Cryto Giá

Giá trị nhỏ nhất của hàm số ln xyx trên đoạn 2 3 bằng a ln 2 2 b ln 3 3 c 2 3 e D 1 e

Trang chủ

Sách ID

Khóa học miễn phí

Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023

[1]

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT

I. Định nghĩa.

Giả sử hàm số xác định trên tập K . Khi đó:

a] Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị

lớn nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: .

b] Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị

nhỏ nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: .

II. Nhận xét.

1.Như vậy để có được M [hoặc m] là giá trị lớn nhất [giá trị nhỏ nhất] của hàm số trên K ta phải chỉ ra được :

a] [ hoặc ] với mọi .

b] Tồn tại ít nhất một điểm sao cho [ hoặc ].

2. Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số [mà khơng nói rõ “trên tập K’’] thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó.

3. Mỗi hàm số liên tục trên đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Hơn nữa

a] Nếu hàm số đồng biến trên đoạn thì và .

b] Nếu hàm số nghịch biến trên đoạn thì và .

4. Cho phương trình f x

[ ]

=m với y f x=

[ ]

là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi

[ ]

D D

min f x ≤m max f x≤

5. Một hàm số có thể đồng thời đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập K hoặc chỉ đạt được giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. Chẳng hạn:

a] Xét hàm số bậc hai trên tập xác định .

+ Khi thì hàm số có đạt được giá trị nhỏ nhất tại đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm

số tại .

+ Khi thì hàm số có đạt được giá trị lớn nhất tại đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm

số tại .

b] Xét trên tập hàm số bậc ba không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

c] Xét trên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

d] Xét hàm số trùng phương trên tập xác định .

[

K⊂

ℝ

]

∈0

x K f x

[ ] [ ]

≤ f x0 ,∀ ∈x K M= f x

[ ]

∈=max

x D

M f x

∈0

x K f x

[ ] [ ]

≥ f x0 ,∀ ∈x K m= f x

[ ]

∈=min

x D

m f x

[ ]

≤

f x M f x

[ ]

≥m x∈K

∈0

x K f x

[ ]

0 =M f x

[ ]

0 =m

 

a b; 

f a b; 

[ ] [ ]

∈ =

max

x D f x f b minx D∈ f x

[ ] [ ]

= f a

f a b; 

[ ] [ ]

∈ =

max

x D f x f a minx D∈ f x

[ ] [ ]

= f b

= 2+ +

y ax bx c K=ℝ

a =−

2bx

a−

a
, để giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên D=

[

m+1;m+2

]

luôn bé hơn 3 là

[ ]

0;1 . B. 1;1 .

2  

  C.

[

−∞;1 \ 2 .

] { }

− D.

[ ]

0;2 .

Câu 22.

Cho hàm số y=x4+2x2− . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1

[

−1; 2

]

[ 1;2]miny 2

− = − . B. [ 1;2]
miny 2

− = . C. [ 1;2]miny 1

− = . D. [ 1;2]miny 1

− = − .

Câu 23.Cho hàm số y= f x

[ ]

có đồ thị như hình bên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= f x

[ ]

trên

đoạn

[

−1; 2

]

A. 1. B. 2. C. 5. D. 0.

Câu 24.

Cho hàm số y =f x

[ ]

liên tục trên đoạn 2;2−  

  và có đồ thị trên đoạn 2;2−  như sau:.

. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. max2;2 f x

[ ]

2− 

  

= . B.

[ ]

2;2

maxf x f 2− 

  

= − .

C. min−2;2 f x

[ ]

1 

 

= . D.

[ ]

2;2

minf x f 0− 

  

= .

Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số = 4−4 2+5

y x x trên đoạn

[

−1; 2

]

bằng?

A. 1. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 26.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 13xy

x−=

− trên đoạn

[ ]

0;2

A. 1

− . B. -5. C. 5. D. 1

Câu 27.Xét hàm số y 4x 1x

−

= trên đoạn [ 2 ; 1]− − . Hãy chọn khẳng định đúng

[ 2 ; 1]9max

2y− −

= . B. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất.

C. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất. D.

[ 2 ; 1]9min

2y− −

= .

Câu 28.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 12 1

x−=

+ trên đoạn

[ ]

1;3 là: A. GTNN bằng 1; GTLN bằng 3. B. GTNN bằng 0; GTLN bằng 2

7 .

O 1

1−2

− 2 x

[5]

C. GTNN bằng 0; GTLN bằng 1. D. GTNN bằng 27

− ; GTLN bằng 0.

Câu 29.Cho hàm số 12 1xyx+=

− . Chọn phương án đúng trong các phương án sau: A.

[ 1;2]

min 1

∈ −

= . B.

[ ]0;1

max 2

∈

= . C.

[ 1;0]

max 0

∈ −

= . D.

[ ]3;52max3xy∈ = .

Câu 30.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 11xyx+=

− trên đoạn

[ ]

2;3 bằng:

A. 7

− . B. −5 C. − 3 D. 3

Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 13xyx−=

− trên đoạn

[ ]

0;2

A. 1

− . B. − . 5 C. 5. D. 1

Câu 32. Kí hiệu m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

3

2

1 x

y

x

+

=

−

trên đoạn

[1;4]. Tính giá trị biểu thức

d

=

M

−

m

.

d =

3. d =

4. d =

5. d =

2. Câu 33.

Gọi M n, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] 2

y f x

x−

= =

+ trên
đoạn

[ ]

0;2 . Hãy tính tích M n . .

A. 2. B. 0. C. −1. D. 1.

Câu 34.Gọi Q là giá trị lớn nhất và

K

là giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 11xyx+=

+ trên đoạn

[ ]

1;2 . Khi đó giá trị của biểu thức 24 27 1997

Q+ K −

là:

A. 3923

− . B. 3925

− . C. 3927

− . D. 3929

2− .

Câu 35.Tìm tất cả các giá trị của tham số m đểhàm số y=x3+

[

m2+1

]

x+ + đạt GTNN bằng m 1 5
trên

[ ]

0;1 .

{ }

5 . B.

{ }

3 . C.

{

1; 2−

}

. D.

{ }

4 .

Câu 36.Giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số y mx 1x m

− trên đoạn [1;2] bằng 2− . là:

A. m = −3. B. m =3. C. m =1. D. Không tồn tại.

Câu 37.Trên đoạn [2;4] hàm số y mx 1

x m

− đạt giá trị lớn nhất bằng 2. Khi đó :

A. 7

m = . B.

m =

1

. C.

m =

2

. D. 3

4m = .

Câu 38.

Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

[ ]

2 1

1x mf xx+ −=

+ trên đoạn 1;2 bằng 1

A. m= . 1 B. m= . 2 C. m= . 3 D. m = . 0

Câu 39. Giá trị tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

x m m

− +

[6]

A. m=1,m=2. B. 1 21, 1 21

2 2

m= + m= − .

C. Khơng có giá trị m D. m= −1,m= 2

Câu 40. Tìm m để hàm số f x

[ ]

mx 5x m

− đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[ ]

0;1 bằng 7.−

A. m=2. B. m=0. C. m=1. D. m=5.

Câu 41.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

21x myx+=

− trên

[

−1; 0

]

bằng:

2 12

m −

. B. 2

− . C.

−

. D. m2

Câu 42.Giá trị lớn nhất của hàm số y 2mx 1

m x

− trên đoạn

[ ]

2;3 là 13

− khi m nhận giá trị

A.0. B. 1. C.−5. D. −2.

Câu 43.Cho hàm số 12

y x

x= +

+ , giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên

[

−1, 2

]

là

A. 9

m = . B. 1

m = . C. m=2. D. m=0.

Câu 44.Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số = ++41

y x

x trên đoạn 0;4 .

  

=0;4

miny 4. B.

  =0;424min5

y . C.

  

= −0;4

miny 5. D.

  

=0;4

miny 3.

Câu 45.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 12 1

y x

x= + +

+ trên đoạn

[ ]

1;2 bằng

A. 26

5 . B.

3 . C.

3 . D.

245 .

Câu 46.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 53xyx−=

+ trên đoạn

[ ]

0;2

A. [ ]x 0;21min y3

∈ = − . B. x 0;2[ ]5min y

∈ = − . C. x 0;2min y∈[ ] = − . 2 D. x 0;2min y∈[ ] = − . 10

Câu 47.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 31xyx+=

− trên đoạn

[

2; 4

]

[2;4]19min

y = . B.

[2;4]

miny = −3. C. [2;4]

miny = −2. D. [2;4]miny =6.

Câu 48.Giá trị lớn nhất của hàm số

2 3 31x xyx+ +=

+ trên đoạn
1;12− 

 

  là:

13

2

. B. 3. C.

7

2

. D. – 1.

Câu 49.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 42 1x xyx−=

+ trên đoạn 0; 3 . 

A. min0;3 y 0  

= . B.

0;33min7y   

= − . C. min0;3 y 4 

 

= − . D.

0;3

miny 1

   

= − .

Câu 50.

Hàm số

2 31x xyx−=

+ giá trị lớn nhất trên đoạn

[ ]

0;3 là:

[7]

Câu 51.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

3

1 x

y

x

−

+

=

−

trên đoạn

[ ]

2;4

là:

[ ]2;4 [ ]2;4

11 min [ ] 2; max [ ]

3 f x

=

f x

=

. B.

min [ ] 2 2;max [ ] 3

[ ]2;4

f x

=

[ ]2;4

f x

=

min [ ] 2;max [ ] 3

[ ]2;4

f x

=

[ ]2;4

f x

=

. D.

[ ]2;4 [ ]2;4

11 min [ ] 2 2;max [ ]

3 f x

=

f x

=

Câu 51.Giá trị lớn nhất của hàm số

[ ]

2 3 1

x x

f x

+ −

− trên đoạn −2;0 là:

A. 2. B. 1. C. 1

2. D. 3 .4

Câu 52.Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y= x−x ?

A. Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.

B. Có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất.

C. Có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất.

D. Khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Câu 53. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3 4 2

y= − + −x lần lượt là

–3

và

0

. B.

–3

và −

1

. C. 0 và 2. D. –2 và 2.

Câu 54.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 6− −x x+4 đạt tạix0, tìmx0?

A.x0= − 10 . B.x = −0 4. C.x =0 6. D.x0 = 10.

Câu 55.Giá trị lớn nhất của hàm số 2 4

y= − +x x là:

A. 4. B. 0. C. −2. D. 2.

Câu 56.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 2 4

y= x + trên đoạn

[

−3;1

]

[3;1]miny 3

− = . B. min[−3;1] y= .7 C. min[−3;1] y= . 2 D. min[−3;1] y= . 0

Câu 57.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x

[ ]

=2x−4 6−x

trên đoạn

[

−3; 6

]

. Tổng M+m có giá trị là:

A. 18. B. −6. C. − .12 D. − . 4

Câu 58.Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy= x− +1 3−x trên đoạn [1; 3]

[1;3]

maxy =2. B.

[1;3]

maxy = 2.

[1;3]

maxy = − 2. D.

[1;3]

maxy = −2.

Câu 59.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 6 5

y= − +x x− trên đoạn

[ ]

1;5 lần lượt là:

A. 2 và 0. B. 4 và 0 . C. 3 và 0. D. 0 và −2.

Câu 60.Cho hàm số y=5 3−x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 3. B. 2 C. 0. D. 5.

Câu 61.Hàm số y=4 x2−2x+ +3 2x x− 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x x1 2, . Tính x x1 2.

A. 2. B. 1. C. 0. D. −1.

Câu 62.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=5sinx−cos 2x là:

A. −6. B. −7. C. −4. D. 3.

Câu 63.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . 2 cos2 4cos

y= x+ x

A. miny =5

[8]

Câu 64.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =cos2x+4cosx+1.

min

=

5

ℝ

y

. B.

max

ℝ

y

=

6

. C.

min

ℝ

y

=

7

. D.

min

ℝ

y

=

8

Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2cos3 9cos2 3cos 1

2 2

y= x− x+ x+ là:

A. 1. B. −24. C. −12. D. −9.

Câu 66.Cho hàm số y= 3cosx−4sinx+8 với x∈

[

0;2

π

]

. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M m+ bằng bao nhiêu?

A. 8 2. B. 7 3. C. 8 3. D. 16.

Câu 67.

Tìm giá trị lớn nhất

[ ]

cos2

f x = +x x trên đoạn 0;

2π   .

π

. B.0. C.

2π

. D.

4π

Câu 68.

Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= +x 2 cosx trên đoạn

0;2π   

A. 1; 2

M =π + m= . B. ; 2

M =π m= . C. M =1;m= . 0 D. M = 2;m= . 1

Câu 69.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3sin 4sin3

y= x− x trên đoạn ;2 2π π− 

 

 bằng:

A. − . 1 B. 1. C. 3. D. 7.

Câu 70.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là:

A. B. C. D.

Câu 71.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là:

A. B. C. D.

Câu 72. Giá trị lớn nhất của hàm số f x

[ ]

ln xx

= trên đoạn

[ ]

1;3 là:

A. 1

e . B.

e

. C.

ln 3

3 . D. 24, 2 .

Câu 73.Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x

[ ]

[

2 ln− x

]

trên

[ ]

2;3 là

A. 1. B. 4 2ln 2− . C. e. D. − +2 2ln 2.

Câu 74.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+ln 1 2

[

− x

]

trên

[

−1;0

]

[ 1;0]

min 2 ln 3

x∈ − = − + . B. x∈ −min[1;0]= . 0 C. x∈ −min[ 1;0]= − . 1 D. x∈ −min[ 1;0]= +2 ln 3.

Câu 75.Tính giá trị lớn nhất của hàm sốy= −x lnx trên 1;2 e   .A. 1;2max 1x ey e ∈  

= − . B.

1;2max 1x ey ∈  

= . C.

1;2maxx ey e ∈  

= . D.

1;2

1max ln 2

2x ey ∈  = + . 2sin 1sin 2xyx−=+13=

maxy . 1

3= −

maxy . miny= −3. 1

2=miny .2sin cos 1

sin 2 cos 3

[9]

Câu 76. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn là:

A. và 1 B. và C. và D. và

Câu 77. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [–1; 2] là:

A. và B. và C. và D. và

Câu 78. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2ln xy

= trên đoạn 1;e3

  là n ,

= trong đó ,m n là các số tự nhiên. Tính 2 2 .3

S =m + n

A. S=135.. B. S=24.. C. S=22.. D. S=32..

Câu 79.Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm:

5 4

x+ + − ≥ .x m

[

−∞;3

]

. B.

[

−∞;3 2  . C.

[

3 2;+∞ .

]

[

−∞;3 2

]

Câu 81.

Cho x , y là các số thực thỏa mãn x+ =y x− +1 2y+ . Gọi M , m lần lượt là giá trị 2
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 2

[

][

]

8 4

P=x +y + x+ y+ + − −x y. Khi đó, giá trị của M +m

bằng

A. 44. B. 41. C. 43. D. 42.

[ ]

2 4ln

f x =x − x

[ ]

1;e

2 4

e − e −2 4 2 2 ln 2− e +2 4 −1 e +2 4 2 2ln2−

2 2x

f[x] [x= −2].e

2e −e2 2e4

21e

− 4e4 −e2 4e4

[10]

DẠNG 2: GTLN, GTNN TRÊN MỘT KHOẢNG, NỬA KHOẢNG

Phương pháp: Xét khoảng hoặc nửa khoảng D

- Tính f'

[ ]

x , giải phương trình f'

[ ]

x =0 tìm nghiệm trên D.

- Lập BBT cho hàm số trên D.

- Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN.

Câu 1.Trên khoảng [0; +∞] thì hàm số y= − +x3 3x+1

A. Có giá trị nhỏ nhất là miny=3. B. Có giá trị lớn nhất là maxy= −1. C. Có giá trị nhỏ nhất là miny= −1. D. Có giá trị lớn nhất là maxy=3.

Câu 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= +x 4

x trên khoảng

[

0; +∞ .

]

A. 4 . B. 2 . C. − . 2 D. − . 4

Câu 3.

Hàm số 21

x có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ?

A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.

C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1.

Câu 4.Hàm số 241=

x có bảng biến thiên như hình vẽ.

x −∞ 0 +∞

′

y + 0 −

Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng?A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0.

C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4.

Câu 5.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

2 32−=

−

x trên khoảng

[

−∞;2

]

A. [ ;2]max 4

−∞ y= B. [max−∞;2]y=3 C. max[−∞;2]y=1 D. [max−∞;2]y=2.

Câu 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 12= − + −

y x

[11]

11 A.

[ 4; 2]

min 5

− −y=

. B.

[ 4; 2]

min 6

− −y=

. C.

[ 4; 2]

min 4

− −y=

. D.

[ 4; 2]

min 7

− −y=.

Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y=2 3−x.

A. ymin =0. B. ymin = −6. C. ymin = −3. D. ymin =2.

Câu 8.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin3x−cos 2x+sinx+2 trên khoảng ;2 2π π− 

 

  bằng:

A. −1. B. 6. C. 23

27. D. 1.

Câu 9.

Giá trị lớn nhất của hàm số

2 13

= −x + +

y x trên khoảng ;

2 2π π− 

 

  bằng:

A. 3. B. 7. C. 1. D. -1.

Câu 10. Tìm m để phương trình x5+x3− 1− + =x m 0 có nghiệm trên

[

−∞;1

]

A. m>2. B. m≤ −2. C. m≥ −2. D. m với mọi

x ∈

[ ]

0;1

nên hàm số luôn đồng biến trên

[ ]

0;1 .

Vì hàm số đã cho là hàm đa thức, liên tục trên

[ ]

0;1

nên

[ ]0;1

[ ]

min

0

1.

∈

=

= +

y

m

Ta cho

m

+ = ⇔

1 5

m

=

4.

Vậy

m =

4

thỏa mãn.

Câu 21.

Cho hàm số y=x3−3x+ . Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị 1 0

m > , để giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên D=

[

m+1;m+2

]

luôn bé hơn 3 là

[ ]

0;1 . B. 1;1 .

2  

  C.

[

−∞;1 \ 2 .

] { }

− D.

[ ]

0;2 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có : ' 3 2 3. ' 0 11

y x y

=

= − = ⇔ 

= −

 . Hàm số đồng biến trên khoảng

[

1;+∞

]

.
Trên D=

[

m+1;m+2

]

, với m> , ta có : 0

[ ]

[

]

[

]

1; 2 1 3 1 1

mMin y+ m+ = m+ − m+ + Ycbt

[ ]

[

][

]

{

3 2

1; 2

3 3 4 0 1 2 0 2

m m

Min y m m m m m

+ +

, ∀ ≠x 0.

Hàm số đồng biến trên

[

− −2; 1

]

và

[ ]

2 92

y − = , y

[ ]

− =1 5. Vậy

[ 2; 1]9min

2y− −

= .

Câu 28.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 12 1

x−=

+ trên đoạn

[ ]

1;3 là: A. GTNN bằng 1; GTLN bằng 3. B. GTNN bằng 0; GTLN bằng 2

7 . C. GTNN bằng 0; GTLN bằng 1. D. GTNN bằng 2

− ; GTLN bằng 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

[

]

3 0, 1

22 1

y x

′ = > ∀ ≠ −

[ ]

1 0,

[ ]

3 27y = y = .

Vậy GTNN bằng 0; GTLN bằng 27 .

Câu 29.Cho hàm số 12 1

x+=

− . Chọn phương án đúng trong các phương án sau: A.

[ 1;2]

min 1

∈ −

= . B.

[ ]0;1

max 2

∈

= . C.

[ 1;0]

max 0

∈ −

= . D.

[ ]3;52max

y∈

= .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Hàm số không liên tục trên đoạn

[

−1;2

]

⇒ Loại đáp án A.
Hàm số không liên tục trên đoạn

[ ]

0;1 ⇒ Loại đáp án B.

Ta có

[

]

02 1y

x
−′ = ∀ ∈ ⇒

+ + + hàm số đồng biến trên các

khoảng xác định ⇒ hàm số đồng biến trên

[ ]

0;1

[ ]

0;1 0 .

Min y y m m

⇒ = = − +

+ Theo yêu cầu đề bài ta có: [ ]

2 2

0;1

2 2 2 0 .

Min y m m m m

m
= −= − ⇒ − + = − ⇔ − − = ⇔ 



Câu 40. Tìm m để hàm số f x

[ ]

mx 5x m

− đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn

[ ]

0;1 bằng 7.−

A. m =2. B. m =0. C. m =1. D. m =5.

Hướng dẫn giải:

[32]

[ ]

[

]

[

]

2'2 2

5 [ ] [ ] 5 5 0 .

mx m x m mx m

f x f x x m

x m x m x m

+ − − − − −

= ⇒ = = < ∀ ≠

− − −

Nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[ ]

0;1 là

5 [1]

7

2.

1 m

f

m

+

=

= − ⇔

=

−

Câu 41.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số

21x myx+=

− trên

[

−1; 0

]

bằng:

2 1

m −

. B. 2

− . C.

−

. D. m2

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.Hàm số 21x myx+=

− có

[

]

221

' 0 1

1− −

= < ∀ ≠

−

y x

x nên hàm số nghịch biến trên

[

−1; 0

]

Vậy: 2

[ 1;0]

min [ ] [0] .− f x = f = −m

Câu 42.Giá trị lớn nhất của hàm số y 2mx 1

m x

− trên đoạn

[ ]

2;3 là 13

− khi m nhận giá trị

A.0. B. 1. C.−5. D. −2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.
Ta có:

[

]

22 0,12my mm x′ >−+

= ∀ ⇒ hàm số đồng biến trên

[ ]

2;3

⇒

[ ]2;3

[ ]

6 1max 33my ym+= =−

6 1 1

03 3mmm+⇒ = − ⇒ =− .

Câu 43.Cho hàm số 12

y x

x= +

+ , giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên

[

−1, 2

]

là

A. 9

m= . B. 1

m= . C. m =2. D. m =0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.Xét hàm số 1

y x

x= +

+ trên

[

−1, 2

]

, ta có

[

]

[

]

[

]

22 22 1112 2xyx x+ −′ = − =+ + .

2 3 1, 2

0 2 1 0

1 1, 2xy xx= − ∉ −′ = ⇔ + − = ⇔ = − ∉ −

Mà y −

[ ]

1 =0 và

[ ]

2 94

y = . Do đó [ 1,2]miny 0

− = . Vậy m =0.

Câu 44.Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số = ++41

y x

x trên đoạn 0;4 .

  

=0;4

miny 4. B.

  =0;424min5

y . C.

  

= −0;4

miny 5. D.

  

=0;4

miny 3.

Hướng dẫn giải:

[33]

33 = ++41y x

[

]

[

][

]

[

]

− +

′

⇒ = − =

+ 2 + 2

1 3411 1x xyx x.  = − ∉   ′ = ⇔  = ∈   3 0;401 0;4xyx .

[ ]

0 =4

y , y

[ ]

1 =3,

[ ]

4 = 245y . Vậy   =0;4

miny 3.

Câu 45.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 12 1

y x

x= + +

+ trên đoạn

[ ]

1;2 bằng

A. 26

5 . B.

3 . C.

3 . D.

245 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.Hàm số 2 1 1

2 1

y x

x= + +

+ liên tục trên đoạn

[ ]

1;2 .

Ta có

[

]

[

]

[ ]

220 1;22

2 0 2 1 1

1 1; 22 1

y y x

xx = ∉′= − ⇒ ′= ⇔ + = ⇔ = − ∉+  .

[ ]

1 103

y = ;

[ ]

2 265y = nên

[ ]1;210min

3y = .

Câu 46.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 53xyx−=

+ trên đoạn

[ ]

0;2

A. [ ]x 0;21min y3

∈ = − . B. x 0;2[ ]5min y

∈ = − . C. x 0;2min y∈[ ] = − . 2 D. x 0;2min y∈[ ] = − . 10

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có:

[

]

[

]

[

]

[

]

2 2

2 3 5 6 5

3 3

x x x x x

x x

+ − − + +

′ = =

+ +

Suy ra : y′ = 0 ⇔x2+6x+ = 5 0 15xx= −⇔  = −

Do đó ta có: f −

[ ]

1 = −2,

[ ]

0 53

f = − , f −

[ ]

5 = −10,

[ ]

2 1

5f = − Vậy

[ ]

x 0;2min y∈ = − . 10

Câu 47.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 31xyx+=

− trên đoạn

[

2; 4

]

[2;4]19min

y = . B.

[2;4]

miny = −3. C. [2;4]

miny = −2. D. [2;4]miny =6.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có :

[

]

[

]

[

]

[

]

2 2

2 1 3 2 3

1 1

x x x x x

x x

− − + − −

′ = =

[34]

[ ]

1 2;403 2;4xyx= − ∉′ = ⇔ = ∈ .

[ ]

2 7;

[ ]

4 19;

[ ]

3 63

y = y = y = .

[2;4]miny 6

⇒ = .

Câu 48.Giá trị lớn nhất của hàm số

2 3 31x xyx+ +=

+ trên đoạn 1

;12− 

 

  là:

13

2

. B. 3. C.

7

2

. D. – 1.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.Ta có

[

]

2221+′ =+x xy

x . Cho

[

]

22020 021=+′ = ⇔ = ⇔ = −+ xx xyx

x . Do

1;12 ∈ −  

x nên x=0.

[ ]

1 7 7

0 3, 1

2 2, 2

− = = =

  

y y y . Vậy

1;127max2−   =y .

Câu 49.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

2 42 1x xyx−=

+ trên đoạn 0; 3 . 

A. min0;3 y 0  

= . B.

0;33min7y   

= − . C. min0;3 y 4 

 

= − . D.

0;3

miny 1

   

= − .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

[

]

2 2 4

2 1x xyx+ −′ =

+ ;

[

]

[ ]

221

2 2 4

0 022 1xx xyx Lx =+ − ′ = ⇔ = ⇔ = −+ 

[ ]

0 0

y = ; y

[ ]

1 = −1;

[ ]

3 37

y =−

Câu 50.

Hàm số

2 31x xyx−=

+ giá trị lớn nhất trên đoạn

[ ]

0;3 là:

A. 1. B. 3. C. 2 . D. 0.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.
Xét hàm số

2 31x xyx−=+Ta có:

[

]

[

]

2 22 21[ ]

2 3 2 3

' . ' 0 0

3[ ]

1 1

x n

x x x x

y yx lx x=+ − + −= = ⇔ = ⇔ = −+ + 

[0]y =0, [3]y =0, [1]y = − 1.Vậy:

[0;3]

maxy= . 0

Câu 51.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

2

3

1 x

y

x

−

+

=

−

trên đoạn

[ ]

2;4

là:

[ ]2;4 [ ]2;4

11 min [ ] 2;max [ ]

3 f x

=

f x

=

. B.

min [ ] 2 2;max [ ] 3

[ ]2;4

f x

=

[ ]2;4

f x

=

min [ ] 2;max [ ] 3

[ ]2;4

f x

=

[ ]2;4

f x

=

. D.

[ ]2;4 [ ]2;4

11 min [ ] 2 2;max [ ]

3

[35]

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

[

]

2 2

1 2

2 3 2 1

0 .

1 1 1 2

 = +

− + ′ − −

= ⇒ = = ⇔ 

− −  = −

x x x x

y y

x x x

[ ]

2 3;

[ ]

4 11;

[

1 2

]

2 2.

= = + =

f f f

[ ]2;4 [ ]2;4

11min [ ] 2 2; max [ ] .

= =

f x f x

Câu 51.Giá trị lớn nhất của hàm số

[ ]

2 3 1

x x

f x

+ −

− trên đoạn −2;0 là:

A. 2. B. 1. C. 1

2. D. 3 .4

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

[

][

]

[

]

[

]

[

]

2 2

2 3 2 3 1 4 5

2 2

x x x x x x

x x

+ − − + − − −

′ = =

− −

[

]

5xy

x loai

= −= ⇔  =



[ ]

2 3,

[ ]

0 1,

[ ]

1 1

4 2

y − = y = y − = . Vậy

[ 2;0]Maxy =1

x∈ −

Câu 52.Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y= x−x ?

A. Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất.

B. Có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất.

C. Có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất.

D. Khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Tập xác định D =

[ ]

0;1 .

Hàm số đã cho liên tục trên

[ ]

0;1 nên ln có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên

[ ]

0;1 . Vậy

[ 4; 2]miny 7

− −= .

Câu 53. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= − +3 4−x2 lần lượt là

–3

và

0

. B.

–3

và −1. C. 0 và 2. D. –2 và 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.
Điều kiện

− ≤ ≤

2 x

2.

2 '

3 4 0 0.

4[0] 1

[2] [ 2] 3.

y x y x

f f

−

= − + − ⇒ = = ⇔ =

−= −

= − = −

Câu 54.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 6− −x x+4 đạt tạix0, tìmx0?

[36]

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.TXD: − ≤ ≤4 x 6.

Ta có 1 1 0, x

[

4;6

]

2 6 2 4

x x

−

′ = − < ∀ ∈ −

− + , do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =0 6.

Câu 55.Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x2+4x là:

A. 4. B. 0. C. −2. D. 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.
+ TXD: D =

[ ]

0;4 . +

' ,

4− +=

− +xy

x x

' 0 2 0 2.

y = ⇔ − + = ⇔ =x x

+ Ta có:

[ ]

max

0 0

4 0 2.

2 2

y y

=

= ⇒ =



 =



Câu 56.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 2 4

y= x + trên đoạn

[

−3;1

]

[ 3;1]miny 3

− = . B. min[−3;1] y= .7 C. min[−3;1] y= . 2 D. min[−3;1] y= . 0

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Cách 1: 5 2 4

y= x +

Hàm số xác định và liên tục trên đoạn

[

−3;1

]

5

4 x

y

x

′ =

+

y

′ = ⇔ = ∈ −

0 x

0 [

3;1

]

Ta có:

[ ]

3

7

0

2

1

3  − =



=





=



y

. Vậy [ 3;1]miny 2

− = .

Cách 2: Sử dụng tabe MTCT

Câu 57.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x

[ ]

=2x−4 6− x
trên đoạn

[

−3; 6

]

. Tổng M+m có giá trị là:

A. 18. B. −6. C. − .12 D. − . 4

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Xét: f x

[ ]

=2x−4 6−x

Ta có: '

[ ]

2 2 1 2. 6 1.

6 6

xf x

x x

− +

= + =

− − f '

[ ]

x vô nghiệm trên

[

−3; 6

]

. [ 3]f − = −18, [6] 12.f =

Vậy: M + = −m 6.

Câu 58.Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy= x− +1 3−x trên đoạn [1;3]

[1;3]

maxy =2. B.

[1;3]

[37]

[1;3]

maxy = − 2. D.

[1;3]

maxy= −2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có hàm số đã cho xác đinh trên đoạn

[ ]

1;3 . 1 1

[

3 1

]

2 1 2 3 2 1. 3

x x

x x x x

− − −

′ = − =

− − − −

[ ]

0 3 1 0 3 1 2 1;3

y′ = ⇔ − −x x− = ⇔ − =x x− ⇔ = ∈x

Khi đó. y

[ ]

1 = y

[ ]

3 = 2; y

[ ]

2 =2. Vậy

[ ]1;3

max 2

xy∈ = .

Câu 59.

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= −x2+6x−5 trên đoạn

[ ]

1;5 lần lượt là:

A. 2 và 0. B. 4 và 0 . C. 3 và 0. D. 0 và −2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.Ta có

236 5xy

x x

− +′ =

− + − nên y′ = ⇔ = ∈0 x 3

[ ]

1;5 .

Vì y

[ ]

1 = y

[ ]

5 =0 và y

[ ]

3 =2 nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[ ]

1;5 lần

lượt là 2 và 0.

Câu 60.Cho hàm số y=5 3−x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

A. 3. B. 2 C. 0. D. 5.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

TXD: x ≤3. Xét hàm số liên tục y=5 3−xtrên

[

−∞;3

]

ta có :

[

]

0, ;3

2 3

y x

−

′ = < ∀ ∈ −∞

− từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y= f

[ ]

3 =0.

Câu 61.Hàm số y=4 x2−2x+ +3 2x x− 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x x1 2, . Tính x x1 2.

A. 2. B. 1. C. 0. D. −1.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.Tập xác định D = ℝ .

Ta có

[

]

[

]

[

]

2 2

2 1 2 2 3

4 2 2

2 2

2 2 3 2 3

x x x

y x

x x x x

− − − +

−

′ = + − =

− + − +

[

]

[

]

1, 1 4 21

0 1 2 2 3 0 1 2, 7

2 3 2

1 2, 7

x y

y x x x x y

x x

x y

 = = +

= 



′ = ⇔ − − − + = ⇔ ⇔ = + =

− + =

 

 = − =



Bảng biến thiên

x −∞ 1− 2 1 1+ 2 +∞

y′ + 0 − 0 + 0 −

−∞

1 4 2+

[38]

Câu 62.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=5sinx−cos 2x là:

A. −6. B. −7. C. −4. D. 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.Tập xác định D =ℝ.

Ta có: 5sin cos 2 5sin 1 2 sin2

y= x− x= x− + x.

Đặt t=sinx, − ≤ ≤1 t 1.

Khi đó bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :g t

[ ]

=2t2+ −5 1t trên

[

−1;1

]

. '[ ] 4 5

g t = t+ ; '[ ] 0 4 5 0 5

[ ]

4g t = ⇔ t+ = ⇔ = −t L .

[ ]

1 4

g − = − ; g

[ ]

1 =6 ;.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4.

Câu 63.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . 2 cos2 4 cos

y= x+ x

A. miny=5

ℝ . B. minℝ y= −2. C. minℝ y=7. D. minℝ y=8.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có : 2 cos2 4 cos

y= x+ x =2 cos

[

x+1

]

2− . 2

Vì − ≤1 cosx≤1⇔ ≤0 cosx+ ≤1 2 ⇔ ≤0

[

cosx+1

]

2≤ . Do đó : 24 − ≤ ≤ . y 6
Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = − khi 2 cosx = −1 .

Câu 64.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =cos2x+4cosx+1.

min

=

5

ℝ

y

. B.

max

ℝ

y

=

6

. C.

min

ℝ

y

=

7

. D.

min

ℝ

y

=

8

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

cos 2x 4 cos 1 2 cos 4 cos .

= + + = +

y x x x

Đặt

t

=

cos

x

[

− ≤ ≤

1 t

1 .

]

. Khi đó

[ ]

2 [-1;1]

[-1;1]

[ 1]

2 min [ ] min [ ]

2

4 '[ ] 4

4 0

1 .

[1] 6 max [ ] max [ ]

− = − =

=





=

+

⇒

=

+ = ⇔ = − ⇒ 

= =

=



ℝ

f

f t

f x

y

f t

t

f t

t

f

f t

f x

Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos3 9cos2 3cos 1

2 2

y= x− x+ x+ là:

A. 1. B. −24. C. −12. D. −9.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Tập xác định D =ℝ .

Đặt t=cos ,x t ∈ −

[

1;1 .

]

Hàm số trở thành 2 3 9 2 3 1.

2 2

y= t − t + +t

Ta có y′ =6t2− +9t 3,

0 1.

2ty

t=′ = ⇔

 =


[ ]

1 1

y = , y −

[ ]

1 = −9, 1 9

2 8

y  = 

  Vậy giá trị nhỏ nhất là 9.−

Câu 66.Cho hàm số y= 3cosx−4sinx+8 với x∈

[

0;2

π

]

. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và

[39]

A. 8 2. B. 7 3. C. 8 3. D. 16.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Ta có y= 3cosx−4sinx+ =8 5sin

[

α−x

]

+ =8 5sin

[

α−x

]

+ ∀ ∈8, x

[

0; 2π

]

Do 3 5sin≤

[

α

−x

]

+ ≤8 13⇒ ≤ ≤3 y 13,∀ ∈x

[

0;2

π

]

Vậy M +m=16

Câu 67.

Tìm giá trị lớn nhất

[ ]

cos2

f x = +x x trên đoạn 0;

2π   .

π

. B.0. C.

2π

. D.

4π

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.
Hàm số f x

[ ]

trên 0;

2π   .

[ ]

2 2

[

]

1 2sin cos sin cos 2sin cos sin cos 0 0;2f′ x = − x x= x+ x− x x= x− x ≥ ∀ ∈ x  π

 
⇒ f x

[ ]

đồng biến trên 0;

2π  

 . Vậy 0;

[ ]

2max

2 2

f x f

π π

 
  

 =  =

  .

Câu 68.

Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= +x 2 cosx trên đoạn

0;2π   

A. 1; 2

M =π + m= . B. ; 2

M =π m= . C. M =1;m= . 0 D. M = 2;m= . 1

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Xét hàm số y= f x

[ ]

= +x 2 cosx trên 0;2π  

 , f '

[ ]

x = −1 2 sinx

Cho

[ ]

[

]

1 4

' 0 1 2 sin 0 sin

2 2

x k

f x x x k

x k

π
π

π π

 = +

= ⇔ − = ⇔ = ⇔ ∈

 = +

ℤ

Vì 0;

2 4

x∈ π⇒ =x π 

Ta có:

[ ]

0 2, 1,

4 4 2 2

   

=  = +  =

   

f f π π f π π

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất

0;2

max 1

ππ   

= = + , đạt giá trị nhỏ nhất 0;

2min 2

π   

= .

Câu 69.

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3sin 4sin3

y= x− x trên đoạn ;2 2π π− 

 

 bằng:

A. − . 1 B. 1. C. 3. D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Đặt t=sin , 1x − ≤ ≤t 1; Ta có: 3 4 3

[40]

0 3 4 0

232t

y t t t

t=′ = ⇔ − = ⇔ = − =

[nhận cả 3 nghiệm]

[ ]

1 1;

[ ]

1 1; 0

[ ]

0; 3 0; 3 0

2 2

y = − y − = y = y− = y =

    ;

Vậy
;2 2max y 1

π π−   

= .

Câu 70.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A. - TXĐ:

- Đặt: Khi đó: .

- Ta có:

- Ta có bảng biến thiên hàm số trên [−1; 1]:

- Từ bảng biến thiên ta suy ra:

Câu 71.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D. - TXĐ:

- Khi đó:

2sin 1sin 2xyx−=+13=

maxy . 1

3= −

maxy . miny= −3. 1

2=miny .

.ℝ

1 1

sin ; .

t= x⇒ ∈ −t   2 1

[ ]

y f t

−

= =

[ ]

[

]

0 1 1

' , ; .

f t t

 = > ∀ ∈ − 

[ ]

f t11113;

maxy max f t f .

−  

= = =

[ ]

11; 1 3

miny min f t f .

− 

 

= = − = −

2sin cos 1sin 2 cos 3

x xyx x+ +=− +212 ==max.minyy21 ==max .minyy112 = = −max.minyy212max.minyy = = −

2 3 0

sinx− cosx+ ≠ ⇒ ∈ ℝx .

[

sin 2cos 3

]

2sin cos 1

[

]

sin

[

2 1

]

cos 1 3 [*]

[41]

- Để [*] có nghiệm thì:

Từ đây suy ra:

Câu 72. Giá trị lớn nhất của hàm số f x

[ ]

ln xx

= trên đoạn

[ ]

1;3 là:

A. 1

e. B.

e

. C.

ln 3

3 . D. 24, 2 .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có:

[ ]

2 2

. ln 1 ln

' ' 0 1 ln 0 .

− −

= = ⇒ = ⇔ − = ⇔ =

x x

f x f x x x e

x x

Với x∈

[

1;e

]

thì

f

'

[ ]

x > ⇒

0

hàm số đồng biến trên nửa khoảng

[

1;e

]

Với x∈

[

e;3

]

thì

f

'

[ ]

x < ⇒

0

hàm số nghịch biến trên nửa khoảng

[

e;3

]

.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

[ ]

1;3 là f e

[ ]

e= .

Câu 73.Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x

[ ]

[

2 ln− x

]

trên

[ ]

2;3 là

A. 1. B. 4 2ln 2− . C. e. D. − +2 2ln 2.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Xét hàm số liên tục và xác định trên

[ ]

2;3 .
Ta có f′

[ ]

x = −1 lnx, f′

[ ]

x = ⇔ = ∈0 x e

[ ]

2;3 .

[ ]

2 2 2 ln 2

[

]

y = − , y

[ ]

3 =3 2 ln 3

[

−

]

, y e

[ ]

=e.

Vậy

[ ]2;3

[ ]

[

]

miny=y 2 =2 2 ln 2− .

Câu 74.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+ln 1 2

[

− x

]

trên

[

−1;0

]

[ 1;0]

min 2 ln 3

x∈ − = − + . B. x∈ −min[ 1;0]= . 0 C. x∈ −min[ 1;0]= − . 1 D. x∈ −min[ 1;0]= +2 ln 3.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Xét f x

[ ]

= =y 2x+ln 1 2

[

− x

]

TXĐ: ,1

2D= −∞ 

 

[ ]

' 2

1 2f x

x
= −

−

Cho '

[ ]

0 2 1 2

[

]

2 0 4 0 0

[

1;0

]

1 2

f x x x

− −

= ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ∈ −

−

Ta có:

[ ]

1 2 ln 30 0

− = − +

=



Vậy [ 1;0]

min 2 ln 3− = − + .

Câu 75.Tính giá trị lớn nhất của hàm sốy= −x lnx trên 1;2 e

 

 

 .

[

] [

]

[

]

2 1

1 3 2 2 1 2

2 .

y y  y  − y

− ≤ − + − +  ⇔ ≤ ≤

⇒ 21

2max

.min

 =



 −

[42]

42 A. 1;2max 1x ey e ∈  

= − . B.

1;2max 1x ey ∈  

= . C.

1;2maxx ey e ∈  

= . D.

1;2

1max ln 2

2x ey ∈  = + .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số y= −x lnxliên tục trên đoạn 1;2 e

 

 

 . Ta có y 1 1

′ = − 0 1 1;

y′ x  e

⇒ = ⇔ = ∈  

 . Do 1 1 ln 2

2 2

y  = + 

  ; y e

[ ]

= −e 1; y

[ ]

1 =1 nên 1;2max 1x ey e ∈  = − .

Câu 76. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn là:

A. và 1 B. và C. và D. và

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C. Xét hàm số trên ;

Vậy: tại x = 1, tại x = 3.

Câu 77. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [–1; 2] là:

A. và B. và C. và D. và

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Hàm số f[x] liên tục trên đoạn [–1; 2],

Câu 78. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2ln xy

= trên đoạn 1; e3

  là n,

= trong đó ,m n là

các số tự nhiên. Tính S =m2+2 .n3

A. S=135.. B. S =24.. C. S=22.. D. S=32..

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.2

2 2

1 ln

0 2ln

ln

,

0 .

ln

2 x

y

x

e

=



−

′

=

′

= ⇒



⇒ 

=



[ ]

1

0 y

=

y e

[ ]

4 e

=

[ ]

9 .

y e

e

=

Suy ra 2 3

4 4,

2

4

2.2

32. M

m

n

S

e

=

⇒

=

= ⇒ =

+

=

[ ]

2 4ln

f x =x − x

[ ]

1;e

2 4

e − e2−4 2 2 ln 2− e2+4 −1 e2+4 2 2ln2−

[ ]

1;4 f '[ ] 1x 92x= −1; 4 '[ ] 0 3

x f x x

∀ ∈ => = ⇔ =25[1] 10; [3] 6; [4]

f = f = f =

[ ]

[ ]1;4

10=

max f x

[ ]1;4 [ ] 6=min f x

2 2x

f[x] [x= −2].e

2e −e2 2e4

21e

− 4e4 −e2 4e4

21e−

2 2x

f '[x] 2[x= + −x 2]e2

f '[x] 0 x x 2 0

x 1x [ 1; 2] x [ 1; 2]

= ⇔ + − = ⇔ = ∈ − ∈ − 2 421

f [1] e , f [ 1] , f [2] 2ee

−

[43]

Câu 79.Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm:

5 4

x+ + − ≥ .x m

[

−∞;3

]

. B.

[

−∞;3 2  . C.

[

3 2; +∞ .

]

[

−∞;3 2

]

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Đặt f x

[ ]

= x+ +5 4−x x, ∈ −

[

5; 4

]

[ ]

1 1

2 5 2 4

f x

x x

′ = −

+ − ;

[ ]

0 5 4

f′ x = ⇔ x+ = − ⇔ = −x x .

Bảng biến thiên: x

−5 −12 4

[ ]

f x′ + −

[ ]f x

3 2

3 Yêu cầu bài toán ⇔m≤3 2.

Câu 80.Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 2

x+ −x =m có nghiệm

A. − < 0]. Chi phí mỗi m2đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m2 mặt bên

[63]

63 A. 3 k

π . B. 3

. C. 3

π . D. 3 2

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ.

+ Thể tích khối trụ V r h2 k h k2.

π

= = ⇒ =

+ Diện tích đáy và nắp là Sđ =Sn =πr2; diện tích xung quanh là

2 .

S =

π

+ Khi đó chi phí làm bể là

[

]

2 2 2

600 200 400.2 800 800 k 800 k

C r rh r r r

π π π π π

 

= + + = + =  + 

 

+ Đặt

2 2

[ ] k, 0 [ ] 2 k r k

f r r r f r r

r r r

π

′

π

−

= + > ⇒ = − = ;

3[ ] 0

f r r

π

′ = ⇔ = , [k >0].

+ Bảng biến thiên:

r 0 3

π

+∞

[ ]

f r′ − 0 +

[ ]

f r [0;min+∞] f r[ ]

Vậy: Chi phí làm bể ít nhất ⇔ f r[ ] đạt giá trị

nhỏ nhất 32

π

⇔ = .

Câu 26: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3+2x [triệu đồng], máy B làm việc

trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y2 [triệu đồng]. Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng

máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? [Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày]

A. 6. B. 5. C. 4 . D. 7.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Ta có x+ =y 10⇔ =y 10−x [1]Và 0< ≤ ⇒ ≤ 0,h>0

]

[64]

Chỉ có x = ∈6

[

4;10

]

. Vậy máy A làm việc trong 6 ngày.

Câu 27: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400 km

[ ]

. Vận tốc dòng nước là

[

]

10 km/h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là [km/h]v thì năng lượng tiêu hao của cá trong

t giờ được cho bởi công thức 3[ ]

E v =cv t, trong đó c là hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc

của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

A. 12 [km/h] . B. 15 [km/h] . C. 18 [km/h] . D. 20 [km/h] .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Ta có vận tốc cá bơi ngược dòng là v −10 km/h

[

]

, thời gian cá bơi hết 400 km

[ ]

là 40010

− . Năng lượng tiêu hao của cá trong 400

t
v

− [giờ] được cho bởi công thức

3 400

[ ] .

E v cvv

− với 10

v > .

Ta có

[ ]

[

]

215800 .

10v

E v c v

v−′ =

− ,

[ ]

[

]

0 800 . 15 0

E v′ = ⇔ c v v− = 0

=⇔  =

 .

Bảng biến thiên.

Dựa vào bảng biến thiên vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất là 15 km/h.

Câu 28: Từ một khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vng và bốn miếng phụ được tơ màu xám như hình vẽ

dưới đây. Tìm chiều rộng xcủa miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.

A. 3 34 17 2

[ ]

x= − cm . B. 3 34 19 2

[ ]

x= − cm .

C. 5 34 15 2

[ ]

x= − cm . D. 5 34 13 2

[ ]

x= − cm .

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ. Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S=SMNPQ+4xy.

Cạnh hình vng 40 20 2

[ ]

2 2

MN= = = cm .

[

]

20 2 4 800 4

S xy xy

⇒ = + = + [1].

Ta có 2x=AB−MN =AB−20 2 0]; Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn. [ như hình vẽ]

Ta có và , suy ra cường độ sáng là: .

2sin

C c

lα

α

sin hl

α = h2= −l2 2

[ ] l [ 2]

C l c l

−

= >

[ ]

46 22

[

]

' . 0 2

. 2

C l c l

l l−

[73]

Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi , khi đó

Câu 41: Nhà của 3 bạn A, B, C nằm ở 3 vị trí tạo thành một tam giác vng tại B [ như hình vẽ], AB = 10 km; BC = 25 km và 3 bạn tổ chức họp mặt ở nhà bạn C.Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A, B di chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với tốc độ 50km/h. Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất ?

A. 5 km B. 7,5 km C. 10 km D. 12,5 km

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Đặt BM = x [km],

Thời gian để bạn A di chuyển từ A đến M rồi đến nhà C là: [h]

Lập bảng biến thiên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của là khi

Câu 42: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vng. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất?

A. 18

9 4 3+ [m] B. 36 3

4+ 3[m] C.

4+ 3[m] D. 18 34+ 3 [m]

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án A.

Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x [m] khi đó độ dài cạnh hình vng là 6 3
4

x−

Tổng diện tích khi đó là:

[

]

[

]

2 2

3 6 3 1

9 4 3 36 36

4 4 16

S= x + −  = + x − x+

 

Diện tích nhỏ nhất khi 182 9 4 3

a= − =

Vậy diện tích Min khi 189 4 3

x =

Hoặc đến đây ta có thể bấm máy tính giải phương trình

[

9 4 3+

]

x2−36x+36 ấn bằng và hiện giá trị.

[ ]

[

]

' 0 6 2

C l = ⇔ =l l>

l = h =2

x≥

100 25

30 50

[ ] x x

t x = + + −

[ ]

t x 23

152

C M

[74]

Câu 43: Một khách sạn có 50 phịng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì
tồn bộ phịng được th hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phịng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất.

A. 480 ngàn. B. 50 ngàn. C. 450 ngàn. D. 80 ngàn.

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án C.

Gọi x[ngàn đồng] là giá phòng khách sạn cần đặt ra, x>400 [đơn vị: ngàn đồng]. Giá chênh lệch sau khi tăng x−400.

Số phòng cho thuê giảm nếu giá là

x

[

400

]

2 400

20 10

− + −

x x

Số phòng cho thuê với giá x là

50

400

90

10 −

x

=

−

x

Tổng doanh thu trong ngày là:

[ ] 90 90

10 10

 

=  − = − +

 

x x

f x x x.

[ ]

90

5 ′

= − +

x

f x

. f x′[ ] 0= ⇔ =x 450. Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x[ ] đạt giá trị lớn nhất khi x=450.

Vậy nếu cho th với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025.000 đồng.

Câu 44: Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện
tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng P n

[ ]

=480 20n− [gam]. Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?

A. 10 B. 12 C. 16 D. 24

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án B.

Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ n 0> . Khi đó:
Cân nặng của một con cá là: P n

[ ]

=480 20n gam−

[

]

Cân nặng của n con cá là: n.P n

[ ]

=480n 20n gam− 2

[

]

Xét hàm số: f n

[ ]

=480n 20n , n 0;− 2

[

+∞

]

Ta có: f ' n

[ ]

=480 40n− , cho f ' n

[ ]

= ⇔ =0 n 12

[75]

Câu 45: Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay
trên quỹ đạo đường thẳng từ điểmA

[ ]

0;0 đến điểmB

[

0;100

]

với vận tốc 5 /m s. Con còn lại bay trên

quỹ đạo đường thẳng từC

[

60;80

]

vềA với vận tốc10 /m s. Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cách

ngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu?

A. 20[ ]m B. 50[ ]m C. 20 10[ ]m D. 20 5[ ]m

Hướng dẫn giải:

Chọn đáp án D.

Xét ở thời điểm t

Tọa độ của con chuồn chuồn bay từ B về A là

[

0;100 5t−

]

Do con chuồn chuồn bay từ C về A trên đường thẳng AC có hệ số góc tan 43

k = α = nên tọa độ của con chuồn chuồn này là:

60 10 .cos 60 10 . 60 65

80 10sin 80 8

x t t t

y t

 = − = − = −



 = − = −



Như vậy ở thời điểm t khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn sẽ là: d = [60 6 ]− t 2+[20 3 ]+ t 2 Khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn nhỏ nhất khi và chỉ khi [60 6 ]− t 2+[20 3 ]+ t 2đạt giá trị nhỏ

nhất với t ∈

[

0;10

]

Xét f t[ ] [60 6 ]= − t 2+[20 3 ]+ t 2trên

[

0;10

]

Ta có: [ ] 90 600 0 20

3f t′ = t− = ⇔ =t

min [ ] 2000

f t f 

⇒ =  =

 

⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con chuồn chuồn trong quá trình bay là 2000 20 5[ ]= m

Video liên quan