Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất: [ - 1 le sin alpha le 1,,forall alpha in mathbb{R}].
Giải chi tiết:
Ta có:
[begin{array}{l},,,,, - 1 le sin left[ {4x + dfrac{pi }{6}} right] le 1\ Leftrightarrow - 3 le 3sin left[ {4x + dfrac{pi }{6}} right] le 3\ Leftrightarrow - 3 - 4 le 3sin left[ {4x + dfrac{pi }{6}} right] - 4 le 3 - 4\ Leftrightarrow - 7 le 3sin left[ {4x + dfrac{pi }{6}} right] - 4 le - 1end{array}]
Suy ra, hàm số đạt GTNN bằng [ - 1] và GTLN bằng [ - 7].
Vậy tổng giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số [y = 3sin left[ {4x + dfrac{pi }{6}} right] - 4] là: [left[ { - 1} right] + left[ { - 7} right] = - 8].
Chọn C.
1. Định nghĩa
Cho hàm số \[y = f[x]\] xác định trên tập \[D.\]
- Số \[M\] là giá trị lớn nhất [GTLN] của hàm số \[f\] trên \[D \]
\[⇔\left\{ \matrix{ f[x] \le M,\forall x \in D \hfill \cr
\exists \, {x_0} \in D\text{ sao cho }f[{x_0}] = M \hfill \cr} \right.\]
Kí hiệu : \[M=\underset{D}{\max} f[x].\]
- Số \[m\] là giá trị nhỏ nhất [GTNN] của hàm số \[f\] trên \[D\]
\[⇔\left\{ \matrix{ f[x] \ge m,\forall x \in D \hfill \cr
\exists \, {x_0} \in D\text{ sao cho }f[{x_0}] = m \hfill \cr} \right.\]
Kí hiệu: \[m=\underset{D}{\min} f[x].\]
2. Cách tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn
Định lí
Hàm số liên tục trên một đoạn thì có GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Quy tắc tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y = f[x]\] liên tục trên đoạn [a ; b]
- Tìm các điểm \[x_i ∈ [a ; b][i = 1, 2, . . . , n]\] mà tại đó \[f'[x_i] = 0\] hoặc \[f'[x_i]\] không xác định.
- Tính \[f[a], f[b], f[x_i] [i = 1, 2, . . . , n] .\]
- Khi đó: \[\underset{[a;b]}{\max} f[x]=\max \left \{ f[a]; f[b]; f[x_{i}] \right \}\];
\[\underset{[a;b]}{\min} f[x]=\min \left \{ f[a]; f[b]; f[x_{i}] \right \}\]
3. Chú ý
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \[y=f[x]\] xác định trên tập hợp \[D\], ta có thể khảo sát sự biến thiên của hàm số trên \[D,\] rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số mà kết luận về GTLN và GTNN của hàm số.
Loigiaihay.com
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
1. Định nghĩa: Cho hàm số y = f[x] xác định trên miền D
Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu:
Kí hiệu:
Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[x] trên D nếu:
Kí hiệu:
2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên
Bước 1. Tính đạo hàm f'[x].
Bước 2. Tìm các nghiệm của f'[x] và các điểm f'[x]trên K.
Bước 3. Lập bảng biến thiên của f[x] trên K.
Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận
3. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên
Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]
Bước 1. Tính đạo hàm f'[x].
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈[a; b] của phương trình f'[x] = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'[x] không xác định.
Bước 3.Tính f[a], f[b], f[xi], f[αi].
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
Trường hợp 2. Tập K là khoảng [a; b]
Bước 1. Tính đạo hàm f'[x].
Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a; b] của phương trình f'[x] = 0 và tất cả các điểm αi ∈ [a; b] làm cho f'[x] không xác định.
Bước 3. Tính
Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận
Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất [nhỏ nhất] là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất [nhỏ nhất].
Quảng cáo
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 2 trên đoạn [-2; 2].
Hướng dẫn
Ta có: y' = 3x2 - 6x - 9 = 0 ⇔
Mà y[-2] = 0; y[2] = -20; y[-1] = 7.
Suy ra
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hướng dẫn
Tập xác định: D = [-2; 2]. Ta có:
Khi đó y' = 0 ⇔
Có y[√2] = 2√2, y[2] = 2 ,y[-2] = -2.
Vậy
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - sin2x trên đoạn [π/2; π]
Hướng dẫn
Ta có y' = 1 - 2cos2x = 0 ⇔ cos2x = 1/2 = cos π/3 ⇔ x = ±π/6 + kπ.
Xét x ∈[[-π]/2; π] ta được x = ±π/6; x = 5π/6.
f[[-π]/2] = -π/2; f[π] = π; f[[-π]/6] = -π/6 + √3/2; f[π/6] = π/6 - √3/2; f[5π/6] = 5π/6 + √3/2.
Suy ra
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f[x] = x3 - 3x2 - 9x + 35 trên đoạn [-4; 4]
Hàm số f[x] liên tục trên [-4; 4]
Ta có f'[x] = 3x2 - 6x - 9; f'[x] = 0 ⇔
f[-4] = -41; f[-1] = 40; f[3] = 8;f[4] = 15.
Do đó
Quảng cáo
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 2].
Ta có
Tính y[0] = 1/3; y[2] = -5.
Suy ra
Câu 3: Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số
Ta có
Tính y'[2] = 7; y'[4] = 19/3; y'[3] = 6.
Suy ra m = 6.
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [-1; 6].
Ta có:
y' = 0 ⇔ x = 5/2 ∈[-1; 6].
y[-1] = y[6] = 0, y[5/2] = 7/2.
Vậy
Câu 5: Tìm tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f[x] = |x| + 3 trên [-1; 1]
Ta có
Ta có bảng biến thiên của hàm số đã cho.
Vậy
Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [0; 3].
Ta có:
y' = 0 ⇔
Tính y[1] = -5√5; y[0] = -12; y[2] = -8√2; y[3] = -3√13.
Suy ra
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2 x + 2sinx - 1 bằng
TXĐ: D = R . Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1. Khi đó y = f[t] = 2t2 + 2t - 1
Ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f[t] trên đoạn [-1; 1]. Đó cũng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên R.
Ta có: f'[t] = 4t + 2; f'[t] = 0 ⇔ t = -1/2 ∈[-1; 1]; f[-1] = -1; f[-1/2] = -3/2; f[1] = 3
Do đó
Câu 8: Cho hàm số
Đặt t = sinx, -1 ≤ t ≤ 1 ⇒
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
gia-tri-lon-nhat-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so.jsp