Hướng dẫn:Phương trình \[\cot f\left[ x \right]=m\], với m là một số cho trước và \[\cot \alpha =m\]
Ta có: \[\begin{align} & \cot f\left[ x \right]=\cot \alpha \\ & \Leftrightarrow f\left[ x \right]=\alpha +k\pi \,\,\,\left[ k\in \mathbb{Z} \right] \\ \end{align}\]
Phương trình \[\cot f\left[ x \right]=n\], với n là một số cho trước và \[\cot \alpha =n\]
Ta có:
\[\begin{align} & \cot f\left[ x \right]=\cot \alpha \\ & \Leftrightarrow f\left[ x \right]=\alpha +k\pi \,\,\,\left[ k\in \mathbb{Z} \right] \\ \end{align}\]
[Xem thêm chú ý trang 24 và chú ý trang 25 để biết thêm các công thức tổng quát]
\[\begin{align} & \tan [x-{{15}{o}}]=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ & \Leftrightarrow \tan [x-{{15}{o}}]=\tan {{30}{o}} \\ & \Rightarrow x-{{15}{o}}={{30}{o}}+k{{180}{o}} \\ & \Leftrightarrow x={{45}{o}}+k{{180}{o}}\,\,[k\in \mathbb{Z}] \\ \end{align} \]
\[\begin{align} & \cot [3x-1]=-\sqrt{3} \\ & \Leftrightarrow \cot [3x-1]=\cot \left[ \frac{-\pi }{6} \right] \\ & \Rightarrow 3x-1=\frac{-\pi }{6}+k\pi \\ & \Rightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\dfrac{k\pi }{3}\,\,\,[k\in \mathbb{Z}] \\ \end{align} \]
- Điều kiện: \[ {\cos x}\ne 0\Leftrightarrow x\ne \dfrac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z} \]
\[\begin{aligned} & \cos 2x\tan x=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=0 \\ & \cos 2x=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k\pi \\ & 2x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{k\pi }{2} \\ \end{aligned} \right.\,\,\,[k\in \mathbb{Z}] \\ \end{aligned} \]
- Điều kiện: \[\sin x\ne 0\Leftrightarrow x\ne k\pi , k\in\mathbb Z\]
\[\sin 3x\cot x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin 3x=0 \\ & \cot x=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 3x=k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{k\pi }{3} \\ & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,[k\in \mathbb{Z}] \]
Điều kiện: \[\left\{\begin{matrix} cos3x \neq 0\\ \\ cosx \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{6}+k.\frac{\pi }{3}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{2} +k.\pi \end{matrix}\right. [k\in \mathbb{Z}]\]
Video hướng dẫn giải
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Giải các phương trình sau:
LG a
\[\begin{array}{l}\,\,\sin 3x - \cos 5x = 0\\\end{array}\]
Phương pháp giải:
B1: chuyển vế, đưa PT về dạng \[sin \alpha= cos \beta\].
B2: Do \[\sin x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - x} \right]\] PT trở về dạng \[\cos X = \cos Y \] với \[X=\left[ {\frac{\pi }{2} - x} \right]; Y= \beta\]
\[\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X =Y + k2\pi \\ X = - Y + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
Từ đó suy ra nghiệm x và KL.
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}\,\,\sin 3x - \cos 5x = 0\\\Leftrightarrow \cos 5x=\sin 3x = \cos \left[ {\frac{\pi }{2} - 3x} \right]\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\5x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{16}} + \frac{{k\pi }}{4}\\x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\end{array}\]
Vậy nghiệm phương trình là: \[x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} [k\in Z]\] và \[x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, [k\in \mathbb{Z}]\]
Cách khác:
sin3x - cos5x = 0
Vậy nghiệm phương trình là: \[x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} [k\in Z]\] và \[x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, [k\in \mathbb{Z}]\]
LG b
\[\begin{array}{l}\,\,\tan 3x\tan x = 1\end{array}\]
Phương pháp giải:
B1: Tìm ĐKXĐ.
B2: vì \[\frac{1}{{\tan x}} = \cot x = \tan \left[ {\frac{\pi }{2} - x} \right]\]
phương trình trở về dạng \[\tan \alpha = \tan \beta \] với \[\alpha = 3x; \beta =\frac{\pi }{2} - x\]
\[\Leftrightarrow \alpha = \beta + k\pi \,\,\left[ {k \in Z} \right]\]
B3: Suy ra nghiệm x rồi KL.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\cos 3x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Rightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\left[ {k \in Z} \right]\end{array}\]
\[\begin{array}{l}\tan 3x\tan x = 1\\\Leftrightarrow \tan 3x = \frac{1}{{\tan x}} \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \cot x \\ \Leftrightarrow \tan 3x = \tan \left[ {\frac{\pi }{2} - x} \right]\\ \Leftrightarrow 3x = \frac{\pi }{2} - x + k\pi \\\Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\,\left[ {k \in Z} \right]\,\,\,\left[ {tm} \right]\end{array}\]
Vậy nghiệm phương trình là \[x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, \]\[k \in \mathbb{Z}\].
Chú ý:
Ở bài này ta thấy ngay họ nghiệm \[x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\] không có nghiệm nào vi phạm điều kiện xác định nên ta lấy cả họ nghiệm và không phải loại bỏ điểm nào.