Đề bài
Chứng minh rằng trong một ngũ giác, tổng các đường chéo lớn hơn chu vi.
Lời giải chi tiết
Xét ngũ giác ABCDE cần chứng minh rằng:
\[AC + A{\rm{D}} + BD + BE + CE > AB + BC + CD + DE + EA\]
Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BE và AD, AC.
P, Q lần lượt là giao điểm của BD với AC, CE.
K là giao điểm của CE và AD.
\[\Delta NAB\] có \[AN + BN > AB\] [BĐT tam giác]
Tương tự \[\Delta PBC\] có \[BP + CP > BC,\,\,\Delta QCD\] có \[CQ + DQ > CD\]
\[\Delta KDE\] có \[DK + EK > DE,\,\,\Delta MAE\] có \[AM + EM > EA\]
Do đó \[AN + BN + BP + CP + CQ + DQ + DK + EK + AM + EM > AB + BC + CD + DE + EA\]
Mà
\[\eqalign{ & AC + AD + BD + BE + CE \cr & > \left[ {AN + CP} \right] + \left[ {DK + AM} \right] + \left[ {BP + DQ} \right] + \left[ {EM + BN} \right] + \left[ {CQ + EK} \right] \cr & = AN + CP + DK + AM + BP + DQ + EM + BN + CQ + EK \cr & = AN + BN + BP + CP + CQ + DQ + DK + EK + AM + EM \cr} \]
Vậy \[AC + A{\rm{D}} + BD + BE + CE > AB + BC + CD + DE + EA\]