^3} - 6{x^2} + 9x - 2\] là
A. \[\left[ {3; - 2} \right]\] B. \[\left[ {2;4} \right]\]
C. \[\left[ {3;2} \right]\] D. \[\left[ {0;2} \right]\]
Câu 38. Cho khối chóp \[S.ABC\] có đáy là tam giác đều cạnh \[a\], \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[\left[ {SBC} \right]\] bằng \[\dfrac{{3a}}{4}\]. Tính thể tích khối chóp đã cho
A. \[\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\]. B. \[\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\].
C. \[\dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{28}}\]. D. \[\dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{14}}\].
Câu 39. Số các giá trị nguyên của \[m\] để hàm số \[y = {\left[ {{x^2} + 2mx + m + 20} \right]^{ - \sqrt 7 }}\] có tập xác định là khoảng \[\left[ { - \infty ; + \infty } \right]\] là
A.\[9\].B.\[8\]. C.\[7\]. D.\[10\].
Câu 40. Biết \[{\log _{40}}75 = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}}\] với \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\] là các số nguyên dương. Giá trị của \[abc\] bằng
A.\[32\].B. \[36\]. C. \[24\]. D. \[48\].
PHẦN 2: TỰ LUẬN [2,0 điểm]
Câu 1 [1,0 điểm].
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = {x^3} - 3x + 7\] trên đoạn .
Câu 2 [1,0 điểm].
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình vuông cạnh \[a\]. Tam giác \[SAB\] vuông cân tại \[S\] và \[\left[ {SAB} \right]\] vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo \[a\] thể tích của khối tứ diện .
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Thực hiện: Ban chuyên môn
PHẦN I: TRẮC NGHIỆM [8 điểm]
1C |
2B |
3A |
4C |
5C |
6A |
7A |
8C |
9D |
10C |
11D |
12C |
13C |
14D |
15D |
16A |
17A |
18D |
19B |
20B |
21D |
22D |
23B |
24C |
25A |
26B |
27A |
28A |
29D |
30A |
31D |
32B |
33C |
34B |
35C |
36D |
37A |
38B |
39B |
40B |
Câu 1 [NB]
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và đếm số mặt của hình đa diện.
Cách giải:
Hình đã cho có \[11\] mặt.
Chọn C.
Câu 2 [TH]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\], \[\sqrt[n]{a} = {a^{\dfrac{1}{n}}}\]
Cách giải:
\[\dfrac{{{a^{\dfrac{2}{3}}}.{a^{\dfrac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \dfrac{{{a^{\dfrac{{17}}{{12}}}}}}{{{a^{\dfrac{1}{6}}}}} = {a^{\dfrac{5}{4}}}\]
Chọn B.
Câu 3 [NB]
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và nhận xét khoảng đồng biến nghịch biến.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = f[x]\], ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[\left[ {0;1} \right]\] nên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ {0;1} \right]\].
Chọn A.
Câu 4 [TH]
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Cách giải:
\[{S_{ABCD}} = {\left[ {\sqrt 2 a} \right]^2} = 2{a^2}\]
Gọi \[O = AC \cap BD\]\[ \Rightarrow \]\[SO \bot \left[ {ABCD} \right]\]\[ \Rightarrow \]\[SO\] là đường cao của chóp, \[AC = AB\sqrt 2 = 2a\]
\[SO\] là đường cao trong tam giác đều \[SAC\]\[ \Rightarrow \]\[SO = \dfrac{{2a.\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \]
Vậy \[V = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.a\sqrt 3 = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
Chọn C.
Câu 5 [TH]
Phương pháp:
Thể tích khối hộp \[V = Bh\].
Cách giải:
\[V = B.h\] \[ \Rightarrow \] \[h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{{12{a^3}}}{{4{a^2}}} = 3a\].
Chọn C.
Câu 6 [NB]
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ tìm GTLN, GTNN của hàm số và kết luận.
Cách giải:
Dựa vào đồ thị ta thấy : \[M = 5\], \[m = - 1\]\[ \Rightarrow \]\[M - m = 6\].
Chọn A.
Câu 7 [NB]
Phương pháp:
Quan sát bảng biến thiên và tìm khoảng đồng biến.
Cách giải:
Dựa vào bảng biến thiên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ { - 1;3} \right]\].
Chọn A.
Câu 8 [NB]
Phương pháp:
Đồ thị hàm số \[y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\] có đường TCĐ \[x = - \dfrac{d}{c}\].
Cách giải:
Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{x + 3}} = - \infty \Rightarrow x = - 3\] là một đường tiệm cận đứng.
Chọn C.
Câu 9 [NB]
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa số mũ nguyên âm thì cơ số khác \[0\]
Cách giải:
Hàm số xác định khi \[3x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{1}{3}\].
Vậy tập xác định của hàm số là: \[\mathbb{R}\backslash \left\{ {\dfrac{1}{3}} \right\}\].
Chọn D.
Câu 10 [NB]
Phương pháp:
Biểu thức \[\ln f\left[ x \right]\] xác định khi \[f\left[ x \right] > 0\].
Cách giải:
Hàm số xác định khi \[2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{2}\].
Vậy tập xác định của hàm số là: \[\left[ {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right]\].
Chọn C.
Câu 11 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[{a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\], \[\sqrt[n]{a} = {a^{\dfrac{1}{n}}}\], \[{\left[ {{a^m}} \right]^n} = {a^{mn}}\]
Cách giải:
Ta có: \[\dfrac{{{{\left[ {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right]}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}} = \dfrac{{{a^{3\sqrt 7 + 3}}}}{{{a^{3\sqrt 7 + 5}}}} = {a^{3 - 5}} = {a^{ - 2}}\].
Chọn D.
Câu 12 [TH]
Phương pháp:
Thể tích khối lăng trụ \[V = Bh\].
Cách giải:
Ta có đáy là tam giác đều cạnh \[a\] \[ \Rightarrow \] Diện tích đáy là: \[\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\].
Chiều cao khối lăng trụ là: \[AA' = \sqrt 6 a\].
Vậy thể tích khối lăng trụ là: \[{V_{ABC.A'B'C'}} = \sqrt 6 a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 2 {a^3}}}{4}\].
Chọn C.
Câu 13 [NB]
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ tìm giá trị cực đại của hàm số.
Cách giải:
Hàm số đã cho đạt cực đại tại \[x = 2\] và \[{y_{CD}} = 1\].
Chọn C.
Câu 14 [NB]
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Cách giải:
Đồ thị hàm số có điểm cực đại \[\left[ {1;4} \right]\].
Chọn D.
Câu 15 [NB]
Phương pháp:
Quan sát hình vẽ và tìm các đường tiệm cận đứng, ngang.
Cách giải:
Đồ thị hàm số có TCĐ: \[x = 1\] nên loại A, B, C.
Chọn D.
Câu 16 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng lý thuyết khối bát diện đều.
Cách giải:
Khối bát diện đều có \[6\] đỉnh.
Chọn A.
Câu 17 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[{\log _a}\left[ {bc} \right] = {\log _a}b + {\log _a}c\] và \[{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\].
Cách giải:
Ta có: \[{\log _a}\left[ {{b^3}{c^4}} \right] = 3{\log _a}b + 4{\log _a}c\]\[ = 3.3 + 4.\left[ { - 4} \right] = - 7\]
Chọn A.
Câu 18 [NB]
Phương pháp:
- Tìm TXĐ.
- Tính \[y'\]
- Hàm số đã cho đồng biến trên \[\mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\].
Cách giải:
Tập xác định: \[D = \left[ { - \infty ; + \infty } \right]\]. \[y' = 3{x^2} - 6mx - \left[ {12m - 15} \right]\].
Ycbt \[ \Leftrightarrow {\Delta _{y'}} \le 0\]\[ \Leftrightarrow {m^2} + 4m - 5 \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 1\].
Do \[m\] nguyên nên \[m\] có \[7\] giá trị là \[ - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;1\].
Chọn D.
Câu 19 [NB]
Phương pháp:
Quan sát đồ thị, nhận xét dáng đồ thị và đối chiếu đáp án.
Cách giải:
Đồ thị đã cho là dáng đồ thị hàm bậc ba có hệ số \[a < 0\].
Chọn B.
Câu 20 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {\ln u} \right]' = \dfrac{{u'}}{u}\] và công thức đạo hàm của một tích \[\left[ {uv} \right]' = u'v + uv'\].
Cách giải:
\[y' = x'\ln x + x{\left[ {\ln x} \right]^\prime } = \ln x + x.\dfrac{1}{x} \\= \ln x + 1\]
Chọn B.
Câu 21 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[{\log _a}{b^n} = n{\log _a}b\].
Cách giải:
Ta có: \[{\log _5}{a^6} = 6{\log _5}a\]
Chọn D.
Câu 22 [NB]
Phương pháp:
Tìm đường tiệm cận ngang ở mỗi đáp án và kiểm tra.
Cách giải:
Đáp án A: TCN \[y = \dfrac{1}{3}\] loại.
Đáp án B: TCN \[y = 2\] loại.
Đáp án C: TCN \[y = \dfrac{3}{2}\] loại.
Đáp án D: TCN \[y = 3\] đi qua \[A\left[ {2;3} \right]\].
Chọn D.
Câu 23 [NB]
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Cách giải:
Ta có: \[V = \dfrac{1}{3}Sh\] \[ \Rightarrow S = \dfrac{{3V}}{h} = \dfrac{{3.10{a^3}}}{{5a}} = 6{a^2}\].
Chọn B.
Câu 24 [TH]
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Cách giải:
Ta có đáy là hình vuông cạnh \[\sqrt 2 a\] \[ \Rightarrow \] Diện tích đáy là: \[2{a^2}\].
Chiều cao khối chóp là: \[SA = \sqrt 3 a\].
Vậy thể tích khối chóp là: \[{V_{S.ABCD'}} = \dfrac{1}{3}.2{a^2}.\sqrt 3 a = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\].
Chọn C.
Câu 25 [TH]
Phương pháp:
Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.
Cách giải:
Ta có \[3f\left[ x \right] - 7 = 0 \Leftrightarrow f\left[ x \right] = \dfrac{7}{3} \in \left[ { - 1;3} \right]\].
Suy ra phương trình đã cho có \[4\] nghiệm phân biệt.
Chọn A.
Câu 26 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận đứng và ngang.
Cách giải:
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3\] nên \[y = 3\] là đường tiệm cận ngang.
Vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = + \infty \]nên \[x = 1\] là đường tiệm cận đứng.
Vậy hàm số đã cho có hai đường tiệm cận.
Chọn B.
Câu 27 [NB]
Phương pháp:
Sử dụng phương pháp cộng trừ thể tích khối đa diện và công thức tính tỉ số thể tích các khối chóp \[\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\].
Cách giải:
Đặt \[V = {V_{S.ABC}} = 24{a^3}\].
Ta có \[{V_{S.MNC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.AMC}} - {V_{B.MNC}}\]
Mà \[\dfrac{{{V_{S.AMC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AS}}{{AS}}.\dfrac{{AC}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\] \[ \Rightarrow {V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{2}V\]
\[\dfrac{{{V_{B.MNC}}}}{{{V_{B.ASC}}}} = \dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BN}}{{BS}}.\dfrac{{BC}}{{BC}}\] \[ = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.1 = \dfrac{1}{6}\] \[ \Rightarrow {V_{B.MNC}} = \dfrac{1}{6}V\]
\[ \Rightarrow {V_{S.MNC}} = V - \dfrac{1}{2}V - \dfrac{1}{6}V\] \[ = \dfrac{1}{3}V = 8{a^3}\]
Chọn A.
Câu 28 [TH]
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Cách giải:
Ta có:
\[{V_{O.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{A'B'C'D'}}.{d_{\left[ {O,\left[ {A'B'C'D'} \right]} \right]}}\]\[ = \dfrac{1}{3}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{V}{3}\]
Chọn A.
Câu 29 [TH]
Phương pháp:
- Tính đạo hàm \[y'\].
- Hàm số nghịch biến \[ \Leftrightarrow y' < 0\].
Cách giải:
Ta có \[y' = - 2f'\left[ {1 - 2x} \right]\].
\[ - 2f'\left[ {1 - 2x} \right] < 0 \Leftrightarrow f'\left[ {1 - 2x} \right] > 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x > 1\\ - 3 < 1 - 2x < - 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\1 < x < 2\end{array} \right.\]
Vậy hàm số nghịch biến trên \[\left[ { - \infty ;0} \right]\] và \[\left[ {1;2} \right]\].
Chọn D.
Câu 30 [VD]
Phương pháp:
Tính \[y'\]
Biện luận các trường hợp hàm số đồng biến, nghịch biến để suy ra GTNN của hàm số trên \[\left[ {3;5} \right]\].
Cách giải:
Hàm số \[y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\] xác định và liên tục trên \[\left[ {3;5} \right]\]. Ta có \[y' = \dfrac{{ - 2 - m}}{{{{\left[ {x - 2} \right]}^2}}}\].
+ Xét \[ - 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 2\,\,\left[ * \right]\].
Khi đó hàm số đồng biến trện \[\left[ {3;5} \right]\].
Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left[ 3 \right] = 3 + m\]. Do đó \[3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\][ không thỏa \[\left[ * \right]\]].
+ Xét \[ - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 2\,\,\,\left[ {**} \right]\].
Khi đó hàm số nghịch biến trện \[\left[ {3;5} \right]\].
Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left[ 5 \right] = \dfrac{{5 + m}}{3}\]. Do đó \[\dfrac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\][ thỏa \[\left[ {**} \right]\]].
Vậy \[m = 7 > 5\].
Chọn A.
Câu 31 [TH]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {\dfrac{u}{v}} \right]' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\]
Cách giải:
Ta có: \[y' = \dfrac{{{{2.3}^x} - \left[ {2x + 1} \right]{3^x}\ln 3}}{{{3^{2x}}}} = \dfrac{{2 - \left[ {2x + 1} \right]\ln 3}}{{{3^x}}}\].
Chọn D.
Câu 32 [NB]
Phương pháp:
Số điểm cực trị bằng số nghiệm bội lẻ của đạo hàm.
Cách giải:
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.\].
Trong đó \[x = 0\] là nghiệm đơn, \[x = - 3\] là nghiệm kép
Vậy hàm số có \[1\] điểm cực trị.
Chọn B.
Câu 33 [TH]
Phương pháp:
Thể tích khối hộp chữ nhật \[V = abc\].
Cách giải:
Ta có: \[AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 \]
\[CC' = \sqrt {A{{C'}^2} - A{C^2}} = \sqrt {14{a^2} - 5{a^2}} = 3a\]
Vậy \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.CC' = a.2a.3a = 6{a^3}\].
Chọn C.
Câu 34 [TH]
Phương pháp:
Sử dụng công thức \[\left[ {{u^\alpha }} \right]' = \alpha {u^{\alpha - 1}}u'\]
Cách giải:
Ta có:
\[y' = \dfrac{1}{4}{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]^{ - \dfrac{3}{4}}}.{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]^\prime }\]\[ = \dfrac{1}{4}{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]^{ - \dfrac{3}{4}}}.\left[ {6x - 2} \right]\] \[ = \dfrac{{\left[ {3x - 1} \right]{{\left[ {3{x^2} - 2x + 1} \right]}^{ - {\textstyle{3 \over 4}}}}}}{2}\]
Chọn B.
Câu 35 [VD]
Phương pháp:
Tìm tọa độ các điểm cực trị và suy ra diện tích.
Cách giải:
Ta có: \[y' = - 6{x^2} + 6x\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow - 6{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\]
Các điểm cực trị của đồ thị là \[A\left[ {0; - 7} \right]\] và \[B\left[ {1; - 6} \right]\].
Do đó: \[\overrightarrow {OA} = \left[ {0; - 7} \right]\], \[\overrightarrow {OB} = \left[ {1; - 6} \right]\]
Vậy \[{S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}\left| {0.\left[ { - 6} \right] - 1.\left[ { - 7} \right]} \right| = \dfrac{7}{2}\].
Chọn C.
Câu 36 [VD]
Phương pháp:
Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Viết công thức tính khoảng cách giữa hai giao điểm và áp dụng Vi et tìm GTNN.
Cách giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là: \[\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\].
\[ \Leftrightarrow 3x - 1 = \left[ {2x + m} \right]\left[ {x - 2} \right]\] [vì \[x = 2\] không thỏa phương trình].
\[ \Leftrightarrow 2{x^2} + \left[ {m - 7} \right]x + 1 - 2m = 0\]
Ta có: \[\Delta = {m^2} + 2m + 41 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\]
Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \[A\] và \[B\].
Gọi \[A\left[ {{x_1};2{x_1} + m} \right],B\left[ {{x_2};2{x_2} + m} \right].\] Khi đó: \[{x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}\]
\[ \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left[ {{x_1} + {x_2}} \right]}^2} - 4{x_1}{x_2}} \]\[ = \sqrt 5 \sqrt {{{\left[ {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right]}^2} - 4\left[ {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right]} \] \[ = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} \] \[ = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left[ {m + 1} \right]}^2} + 40} \]
\[ \Rightarrow AB \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40} = 5\sqrt 2 \].
Đẳng thức xảy ra khi \[m = - 1\]
Chọn D.
Câu 37 [TH]
Phương pháp:
Tính \[y',y''\].
Hàm số đạt cực tiểu tại \[{x_0}\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y'\left[ {{x_0}} \right] = 0\\y''\left[ {{x_0}} \right] > 0\end{array} \right.\].
Cách giải:
Tập xác định \[D = \mathbb{R}\].
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 12x + 9\]
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.,y'' = 6x - 12\]
\[y'''\left[ 3 \right] = 6 > 0\] \[ \Rightarrow {x_{CT}} = 3,{y_{CT}} = - 2\]
Suy ra đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là \[\left[ {3; - 2} \right]\].
Chọn A.
Câu 38 [VD]
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Cách giải:
Gọi \[M\] là trung điểm của \[BC\], \[H\] là hình chiếu vuông góc của \[A\] lên \[SM\].
Khi đó ta có \[AH = d\left[ {A,\left[ {SBC} \right]} \right]\]. Ta có: \[AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \dfrac{{3a}}{4}\].
\[\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\]\[ \Rightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{3a}}{2}\]
\[V = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\].
Chọn B.
Câu 39 [TH]
Phương pháp:
Hàm số lũy thừa có số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Cách giải:
Theo đề bài ta có: \[{x^2} + 2mx + m + 20 > 0{\rm{ }}\forall x \in \mathbb{R}\].
\[ \Leftrightarrow \Delta ' = {m^2} - m - 20 < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 5\].
Mà \[m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4} \right\}\].
Chọn B.
Câu 40 [VD]
Phương pháp:
Biến đổi \[{\log _{40}}75\] tìm \[a,b,c\] suy ra tích \[abc\].
Cách giải:
Cách 1:
Ta có: \[{\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}\]\[ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3{{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}\] \[ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{3 + {{\log }_2}5}}\] \[ \Rightarrow c = 3\]
\[a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{c + {{\log }_2}5}} = a + \dfrac{{{{\log }_2}3 - b}}{{3 + {{\log }_2}5}}\]\[ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + \left[ {a{{\log }_2}5 + 3a - b} \right]}}{{3 + {{\log }_2}5}}\]
Suy ra: \[a{\log _2}5 + 3a - b = 2{\log _2}5\]\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\3a - b = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 6\end{array} \right.\].
Vậy \[abc = 2.6.3 = 36\].
Cách 2:
Ta có: \[{\log _{40}}75 = \dfrac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}}\]\[ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}}\] \[ = \dfrac{{{{\log }_2}3 + 2\left[ {{{\log }_2}40 - 3} \right]}}{{{{\log }_2}40}}\] \[ = 2 + \dfrac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}\]
Suy ra: \[a = 2,\,b = 6,\,c = 3\].
Vậy \[abc = 2.6.3 = 36\].
Chọn B.
PHẦN II: TỰ LUẬN [2 điểm]
Câu 1 [VD]
Phương pháp:
- Tính đạo hàm và tìm nghiệm trong đoạn \[\left[ {0;3} \right]\].
- Tinh giá trị của hàm số tại các điểm và so sánh.
Cách giải:
Hàm số xác định và liên tục trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\].
Trên đoạn \[\left[ {0;3} \right]\] ta có \[y' = 3{x^2} - 3\].
\[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \in \left[ {0;3} \right]\\x = - 1 \notin \left[ {0;3} \right]\end{array} \right.\].
\[y\left[ 0 \right] = 7;\,y\left[ 1 \right] = 5;\,y\left[ 3 \right] = 25\].
Vậy \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 25\] và \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = 5\].
Câu 2 [VD]
Phương pháp:
Thể tích khối chóp \[V = \dfrac{1}{3}Sh\].
Cách giải:
Gọi \[H\] là trung điểm \[AB\]. Suy ra \[SH \bot \left[ {ABCD} \right]\].
Ta giác \[SAB\] vuông cân tại \[S\], \[AB = a\], \[SH\] là đường cao vừa là trung tuyến nên \[SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}a.\]
Vậy \[{V_{SACD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ACD}}.SH\]\[ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{a^2}.\dfrac{1}{2}a = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\]