Đề bài
Cho tam giác \[ABC.\] Gọi \[M, N\] là các trung điểm tương ứng của \[AC, BC.\] Chứng minh rằng diện tích của hình thang \[ABNM\] bằng \[\dfrac{3}{4}\]diện tích của tam giác \[ABC.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó.
$$S = {1 \over 2}ah$$
Lời giải chi tiết
Vẽ hai trung tuyến \[AN, BM\] của \[ABC.\] Ta có:
\[{S_{MNA}} =\dfrac{1}{2}{S_{ACN}}\]
[có cùng đường cao từ đỉnh \[N\], đáy \[AM = \dfrac{1}{2}AC]\]
\[{S_{ACN}} =\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\]
[có cùng đường cao từ đỉnh \[A\], đáy \[CN =\dfrac{1}{2}BC]\]
\[{S_{ABN}} =\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\]
[có cùng đường cao từ đỉnh \[A\], đáy \[BN =\dfrac{1}{2}BC]\]
Suy ra \[{S_{AMN}}= \dfrac{1}{2}{S_{ACN}} =\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\]\[=\dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\]
Vậy \[{S_{ABN}} + {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} +\dfrac{1}{4}{S_{ABC}} \]\[=\dfrac{3}{4}S_{ABC}\]
Tức là \[{S_{ABNM}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\]