Giá trị nhỏ nhất của hàm số ln xyx trên đoạn 2 3 bằng a ln 2 2 b ln 3 3 c 2 3 e D 1 e
|
Trang chủ Show
Sách ID Khóa học miễn phí Luyện thi ĐGNL và ĐH 2023
(1) 1 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐA – LÝ THUYẾT TÓM TẮTI. Định nghĩa. Giả sử hàm số xác định trên tập K . Khi đó: a) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: . b) Nếu tồn tại một điểm sao cho thì số được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên K. Kí hiệu: . II. Nhận xét. 1.Như vậy để có được M (hoặc m) là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên K ta phải chỉ ra được : a) ( hoặc ) với mọi . b) Tồn tại ít nhất một điểm sao cho ( hoặc ). 2. Chú ý khi nói đến giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số (mà khơng nói rõ “trên tập K’’) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên tập xác định của nó. 3. Mỗi hàm số liên tục trên đoạn thì đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó. a) Nếu hàm số đồng biến trên đoạn thì và . b) Nếu hàm số nghịch biến trên đoạn thì và . 4. Cho phương trình f x ( )=m với y f x=( )là hàm số liên tục trên D thì phương trình có nghiệm khi( )( )D D min f x ≤m max f x≤ 5. Một hàm số có thể đồng thời đạt được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên một tập K hoặc chỉ đạt được giá trị nhỏ nhất hoặc chỉ đạt được giá trị lớn nhất hoặc không tồn tại cả hai giá trị này. Chẳng hạn: a) Xét hàm số bậc hai trên tập xác định . + Khi thì hàm số có đạt được giá trị nhỏ nhất tại đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số tại . + Khi thì hàm số có đạt được giá trị lớn nhất tại đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số tại . b) Xét trên tập hàm số bậc ba không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. c) Xét trên hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. d) Xét hàm số trùng phương trên tập xác định . f (K⊂ℝ)∈0 x K f x ( ) ( )≤ f x0 ,∀ ∈x K M= f x( )0f ( )∈=max x D M f x ∈0 x K f x ( ) ( )≥ f x0 ,∀ ∈x K m= f x( )0f ( )∈=min x D m f x f ( )≤f x M f x ( )≥m x∈K∈0 x K f x ( )0 =M f x( )0 =mf a b; f a b; ( ) ( )∈ = max x D f x f b minx D∈ f x ( ) ( )= f af a b; ( ) ( )∈ = max x D f x f a minx D∈ f x ( ) ( )= f b= 2+ + y ax bx c K=ℝ >0 a =− 2bx a− =2 bx a a = − 2bx a− =2 bx a = K ℝ y=ax3+bx2+cx d+ = − \ cK d ℝ = + +ax by cx d= 4+ 2+ (2) 2 + Khi thì hàm số đạt được giá trị nhỏ nhất đồng thời bằng giá trị cực tiểu của hàm số. + Khi thì hàm số đạt được giá trị lớn nhất đồng thời bằng giá trị cực đại của hàm số. B – BÀI TẬPDẠNG 1: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠNPhương pháp: Cho hàm số y f x= ( )xác định và liên tục trên[ ]a;b .- Tính f ' x ( ), giải phương trình f ' x( )=0 tìm nghiệm trên[ ]a, b .- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2∈ [ ]a, b .- Tính các giá trị f a ,f b ,f x ,f x ( ) ( ) ( ) ( )1 2 . So sánh chúng và kết luận.Câu 1.Cho hàm số y= f x ( )liên tục và luôn nghịch biến trên[ ]a b; . Hỏi hàm số f x( )đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây ? A. x=a. B. x=b. C. 2a b x= + . D. 2b ax= − . Câu 2.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 12 2 y= − +x x+ trên đoạn [ ]1;4 làA. 13. B. 2. C. -14. D. 18. Câu 3.Giá trị lớn nhất của hàm số ( )3 3 3f x =x − x+ trên 1 3 2 − ; bằng: A. 5. B.3 . C. 4 . D.6 . Câu 4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 32 33 x y = +x − x trên đoạn [ ]0;2 .A. [ ]0;2 [ ]0;2 2 5 max ; min . 3 3 y= y= − B. [ ]0;2 [ ]0;22 max ; min 0.3 y= y= C. [ ]0;2 [ ]0;2 5max 9; min . 3 y= y = − D. [ ]0;2 [ ]0;2maxy =9; miny=0. Câu 5.Giá trị lớn nhất của hàm số 1 3 1 2 2 1 3 2 y = − x − x + x− trên đoạn 1;22 là A. 5 3 − . B. 1 6. C. 16 − . D. 13 3− Câu 6.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 2 4 y=x − x − trên đoạn 1;3 2 .A. 1 1;3 ;3 22 37 max ; min 8 8y y = − = − . B. 1 1;3 ;3 22 37max 4; min 8y y = − = − . C. 1 1;3 ;3 22 37 max ; min 4 8y y = − = − . D. 1 1;3 ;3 22 maxy 4; miny 8 = − = − . Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 3 2 5 1 3 2 y= x − x − x+ trên đoạn [−2; 2].A. [ 2;2 .] 29min 3y − = − . B. [min−2;2 .] y= − . 3 C. [ 2;2 .] 251min 24y (3) 3 Câu 8.Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3−3x2−9x+35 [−4;4]là:A. M =40;m= −41. B. M =40;m= − . 8 C. M = −41;m=40. D. M =15;m= − . 8 Câu 9.Hàm số y=x3−2x2−7x+5có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên đoạn [1;3]. Khi đó tổng m + M bằngA. 33827−. B.44627−. C. -10. D.1427−.Câu 10.Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm sốy=2x3+3x2−1trên đoạn12− −. Tính giá trị củaM m−A. – 5. B. 1. C. 4. D. 5. Câu 11.Giá trị lớn nhất của hàm số f x( )=x3+2x2– 7x+1 trên đoạn[ ]0; 2 là:A. −1. B. 1. C. 3. D. 4. Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm = ( ) 2= 3+3 2−12 +2 y f x x x x trên đoạn [−1;2]. A.[- ;]max = 1 2 y 6 . B. max−1;2y =10. C. max[-1;2] y =15. D. max[−1;2] y=11. Câu 13.Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y =x3 −3x trên đoạn 0;38. Tìm giá trị mA. m =0. B. m = −1. C. m = −2. D. m =1.Câu 14.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số = 3− 2−8 y x x x trên đoạn [1;3]. A. [1;3] maxy = −4. B. [1;3] maxy= −8. C. [1;3] maxy = −6. D. [1;3] 176max 27 y = . Câu 15.Cho hàm số y=x3−3x2+ .Gọi M và 3m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]1;3 .Tính giá trị T=M+mA. 2. B. 4. C. 3. D. 0. Câu 16.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 1 y=x − x+ trên đoạn [0 ; 2] A. [0 ; 2] maxy = và 3[0 ; 2] miny = . 1 B. [0 ; 2] maxy = và 1[0 ; 2] miny = − . 1 C. [0 ; 2] maxy = và 3[0 ; 2] miny = − . 1 D. [0 ; 2] maxy =9 và [0 ; 2] miny = − . 3 Câu 17. Trên đoạn [−1;1], hàm số 4 3 2 2 33y= − x − x − − x A. Có giá trị nhỏ nhất tại x= −1 và giá trị lớn nhất tại x=1. B. Có giá trị nhỏ nhất tại x=1 và giá trị lớn nhất tại x= −1. C. Có giá trị nhỏ nhất tại x= −1 và khơng có giá trị lớn nhất. D. Khơng có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại x=1. Câu 18. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , y=2x3+3x2−12x+ 2 [−1;2 .]Tìm tổng bình phương của M và mA. 250. B. 100. C. 509. D. 289. Câu 19.Tìm các giá trị của a để trên đoạn [−1;1]hàm sốy= −x3−3x2+ có giá trị nhỏ nhất bằng a 2A. a =6. B. a =8. C. a =2. D. a =4. Câu 20.Hàm sốy=x3+(m2+1)x+ +m1đạt GTNN bằng5trên[ ]0;1. Khi đó giá trị củamlà(4) 4 Câu 21.Cho hàm số y=x3−3x+ . Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị 1 0m > , để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D= [m+1;m+2]luôn bé hơn 3 làA. ( )0;1 . B. 1;1 .2 C. (−∞;1 \ 2 .) { }− D.( )0;2 .Câu 22.Cho hàm số y=x4+2x2− . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1[−1; 2]A. [ 1;2]miny 2 − = − . B. [ 1;2] − = . C. [ 1;2]miny 1 − = . D. [ 1;2]miny 1 − = − . Câu 23.Cho hàm số y= f x ( )có đồ thị như hình bên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( )trênđoạn [−1; 2].A. 1. B. 2. C. 5. D. 0. Câu 24.Cho hàm số y =f x( )liên tục trên đoạn 2;2− và có đồ thị trên đoạn 2;2− như sau:. . Khẳng định nào sau đây là sai? A. max2;2 f x ( )f( )2− = . B. ( )( )2;2 maxf x f 2− = − . C. min−2;2 f x ( )f( )1 = . D. ( )( )2;2 minf x f 0− = . Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số = 4−4 2+5 y x x trên đoạn [−1; 2]bằng?A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Câu 26.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 13xy x−= − trên đoạn [ ]0;2A. 1 3 − . B. -5. C. 5. D. 1 3. Câu 27.Xét hàm số y 4x 1x − = trên đoạn [ 2 ; 1]− − . Hãy chọn khẳng định đúng A. [ 2 ; 1]9max 2y− − = . B. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất. C. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất. D. [ 2 ; 1]9min 2y− − = . Câu 28.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 12 1 xy x−= + trên đoạn [ ]1;3 là: A. GTNN bằng 1; GTLN bằng 3. B. GTNN bằng 0; GTLN bằng 27 . O 1 1−2 − 2 x y2 (5) 5 C. GTNN bằng 0; GTLN bằng 1. D. GTNN bằng 27 − ; GTLN bằng 0. Câu 29.Cho hàm số 12 1xyx+= − . Chọn phương án đúng trong các phương án sau: A. [ 1;2] min 1 x y ∈ − = . B. [ ]0;1 max 2 x y ∈ = . C. [ 1;0] max 0 x y ∈ − = . D. [ ]3;52max3xy∈ = . Câu 30.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 11xyx+= − trên đoạn [ ]2;3 bằng:A. 7 2 − . B. −5 C. − 3 D. 3 4 Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 13xyx−= − trên đoạn [ ]0;2A. 1 3 − . B. − . 5 C. 5. D. 1 3. Câu 32. Kí hiệu m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 321xyx+=−trên đoạn[1;4]. Tính giá trị biểu thức d=M−m.A. d =3.B.d =4.C.d =5.D.d =2.Câu 33.Gọi M n, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 21x y f x x− = = + trên [ ]0;2 . Hãy tính tích M n . .A. 2. B. 0. C. −1. D. 1. Câu 34.Gọi Q là giá trị lớn nhất và Klà giá trị nhỏ nhất của hàm số2 11xyx+= + trên đoạn [ ]1;2 . Khi đó giá trị của biểu thức 24 27 19972 Q+ K − là: A. 3923 2 − . B. 3925 2 − . C. 3927 2 − . D. 3929 2− . Câu 35.Tìm tất cả các giá trị của tham số m đểhàm số y=x3+ (m2+1)x+ + đạt GTNN bằng m 1 5trên [ ]0;1 .A. { }5 . B.{ }3 . C.{1; 2−}. D.{ }4 .Câu 36.Giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số y mx 1x m += − trên đoạn [1;2] bằng 2− . là: A. m = −3. B. m =3. C. m =1. D. Không tồn tại. Câu 37.Trên đoạn [2;4] hàm số y mx 1 x m += − đạt giá trị lớn nhất bằng 2. Khi đó : A. 7 6 m = . B. m =1. C.m =2. D. 34m = . Câu 38.Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số( )2 11x mf xx+ −= + trên đoạn 1;2 bằng 1 A. m= . 1 B. m= . 2 C. m= . 3 D. m = . 0 Câu 39. Giá trị tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 x m m yx − + = (6) 6 A. m=1,m=2. B. 1 21, 1 21 2 2 m= + m= − . C. Khơng có giá trị m D. m= −1,m= 2 Câu 40. Tìm m để hàm số f x ( )mx 5x m+= − đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ]0;1 bằng 7.−A. m=2. B. m=0. C. m=1. D. m=5. Câu 41.Giá trị nhỏ nhất của hàm số21x myx+= − trên [−1; 0]bằng:A. 2 12 m − . B. 2 m − . C. 21 2 m − . D. m2 Câu 42.Giá trị lớn nhất của hàm số y 2mx 1 m x += − trên đoạn [ ]2;3 là 13− khi m nhận giá trị A.0. B. 1. C.−5. D. −2. Câu 43.Cho hàm số 12 y x x= + + , giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên [−1, 2]làA. 9 4 m = . B. 1 2 m = . C. m=2. D. m=0. Câu 44.Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số = ++41 y x x trên đoạn 0;4 . A. =0;4 miny 4. B. =0;424min5 y . C. = −0;4 miny 5. D. =0;4 miny 3. Câu 45.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 12 1 y x x= + + + trên đoạn [ ]1;2 bằngA. 26 5 . B. 10 3 . C. 14 3 . D. 245 . Câu 46.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 53xyx−= + trên đoạn [ ]0;2A. [ ]x 0;21min y3 ∈ = − . B. x 0;2[ ]5min y 3 ∈ = − . C. x 0;2min y∈[ ] = − . 2 D. x 0;2min y∈[ ] = − . 10 Câu 47.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 31xyx+= − trên đoạn [2; 4].A. [2;4]19min 3 y = . B. [2;4] miny = −3. C. [2;4] miny = −2. D. [2;4]miny =6. Câu 48.Giá trị lớn nhất của hàm số 2 3 31x xyx+ += + trên đoạn là: A. 132. B. 3. C.72. D. – 1.Câu 49.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số2 42 1x xyx−= + trên đoạn 0; 3 . A. min0;3 y 0 = . B. 0;33min7y = − . C. min0;3 y 4 = − . D. 0;3 miny 1 = − . Câu 50.Hàm số2 31x xyx−= + giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]0;3 là:(7) 7 Câu 51.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số2 231xxyx−+=−trên đoạn[ ]2;4là:A. [ ]2;4 [ ]2;4 11min ( ) 2; max ( )3f x=f x=. B.min ( ) 2 2;max ( ) 3[ ]2;4f x=[ ]2;4f x=.C. min ( ) 2;max ( ) 3[ ]2;4f x=[ ]2;4f x=. D.[ ]2;4 [ ]2;4 11min ( ) 2 2;max ( )3f x=f x=.Câu 51.Giá trị lớn nhất của hàm số ( )2 3 1 2 x x f x x + − = − trên đoạn −2;0 là: A. 2. B. 1. C. 1 2. D. 3 .4 Câu 52.Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y= x−x ? A. Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất. B. Có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất. C. Có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất. D. Khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Câu 53. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 3 4 2 y= − + −x lần lượt là A. –3và0. B.–3và −1. C. 0 và 2. D. –2 và 2.Câu 54.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 6− −x x+4 đạt tạix0, tìmx0? A.x0= − 10 . B.x = −0 4. C.x =0 6. D.x0 = 10. Câu 55.Giá trị lớn nhất của hàm số 2 4 y= − +x x là: A. 4. B. 0. C. −2. D. 2. Câu 56.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 2 4y= x + trên đoạn [−3;1]A. [3;1]miny 3 − = . B. min[−3;1] y= .7 C. min[−3;1] y= . 2 D. min[−3;1] y= . 0 Câu 57.Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=2x−4 6−xtrên đoạn [−3; 6]. Tổng M+m có giá trị là:A. 18. B. −6. C. − .12 D. − . 4 Câu 58.Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy= x− +1 3−x trên đoạn [1; 3] A. [1;3] maxy =2. B. [1;3] maxy = 2. C. [1;3] maxy = − 2. D. [1;3] maxy = −2. Câu 59.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 6 5y= − +x x− trên đoạn [ ]1;5 lần lượt là:A. 2 và 0. B. 4 và 0 . C. 3 và 0. D. 0 và −2. Câu 60.Cho hàm số y=5 3−x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A. 3. B. 2 C. 0. D. 5. Câu 61.Hàm số y=4 x2−2x+ +3 2x x− 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x x1 2, . Tính x x1 2. A. 2. B. 1. C. 0. D. −1. Câu 62.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=5sinx−cos 2x là: A. −6. B. −7. C. −4. D. 3. Câu 63.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . 2 cos2 4cosy= x+ x A. miny =5 (8) 8 Câu 64.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =cos2x+4cosx+1.A. min=5ℝ y. B.maxℝy=6. C.minℝy=7. D.minℝy=8.Câu 65. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2cos3 9cos2 3cos 1 2 2 y= x− x+ x+ là: A. 1. B. −24. C. −12. D. −9. Câu 66.Cho hàm số y= 3cosx−4sinx+8 với x∈ [0;2π]. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Khi đó tổng M m+ bằng bao nhiêu?A. 8 2. B. 7 3. C. 8 3. D. 16. Câu 67.Tìm giá trị lớn nhất( )cos2f x = +x x trên đoạn 0; 2π . A. π. B.0. C.2π . D. 4π . Câu 68.Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= +x 2 cosx trên đoạn0;2π A. 1; 2 4 M =π + m= . B. ; 2 2 M =π m= . C. M =1;m= . 0 D. M = 2;m= . 1 Câu 69.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3sin 4sin3y= x− x trên đoạn ;2 2π π− bằng: A. − . 1 B. 1. C. 3. D. 7. Câu 70.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là: A. B. C. D. Câu 71.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là: A. B. C. D. Câu 72. Giá trị lớn nhất của hàm số f x ( )ln xx= trên đoạn [ ]1;3 là: A. 1 e . B. e. C.ln 3 3 . D. 24, 2 . Câu 73.Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )=x(2 ln− x)trên[ ]2;3 làA. 1. B. 4 2ln 2− . C. e. D. − +2 2ln 2. Câu 74.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+ln 1 2(− x)trên[−1;0]A. [ 1;0] min 2 ln 3 x∈ − = − + . B. x∈ −min[1;0]= . 0 C. x∈ −min[ 1;0]= − . 1 D. x∈ −min[ 1;0]= +2 ln 3. Câu 75.Tính giá trị lớn nhất của hàm sốy= −x lnx trên 1;2 e .A. 1;2max 1x ey e ∈ = − . B. 1;2max 1x ey ∈ = . C. 1;2maxx ey e ∈ = . D. 1;2 1max ln 2 2x ey ∈ = + . 2sin 1sin 2xyx−=+13= maxy . 1 3= − maxy . miny= −3. 1 2=miny .2sin cos 1 sin 2 cos 3 (9) 9 Câu 76. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn là: A. và 1 B. và C. và D. và Câu 77. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [–1; 2] là: A. và B. và C. và D. và Câu 78. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2ln xy x = trên đoạn 1;e3 là n , mM e = trong đó ,m n là các số tự nhiên. Tính 2 2 .3 S =m + n A. S=135.. B. S=24.. C. S=22.. D. S=32.. Câu 79.Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm: 5 4 x+ + − ≥ .x m A. (−∞;3]. B.(−∞;3 2 . C.(3 2;+∞ .)D.(−∞;3 2).Câu 81.Cho x , y là các số thực thỏa mãn x+ =y x− +1 2y+ . Gọi M , m lần lượt là giá trị 2lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 (1)(1)8 4P=x +y + x+ y+ + − −x y. Khi đó, giá trị của M +m bằng A. 44. B. 41. C. 43. D. 42. ( )2 4lnf x =x − x [ ]1;e2 4 e − e −2 4 2 2 ln 2− e +2 4 −1 e +2 4 2 2ln2− 2 2x f(x) (x= −2).e 4 2e −e2 2e4 21e − 4e4 −e2 4e4 (10) 10 DẠNG 2: GTLN, GTNN TRÊN MỘT KHOẢNG, NỬA KHOẢNGPhương pháp: Xét khoảng hoặc nửa khoảng D - Tính f' ( )x , giải phương trình f'( )x =0 tìm nghiệm trên D.- Lập BBT cho hàm số trên D. - Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN. Câu 1.Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số y= − +x3 3x+1 A. Có giá trị nhỏ nhất là miny=3. B. Có giá trị lớn nhất là maxy= −1. C. Có giá trị nhỏ nhất là miny= −1. D. Có giá trị lớn nhất là maxy=3. Câu 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= +x 4 x trên khoảng (0; +∞ .)A. 4 . B. 2 . C. − . 2 D. − . 4 Câu 3.Hàm số 211= +y x có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ? A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1. Câu 4.Hàm số 241= +y x có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ 0 +∞ ′ y + 0 − y 0 4 0 Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng?A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4. Câu 5.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số2 32−= − xy x trên khoảng (−∞;2).A. ( ;2)max 4 −∞ y= B. (max−∞;2)y=3 C. max(−∞;2)y=1 D. (max−∞;2)y=2. Câu 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 12= − + − + y x (11) 11 A. [ 4; 2) min 5 − −y= . B. [ 4; 2) min 6 − −y= . C. [ 4; 2) min 4 − −y= . D. [ 4; 2) min 7 − −y=. Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y=2 3−x. A. ymin =0. B. ymin = −6. C. ymin = −3. D. ymin =2. Câu 8.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin3x−cos 2x+sinx+2 trên khoảng ;2 2π π− bằng: A. −1. B. 6. C. 23 27. D. 1. Câu 9.Giá trị lớn nhất của hàm số3 2 13 = −x + + y x trên khoảng ; 2 2π π− bằng: A. 3. B. 7. C. 1. D. -1. Câu 10. Tìm m để phương trình x5+x3− 1− + =x m 0 có nghiệm trên (−∞;1]. A. m>2. B. m≤ −2. C. m≥ −2. D. m<2. Câu 11.Cho hàm số f x( ) = +9 xx . Tính giá trị lớn nhất của hàm số f x ( )trên (−∞; 0)A.3. B. −6. C. −9 D. −3. Câu 12. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 4 x2+ −1 x=m có nghiệm A. ( )0;1 . B.(−∞;0]. C.(1;+∞]. D.(0;1].Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình 2 tan+ 2 = +tan m x m x có ít nhất một nghiệm thực. A. − 2<m< 2. B. − < <1 m 1. C. − 2≤ ≤m 2. D. − < <1 m 1. Câu 14.Cho x y, là hai số khơng âm thỏa mãn x+ =y 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 2 1 13 = + + − + P x x y x A. minP=5. B. min 7 3 P . C. min 17 3= P . D. min 115 3= P . Câu 15.Giá trị của m để phương trình x+ 2x2+1=m có nghiệm là: A. 2. 2≥ m B. 2. 2< m C. 2. 2≤ m D. 2. (12) 12 DẠNG 3: ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO GIẢI TỐN THỰC TẾCâu 1: Hình chữ nhật có chu vi khơng đổi là 8m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là: A. 4m2. B. 8m2 C. 16m2. D. 2m2. Câu 2: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x cm, rồi gấp tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x=2. B. x=4. C. x=6. D. x=3. Câu 3: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 24cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng cạnh bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x (cm) rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x=6. B. x=4. C. x=2. D. x=8. Câu 4: Cho hình vẽ. . Bạn An có một tấm nhơm hình chữ nhật có chiều dài 12 m ( ), chiều rộng 6 m( ). Bạn nhờ bác thợ hàn cắt ởbốn góc bốn hình vng bằng nhau và gập tấm nhơm lại (như hình trên) để được một cái hộp không nắp dùng để đựng nước. Hỏi bác thợ hàn phải cắt cạnh hình vng bằng bao nhiêu sao cho khối hộp chứa được nhiều nước nhất ? A. 24 3(m) . B. 3− 3(m). C. 3+ 3(m). D. 24− 3(m). Câu 5: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. (13) 13 Câu 6: Một trang chữ của một quyển sách tham khảo Văn học cần diện tích 2 384 cm. Biết rằng trang giấy được canh lề trái là 2 cm, lề phải là 2 cm, lềtrên 3 cm và lề dưới là 3 cm. Tìm chiều dài và chiều rộng của trang sách để trang sách có diện tích nhỏ nhất A. Chiều dài: 32 cm và chiều rộng: 12 cm. B. Chiều dài: 24 cm và chiều rộng: 16 cm. C. Chiều dài: 40 cm và chiều rộng: 20 cm. D. Chiều dài: 30 cm và chiều rộng: 20 cm. Câu 7: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày f t( )=45t2−t3 (kết quả khảo sát được trong tháng 8vừa qua). Nếu xem f t′( )là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Hỏi tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy? A. 12. B. 15. C. 20. D. 30. Câu 8: [2D1-3]Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp ( ),chiều dài gấp 2lần chiều rộng và khơng nắp, cóchiều cao là h m ( ), có thể tích là 4 33m . Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất A. x=1,5 ( )m . B. x=2( )m . C. x=1( )m . D. x=2,5( )m .Câu 9: Một chất điểm chuyển động theo phương trình 23 18 2 2 1, S= − t + t + +t trong đó t tính bằng ( )s và S tính bằng mét( )m . Thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất là A. t=5s. B. t=6s. C. t=3s. D. t=1s. Câu 10: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi cơng thức G x ( )=0, 024x2(30−x), trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượngthuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất A. 20mg. B. 0,5 mg. C. 2,8 mg. D. 15mg. Câu 11: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km . Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km , và 130000 USD mỗi km để xây dưới nước. B′ là điểm trên bờ biển sao cho BB′ vng góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B′ là 9 km . Vị trí C trên đoạn AB′ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng bao nhiêu ? Trên không, vài con cị về tổ trễ đập nhanh đơi cánh trắng phau rồi khuất trong lùm cây rậm lá. Những đám mây trắng đá ngả màu ngà, bầu trời xanh cũng đã ngả sang màu sậm đưa đến màu đen. Đâu đó có tiếng chim lẻ bạn, tiếng dơi muỗi lào xào lẫn trong tiếng gió nhẹ lay cành. (14) 14 A. 6,5 km B. 6 km C. 0 km D. 9 km Câu 12: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiều rộng 8 cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho góc ở đỉnh của nó chạm với đáy như hình vẽ. Khi độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó là bao nhiêu. A. 6 15 6 3+ . B. 6 15 6 3− . C. 8 2. D. 6 3. Câu 13: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km . Khoảng cách từ B đến A là 4 . Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD , còn đặt dưới đất mất 3000 USD . Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất? A. 15 km 4 . B. 13km 4 . C. 10 km 4 . D. 19 km4 . (15) 15 A. 72km kể từ P B. 42km kể từ Q C. 48km kể từ P D. tại P Câu 15: Người ta cần xây dựng mương nước có dạng như hình vẽ, với diện tích tiết diện ngang của mương là 8m . Gọi 2 l là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này. Để l đạt giá trị nhỏ nhất thì các kích thước của mương là A. 4m và 1m. B. 2m và 1m. C. 4m và 2m. D. 3m và 2m. Câu 16: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 3 m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng và khơng có nắp. Hỏi chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau A. 3108 ; 108m 3 m . B. 6 ;3m m . C. 3 ;12m m . D. 2 ; 27m m . Câu 17: Cho một tấm gỗ hình vng cạnh 200cm. Người ta cắt một tấm gỗ có hình một tam giác (0< <x 60cm)là một cạnh góc vng của tam giác ABC và tổng độ dài cạnh góc vng AB với cạnh huyền BC bằng 120cm.Tìm x để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. A. x=40cm. B. x=50cm. C. x=30cm. D. x=20cm. Câu 18: Cho một tấm bìa hình vng cạnh 5 dm . Để làm một mơ hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vng rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Để mơ hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mơ hình là: A. 3 2 2 . B. 5 2. C. 5 2 2 . D. 2 2. Câu 19: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng O sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác (16) 16 A. AO=2, 4m. B. AO=2m. C. AO=2, 6m. D. AO=3m. Câu 20: Muốn làm một bồn chứa 1000 lít hình trụ có nắp đậy, để ít tốn vật liệu nhất thì chiều cao ( )dmh của bồn phải gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 10,84. B. 10,83. C. 10,85. D. 10,86. Câu 21: Khi nuôi cá trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của ( )=480 20− n (gam). Hỏiphải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất. A. n=8. B. n=12. C. n=20. D. n=24. Câu 22: Một cơng ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người th và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Cơng ty đã tìm ra phương án cho thuê đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất cơng ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu? A. 115 250 000. B. 101 250 000. C. 100 000 000. D. 100 250 000. Câu 23: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3+2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày) A. 6. B. 5. C. 4. D. 7. Câu 24: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 3 m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng và khơng có nắp. Hỏi chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất. Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày thành bể và đáy bể là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau. A. 9 m . B. 3 m. C. 2 m . D. 6 m. Câu 25: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là k m3 (17) 17 là 400 nghìn đồng. Hỏi ông An cần chọn bán kính đáy của bể là bao nhiêu để chi phí làm bể là ít nhất? (Biết bề dày vỏ inốc không đáng kể) A. 3 k π. B. 32 k π. C. 32 k π. D. 3 2k . Câu 26: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3+2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày) A. 6. B. 5. C. 4. D. 7. Câu 27: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400 km ( ). Vận tốc dòng nước là()10 km/h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là (km/h)v thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức ( ) 3 E v =cv t, trong đó c là hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 12 (km/h) . B. 15 (km/h) . C. 18 (km/h) . D. 20 (km/h) . Câu 28: Từ một khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vng và bốn miếng phụ được tơ màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng xcủa miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. A. 3 34 17 2 ( )2x= − cm . B. 3 34 19 2 ( )2 x= − cm . C. 5 34 15 2 ( )2x= − cm . D. 5 34 13 2 ( )2 x= − cm . Câu 29: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s mét ()đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t(phút), hàm số đó là2 36 – s= t t . Thời điểm t (giây)mà tại đó vận tốc v m s(/)của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:A. t=4s. B. t=2s. C. t=6s. D. t=8s. Câu 30: Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sơng (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng thì chi phí ngun vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được. A. 6250 m2 B. 1250 m2 C. 3125 m2. D. 50 m2 (18) 18 nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m2 đất khi bán là 1500000 VN đồng. A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. Câu 32: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH=0,5m là: A. Xấp xỉ 5,602 B. Xấp xỉ 6,5902 C. Xấp xỉ 5,4902 D. Xấp xỉ 5,5902 Câu 33: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sơng như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 596, 5m B. 671, 4m C. 779, 8m D. 741,2m Câu 34: Một cơng ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì cơng ty đó phải cho th mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000. B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 Câu 35: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. Câu 36: Có một tấm gỗ hình vng cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vng, có tổng của một cạnh góc vng và cạnh huyền bằng hằng số từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Câu 37: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường trịn bán kính , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường trịn. A. B. C. D. Câu 38: Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sơng để tấn cơng một mục tiêu ở phía bờ bên kia sơng. Biết rằng lịng sơng rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dịng sơng là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay. A. 4003B.4033C.1003D.2003120cm 40cm 40 3cm 80cm 40 2cm 10cm 2 (19) 19 Câu 39: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình trịn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi cơng thức C ksin2 rα = (α là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng). A. h 3a 2 = B. h a 2 2 = C. h a 2 = D. h a 3 2= Câu 40: Nhà Nam có một chiếc bàn trịn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi cơng thức ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m Câu 41: Nhà của 3 bạn A, B, C nằm ở 3 vị trí tạo thành một tam giác vng tại B ( như hình vẽ), AB = 10 km; BC = 25 km và 3 bạn tổ chức họp mặt ở nhà bạn C.Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A, B di chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với tốc độ 50km/h. Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất ? A. 5 km B. 7,5 km C. 10 km D. 12,5 km Câu 42: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vng. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất? 2 2sin C c lα = αm l C M (20) 20 A. 18 9 4 3+ (m) B. 36 3 4+ 3(m) C. 12 4+ 3(m) D. 18 34+ 3 (m) Câu 43: Một khách sạn có 50 phịng. Hiện tại mỗi phịng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì tồn bộ phịng được th hết. Biết rằng cứ mỗi lần tăng giá thêm 20 ngàn đồng thì có thêm 2 phòng trống. Giám đốc phải chọn giá phòng mới là bao nhiêu để thu nhập của khách sạn trong ngày là lớn nhất. A. 480 ngàn. B. 50 ngàn. C. 450 ngàn. D. 80 ngàn. Câu 44: Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện ( )=480 20n− (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 Câu 45: Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay ( )0;0 đến điểmB(0;100)với vận tốc 5 /m s. Con còn lại bay trênquỹ đạo đường thẳng từC (60;80)vềA với vận tốc10 /m s. Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cáchngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu? (21) 21 C – HƯỚNG DẪN GIẢIDẠNG 1: GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠNPhương pháp: Cho hàm số y f x= ( )xác định và liên tục trên[ ]a;b .- Tính f ' x ( ), giải phương trình f ' x( )=0 tìm nghiệm trên[ ]a, b .- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x , x1 2∈a, b . - Tính các giá trị f a ,f b ,f x ,f x ( ) ( ) ( ) ( )1 2 . So sánh chúng và kết luận.Câu 1.Cho hàm số y= f x ( )liên tục và luôn nghịch biến trên[ ]a b; . Hỏi hàm số f x( )đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào sau đây ? A. x=a. B. x=b. C. 2a b x= + . D. 2b ax= − . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có:y= f x( ) liên tục và luôn nghịch biến trên [ ]a b; ⇒ ∀ ∈x[ ]a b; thì ( )f b ≤ f x( )≤ f a( ). Suy ra hàm số y= f x( ) đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=a.Câu 2.Giá trị nhỏ nhất của hàm sốy= − +x3 12x+2trên đoạn [ ]1;4 làA. 13. B. 2. C. -14. D. 18. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Ta có ′ = −3 2+12 y x . Cho 0 3 2 12 0 2 2= −′ = ⇔ − + = ⇔ = x y x x . Do x∈ [1; 4]nên x=2.( )1 =13,( )2 =18,( )4 = −14y y y . Vậy ( )[1;4] miny= y 4 = −14. Câu 3.Giá trị lớn nhất của hàm số ( )3 3 3f x =x − x+ trên 1 3 2 − ; bằng: A. 5. B.3 . C. 4 . D.6 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có 3 2 3 y′ = x − , 0 11xy x=′ = ⇔ = − ( )1 1y = ; y − ( )1 =5; 3 152 8 y = . Vậy 1;3 ( )25. Max f x − = Câu 4.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 32 33 x y= +x − x trên đoạn [ ]0;2 .A. [ ]0;2 [ ]0;2 2 5 max ; min . 3 3 y= y= − B. [ ]0;2 [ ]0;22 max ; min 0.3 y= y= C. [ ]0;2 [ ]0;2 5max 9; min . 3 y= y= − D. [ ]0;2 [ ]0;2maxy=9; miny =0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. (22) 22 2 2 3 y′ = x + x− , 0 1 3xyx=′ = ⇔ = − ⇒ x =1 (do x∈ [ ]0;2 ).( )0 0y = , ( )1 53 y = − , ( )2 23 y = . Vậy [ ]0;2 2max 3y= , [ ]0;2 5min 3y = − . Câu 5.Giá trị lớn nhất của hàm số 1 3 1 2 2 1 3 2 y = − x − x + x− trên đoạn 1;22 là A. 5 3 − . B. 1 6. C. 16 − . D. 13 3− Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có: 2 2 y′ = − − +x x ; 0 1 2 y′ = ⇔ = ∨ = − (loại). x x ( )( )1 1; 1 1; 2 5 2 6 6 3 y = − y = y = − ; Vậy ( )1;221max 16y y = = . Câu 6.Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 2 4 y=x − x − trên đoạn 1;32 .A. 1 1;3 ;3 22 37 max ; min 8 8y y = − = − . B. 1 1;3 ;3 22 37max 4; min 8y y = − = − . C. 1 1;3 ;3 22 37 max ; min 4 8y y = − = − . D. 1 1;3 ;3 22 maxy 4; miny 8 = − = − . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.Hàm số 3 3 2 4 y=x − x − liên tục trên đoạn 1;3 2 . Ta có 3 2 6 y′ = x − x 12 ;32010 ;32xyx = ∈ ′⇒ = ⇔ = ∉ . Do y ( )2 = −8; 1 382 7 y = − ; y ( )3 = −4 nên 1;3 1;322maxy 4; miny 8 = − = − . Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 3 3 2 5 1 3 2 y= x − x − x+ trên đoạn [−2;2].A. [ 2;2 .] 29min 3y − = − . B. [min−2;2 .] y= − . 3 C. [ 2;2 .] 251min 24y − = − . D. [ 2;2 .]1min 3y − = − . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hàm số 2 3 3 2 5 1 3 2 (23) 23 Ta có 2 2 3 5 y′ = x − x− [][]1 2; 2 0 5 2; 22 xy x = − ∈ − ′ ⇒ = ⇔ = ∉ − . Do ( )1 263y − = ; ( )2 293y = − ; ( )2 13y − = − nên [ 2;2 .] 29min 3y − = − . Câu 8.Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x3−3x2−9x+35 [−4;4]là:A. M =40;m= − . 41 B. M =40;m= − . 8 C. M = −41;m=40. D. M =15;m= − . 8 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hàm số liên tục trên đoạn [−4;4]2 3 6 9 y′ = x − x− . y′ =0⇒x2−2x− =3 0 31xx =⇒ = − Ta có y − ( )4 = −41; y( )4 =15; y −( )1 =40; y( )3 =8Vậy [ 4;4] max 40 M y − = = và [ 4;4] min 41 m y − = = − . Câu 9.Hàm số 3 2 2 7 5 y=x − x − x+ có giá trị nhỏ nhất là m và giá trị lớn nhất là M trên đoạn [1;3]. Khi đó tổng m + M bằng A. 33827−. B.44627−. C. -10. D.1427−.Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. 3 2 2 7 5 y=x − x − x+ Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [1;3]. 2 ' 3 4 7 y = x − x− ' 0 y = ⇔1( )7( )3xlxn= − =(1)3y= −,y(3)= −7,( )7257327y=−⇒25727m=−;M = −3⇒33827m+M= −.Câu 10.Gọi m là giá trị nhỏ nhất và M là giá trị lớn nhất của hàm sốy=2x3+3x2−1trên đoạn12;2− −. Tính giá trị củaM m−A. – 5. B. 1. C. 4. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có : ==+= ⇔ = − ∈ − −2 0' 66 ; ' 012;12xyxxyx( )2 5 ;( )1 0 ; 1 12 2 y − = − y − = y− = − Khi do : M =0,m= − ⇒5 M− =m 5. (24) 24 A. −1. B. 1. C. 3. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Xét hàm số ( )= 3+2 2– 7 +1f x x x x Ta có: '( ) 3= 2+4 - 7 f x x x . 2 1( ) '( ) 0 3 4 - 7 0 7 ( )3= = ⇔ + = ⇔ − = x n f x x x x l (0) 1, (2) 3, (1)f = f = f = −3. Vậy: [0;2] max ( ) 3.f x = Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất của hàm = ( ) 2= 3+3 2−12 +2 y f x x x x trên đoạn [−1; 2]. A.[- ;]max = 1 2 y 6 . B. max−1;2y =10. C. max[-1;2] y=15. D. max[−1;2] y=11. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−1;2]. 2( ) 6 6 12 ′ = + − f x x x . 2 ( ) 0 6 6 12 0 ′ = ⇔ + − = f x x x ⇔ = ∈ −x 1 [1;2]hoặc x= − ∉ −2[1;2].( )− =1 15f ; f ( )2 =6; f( )1 = −5. Vậy [ 1;2] ( )max 1 15 − y= f − = . Câu 13.Gọi m là giá trị nhỏ nhất của hàm số 33y =x − x trên đoạn 0;38. Tìm giá trị m A. m =0. B. m = −1. C. m = −2. D. m =1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.2 ' 3 3y = x − [][]1 0;38' 0 1 0;38x y x = ∈= ⇔ = − ∉ . ( )0 0;y = y ( )1 = −2;y( )38 =54758.Vậy m = −2 Câu 14.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số = 3− 2−8 y x x x trên đoạn [1;3]. A. [1;3] maxy = −4. B. [1;3] maxy= −8. C. [1;3] maxy = −6. D. [1;3] 176max27y =.Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Hàm số xác định và liên tục trên [1;3] . Ta có ′ =3 2−2 −8 y x x . Cho 2 2 0 3 2 8 0 4 3=′ = ⇔ − − = ⇔ = − x y x x x . Do x∈[1;3]nên x=2. ( )1 = −8,( )2 = −12,( )3 = −6y y y . Vậy ( )[1;3] maxy= y 3 = −6. Câu 15.Cho hàm số y=x3−3x2+ .Gọi M và 3m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]1;3 .Tính giá trị T =M+mA. 2. B. 4. C. 3. D. 0. (25) 25 Chọn đáp án A. Ta có : y′ =3x2−6x. Khi đó 0 02xy x=′ = ⇔ = Xét x ∈ [ ]1;3 : ta có x =0 (loại ); x =2( nhận).Ta có : y ( )1 =1; y( )2 = −1; y( )3 =3.Suy ra M =3;m= − . Do đó : 1 T =2. Câu 16.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 3 1 y=x − x+ trên đoạn [0 ; 2] A. [0 ; 2] maxy = và 3[0 ; 2] miny = . 1 B. [0 ; 2] maxy = và 1[0 ; 2] miny = − . 1 C. [0 ; 2] maxy = và 3[0 ; 2] miny = − . 1 D. [0 ; 2] maxy =9 và [0 ; 2] miny = − . 3 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.TXĐ: D =ℝ. Ta có 2 3 3 y′ = x − , y′ =0 ⇔3x2− =3 0 11 xx = −⇔ = . Xét trên đoạn [0 ; 2] ta chỉ nhận x =1. ( )0 =1, y( )2 =3, y( )1 = −1.Vậy ta có [ ]0;2 maxy = và 3[ ]0;2 miny = − . 1 Câu 17. Trên đoạn [−1;1], hàm số 4 3 2 2 33y= − x − x − − x A. Có giá trị nhỏ nhất tại x= −1 và giá trị lớn nhất tại x=1. B. Có giá trị nhỏ nhất tại x=1 và giá trị lớn nhất tại x= −1. C. Có giá trị nhỏ nhất tại x= −1 và khơng có giá trị lớn nhất. D. Khơng có giá trị nhỏ nhất và có giá trị lớn nhất tại x=1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Hàm số liên tục trên [−1;1 .]Ta có 4 2 4 1.y′ = − x − x− 0 4 2 4 1 0 1.2y′ = ⇔ − x − x− = ⇔ = −x Vậy ( )1 223y = − , ( )1 83 y − = − , 1 17. 2 6 y− = − Câu 18. Gọi M m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số , y=2x3+3x2−12x+ 2 [−1;2 .]Tìm tổng bình phương của M và mA. 250. B. 100. C. 509. D. 289. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−1;2]. 2' 6 6 12 2 1(N) ' 0 6 6 12 2(L) x y x x x = = ⇔ + − ⇔ = − . (1) 5; ( 1) 15; (2) 6 y = − y − = y = . Vậy: 2 2 ( 5)2 152 250 (26) 26 Câu 19.Tìm các giá trị của a để trên đoạn [−1;1]hàm sốy= −x3−3x2+ có giá trị nhỏ nhất bằng a 2A. a =6. B. a =8. C. a =2. D. a =4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−1;1]. Ta có: ' 3 2 6y = − x − x. 2 0(N) ' 0 3 6 2(L) x y x x x = = ⇔ − − ⇔ = − . (1) 4 y = − + , ( 1)a y − = − + , (0) a2 a y = . Trên đoạn [−1;1]thì giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2. Suy ra miny= y(1)⇔ − + = ⇔ = . 4 a 2 a 6Câu 20.Hàm số 3(21)1y=x+m+x+ +mđạt GTNN bằng5trên[ ]0;1. Khi đó giá trị củamlàA. 5. B. 3. C. 1. D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có 32 21 0y′ =x+m+ >với mọix ∈[ ]0;1nên hàm số luôn đồng biến trên[ ]0;1 .Vì hàm số đã cho là hàm đa thức, liên tục trên [ ]0;1nên[ ]0;1 ( )min01.∈ == +x yymTa cho m+ = ⇔1 5m=4.Vậy m =4thỏa mãn.Câu 21.Cho hàm số y=x3−3x+ . Tìm tìm tập hợp tất cả giá trị 1 0m > , để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D= [m+1;m+2]luôn bé hơn 3 làA. ( )0;1 . B. 1;1 .2 C. (−∞;1 \ 2 .) { }− D.( )0;2 .Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có : ' 3 2 3. ' 0 11 x y x y x = = − = ⇔ = − . Hàm số đồng biến trên khoảng (1;+∞).Trên D= [m+1;m+2], với m> , ta có : 0[ ] ()()3 1; 2 1 3 1 1 mMin y+ m+ = m+ − m+ + Ycbt [ ] ()(){2 3 2 1; 2 1 3 3 4 0 1 2 0 2 m m m Min y m m m m m + + < ⇔ < ⇔ + − < ⇔ − + < ⇔ ≠ − ( )0;1 .Câu 22.Cho hàm số 4 2 2 1y=x + x − . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [−1;2]A. [ 1;2]miny 2 − = − . B. [ 1;2]miny 2 − = . C. [ 1;2]miny 1 − = . D. [ 1;2]miny 1 − = − . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.Ta có : +) ' 4 3 4 y = x + x, y' 0= ⇔4x3+4x= ⇔ = 0 x 0 ( )0 = −1, y −( )1 =2, y( )2 =23Vậy [ 1;2]miny 1 −= − Câu 23.Cho hàm số y= f x ( )có đồ thị như hình bên. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( )trên(27) 27 A. 1. B. 2. C. 5. D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Trên đoạn [−1; 2], giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5tại x =2.Câu 24.Cho hàm số y =f x( )liên tục trên đoạn 2;2− và có đồ thị trên đoạn 2;2− như sau:.. Khẳng định nào sau đây là sai? A. max2;2 f x ( )f( )2− = . B. ( )( )2;2 maxf x f 2− = − . C. min2;2 f x ( )f( )1− = . D. ( )( )2;2 minf x f 0 = . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. ( )( )2;2 minf x f 1− = ± Câu 25. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x4−4x2+5 trên đoạn [−1; 2]bằng?A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. 4 4 2 5 = − + y x x suy ra / 4 3 8 y = x − x. Ta có / 0 02 xy x == ⇔ = ± . ( )1 2y − = , y ( )0 =5, y( )2 = , 1 y( )2 =5. Vậy GTNN là 1. Câu 26.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 13xy x−= − trên đoạn [ ]0;2A. 1 3 − . B. -5. C. 5. D. 1 3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. ()28 0, 3. 3 y x x− ′ = < ∀ ≠ − [0; 2] ( )103Max y y ⇒ = = . Câu 27.Xét hàm số y 4x 1x − = trên đoạn [ 2 ; 1]− − . Hãy chọn khẳng định đúng O 1 1−2 − 2 x y (28) 28 A. [ 2 ; 1]9max 2y− − = . B. Hàm số khơng có giá trị nhỏ nhất. C. Hàm số khơng có giá trị lớn nhất. D. [ 2 ; 1]9min 2 y − −= . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. { }. Ta có y 12 0x ′ = > , ∀ ≠x 0. Hàm số đồng biến trên [− −2; 1]và( )2 92y − = , y ( )− =1 5. Vậy[ 2; 1]9min 2y− − = . Câu 28.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 12 1 xy x−= + trên đoạn [ ]1;3 là: A. GTNN bằng 1; GTLN bằng 3. B. GTNN bằng 0; GTLN bằng 27 . C. GTNN bằng 0; GTLN bằng 1. D. GTNN bằng 2 7 − ; GTLN bằng 0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. ()23 0, 1 22 1 y x x ′ = > ∀ ≠ − + ( )1 0,( )3 27y = y = .Vậy GTNN bằng 0; GTLN bằng 27 . Câu 29.Cho hàm số 12 1 xy x+= − . Chọn phương án đúng trong các phương án sau: A. [ 1;2] min 1 x y ∈ − = . B. [ ]0;1 max 2 x y ∈ = . C. [ 1;0] max 0 x y ∈ − = . D. [ ]3;52max 3 x y∈ = . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Hàm số không liên tục trên đoạn [−1;2]⇒ Loại đáp án A.Hàm số không liên tục trên đoạn [ ]0;1 ⇒ Loại đáp án B.Ta có ()2302 1y x − , 12x ∀ ≠ và ( )[ 1;0] maxy y 1 0− = − = . Câu 30.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 11 xy x+= − trên đoạn [ ]2;3 bằng:A. 7 2 − . B. −5 C. − 3 D. 3 4 Hướng dẫn giải: (29) 29 + ()23 ' 0 1 y x D x = > ∀ ∈ ⇒ − hàm số đồng biến trên các khoảng xác định [ ][ ]2;3 ( )2;3 ⇒Min y= y 2 = − 5.Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3 13xy x−= − trên đoạn [ ]0; 2A. 1 3 − . B. − . 5 C. 5 . D. 1 3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. ()283y x−′ = − ( )0 13y = , y ( )2 = −5Suy ra [ ]0;2 maxy= − . 5 Câu 32. Kí hiệu m M,lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số321xyx+=−trên đoạn[1;4]. Tính giá trị biểu thức d=M−m.A. d =3.B.d =4.C.d =5.D.d =2.Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. ()2710221yxx−′ =< ∀ ≠−. Suy ra hàm nghịch biến trên từng khoảng xác định, do đó hàm sốnghịch biến trên đoạn [1;4]. Vậy m=y( )4=1;M=y( )1= ⇒ =4dM− = − =m4 1 3.Câu 33.Gọi M n, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 21x y f x x− = = + trên [ ]0;2 . Hãy tính tích M n . .A. 2. B. 0. C. −1. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Hàm số f x ( )xác định và liên tục trên[ ]0;2 .( )()2[ ]3 0 0;2 1 f x x x ′ = > ∀ ∈ + . ⇒ f x ( )đồng biến trên[ ]0;2[ ]0;2 ( )( )max 2 0 M f x f ⇒ = = = , [ ]0;2 ( )( )min 0 2 m= f x = f = − . Vậy M n =. 0 (30) 30 Câu 34.Gọi Qlà giá trị lớn nhất và K là giá trị nhỏ nhất của hàm số2 11xy x+= + trên đoạn [ ]1;2 . Khi đó giá trị của biểu thức 24 27 19972 Q+ K − là: A. 3923 2 − . B. 3925 2 − . C. 3927 2 − . D. 3929 2− . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.2 2 1 22 1 ' 0 . ( 1) 1 2 x x x y x x = − + = = ⇔ + = − − ' y đồng biến trên [1; 2] nên (1) 1.5(2) 3 K y Q y = = = = Suy ra 242719973927.22Q+K−−=Câu 35.Tìm tất cả các giá trị của tham số m đểhàm số y=x3+ (m2+1)x+ + đạt GTNN bằng m 1 5trên [ ]0;1 .A. { }5 . B.{ }3 . C.{1; 2−}. D.{ }4 .Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. ()2 2 3 1 0, y′ = x + m + > ∀ ∈ ℝ . x [ ]0;1 .[ ]0;1 maxy =5 khi x =1. Thay x=1,y= và hàm số ta được 5 m=1;m= − . 2 Câu 36.Giá trị của tham số thực m để giá trị lớn nhất của hàm số y mx 1x m += − trên đoạn [1;2] bằng 2− . là: A. m = −3. B. m =3. C. m =1. D. Không tồn tại. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. { }m và()2 21 0,m y x D x m− − ′ = < ∀ ∈ − . Do đó giá trị lớn nhất của hàm số y mx 1x m += − trên đoạn [1; 2] bằng 2− khi và chỉ khi ( )[ ]1 1 2 2 31 1; 2 1 2 my mm m m m + = − = − ⇔ − ⇔ = ∉ < ∨ > Câu 37.Trên đoạn [2;4] hàm số y mx 1 x m += − đạt giá trị lớn nhất bằng 2. Khi đó : A. 7 6 m = . B. m =1. C.m =2. D. 34m = . Hướng dẫn giải: (31) 31 Ta có: ()()()2 2 2 11'm xmmxm0yxmxm−−−−−==<−−với mọix≠m.Vậy hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. Do đó trên đoạn [ ]2;4 hàm số nghịch biến. Suy raf( )2>f( )4.Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ ]2;4 là( )2 2 12mf m+= − . 2 1 3 2 2 1 4 2 2 4 m m m m m+ ⇒ = ⇔ + = − ⇔ = − . Lưu ý. Nếu m ∈( )2;4thì hàm số khơng có giá trị lớn nhất.Câu 38.Tìm tất cả giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số( )2 11 x m f x x + − = + trên đoạn 1;2 bằng 1 A. m = . 1 B. m = . 2 C. m = . 3 D. m = . 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. ( )23' ( 1)mf x x − + =+ Nếu − + >m 3 0⇔m<3 thì hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó, do đóGTNN của hàm số trên đoạn 1;2 là 1 (1) 1 1 3 2 f = + = ⇔m = < Nếu − + < ⇔m 3 0 m>3 thì hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó, do đóGTNN của hàm số trên đoạn 1;2 là 3 (2) 1 0 3 3m f = + = ⇔m= < Vậy m= 1 Câu 39. Giá trị tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 x m m yx − + = + trên đoạn [ ]0;1 bằng −2 là:A. m=1,m=2. B. 1 21, 1 21 2 2 m= + m= − . C. Khơng có giá trị m D. m= −1,m= 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. { }−1 .+ ()()()22 2 2 2 2 1 3 1 1 3 2. 1 2 4 4 2 4 ' 0 1 1 1 m m m m m y x D x x x − + − + + − + = = = > ∀ ∈ ⇒ + + + hàm số đồng biến trên các khoảng xác định ⇒ hàm số đồng biến trên [ ]0;1[ ] ( )20;1 0 . Min y y m m ⇒ = = − + + Theo yêu cầu đề bài ta có: [ ] 2 2 0;1 1 2 2 2 0 . 2m Min y m m m m m = Câu 40. Tìm m để hàm số f x ( )mx 5x m+= − đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ ]0;1 bằng 7.−A. m =2. B. m =0. C. m =1. D. m =5. Hướng dẫn giải: (32) 32 ( )()()2'2 25 ( ) ( ) 5 5 0 . mx m x m mx m f x f x x m x m x m x m + − − − − − = ⇒ = = < ∀ ≠ − − − Nên giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ]0;1 là5(1)72.1mfmm+== − ⇔=−Câu 41.Giá trị nhỏ nhất của hàm số21x myx+= − trên [−1; 0]bằng:A. 2 1 2 m − . B. 2 m − . C. 21 2 m − . D. m2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.Hàm số 21x myx+= − có ()221 ' 0 1 1− − = < ∀ ≠ − m y x x nên hàm số nghịch biến trên [−1; 0].Vậy: 2 [ 1;0] min ( ) (0) .− f x = f = −m Câu 42.Giá trị lớn nhất của hàm số y 2mx 1 m x += − trên đoạn [ ]2;3 là 13− khi m nhận giá trị A.0. B. 1. C.−5. D. −2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. ()22 0,12my mm x′ >−+= ∀ ⇒ hàm số đồng biến trên [ ]2;3⇒ [ ]2;3 ( )6 1max 33my ym+= =− 6 1 1 03 3mmm+⇒ = − ⇒ =− . Câu 43.Cho hàm số 12 y x x= + + , giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên [−1, 2]làA. 9 4 m= . B. 1 2 m= . C. m =2. D. m =0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.Xét hàm số 1 2 y x x= + + trên [−1, 2], ta có()()()22 22 1112 2xyx x+ −′ = − =+ + .2 3 1, 2 0 2 1 0 1 1, 2xy xx= − ∉ −′ = ⇔ + − = ⇔ = − ∉ − Mà y − ( )1 =0 và( )2 94y = . Do đó [ 1,2]miny 0 − = . Vậy m =0. Câu 44.Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số = ++41 y x x trên đoạn 0;4 . A. =0;4 miny 4. B. =0;424min5 y . C. = −0;4 miny 5. D. =0;4 miny 3. Hướng dẫn giải: (33) 33 = ++41y x x ()()()()− + ′ ⇒ = − = + 2 + 2 1 3411 1x xyx x. = − ∉ ′ = ⇔ = ∈ 3 0;401 0;4xyx . ( )0 =4y , y ( )1 =3,( )4 = 245y . Vậy =0;4miny 3. Câu 45.Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 1 12 1 y x x= + + + trên đoạn [ ]1;2 bằngA. 26 5 . B. 10 3 . C. 14 3 . D. 245 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.Hàm số 2 1 1 2 1 y x x= + + + liên tục trên đoạn [ ]1;2 .Ta có ()()[ ][ ]220 1;222 0 2 1 1 1 1; 22 1 x y y x xx = ∉′= − ⇒ ′= ⇔ + = ⇔ = − ∉+ . Do ( )1 103y = ; ( )2 265y = nên[ ]1;210min 3y = . Câu 46.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 53xyx−= + trên đoạn [ ]0;2A. [ ]x 0;21min y3 ∈ = − . B. x 0;2[ ]5min y 3 ∈ = − . C. x 0;2min y∈[ ] = − . 2 D. x 0;2min y∈[ ] = − . 10 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có: ()()()()2 2 2 2 2 3 5 6 5 3 3 x x x x x y x x + − − + + ′ = = + + Suy ra : y′ = 0 ⇔x2+6x+ = 5 0 15xx= −⇔ = − Do đó ta có: f − ( )1 = −2,( )0 53f = − , f − ( )5 = −10,( )2 15f = − Vậy [ ] x 0;2min y∈ = − . 10 Câu 47.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 31xyx+= − trên đoạn [2; 4].A. [2;4]19min 3 y = . B. [2;4] miny = −3. C. [2;4] miny = −2. D. [2;4]miny =6. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có : ()()()()2 2 2 2 2 1 3 2 3 1 1 x x x x x y x x − − + − − ′ = = (34) 34 [ ][ ]1 2;403 2;4xyx= − ∉′ = ⇔ = ∈ .( )2 7;( )4 19;( )3 63y = y = y = . [2;4]miny 6 ⇒ = . Câu 48.Giá trị lớn nhất của hàm số 2 3 31x xyx+ += + trên đoạn 1 ;12− là: A. 132. B. 3. C.72. D. – 1.Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.Ta có ()2221+′ =+x xyx . Cho ()22020 021=+′ = ⇔ = ⇔ = −+ xx xyx x . Do 1;12 ∈ − x nên x=0. ( )( )1 7 7 0 3, 1 2 2, 2 − = = = y y y . Vậy 1;127max2− =y . Câu 49.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số2 42 1x xyx−= + trên đoạn 0; 3 . A. min0;3 y 0 = . B. 0;33min7y = − . C. min0;3 y 4 = − . D. 0;3 miny 1 = − . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. ()2 2 2 2 4 2 1x xyx+ −′ = + ; ()( )2212 2 4 0 022 1xx xyx Lx =+ − ′ = ⇔ = ⇔ = −+ ( )0 0y = ; y ( )1 = −1;( )3 37y =− Câu 50.Hàm số2 31x xyx−= + giá trị lớn nhất trên đoạn [ ]0;3 là:A. 1. B. 3. C. 2 . D. 0. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. 2 31x xyx−=+Ta có: ()()2 22 21( )2 3 2 3 ' . ' 0 0 3( ) 1 1 x n x x x x y yx lx x=+ − + −= = ⇔ = ⇔ = −+ + (0)y =0, (3)y =0, (1)y = − 1.Vậy: [0;3] maxy= . 0 Câu 51.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số2 231xxyx−+=−trên đoạn[ ]2;4là:A. [ ]2;4 [ ]2;4 11min ( ) 2;max ( )3f x=f x=. B.min ( ) 2 2;max ( ) 3[ ]2;4f x=[ ]2;4f x=.C. min ( ) 2;max ( ) 3[ ]2;4f x=[ ]2;4f x=. D.[ ]2;4 [ ]2;4 11min ( ) 2 2;max ( )3(35) 35 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. ()2 2 2 1 2 2 3 2 1 0 . 1 1 1 2 = + − + ′ − − = ⇒ = = ⇔ − − = − x x x x x y y x x x ( )2 3;( )4 11;(1 2)2 2.3 = = + = f f f [ ]2;4 [ ]2;4 11min ( ) 2 2; max ( ) . 3 = = f x f x Câu 51.Giá trị lớn nhất của hàm số ( )2 3 1 2 x x f x x + − = − trên đoạn −2;0 là: A. 2. B. 1. C. 1 2. D. 3 .4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. ()()()()()2 2 2 2 2 3 2 3 1 4 5 2 2 x x x x x x y x x + − − + − − − ′ = = − − ()10 5xy x loai = −= ⇔ = ( )2 3,( )0 1,( )1 14 2 y − = y = y − = . Vậy [ 2;0]Maxy =1 x∈ − . Câu 52.Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2y= x−x ? A. Có giá trị lớn nhất và có giá trị nhỏ nhất. B. Có giá trị nhỏ nhất và khơng có giá trị lớn nhất. C. Có giá trị lớn nhất và khơng có giá trị nhỏ nhất. D. Khơng có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định D = [ ]0;1 .Hàm số đã cho liên tục trên [ ]0;1 nên ln có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên[ ]0;1 . Vậy[ 4; 2)miny 7 − −= . Câu 53. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y= − +3 4−x2 lần lượt là A. –3và0. B.–3và −1. C. 0 và 2. D. –2 và 2.Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. − ≤ ≤2x2.2 ' 2 3 4 0 0. 4(0) 1 (2) ( 2) 3. x y x y x xf f f − = − + − ⇒ = = ⇔ = −= − = − = − Câu 54.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 6− −x x+4 đạt tạix0, tìmx0? (36) 36 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B.TXD: − ≤ ≤4 x 6. Ta có 1 1 0, x (4;6)2 6 2 4 y x x − ′ = − < ∀ ∈ − − + , do đó hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x =0 6. Câu 55.Giá trị lớn nhất của hàm số y = −x2+4x là: A. 4. B. 0. C. −2. D. 2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. [ ]0;4 . +22 ' , 4− += − +xy x x ' 0 2 0 2. y = ⇔ − + = ⇔ =x x + Ta có: ( )( )( )max 0 0 4 0 2. 2 2 y y y y = = ⇒ = = Câu 56.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 5 2 4y= x + trên đoạn [−3;1]A. [ 3;1]miny 3 − = . B. min[−3;1] y= .7 C. min[−3;1] y= . 2 D. min[−3;1] y= . 0 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Cách 1: 5 2 4 y= x + Hàm số xác định và liên tục trên đoạn [−3;1].2 554xyx′ =+,y′ = ⇔ = ∈ −0x0[3;1].Ta có: ( )( )( )370213 − ===yyy. Vậy [ 3;1]miny 2 − = . Cách 2: Sử dụng tabe MTCT Câu 57.Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )=2x−4 6− xtrên đoạn [−3; 6]. Tổng M+m có giá trị là:A. 18. B. −6. C. − .12 D. − . 4 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Xét: f x ( )=2x−4 6−xTa có: ' ( )2 2 1 2. 6 1.6 6 xf x x x − + = + = − − f ' ( )x vô nghiệm trên[−3; 6]. ( 3)f − = −18, (6) 12.f =Vậy: M + = −m 6. Câu 58.Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy= x− +1 3−x trên đoạn [1;3] A. [1;3] maxy =2. B. [1;3] (37) 37 C. [1;3] maxy = − 2. D. [1;3] maxy= −2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có hàm số đã cho xác đinh trên đoạn [ ]1;3 . 1 1(3 1)2 1 2 3 2 1. 3 x x y x x x x − − − ′ = − = − − − − [ ]0 3 1 0 3 1 2 1;3 y′ = ⇔ − −x x− = ⇔ − =x x− ⇔ = ∈x Khi đó. y ( )1 = y( )3 = 2; y( )2 =2. Vậy[ ]1;3 max 2 xy∈ = . Câu 59.Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y= −x2+6x−5 trên đoạn[ ]1;5 lần lượt là:A. 2 và 0. B. 4 và 0 . C. 3 và 0. D. 0 và −2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A.Ta có 236 5xy x x − +′ = − + − nên y′ = ⇔ = ∈0 x 3 ( )1;5 .Vì y ( )1 = y( )5 =0 và y( )3 =2 nên giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn[ ]1;5 lầnlượt là 2 và 0. Câu 60.Cho hàm số y=5 3−x. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số A. 3. B. 2 C. 0. D. 5. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. TXD: x ≤3. Xét hàm số liên tục y=5 3−xtrên (−∞;3]ta có :(]5 0, ;3 2 3 y x x − ′ = < ∀ ∈ −∞ − từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là Min y= f ( )3 =0.Câu 61.Hàm số y=4 x2−2x+ +3 2x x− 2 đạt giá trị lớn nhất tại hai giá trị x x1 2, . Tính x x1 2. A. 2. B. 1. C. 0. D. −1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D.Tập xác định D = ℝ . Ta có ()()()2 2 2 2 1 2 2 3 4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 x x x x y x x x x x − − − + − ′ = + − = − + − + ()(2)2 1, 1 4 21 0 1 2 2 3 0 1 2, 7 2 3 2 1 2, 7 x y x y x x x x y x x x y = = + = ′ = ⇔ − − − + = ⇔ ⇔ = + = − + = = − = . Bảng biến thiên x −∞ 1− 2 1 1+ 2 +∞ y′ + 0 − 0 + 0 − y −∞ 7 1 4 2+ 7 (38) 38 Câu 62.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=5sinx−cos 2x là: A. −6. B. −7. C. −4. D. 3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.Tập xác định D =ℝ. Ta có: 5sin cos 2 5sin 1 2 sin2 y= x− x= x− + x. Đặt t=sinx, − ≤ ≤1 t 1. Khi đó bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :g t ( )=2t2+ −5 1t trên[−1;1]. '( ) 4 5g t = t+ ; '( ) 0 4 5 0 5 ( )4g t = ⇔ t+ = ⇔ = −t L .( )1 4g − = − ; g ( )1 =6 ;.Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là −4. Câu 63.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số . 2 cos2 4 cosy= x+ x A. miny=5 ℝ . B. minℝ y= −2. C. minℝ y=7. D. minℝ y=8. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có : 2 cos2 4 cos y= x+ x =2 cos (x+1)2− . 2Vì − ≤1 cosx≤1⇔ ≤0 cosx+ ≤1 2 ⇔ ≤0 (cosx+1)2≤ . Do đó : 24 − ≤ ≤ . y 6Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = − khi 2 cosx = −1 . Câu 64.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y =cos2x+4cosx+1.A. min=5ℝ y. B.maxℝy=6. C.minℝy=7. D.minℝy=8.Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. 2 cos 2x 4 cos 1 2 cos 4 cos . = + + = + y x x x Đặt t=cosx(− ≤ ≤1t1 .). Khi đó( )2 [-1;1][-1;1] ( 1)2 min ( ) min ( )24'( ) 44 01.(1) 6 max ( ) max ( )− = − ====+⇒=+ = ⇔ = − ⇒ = ==ℝ ℝ ff tf xyf tttf tttff tf xCâu 65. Giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 cos3 9cos2 3cos 1 2 2 y= x− x+ x+ là: A. 1. B. −24. C. −12. D. −9. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Tập xác định D =ℝ . Đặt t=cos ,x t ∈ − [1;1 .]Hàm số trở thành 2 3 9 2 3 1.2 2 y= t − t + +t Ta có y′ =6t2− +9t 3, 1 0 1. 2ty t=′ = ⇔ = ( )1 1y = , y − ( )1 = −9, 1 92 8 y = Vậy giá trị nhỏ nhất là 9.− Câu 66.Cho hàm số y= 3cosx−4sinx+8 với x∈ [0;2π]. Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và(39) 39 A. 8 2. B. 7 3. C. 8 3. D. 16. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có y= 3cosx−4sinx+ =8 5sin (α−x)+ =8 5sin(α−x)+ ∀ ∈8, x[0; 2π]Do 3 5sin≤ (α−x)+ ≤8 13⇒ ≤ ≤3 y 13,∀ ∈x[0;2π]Vậy M +m=16 Câu 67.Tìm giá trị lớn nhất( )cos2f x = +x x trên đoạn 0; 2π . A. π. B.0. C.2π . D. 4π . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. ( )trên 0;2π . ( )2 2()21 2sin cos sin cos 2sin cos sin cos 0 0;2f′ x = − x x= x+ x− x x= x− x ≥ ∀ ∈ x π ( )đồng biến trên 0;2π . Vậy 0; ( )2max2 2 f x f π π π = = . Câu 68.Tìm M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= +x 2 cosx trên đoạn0;2π A. 1; 2 4 M =π + m= . B. ; 2 2 M =π m= . C. M =1;m= . 0 D. M = 2;m= . 1 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Xét hàm số y= f x ( )= +x 2 cosx trên 0;2π , f ' ( )x = −1 2 sinxCho ( )()2 1 4 ' 0 1 2 sin 0 sin 3 2 2 4 x k f x x x k x k π π π = + = ⇔ − = ⇔ = ⇔ ∈ = + ℤ Vì 0; 2 4 x∈ π⇒ =x π Ta có: ( )0 2, 1,4 4 2 2 = = + = f f π π f π π Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất 0;2 max 1 4M ππ = = + , đạt giá trị nhỏ nhất 0; 2min 2 π = . Câu 69.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3sin 4sin3y= x− x trên đoạn ;2 2π π− bằng: A. − . 1 B. 1. C. 3. D. 7. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Đặt t=sin , 1x − ≤ ≤t 1; Ta có: 3 4 3 (40) 40 3 03 0 3 4 0 232t y t t t t=′ = ⇔ − = ⇔ = − = (nhận cả 3 nghiệm) ( )1 1;( )1 1; 0( )0; 3 0; 3 02 2 y = − y − = y = y− = y = ; Vậy π π− = . Câu 70.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. - TXĐ: - Đặt: Khi đó: . - Ta có: - Ta có bảng biến thiên hàm số trên [−1; 1]: - Từ bảng biến thiên ta suy ra: Câu 71.Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. - TXĐ: - Khi đó: 2sin 1sin 2xyx−=+13= maxy . 1 3= − maxy . miny= −3. 1 2=miny . .ℝ 1 1 sin ; . t= x⇒ ∈ −t 2 1 ( )2t y f t t − = = + ( )()25 0 1 1 2 ' , ; . f t t t = > ∀ ∈ − + ( )f t11113;maxy max f t f . − = = = ( )( )11; 1 3 miny min f t f . − = = − = − 2sin cos 1sin 2 cos 3 x xyx x+ +=− +212 ==max.minyy21 ==max .minyy112 = = −max.minyy212max.minyy = = − 2 3 0 sinx− cosx+ ≠ ⇒ ∈ ℝx . (sin 2cos 3)2sin cos 1(2)sin(2 1)cos 1 3 (*)(41) 41 - Để (*) có nghiệm thì: Từ đây suy ra: Câu 72. Giá trị lớn nhất của hàm số f x ( )ln xx= trên đoạn [ ]1;3 là: A. 1 e. B. e. C.ln 3 3 . D. 24, 2 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có: ( )( )2 2 1 . ln 1 ln ' ' 0 1 ln 0 . − − = = ⇒ = ⇔ − = ⇔ = x x xx f x f x x x e x x . Với x∈ [1;e)thìf'( )x > ⇒0hàm số đồng biến trên nửa khoảng[1;e).Với x∈ (e;3]thìf'( )x < ⇒0hàm số nghịch biến trên nửa khoảng(e;3].Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ ]1;3 là f e( )1e= . Câu 73.Giá trị nhỏ nhất của hàm số f x ( )=x(2 ln− x)trên[ ]2;3 làA. 1. B. 4 2ln 2− . C. e. D. − +2 2ln 2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Xét hàm số liên tục và xác định trên [ ]2;3 .Ta có f′ ( )x = −1 lnx, f′( )x = ⇔ = ∈0 x e[ ]2;3 .( )2 2 2 ln 2()y = − , y ( )3 =3 2 ln 3(−), y e( )=e.Vậy [ ]2;3 ( )()miny=y 2 =2 2 ln 2− .Câu 74.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=2x+ln 1 2(− x)trên[−1;0]A. [ 1;0] min 2 ln 3 x∈ − = − + . B. x∈ −min[ 1;0]= . 0 C. x∈ −min[ 1;0]= − . 1 D. x∈ −min[ 1;0]= +2 ln 3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Xét f x ( )= =y 2x+ln 1 2(− x)TXĐ: ,1 2D= −∞ ( )2' 2 1 2f x x − Cho ' ( )0 2 1 2()2 0 4 0 0[1;0]1 2x f x x x x − − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ = ∈ − − Ta có: ( )( )1 2 ln 30 0 ff − = − + = Vậy [ 1;0] min 2 ln 3− = − + . Câu 75.Tính giá trị lớn nhất của hàm sốy= −x lnx trên 1;2 e . () (2)2()2 11 3 2 2 1 2 2 . y y y − y − ≤ − + − + ⇔ ≤ ≤ ⇒ 21 2max .min y y = − (42) 42 A. 1;2max 1x ey e ∈ = − . B. 1;2max 1x ey ∈ = . C. 1;2maxx ey e ∈ = . D. 1;2 1max ln 2 2x ey ∈ = + . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hàm số y= −x lnxliên tục trên đoạn 1;2 e . Ta có y 1 1 x ′ = − 0 1 1; 2 y′ x e ⇒ = ⇔ = ∈ . Do 1 1 ln 2 2 2 y = + ; y e ( )= −e 1; y( )1 =1 nên 1;2max 1x ey e ∈ = − .Câu 76. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn là: A. và 1 B. và C. và D. và Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Xét hàm số trên ; Vậy: tại x = 1, tại x = 3. Câu 77. Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn [–1; 2] là: A. và B. và C. và D. và Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Hàm số f(x) liên tục trên đoạn [–1; 2], . Câu 78. Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số 2ln xy x = trên đoạn 1; e3 là n, mM e = trong đó ,m n là các số tự nhiên. Tính S =m2+2 .n3 A. S=135.. B. S =24.. C. S=22.. D. S=32.. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C.2 2 2 1ln02lnln,0.ln2xxxxyyxxxe==−′=′= ⇒⇒ ==( )10y=,y e( )242e=,( )33 9.y ee=Suy ra 2 32 44,242.232.MmnSe=⇒== ⇒ =+=( )2 4lnf x =x − x [ ]1;e2 4 e − e2−4 2 2 ln 2− e2+4 −1 e2+4 2 2ln2− [ ]1;4 f '( ) 1x 92x= −1; 4 '( ) 0 3x f x x ∀ ∈ => = ⇔ =25(1) 10; (3) 6; (4) 4 f = f = f = ( )[ ]1;410= max f x [ ]1;4 ( ) 6=min f x 2 2x f(x) (x= −2).e 4 2e −e2 2e4 21e − 4e4 −e2 4e4 21e− 2 2x f '(x) 2(x= + −x 2)e2 f '(x) 0 x x 2 0 x 1x ( 1; 2) x ( 1; 2) = ⇔ + − = ⇔ = ∈ − ∈ − 2 421 f (1) e , f ( 1) , f (2) 2ee − (43) 43 Câu 79.Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm: 5 4 x+ + − ≥ .x m A. (−∞;3]. B.(−∞;3 2 . C.(3 2; +∞ .)D.(−∞;3 2).Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Đặt f x ( )= x+ +5 4−x x, ∈ −[5; 4].( )1 12 5 2 4 f x x x ′ = − + − ; ( )1 0 5 4 2 f′ x = ⇔ x+ = − ⇔ = −x x . Bảng biến thiên: x −5 −12 4 ( ) f x′ + − ( )f x 3 3 2 3 Yêu cầu bài toán ⇔m≤3 2. Câu 80.Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4 2 x+ −x =m có nghiệm A. − < <2 m 2. B. − < <2 m 2 2. C. − ≤ ≤2 m 2 2. D. − ≤ ≤2 m 2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Tập xác địnhD= − [2; 2]Phương trình 4 2x+ −x =m có nghiệm khi đường thẳng y=m cắt đồ thị của hàm số 2 = + − y x x ( )CXét hàm số y = +x 4−x trên 2 = − [2; 2]D Ta có 21 4′ = − −xy x Cho 2 2 22 0 0 1 0 4 2 44 ≥ ′ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ ⇒ = − = − xx y x x x x x x Bảng biến thiên: x −2 2 2 +∞ y′ y 2 Từ bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số ( )C khi − ≤ ≤2 m 2 2.Câu 81.Cho x , y là các số thực thỏa mãn x+ =y x− +1 2y+ . Gọi M , m lần lượt là giá trị 2lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 (1)(1)8 4P=x +y + x+ y+ + − − . Khi đó, giá trị của x y M +m bằng A. 44. B. 41. C. 43. D. 42. Hướng dẫn giải: 2 2 (44) 44 Chọn đáp án C. Ta có : (x+y)2=(x− +1 2. y+1)2 ≤ +(1 2 .) ((x− +1) (y+1))=3. x y(+)Do đó : 0≤ (x+y)≤3.Theo bài ra : P= (x+y)2+2(x+y)+ +2 8. 4−(x+y)Đặt t= +x y. Đk : 0≤ ≤t 3. Xét : P= f t ( )= +t2 2t+ +2 8 4−t trên[ ]0;3 .Có ( )2 2 44 f t t t′ = + − − . ( )( )2 2 44 g t f t t t ′ = = + − − ( )( )()32 ' 2 0 4 g t f t t′′ ⇒ = = + > − với ∀ ∈t [ ]0;3 .Do đó : hàm số g t ( )đồng biến trên[ ]0;3 .Khi đó : g t ( )>g( )0 ⇒ f′( )t ≥ f′( )0 =0. Suy ra hàm số f t( )đồng biến trên[ ]0;3 .( )( )3 250 18 M f m f = = ⇒ = = (45) 45 DẠNG 2: GTLN, GTNN TRÊN MỘT KHOẢNG, NỬA KHOẢNGPhương pháp: Xét khoảng hoặc nửa khoảng D - Tính f ' ( )x , giải phương trình f'( )x =0 tìm nghiệm trên D.- Lập BBT cho hàm số trên D. - Dựa vào BBT và định nghĩa từ đó suy ra GTLN, GTNN. Câu 1.Trên khoảng (0; +∞) thì hàm số = − +3 3 +1 y x x A. Có giá trị nhỏ nhất là miny=3. B. Có giá trị lớn nhất là maxy= −1. C. Có giá trị nhỏ nhất là miny= −1. D. Có giá trị lớn nhất là maxy=3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Xét hàm số đã cho trên D= (0,+∞). Ta có ′ = −3 2+3y x , ()()2 1 0, 0 3 3 0 1 0,= ∈ +∞ ′ = ⇔ − + = ⇔ = − ∉ +∞ x y x x . Bảng biến thiên x 0 1 +∞ ′ y + 0 − y 1 3 −∞ Do đó, maxy=3 và khơng tồn tại min y . Câu 2.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= +x 4 x trên khoảng (0; +∞ .)A. 4 . B. 2 . C. − . 2 D. − . 4 Hướng dẫn giải:Chọn đáp án A. Cách 1: Vì hàm số xác định trên khoảng (0;+∞)nên ta có x>0 và 4 >0x . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và 4 x ta có 4 4 2 . 4 + ≥ = x x x x . Vậy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 , dấu bằng xảy ra khi x=2. Cách 2: TXĐ: D= (0;+∞). Ta có y′ = −1 42x , y′ =0 24 1 0 ⇔ − = x 2 24 0− ⇔ x = x 22=⇒ = − x x . Bảng biến thiên. . Dựa vào bảng biên thiên ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số là 4 . 4x y ′ y +∞ 0 3 0 + − (46) 46 Câu 3.Hàm số 211= +y x có bảng biến thiên như hình vẽ. Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng ? A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1 khi x=0 nhưng hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất tại 0 vì khơng tồn tại giá trị nào của x thỏa mãn. Câu 4.Hàm số 241= +y x có bảng biến thiên như hình vẽ. x −∞ 0 +∞ ′ y + 0 − y 0 4 0 Xét trên tập xác định của hàm số. Hãy chọn khẳng định đúng?A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 0. B. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0. C. Không tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Câu 5.Tìm giá trị lớn nhất của hàm số2 3 2−= − xy x trên khoảng (−∞;2).A. ( ;2)max 4 −∞ y= B. (max−∞;2)y=3 C. max(−∞;2)y=1 D. (max−∞;2)y=2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Ta có ()2 24 3 2− +′ = − x x y x nên ()()1 ;2 0 3 ; 2= ∈ −∞ ′ = ⇔ = ∉ −∞ xy x . (47) 47 Nên ( ;2)max 2 −∞ y= . Câu 6.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 12= − + − + y x x trên nửa khoảng [− −4; 2). A.[ 4; 2) min 5 − −y= . B. [ 4; 2) min 6 − −y= . C. [ 4; 2) min 4 − −y= . D. [ 4; 2) min 7 − −y=. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Xét hàm số 3 1 2= − + − + y x x trên nửa khoảng [− −4; 2)()()2 2 2 1 4 3 1 2 2 − − − ′ = − + = + + x x y x x [)[)2 1 4; 2 0 4 3 0 3 4; 2 = − ∉ − −′ = ⇔ − − − = ⇔ = − ∈ − − x y x x xBảng biến thiên Câu 7.Tìm giá trị nhỏ nhất ymin của hàm số y=2 3−x. A. ymin =0. B. ymin = −6. C. ymin = −3. D. ymin =2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Tập xác định: D= −∞( ;3]. Ta có: 1 0, (;3 .)3− ′ = < ∀ ∈ −∞− y x x Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;3 .)x −∞ 3 y′ – y +∞ 0 Vậy ( )(min−∞;3]y=y 3 =0. Câu 8.Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin3x−cos 2x+sinx+2 trên khoảng ;2 2π π− bằng: A. −1. B. 6. C. 23 27. D. 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Ta có y=sin3x+2sin2x+sinx+1. Đặt t=sinx∈ − (1;1)thì hàm số trở thành y= +t3 2t2+ +t 1,t∈ −(1;1). Ta có y′ =3t2+4t+11( ) 0 1 ( )3= −′ = ⇔ = − t l y t n 1 233 27 ⇒ = − = Miny y . Câu 9.Giá trị lớn nhất của hàm số3 2 13 = −x + + y x trên khoảng ; 2 2π π− bằng: A. 3. B. 7. C. 1. D. -1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. 23cos 12sin cos ′ = − (48) 48 ()2 2 cos 0 2 6 0 3cos 12sin cos 0 1 . 5 sin 2 2 6 726π = + π π = = ± + π ′ = ⇔ − = ⇔ ⇔ ∈ = ± = π+ π π = + π ℤ x k x x k y x x x k x x k x k . Do ; 2 2 6 π π π ∈ − ⇔ = ± x x . Ta có 1 6π = f , 1 6π− = − f nên GTLN của hàm số trên khoảng ; 2 2π π− bằng 1 . Câu 10. Tìm m để phương trình x5+x3− 1− +x m=0 có nghiệm trên (−∞;1]. A. m>2. B. m≤ −2. C. m≥ −2. D. m<2. Hướng dẫn giải:Chọn đáp án C. 5+ 3− 1− + = ⇔0 5+ 3− 1− = − x x x m x x x m . Xét hàm số y=x5+x3− 1−x trên (−∞;1].(]4 2 1 5 3 0, ;1 2 1 ′ = + + > ∀ ∈ −∞− y x x x x . Bảng biến thiên Ycbt ⇔ − ≤ ⇔m 2 m≥ −2. Câu 11.Cho hàm số f x( ) = +9 xx . Tính giá trị lớn nhất của hàm số f x ( )trên (−∞; 0)A.3. B. −6. C. −9 D. −3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có : f′ ( )x = −1 92x .Khi đó ( )0 33 = − xf x x . Vì x∈ −∞ (;0)nên ta lấy x= −3, loại x=3. Ta có bảng biến thiên như saux −∞ −3 0 ' y + 0 − xy′ y′ −∞ 1 + −∞ (49) 49 Từ bảng biến thiên ta có giá trị lớn nhất của hàm số trên (−∞;0)là −6.Câu 12. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình 4 x2+ −1 x=m có nghiệm A. ( )0;1 . B.(−∞;0]. C.(1;+∞]. D.(0;1].Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. ĐK: x≥0 Xét hàm số ( )= 4 2+ −1f x x x ( )()()324 324 1' 2 1 . − + = + x x x f x x x , f ' ( )x = ⇔0 x x= 4(x2+1)3 ⇔3x4+3x2+ =1 0(VN)( )' 0 ⇒ f x < ⇒hàm số nghịch biến trên [0;+∞), (0) 1, lim( )0→+∞= = x f f x Vậy m∈ (0;1].Câu 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể phương trình m 2 tan+ 2x= +m tanx có ít nhất một nghiệm thực. A. − 2<m< 2. B. − < <1 m 1. C. − 2≤ ≤m 2. D. − < <1 m 1. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. 2tan2 tan 1 ⇔ = + − x pt m xĐặt 2 2 1 = ⇒ = + −t x t m t Xét hàm số ( )( )()2 2 2 2 2 2 2 ' 0 2 2 1 2 . 2 1 − + = ⇒ = = ⇔ = ± + − + + − t t f t f t t t t t Lập BBT với lim ( )1, lim( )1,( )2 2,( )2 2 2; 2 .→+∞ = →−∞ = − − = = ⇒ ∈ − t f t t f t f f m Câu 14.Cho x y, là hai số không âm thỏa mãn x+ =y 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 2 2 1 13 = + + − + P x x y x A. minP=5. B. min 7 3= P . C. min 17 3= P . D. min 115 3= P . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có x+ =y 2 ⇒ = −y 2 x 3 2 2 1 13 = + + − + P x x y x 1 3 2 (2)2 13 ⇒P= x +x + −x − +x 1 3 2 2 5 53 ⇒P= x + x − x+ Xét hàm số 1 3 2 2 5 5 3 = + − + y x x x trên [0;+∞)y −6 (50) 50 2 4 5′ = + − y x x . Cho 0 2 4 5 0 1 5 = − x y x x xBảng biến thiên: x −∞ −5 1 +∞ ′ y + 0 − 0 + y−∞ 1153 73 +∞ Từ bảng biến thiên ta thấy min 7 3= P . Câu 15.Giá trị của m để phương trình x+ 2x2+1=m có nghiệm là: A. 2. 2≥ m B. 2. 2< m C. 2. 2≤ m D. 2. 2>m Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Đặt f x( )= +x 2x2+1 ( )221 12′ ⇒ = + +xf x x Ta có: ( )20 0 2 2 2 21 ≤ ′ = ⇔ + = − ⇔ = ± x f x x x x 22⇔ = −x Bảng biến thiên Vậy, 2 2≥ m . x −∞ 2 2 − +∞ ( )′f x − 0 + ( )f x +∞ 22 (51) 51 DẠNG 3: ỨNG DỤNG GTLN, GTNN VÀO GIẢI TỐN THỰC TẾCâu 1: Hình chữ nhật có chu vi khơng đổi là 8m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là: A. 4m2. B. 8m2 C. 16m2. D. 2m2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Gọi 2 kích thước của hình chữ nhật là a b,⇒ + =a b4.2. 4 2a bS =a b≤ + = . Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật bằng 24m . Câu 2: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x cm, rồi gấp tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x =2. B. x =4. C. x =6. D. x =3. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Khối hộp có đáy là hình vng với độ dài cạnh là 18 2x− và độ dài chiều cao là x nên có thể tích là ()() ()3 2 1 1 4 18 2 18 2 18 2 .4 . 18 2 . 18 2 432 4 4 3 x x x V =x − x = x − x − x ≤ + − + − = . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=18 2− x⇔ =x 6. Vậy maxV =432⇔ =x 6. Câu 3: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 24cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng cạnh bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x (cm) rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x=6. B. x=4. C. x=2. D. x=8. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Cạnh đáy của hộp là 24 2− x. Khi đó thể tích của hộp : V = (24 2− x)2x= f x( )Có ()()3324 2 24 2 4 4 24 2 24 2 4 16 3 − + − + = − − ≤ = x x x V x x x (52) 52 Câu 4: Cho hình vẽ. . Bạn An có một tấm nhơm hình chữ nhật có chiều dài 12 m ( ), chiều rộng 6 m( ). Bạn nhờ bác thợ hàn cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau và gập tấm nhôm lại (như hình trên) để được một cái hộp khơng nắp dùng để đựng nước. Hỏi bác thợ hàn phải cắt cạnh hình vng bằng bao nhiêu sao cho khối hộp chứa được nhiều nước nhất ? A. 24 3(m) . B. 3− 3(m). C. 3+ 3(m). D. 24− 3(m). Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi x là độ dài cạnh hình vng bị cắt, khi đó ta có 0< <x 6. Thể tích của khối hộp là V x ( )=x(12 2− x)(6 2− x)=4x3−36x2+72x.Ta cần tìm x sao cho V x ( )lớn nhất với 0< <x 6.Ta có ( )12 2 72 72V x′ = x − x+ , V x′ ( )=0⇔12x2−72x+72 0= 3 33 3xx = +⇔ = − . Bảng biến thiên. . ( )lớn nhất khi x = −3 3.Câu 5: Cho một tấm nhôm hình vng cạnh 18 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất. A. x =6. B. x =3. C. x =2. D. x =4. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Theo đề bài ta có . . 18 2 ()2 4 3 72 2 324 .V=h S=x − x = x − x + x ( )4 3 72 2 324f x = x − x + x liên tục trên ( )0;9 .x 0 3− 3 3+ 3 6 ( )V′ x ( )V x + 0 − 0 + 0 0 41, 57 (53) 53 Ta có ( )12 2 144 324.f′ x = x − x+ ( )0 3.9xf x x = ′ = ⇔ = Bảng biến thiên x 0 3 9 ( )f′ x + 0 − 0 ( )f x 432 0 0 Vậy thể tích lớn nhất khi x =3. Câu 6: Một trang chữ của một quyển sách tham khảo Văn học cần diện tích 2 384 cm. Biết rằng trang giấy được canh lề trái là 2 cm, lề phải là 2 cm, lề trên3 cm và lề dưới là 3 cm. Tìm chiều dài và chiều rộng của trang sách để trang sách có diện tích nhỏ nhất A. Chiều dài: 32 cm và chiều rộng: 12 cm. B. Chiều dài: 24 cm và chiều rộng: 16 cm. C. Chiều dài: 40 cm và chiều rộng: 20 cm. D. Chiều dài: 30 cm và chiều rộng: 20 cm. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi x, y là chiều dài và chiều rộng của trang chữ. Theo đề bài ta có: xy =384. Ta cần tìm x, y sao cho (x+4)(y+6)đạt giá trị nhỏ nhất.Ta có hàm f x ( )xy 6x 4y 24 408 6x 4.384x = + + + = + + 1536 6x 408 2 6.1536 408 192x = + + ≥ + = Dấu “=” xảy ra khi 6x 1536 x 16x = ⇔ = và y =24 Câu 7: Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày f t( )=45t2−t3 (kết quả khảo sát được trong tháng 8vừa qua). Nếu xem f t′( )là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t. Hỏi tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ mấy?Trên khơng, vài con cị về tổ trễ đập nhanh đơi cánh trắng phau rồi khuất trong lùm cây rậm lá. Những đám mây trắng đá ngả màu ngà, bầu trời xanh cũng đã ngả sang màu sậm đưa đến màu đen. Đâu đó có tiếng chim lẻ bạn, tiếng dơi muỗi lào xào lẫn trong tiếng gió nhẹ lay cành. (54) 54 A. 12. B. 15. C. 20. D. 30. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có : '( )=90 3−2f ttt.Cần tính giá trị lớn nhất của hàm sốg t( )= f '( )tKhi đó : g t' ( )= f ''( )t =90 6 . '− t g t( )= ⇔ =0 t 15.Câu 8: [2D1-3]Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp ( ),chiều dài gấp 2lần chiều rộng và khơng nắp, cóchiều cao là h m ( ), có thể tích là 4 33m . Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất A. x=1,5 ( )m . B. x=2( )m . C. x=1( )m . D. x=2,5( )m .Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Ta có 2 2 4 4 2 2 3 3 3 V x h h x = ⇔ = ⇔ = Diện tích xung quang của bồn nước ( khơng nắp). 2 (2)2 2 6 2 2 4 2 2S xh xh x xh x x x = + + = + = + 2 4 4 ; 0 1 S x S x x ′= − + ′= ⇔ = BBT Để chi phí xây dựng là thấp nhất thì S phải nhỏ nhất. Ta có MinS=6khi x= 1. Câu 9: Một chất điểm chuyển động theo phương trình 23 18 2 2 1, S= − t + t + +t trong đó t tính bằng ( )s và S tính bằng mét( )m . Thời gian vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất là A. t=5s. B. t=6s. C. t=3s. D. t=1s. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Ta có ( )'( )6 2 36 2 6(3)2 56 56, .v t =S t = − t + t+ = − t− + ≤ ∀ tSuy ra v t lớn nhất bằng 56 /m s khi t=3s.Câu 10: Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức G x ( )=0,024x2(30−x),trong đó x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp (x được tính bằng mg). Tìm lượng thuốc để tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất A. 20mg. B. 0,5 mg. C. 2,8 mg. D. 15mg. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. ( )()( )()( ) ==⇔=−= ⇒−= 2000 360024,0'30 024, 0 2 2 xLxx xx Gxx xG (55) 55 Câu 11: Một công ty muốn làm đường ống dẫn từ một điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km . Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km , và 130000 USD mỗi km để xây dưới nước. B′ là điểm trên bờ biển sao cho BB′ vng góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B′ là 9 km . Vị trí C trên đoạn AB′ sao cho khi nối ống theo ACB thì số tiền ít nhất. Khi đó C cách A một đoạn bằng bao nhiêu ? A. 6,5 km B. 6 km C. 0 km D. 9 km Hướng dẫn giải:: Chọn đáp án A. Theo hình vẽ, số tiền để xây dựng đường ống từ A đến B là: ( )50000. 9()130000 36 2f x = −x + +x , (0< <x 9).( )2' 50000 130000. 36xf x x = − + + , ( )2 5 0 50000 36 130000 2f′ x = ⇔ +x = x⇔ = . x ( )0 1230000f = , 5 1170000 2f = , f ( )9 =1170000 17.[ ]0;9 ( )5min2 f x f ⇒ = . Vậy C cách A 6,5 km . Câu 12: Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiều rộng 8 cm. Gấp góc bên phải A. 6 15 6 3+ . B. 6 15 6 3− . C. 8 2. D. 6 3. Hướng dẫn giải: (56) 56 Đặt DG=FG=x, ED HC= =EF = . Khi đó y FC = x2− (8−x)2 = 16x−64, 16 64HF = −y x− . Ta có: ()22 2 2 8 16 64 8 16 64 64 2 16 64 16 64 x EF y x y y y x x y y x− = + − − = ⇔ + − − + − = ⇔ = Độ dài nếp gấp là f x ( )x y x 8 16x 64x− = + = + với 0< <x 8. Thay lần lượt các đáp án ta thấy với x =6 3 thì ( )f x nhỏ nhất. Câu 13: Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km . Khoảng cách từ B đến A là 4 . Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD , còn đặt dưới đất mất 3000 USD . Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất? A. 15 km 4 . B. 13km 4 . C. 10 km 4 . D. 19 km4 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi x là khoảng cách từ A đến S (0≤ ≤x 4), ta có BS= −4 x, CS= (4−x)2+ =1 x2−8x+17.Chi phí cho đường dây diện là 3000 5000 2 8 17 y= x+ x − x+ . Muốn ít tốn kém chi phí nhất ta cần tìm x để ymin. Xét hàm số 3000 5000 2 8 17 y= x+ x − x+ với x ∈ [ ]0, 4 .Ta có ()()2 2 2 1000 3 8 17 5 20 5000 2 83000 2 8 17 8 17 x x x x x x x x − + + − − ′ = + = (57) 57 ()()2 2 2 2 0 3 8 17 20 5 419 4 4 loai 4 9 72 153 400 200 25 16 128 247 0 13nhan4 ′ = ⇔ − + = − ≤ ≤ ≤ = ⇔ ⇔ ⇔ − + = − + − + = = y x x x x x x x x x x x x x x Mà y ( )0 =5000 17, y( )4 =17000, 13 160004y = . Suy ra [ ]0,4 miny =16000 khi 13 km4 x = . Lập bảng xét dấu ta có x =2 2thì khối chóp đạt giá trị lớn nhất. Câu 14: Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ. Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố này quyết định toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần lượt là 60km và 40km và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là 120km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vng góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ kí hiệu như hình vẽ). Tìm vị trí của trạm thu phí và trạm xăng? (Giả sử chiều rộng của trạm thu phí khơng đáng kể). A. 72km kể từ P B. 42km kể từ Q C. 48km kể từ P D. tại P Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Vẽ lại hình vẽ thì ta có hình vẽ đơn giản hóa như sau: Thực chất bài tồn trở thành tìm x để AC+BC nhỏ nhất. Theo định lý Pytago ta có AC= 602+x2 ; 2 2 2 BC= (120 x ) 40− + = x −240x 16000+ Khi đó f (x) AC BC= + = x2+3600+ x2−240x 16000+ . Ta cần tìm (58) 58 Ta có 2 2 x x 120 f '(x) x 3600 x 240x 16000 − = + + − + ; khi bấm máy tính nhẩm bằng cách nhập vào màn hình biểu thức f’(x) và ấn SHIFT SLOVE và chọn một số nằm trong khoảng (0;120) để dò nghiệm, như tơi nhập 2 máy nhanh chóng hiện nghiệm là 72. Bấm máy tính sử dụng nút TABLE ta nhận thấy phương trình có duy nhất một nghiệm này do f’(x) chỉ đổi dấu qua 72. Khi đó ta có BBT sau: x 0 72 120 f’(x) - 0 + f(x) Min Vậy từ đó ta có thể kết luận CP=72. Câu 15: Người ta cần xây dựng mương nước có dạng như hình vẽ, với diện tích tiết diện ngang của mương là 8m . Gọi 2 l là độ dài đường biên giới hạn của tiết diện này. Để l đạt giá trị nhỏ nhất thì các kích thước của mương là A. 4m và 1m. B. 2m và 1m. C. 4m và 2m. D. 3m và 2m. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Gọi ,x y lần lượt là chiều rộng và chiều cao của mương. Theo bài ra ta có 8=x y. , l 2y x 16 x x= + = + . Xét hàm số l x ( )16 xx= +( )2 2 216 16 ' 1 x l x x x − − = + = Cho ( )( )( )4' 0 4 x n l x x l == ⇔ = −Lập bảng biến thiên Ta được l đạt giá trị nhỏ nhất thì các kích thước của mương là x=4 ,m y=2m Câu 16: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 3 m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng và khơng có nắp. Hỏi chiều dài cạnh đáy và chiều cao của lòng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất? Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày của thành bể và đáy là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau A. 3108 ; 108m 3 m . B. 6 ;3m m . C. 3 ;12m m . D. 2 ; 27m m . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi x,h tương ứng là độ dài cạnh đáy và đường cao của hình hộp chữ nhật. Ta có: 2 2108. 108 V h x h x (59) 59 I M BA x 2 432 2 216 216 24 xq d 4 S S S xh x x x x x x = + = + = + = + + . Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta được 3 2163 2 S ≥ . Dấu đẳng thức xảy ra khi 216 = 2 ⇔ =6 x x x 2 108 36 ⇒ =h = . Câu 17: Cho một tấm gỗ hình vng cạnh 200cm. Người ta cắt một tấm gỗ có hình một tam giác (0< <x 60cm)là một cạnhgóc vng của tam giác ABC và tổng độ dài cạnh góc vng AB với cạnh huyền BC bằng 120cm. Tìm x để tam giác ABC có diện tích lớn nhất. A. x=40cm. B. x=50cm. C. x=30cm. D. x=20cm. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có độ dài cạnh 2 2 (120)2 2 14400 240AC= BC −AB = −x −x = − x. Diện tích tam giác ABC là: 1 . 1 14400 240 2 2 S = AB AC= x − x. Xét hàm số f x ( )=x 14400 240− x với 0< <x 60.Ta có: ( )14400 240 120 14400 36014400 240 14400 240x x f x x x x − ′ = − − = − − ;. ( )0 40(0;60)f′ x x ⇒ = ⇔ = ∈ . Bảng biến thiên: . ( )max⇔ =x 40.Câu 18: Cho một tấm bìa hình vng cạnh 5 dm . Để làm một mơ hình kim tự tháp Ai Cập, người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy chính là cạnh của hình vng rồi gấp lên, ghép lại thành một hình chóp tứ giác đều. Để mơ hình có thể tích lớn nhất thì cạnh đáy của mơ hình là: A. 3 2 2 . B. 5 2. C. 5 2 2 . D. 2 2. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. (60) 60 2 2 2 5 2 25 25 10 2 2 25 5 2 , 2 4 4 2 x x x x x MI= − AM = + − + = − + Đường cao hình chóp là 2 2 25 5 2 25 5 2 2 2 2 x x x x h= − + − = − Thể tích của khối chóp là 1 2 25 5 2 2 1 (25 4 5 2 5)3 2 18 x V = x − ⇒V = x − x Xét hàm số 25 4 5 2 5 y= x − x trên khoảng (0;5 2)()3 4 3 25.4 25 2 25 4 2 y= x − x = x − x 00 2 2xy x=′ = ⇔ = x 0 2 2 5 2 y′ + 0 − y 320 Suy ra (max0;5 2)y =320 tại x =2 2. Suy ra max 2 2 V ⇔ =x . Câu 19: Một màn ảnh chữ nhật cao 1,4 mét được đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng O sao cho góc nhìn lớn nhất. Hãy xác định vị trí điểm O (BOC gọi là góc nhìn). A. AO=2, 4m. B. AO=2m. C. AO=2, 6m. D. AO=3m. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Đặt OA=x. Ta có: tanAOC 3, 2, tanAOB 1,8. x x = = ()2tan tan 1, 4 tan tan 5,761 tan .tan AOC AOB x BOC AOC AOB x AOC AOB − = − = = + + . Đặt ( )21, 45,76xf x x = + ( )()2 22 1, 4 8, 0645, 76xf x x − + ′ ⇒ = + . ( )0 2 5,76 2, 4.f′ x = ⇔x = ⇔ =x x 0 2,4 +∞y′ 0 +0 −y 0 724 (61) 61 Dựa vào BBT trên: (0; ) ( )7max24f x +∞ = khi x=2, 4m. Câu 20: Muốn làm một bồn chứa 1000 lít hình trụ có nắp đậy, để ít tốn vật liệu nhất thì chiều cao ( )dmh của bồn phải gần nhất với giá trị nào sau đây? A. 10,84 . B. 10,83 . C. 10,85 . D. 10,86 . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Để ít tốn vật liệu nhất thì diện tích tồn phần bồn nước phải nhỏ nhất. Tức là: 2 2 2 tp S = πR +πRh nhỏ nhất. (với R là bán kính đường trịn đáy. Thể tích bồn nước 2 1000 1000V R h R h ππ= = ⇒ = 1000 1000 2000 2 . 2 . 4000 tp S h h h h h πππππ= + = + . 2 2000 20004000 tp S h h ππ ′ = − + , 0 4000 2 3 4000 10,84 tp S πhπh hπ′ = ⇔ = ⇔ = ≈ . Sử dụng bảng biến thiên, ta tìm được Stp nhỏ nhất khi h ≈10,84. Câu 21: Khi nuôi cá trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của ( )=480 20− n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất.A. n =8. B. n =12. C. n =20. D. n =24. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Cân nặng của n con cá là: ( ) . ( ) 480 20 2 f n =n P n = n− n Ta có: ( ) 480 20 2 2880 20(12 )2 2880 f n = n− n = − −n ≤ Vậy nhiều cá nhất khi n = 12 Câu 22: Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2 000 000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Cơng ty đã tìm ra phương án cho th đạt lợi nhuận lớn nhất. Hỏi thu nhập cao nhất công ty có thể đạt được trong một tháng là bao nhiêu? A. 115 250 000. B. 101 250 000. C. 100 000 000. D. 100 250 000. Hướng dẫn giải: (62) 62 Gọi n là số lần tăng giá (n là số tự nhiên). Khi đó số căn hộ bị bỏ trống cũng là n. Do đó số tiền (2.106 5.10 .4)(50)5.104 2 5.105 108A= + n −n = − n + n+ , điều kiện n <50. Xét hàm số ( )5.104 2 5.105 108f x = − x + x+ , với 0≤ <x 50. Ta có ( )105 5.105f′ x = − x+ ; f′ ( )x =0 ⇔ x =5.Lập bảng biến thiên, suy ra ( )( )[0;50)max f x = f 5 =101 250 000. Vậy thu nhập cao nhất cơng ty có thể đạt được trong một tháng là 101 250 000 . Câu 23: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3+2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày) A. 6. B. 5. C. 4 . D. 7. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có x+ =y 10⇔ =y 10−x (1)Và 0< ≤ ⇒ ≤ <y 6 4 x 10. Số tiền lãi f x ( )=x3+2x+326y−27y2 =x3+2x+326 10(−x)−27 10(−x)2 (thay (1) vào).( )3 27 2 216 560f x x x x ⇔ = − + + với x ∈ [4;10).Ta có f′ ( )x =3x2−54x+216. f′( )x = ⇔0 3x2−54x+216 0= ⇔ = ∨ =x 6 x 12.Chỉ có x= ∈6 [4;10). Vậy máy A làm việc trong 6 ngày.Câu 24: Một người thợ xây cần xây một bể chứa 108 3 m nước có dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vng và khơng có nắp. Hỏi chiều cao của lịng bể bằng bao nhiêu để số viên gạch dùng xây bể là ít nhất. Biết thành bể và đáy bể đều được xây bằng gạch, độ dày thành bể và đáy bể là như nhau, các viên gạch có kích thước như nhau và số viên gạch trên một đơn vị diện tích là bằng nhau. A. 9 m . B. 3 m. C. 2 m . D. 6 m. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi độ dài cạnh đáy bằng x( )m , chiều cao bằng h( )m(x>0;h>0).Khi đó . 2 108 h x = h 1082 x⇒ = . Tổng diện tích xung quanh và diện tích phần đáy bể là 4. . 2 S = x h+x 4.108 x2x = + Để số gạch dùng xây bể là ít nhất thì S nhỏ nhất. Xét hàm số ( )432 2f x x x = + trên khoảng (0;+∞)Ta có f ' ( )x 4322 2xx= − + ; f ' ( )x = ⇔ =0 x 6Lập bảng biến thiên và suy ra S nhỏ nhất khi x =6. Khi đó h =3. Câu 25: Ông An dự định làm một cái bể chứa nước hình trụ bằng inốc có nắp đậy với thể tích là k m3 (k >0). Chi phí mỗi m2đáy là 600 nghìn đồng, mỗi m2 nắp là 200 nghìn đồng và mỗi m2 mặt bên (63) 63 A. 3 k π . B. 3 2 k π . C. 3 2 k π . D. 3 2 k . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Gọi lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. + Thể tích khối trụ V r h2 k h k2. r ππ= = ⇒ = + Diện tích đáy và nắp là Sđ =Sn =πr2; diện tích xung quanh là 2 . xq S = πrh+ Khi đó chi phí làm bể là ()2 2 22 600 200 400.2 800 800 k 800 k C r rh r r r rr π π π π π π = + + = + = + + Đặt 32 2 2 2 ( ) k, 0 ( ) 2 k r k f r r r f r r r r r ππ′π−= + > ⇒ = − = ; 3( ) 0 2 k f r r π′ = ⇔ = , (k >0). + Bảng biến thiên: r 0 3 2 k π+∞( ) f r′ − 0 + ( ) f r (0;min+∞) f r( ) Vậy: Chi phí làm bể ít nhất ⇔ f r( ) đạt giá trị nhỏ nhất 32 kr π⇔ = . Câu 26: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là x3+2x (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là 326y−27y2 (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng hai máy A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày) A. 6. B. 5. C. 4 . D. 7. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Ta có x+ =y 10⇔ =y 10−x (1)Và 0< ≤ ⇒ ≤ <y 6 4 x 10. Số tiền lãi f x ( )=x3+2x+326y−27y2= x3+2x+326 10(−x)−27 10(−x)2 (thay (1) vào).( )3 27 2 216 560f x x x x ⇔ = − + + với x ∈ [4;10).Ta có f′ ( )x =3x2−54x+216. f′( )x = ⇔0 3x2−54x+216 0= ⇔ = ∨ =x 6 x 12., r h (r>0,h>0)(64) 64 Chỉ có x = ∈6 [4;10). Vậy máy A làm việc trong 6 ngày.Câu 27: Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 400 km ( ). Vận tốc dòng nước là()10 km/h . Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là (km/h)v thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức 3( ) E v =cv t, trong đó c là hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất. A. 12 (km/h) . B. 15 (km/h) . C. 18 (km/h) . D. 20 (km/h) . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có vận tốc cá bơi ngược dòng là v −10 km/h (), thời gian cá bơi hết 400 km( )là 40010tv = − . Năng lượng tiêu hao của cá trong 400 10 t = − (giờ) được cho bởi công thức 3 400 ( ) . 10 E v cvv = − với 10 v > . Ta có ( )()2 215800 . 10v E v c v v−′ = − , ( )()2 0 800 . 15 0 E v′ = ⇔ c v v− = 0 15 vv =⇔ = . Bảng biến thiên. . Dựa vào bảng biến thiên vận tốc của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao ít nhất là 15 km/h. Câu 28: Từ một khúc gỗ trịn hình trụ có đường kính bằng 40 cm , cần xả thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vng và bốn miếng phụ được tơ màu xám như hình vẽ dưới đây. Tìm chiều rộng xcủa miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất. A. 3 34 17 2 ( )2x= − cm . B. 3 34 19 2 ( )2 x= − cm . C. 5 34 15 2 ( )2x= − cm . D. 5 34 13 2 ( )2 x= − cm . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Gọi x y, lần lượt là chiều rộng và dài của miếng phụ. Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là S=SMNPQ+4xy. Cạnh hình vng 40 20 2 ( )2 2 MP MN= = = cm . ()220 2 4 800 4 S xy xy ⇒ = + = + (1). Ta có 2x=AB−MN =AB−20 2<BD−20 2=40 20 2− . 0 x 20 10 2 ⇒ < < − . v ( ) E′ v ( ) E v 1 0 1 5 + ∞ − ( )1 5E + 0 (65) 65 Lại có 2 2 2 402 (2 20 2)2 2 1600AB +AD =BD = ⇒ x+ +y = . 2 800 80 2 4 2 800 80 2 4 2 y x x y x x ⇒ = − − ⇒ = − − . Thế vào ( )1 800 4 800 80 2 4 2 800 4 800 2 80 3 2 4 4S x x x x x x ⇒ = + − − = + − − . Xét hàm số f x ( )=800x2−80x3 2 4− x4, với(0; 20 10 2)x ∈ − có. ( )1600 240 2 2 16 3 16 100 15(2 2)f′ x = x− x − x = x − x −x . Ta có ()( )()(2)0; 20 10 2 0; 20 10 2 5 34 15 2 2 0 16 100 15 2 0 x x f x x x x ∈ − ∈ − − ⇔ ⇔ = ′ = − − = . Khi đó 5 34 15 22 x= − chính là giá trị thỏa mãn bài tốn. Câu 29: Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s mét ()đi được củađoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút), hàm số đó là s=6 –t2 t3. Thời điểm t(giây)mà tạiđó vận tốc v m s / của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là: A. t=4s. B. t=2s. C. t=6s. D. t=8s. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có: 62– 3 ( ) 12 32. v t s= t t ⇒ = t− t '( ) 12 6v t = − t⇒v t'( )= ⇔ =0 t 2. Bảng biến thiên của ( )v t là: t 0 2 +∞ '( ) v t + 0 - ( ) v t 12 Vậy: Thời điểm 2 giây ()thì vận tốc v m s(/)của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.Câu 30: Một người nơng dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo một con sơng (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sơng thì chi phí nguyên vật liệu là 60 000 đồng là một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí ngun vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được. A. 6250 m 2 B. 1250 m 2 C. 3125 m . 2 D. 50 m 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. (66) 66 Từ đề bài ban đầu ta có được mối quan hệ sau: Do bác nông dân trả 15 000 000 đồng để chi trả cho nguyên vật liệu và đã biết giá thành từng mặt nên ta có mối quan hệ: 3 .50000 2 .60000 15000000x + y =15x 12y 1500 ⇔ + = 150 15 500 5 12 4 x x y − − ⇔ = = Diện tích của khu vườn sau khi đã rào được tính bằng cơng thức: ( )2. . 2 .500 5 1(5 2 500)4 2 x f x = x y= x − = − x + x Đến đây ta có hai cách để tìm giá trị lớn nhất của diện tích: Cách 1: Xét hàm số trên một khoảng, vẽ BBT và kết luận GTLN: Xét hàm số ( )1(5 2 500)2 f x = − x + x trên (0;100)( )1()( )' 10 500 , ' 0 50 2 f x = − x+ f x = ⇔ =xTa có BBT Cách 2: Nhẩm nhanh như sau: Ta biết rằng 2 ( )A g− x ≤A với mọi x, nên ta có thể nhẩm nhanh được: ( )5(2 100) (5 2 2.50. 2500 2500)2 2 f x = − +x x = − +x x− + 5. 2500 (5)2 62502 x = − − ≤ Hoặc bấm máy tính phần giải phương trình bậc hai và ấn bằng nhiều lần máy sẽ hiện như sau: Câu 31: Kỳ thi THPT Quốc gia năm 2016 vừa kết thúc, Nam đỗ vào trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Kỳ I của năm nhất gần qua, kỳ II sắp đến. Hồn cảnh khơng được tốt nên gia đình rất lo lắng về việc đóng học phí cho Nam, kỳ I đã khó khăn, kỳ II càng khó khăn hơn. Gia đình đã quyết định bán một phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 50 m, lấy tiền lo cho việc học của Nam cũng như tương lai của em. Mảnh đất còn lại sau khi bán là một hình vng cạnh bằng chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu. Tìm số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1m2 đất khi bán là 1500000 VN đồng. A. 112687500 VN đồng. B. 114187500 VN đồng. C. 115687500 VN đồng. D. 117187500 VN đồng. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. (67) 67 Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật ban đầu lần lượt là x y m, ( ) (, ,x y >0)Chu vi mảnh đất hình chữ nhật ban đầu bằng 50m⇒2 (x+y)=50⇔ =y 25−xBài ra, ta có ngay mảnh đất được bán là một hình chữ nhật có diện tích là ()()2 2 25 625 625 25 25x 2x 2 78,125 8 8 2 2 S=x y−x =x − −x x = − = −x − + ≤ = Dấu "=" xả ra 2 25 0 25 25 25 175 8 8 8 2 2 x x y ⇔ − = ⇔ = ⇒ = − = Như vậy, diện tích đất nước được bán ra lớn nhất 78,125 m2. Khi đó số tiền lớn nhất mà gia đình Nam nhận được khi bán đất là 78,125.1500000 117187500= Câu 32: Chiều dài bé nhất của cái thang AB để nó có thể tựa vào tường AC và mặt đất BC, ngang qua cột đỡ DH cao 4m, song song và cách tường CH=0,5m là: A. Xấp xỉ 5,602 B. Xấp xỉ 6,5902 C. Xấp xỉ 5,4902 D. Xấp xỉ 5,5902 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Đặt BH =x x (>0). Ta có2 2 2 16 BD= DH +BH = x + Vì DH / / AC nên 2 . 16 2 DA HC DB HC x DA DB HB HB x + = ⇒ = = 2 2 16 16 2 x AB x x + ⇒ = + + Xét hàm số ( )2 2 16 16 2 x f x x x + = + + trên (0;+∞). Ta có f(x)liên tục trên (0;+∞)và( )2 32 2 2 2 2 2 2 2 .2 2 16 8 8 16 4 16 16 16 16 x x x x x x x f x x x x x x x x − + −+ = + = − = + + + + ( )( )( )' 0 2; ' 0 2; ' 0 0 2 f x = ⇔ =x f x > ⇔ >x f x < ⇔ < <x Suy ra (0; ) ( )( )( )5 5min min 2 5,5902 2 x AB f x f m ∈ +∞ (68) 68 Câu 33: Cho hai vị trí A , B cách nhau 615m , cùng nằm về một phía bờ sơng như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B . Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: A. 596, 5m B. 671, 4m C. 779, 8m D. 741,2m Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B. dễ dàng tính được BD=369,EF=492.Ta đặtEM=x,khi đó ta được:()22 2 2 492 , 118 , 492 487 . = − = + = − + MF x AM x BM x Như vậy ta có hàm số f x ( )được xác định bằng tổng quãng đường AM và MB:( )= 2+1182 +(492−)2+4872f x x x với x∈ [0;492]Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của f x ( )để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vịtrí điểm M. ( )()2 2 2 2 492 ' . 118 492 487 − = − + − + x x f x x x ( )()2 2 2 2 492 ' 0 0 118 492 487 − = ⇔ − = + − + x x f x x x ()2 2 2 2 492 118 492 487 − ⇔ = + − + x x x x ()()2 2 2 2 492 487 492 118 ⇔x −x + = −x x + ()2()2()2 492 4872 492 2 1182 0 492 − + = − + ⇔ ≤ ≤ x x x x x () (2)2487 58056 118 0 492 = − ≤ ≤ x x x 58056 58056 58056 605 369 605 0 492 = = − ⇔ ⇔ = ≤ ≤ x hay x (69) 69 Hàm số f x ( )liên tục trên đoạn[0;492]. So sánh các giá trị của (0)f , 58056605 f , f (492)ta cógiá trị nhỏ nhất là 58056 779,8605 ≈ f m Khi đó quãng đường đi ngắn nhất là xấp xỉ 779,8m. Câu 34: Một cơng ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì cơng ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng. A. 2.225.000. B. 2.100.000 C. 2.200.000 D. 2.250.000 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Gọi (đồng/tháng) là số tiền tăng thêm của giá cho thuê mỗi căn hộ. ( ) Khi đó số căn hộ bị bỏ trống là: (căn hộ). Khi đó, số tiền cơng ti thu được là: (đồng/tháng). Khảo sát hàm số trên . . . Bảng biến thiên x 0 250 000 T’ 0 T 2 250 000 Do đó =2.250.000. Câu 35: Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 10$ một cái mỗi năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 20$ cộng thêm 9$ mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần bao nhiêu cái để chi phí hàng tồn kho là nhỏ nhất ? A. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. B. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 100 cái ti vi. C. Đặt hàng 25 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. D. Đặt hàng 20 lần, mỗi lần 90 cái ti vi. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Gọi x là số ti vi mà cừa hàng đặt mỗi lần (x∈ [1;2500], đơn vị cái)Số lượng ti vi trung bình gửi trong kho là x 2 nên chi phí lưu kho tương ứng là x10. 5x 2 =Số lần đặt hàng mỗi năm là 2500 x và chi phí đặt hàng là: ()250020 9x x + Khi đó chi phí mà cửa hàng phải trả là: C x ( )2500(20 9x)5x 5x 50000 22500x x = + + = + + x x≥0 2100 000 x ( )(2 000 000)50 2100 000x T x x = + − 22100 000 000 10 100 000 xx = + − ( )T x +∞0; )( )' T x =10 4 100 000 x − ( )' 0 1000 000 4 0 250 000 T x = ⇔ − x = ⇔x = +∞ + − ( )()0 max 250 000 (70) 70 Lập bảng biến thiên ta được: Cmin =C 100 ()=23500Kết luận: đặt hàng 25 lần, mỗi lần 100 cái tivi.Câu 36: Có một tấm gỗ hình vng cạnh 200 cm. Cắt một tấm gỗ có hình tam giác vng, có tổng của một cạnh góc vng và cạnh huyền bằng hằng số từ tấm gỗ trên sao cho tấm gỗ hình tam giác vng có diện tích lớn nhất. Hỏi cạnh huyền của tấm gỗ này là bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Kí hiệu cạnh góc vng Khi đó cạnh huyền , cạnh góc vng kia là Diện tích tam giác ABC là: . Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số này trên khoảng Ta có Lập bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên ta có:
Tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi Câu 37: Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường trịn bán kính , biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường trịn. A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi là độ dài cạnh hình chữ nhật khơng nằm dọc theo đường kính đường trịn . Khi đó độ dài cạnh hình chữ nhật nằm dọc trên đường trịn là: Diện tích hình chữ nhật: Ta có . Suy ra là điểm cực đại của hàm . Vậy diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là: 120cm 40cm 40 3cm 80cm 40 2cm ,0 60 = < < AB x x 120 = − BC x AC= BC2−AB2 = 1202−240x ( )1 . 1202 2402= − S x x x (0;60)( )2( )2 2 1 1 240 14400 360 , 120 240 . ' 0 40 2 2 2 120 240 2 120 240 − − = − + = ⇒ = ⇔ = − − x S x x x S x x x x x 0 40 60 ( )S' x + 0 − ( )S x ( )40S80=BC 10cm 2 80cm 100cm2 160cm2 200cm2 ( ) x cm (0< <x 10)( )2 22 10 −x cm .2 2 2 10 S= x −x 2 2 2 2 2 2 22 2 10 2.10 4 10x S x x x ′ = − − = − − ()() =′ = ⇔ = − 10 2 thoûa2 0 10 2 không thỏa2 xS x 10 2 8 40 2 0 2 S′′= − x ⇒S′′ = − < 10 22 x= S x ( )()22 10 2 S 10 2. 10 100 2 cm (71) 71 Câu 38: Trong bài thực hành của môn huấn luyện qn sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sơng. Biết rằng lịng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Bạn hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất, nếu như dịng sơng là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1km theo đường chim bay. A. 4003B.4033C.1003D.2003Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Vấn đề là chọn thời gian bơi và thời gian đi bộ sao cho “tối ưu”. Giả sử độ dài đoạn bơi là l và tốc độ bơi của chiến sĩ là v. Ký hiệumlà độ dài đoạn sông kể từ người chiến sĩ đến đồn địch, khi ấytổng thời gian bơi và chạy bộ của người chiến sĩ là 2 10022 − − = +l m l t v v . Do m v, là cố định nên thời gian đạt cực tiểu khi hàm số 2 1002 2 2 1002 ( ) 2 2 − − − = −l l = l l f l v v v đạt cực tiểu, và cũng tức là khi hàm ( ) 2= − 2−1002 g l l l đạt cực tiểu. Điều này xảy ra khi 2 2 2 0 100 − = − ll , hay =2 2−100 l l , tức là l=400 / 3 133,333333= (met). Câu 39: Cần phải đặt một ngọn điện ở phía trên và chính giữa một cái bàn hình trịn có bán kính a. Hỏi phải treo ở độ cao bao nhiêu để mép bàn được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C được biểu thị bởi công thức C ksin2 rα = (α là góc nghiêng giữa tia sáng và mép bàn, k là hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng). A. h 3a 2 = B. h a 2 2 = C. h a 2 = D. h a 3 2 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Ta có: r a= 2+h2 (Định lý Py- ta- go) 2 2 h h sin R a h α = = + 2 2 2 (2 2)sin h C k. k R a h a h α ⇒ = = + + (72) 72 Xét hàm ( )()3()2 2h f h h 0 a h = > + , ta có: ( )()()3 2 2 2 2 2 3 3 a h 2h . a h 2f ' h a h + − + = + ( )(2 2)3 2 2 2f ' h = ⇔0 h +a =3.h . a +h h2 a2 3h2 h a 22 ⇔ + = ⇔ = Bảng biến thiên: h 0 a 2 2 +∞f '(h) + - f(h) Từ bảng biến thiên suy ra: f h ( )max h a 2 C k.f h( )max h a 22 2 ⇔ = ⇒ = ⇔ = Câu 40: Nhà Nam có một chiếc bàn trịn có bán kính bằng m. Nam muốn mắc một bóng điện ở phía trên và chính giữa chiếc bàn sao cho mép bàn nhận được nhiều ánh sáng nhất. Biết rằng cường độ sáng C của bóng điện được biểu thị bởi cơng thức ( là góc tạo bởi tia sáng tới mép bàn và mặt bàn, c - hằng số tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện). Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là A. 1m B. 1,2m C. 1.5 m D. 2m Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Gọi h là độ cao của bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ là bóng điện; I là hình chiếu của Đ lên mặt bàn. MN là đường kính của mặt bàn. ( như hình vẽ) Ta có và , suy ra cường độ sáng là: . 2 2sin C c lα = αsin hl α = h2= −l2 2 2 32 ( ) l ( 2) C l c l l − = > ( )46 22()' . 0 2 . 2 l C l c l l l− (73) 73 Lập bảng biến thiên ta thu được kết quả C lớn nhất khi , khi đó Câu 41: Nhà của 3 bạn A, B, C nằm ở 3 vị trí tạo thành một tam giác vng tại B ( như hình vẽ), AB = 10 km; BC = 25 km và 3 bạn tổ chức họp mặt ở nhà bạn C.Bạn B hẹn chở bạn A tại vị trí M trên đoạn đường BC. Từ nhà, bạn A đi xe buýt đến điểm hẹn M với tốc độ 30km/h và từ M hai bạn A, B di chuyển đến nhà bạn C bằng xe máy với tốc độ 50km/h. Hỏi điểm hẹn M cách nhà bạn B bao nhiêu km để bạn A đến nhà bạn C nhanh nhất ? A. 5 km B. 7,5 km C. 10 km D. 12,5 km Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Đặt BM = x (km), Thời gian để bạn A di chuyển từ A đến M rồi đến nhà C là: (h) Lập bảng biến thiên, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của là khi Câu 42: Một sợi dây có chiều dài là 6 m, được chia thành 2 phần. Phần thứ nhất được uốn thành hình tam giác đều, phầm thứ hai uốn thành hình vng. Hỏi độ dài của cạnh hình tam giác đều bằng bao nhiêu để diện tích 2 hình thu được là nhỏ nhất? A. 18 9 4 3+ (m) B. 36 3 4+ 3(m) C. 12 4+ 3(m) D. 18 34+ 3 (m) Hướng dẫn giải: Chọn đáp án A. Gọi độ dài cạnh hình tam giác đều là x (m) khi đó độ dài cạnh hình vng là 6 3 x− Tổng diện tích khi đó là: ()()2 2 2 3 6 3 1 9 4 3 36 36 4 4 16 x S= x + − = + x − x+ Diện tích nhỏ nhất khi 182 9 4 3 bx a= − = + Vậy diện tích Min khi 189 4 3 x = + Hoặc đến đây ta có thể bấm máy tính giải phương trình (9 4 3+)x2−36x+36 ấn bằng và hiện giá trị.( )()' 0 6 2 C l = ⇔ =l l> 6 l = h =2 0 x≥ 2 100 25 30 50 ( ) x x t x = + + − ( ) t x 23 30 152 x= C M (74) 74 Câu 43: Một khách sạn có 50 phịng. Hiện tại mỗi phòng cho thuê với giá 400 ngàn đồng một ngày thì A. 480 ngàn. B. 50 ngàn. C. 450 ngàn. D. 80 ngàn. Hướng dẫn giải: Chọn đáp án C. Gọi x(ngàn đồng) là giá phòng khách sạn cần đặt ra, x>400 (đơn vị: ngàn đồng). Giá chênh lệch sau khi tăng x−400. Số phòng cho thuê giảm nếu giá là x:(400)2 40020 10 − + − = x x . Số phòng cho thuê với giá x là 50400901010−−x=−x.Tổng doanh thu trong ngày là: 2 ( ) 90 90 10 10 = − = − + x x f x x x. ( )905′= − +xf x. f x′( ) 0= ⇔ =x 450. Bảng biến thiên:Dựa vào bảng biến thiên ta thấy f x( ) đạt giá trị lớn nhất khi x=450. Vậy nếu cho th với giá 450 ngàn đồng thì sẽ có doanh thu cao nhất trong ngày là 2.025.000 đồng. Câu 44: Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện ( )=480 20n− (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất ?A. 10 B. 12 C. 16 D. 24 Hướng dẫn giải: Chọn đáp án B. Gọi n là số con cá trên một đơn vị diện tích hồ n 0> . Khi đó: ( )=480 20n gam−()Cân nặng của n con cá là: n.P n ( )=480n 20n gam− 2()Xét hàm số: f n ( )=480n 20n , n 0;− 2(+∞).Ta có: f ' n ( )=480 40n− , cho f ' n( )= ⇔ =0 n 12(75) 75 Câu 45: Hai con chuồn chuồn bay trên hai quỹ đạo khác nhau tại cùng một thời điểm. Một con bay ( )0;0 đến điểmB(0;100)với vận tốc 5 /m s. Con còn lại bay trênquỹ đạo đường thẳng từC (60;80)vềA với vận tốc10 /m s. Hỏi trong quá trình bay, thì khoảng cáchngắn nhất mà hai con đạt được là bao nhiêu? A. 20( )m B. 50( )m C. 20 10( )m D. 20 5( )m Hướng dẫn giải: Chọn đáp án D. Xét ở thời điểm t Tọa độ của con chuồn chuồn bay từ B về A là (0;100 5t−).Do con chuồn chuồn bay từ C về A trên đường thẳng AC có hệ số góc tan 43 k = α = nên tọa độ của con chuồn chuồn này là: 3 60 10 .cos 60 10 . 60 65 80 10sin 80 8 x t t t y t α α = − = − = − = − = − Như vậy ở thời điểm t khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn sẽ là: d = (60 6 )− t 2+(20 3 )+ t 2 Khoảng cách giữa 2 con chuồn chuồn nhỏ nhất khi và chỉ khi (60 6 )− t 2+(20 3 )+ t 2đạt giá trị nhỏ nhất với t ∈ [0;10]Xét f t( ) (60 6 )= − t 2+(20 3 )+ t 2trên [0;10]Ta có: ( ) 90 600 0 203f t′ = t− = ⇔ =t 20 min ( ) 2000 3 f t f ⇒ = = ⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa 2 con chuồn chuồn trong quá trình bay là 2000 20 5( )= m |
