Đề bài
Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn [O]. Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF, CE cắt nhau tại H.
a] Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC.
b] Gọi K là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh tứ giác ABKC nội tiếp.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a.Sử dụng: Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn bằng 90 độ
b.Chứng minh tứ giác ABKC có tổng 2 góc đối diện bằng 180
Lời giải chi tiết
a] Ta có : \[\widehat {BEC} = 90^\circ \] [ BC là đường kính] hay \[CE \bot AB.\]
Tương tự \[\widehat {BFC} = 90^\circ \] \[\Rightarrow BF \bot AC\] mà BF và CE cắt nhau tại H.
\[ \Rightarrow \]H là trực tâm \[ABC.\]
b] H và H đối xứng qua BC
\[\Rightarrow BH = BK, CH = CK\]
Từ đó hai tam giác BHC và BKC bằng nhau [c.c.c]
\[\left. \begin{gathered}
\Rightarrow \widehat {BKC} = \widehat {BHC} \hfill \\
\,\,\,\,\,\,\widehat {BHC'} = \widehat {EHF}\left[ \text{đối đỉnh} \right] \hfill \\
\end{gathered} \right\} \Rightarrow \widehat {BKC} = \widehat {EHF}\]
Mặt khác tứ giác AEHF nội tiếp\[\left[ {\widehat {AEH} + \widehat {AFH} = {{180}^o}} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat A + \widehat {EHF} = {180^o}\]
Do đó\[\widehat A + \widehat {BKC} = {180^o}\]. Vậy tứ giác ABKC nội tiếp.