LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIANI. CÔNG THỨC TÍNH TOÁN THƯỜNG DÙNG1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông*] 2 2 2a b c= +*] 2. 'c a c=*] . .a h b c=*] sin cosbB Ca= =*] tan cotbB Ca= =*] 2. 'b a b=*] 2'. 'h b c=*] 2 2 21 1 1h b c= +*] sin coscC Ba= =tan cotcC Bb= =2] Hế thức lượng trong tam giác bất kỳa] Định lý côsin: 2 2 22 cosa b c bc A= + −b] Định lý sin: 2sin sin sina b cRA B C= = = [R: bán kính dường trong ngoại tiếp ∆ABC]3] Công thức tính diện tích tam giác[1]: 1 1 1. . .2 2 2a b cS a h b h c h= = =[3]: 4abcSR=[5]: [ ][ ][ ]S p p a p b p c= − − −[2]: 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B= = =[4]: ,2a b cS pr p+ += =[r: bán kính đường tròn nội tiếp]Chú ý: Nếu ∆ABC vuông tại A, thì 1.2S AB AC=Nếu ∆ABC đều cạnh a thì 23 3,4 2a aS h= =4] Công thức tính diện tích các hình kháca] Hình vuông cạnh a: S = a2b] Hình chữ nhật: S = dài x rộng c] Hình thoi: S = nửa tích hai đường chéod] Hình thang: S = [[Đáy lớn + Đáy nhỏ] x Chiều cao] chia 2e] Hình bình hàng: S = Đáy x Chiều caog] Hình tròn: 2.S Rπ=h] Tứ giác có hai đường chéo x, y vuông góc: 2S = x.y 5] Chú ý: Đường chéo của hình vuông cạnh a là: 2aBiên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.NetLÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIANĐường chéo của hình lập phương cạnh a là: 3aĐường chéo của hình hộp chữ nhật cạnh a, b, c là: 2 2 2a b c+ +Biên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.NetLÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIAN II] CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳngCách 1: Ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng. Khi đó giao tuyến là đườngthẳng đi qua hai điểm chung đóCách 2: Sử dụng hệ quả của định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng [Định lý 2.SGK.Tr57]Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giaotuyến của chúng [nếu có] cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với mộttrong hai đường thẳng đó.Cách 3: Sử dụng định lí 2. SGK. Tr61 và hệ quả của nó- Định lí: Cho đường thẳng a song song mp[P]. mp[Q] chứa a và cắt [P] theo giaotuyến là b thì b song song với a.- Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thìgiao tuyến của chúng [nếu có] cũng song song với đường thẳng đó.Cách 4: Sử dụng định lí 3. SGK. Tr67.Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắtmặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.*] Chú ý: Phương pháp chung sử dụng cách 2, 3, 4 là: - Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng- Các định lí, hệ quả ở cách 2, 3, 4 cho ta phương của giao tuyến theo mộtđường thẳng. Từ đó xác định được giao tuyến Dạng toán 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳngTìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng kia Dạng toán 3: Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy- CM ba điểm thẳng hàng ta CM chúng cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt- CM ba đường thẳng đồng quy ta CM giao điểm của hai đường thẳng này là điểm chungcủa hai mặt phẳng phân biệt mà giao tuyến là đường thẳng thứ 3 Dạng toán 4: Tìm thiết diện của một mặt phẳng và một hình- Xác định các giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình - Xác định giao điểm của các giao tuyến với các cạnh của hình đến khi ta thu được một đagiác khép kin, đa giác khép kín đó chính là thiết diện. Dạng toán 5: Chứng minh hai đường thẳng song songBiên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.NetLÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIANCách 1: Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứngminh song song trong hình học phẳng [đường trung bình, định lí talét đảo,…]Cách 2: Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ baCách 3: Áp dụng các định lí về giao tuyến [Cách 2, 3, 4 – Bài toán 1]Cách 4: CM hai đường thẳng đó cùng vuông góc với một mặt phẳng Dạng toán 6: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳngCách 1: Áp dụng định lí: Đường thẳng d không nằm trong [P] và d song song với mộtđường thẳng d’ nằm trong [P] thì d song song với [P].Cách 2: CM đường không nằm trong mặt và CM đường thẳng và mặt phẳng đó cùng songsong hoặc cùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng. Dạng toán 7: Chứng minh hai mặt phẳng song songCách 1: Áp dụng định lí: Một mp[P] chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và hai đườngthẳng này cùng song song với mp[Q] thì [P] song song với [Q]Cách 2: CM hai mặt phẳng này phân biệt và CM hai mặt phẳng đó cùng song song hoặccùng vuông góc với một đường thẳng hoặc một mặt phẳng Bài toán 8: Chứng minh hai đường thẳng vuông gócCách 1: [ ][ ]d Pd aa P⊥⇒ ⊥⊂Cách 2: Áp dụng định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc vớimp[P], đường thẳng b nằm trong [P], a’ là h.c.v.g của a lên [P]. Khi đó: 'b a b a⊥ ⇔ ⊥Cách 3: / /[ ][ ]a Pb ab P⇒ ⊥⊥Cách 4: / /a bd ad b⇒ ⊥⊥ Bài toán 9: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng [P]Cách 1: Ta CM a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp[P]Cách 2: / /[ ][ ]a bP aP b⇒ ⊥⊥Cách 3: [ ] / /[ ][ ][ ]P Qa Pa Q⇒ ⊥⊥Cách 4: CM a là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với [P]Biên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.NetLÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIANCách 5: [ ] [ ][ ][ ],P Qa Pa Q a⊥ = ∆⇒ ⊥⊂ ⊥ ∆ Bài toán 10: Chứng minh hai mặt phẳng vuông gócTa CM mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia[ ][ ] [ ][ ]a PP Qa Q⊂⊥ ⇔⊥ hoặc [ ][ ]b Qb P⊂⊥Bài toán 11: Xác định góc giữa đường thẳng a và mp[P]Cách 1: Là góc giữa a và hình chiếu a’ của a lên [P]Cách 2: Là góc giữa a và đường thẳng b, với b//[P]Chú ý: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không bao giờ tùBài toán 12: Xác định góc giữa hai mặt phẳng [P], [Q]Cách 1: - Xác định giao tuyến d của [P] và [Q]- Xác định đường thằng a thỏa mãn: a⊂[P], a⊥d- Xác định đường thẳng b thỏa mãn: b⊂[Q], b⊥dKhi đó góc giữa [P] và [Q] là góc giữa a và bCách 2: Là góc giữa hai đường thẳng a và b, với a⊥[P] và b⊥[Q]Bài toán 13: Xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đường thẳng- Xác định h.c.v.g của điểm lên mp, đường thẳng- Khoảng cách là đoạn nối điểm cho với hình chiếu của nóBài toán 14: Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng [P] song song- Lấy M thuộc a.- [ ,[ ]] [ ,[ ]]d a P d M P=Bài toán 15: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song [P], [Q]- Lấy M thuốc [P]- d[[P],[Q]] = d[M, [Q]]Bài toán 16: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauBiên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.NetLÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIANCách 1: [ ][ , ] [ ,[ ]][ ] / /P bd a b d a PP a⊃⇒ =Cách 2: [ ][ ] [ , ] [[ ],[ ]][ ] / /[ ]P aQ b d a b d P QP Q⊃⊃ ⇒ =Cách 3: Xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau Cho a, b chéo nhaud a Md b N⊥ =⊥ = Thì - d: đường vuông góc chung- MN: đoạn vuông góc chungBiên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.NetLÝ THUYẾT TRỌNG TÂM HÌNH HỌC KHÔNG GIANBài toán 17: Công thức tính thể tích khối đa diện1] Thể tích khối lập phương: 3V a= [a kích thước cạnh]2] Thể tích khối hộp chữ nhật: . .V a b c= [a, b, c kích thước ba cạnh]3] Thể tích khối lăng trụ: .V B h= [B: diện tích đáy, h: chiều cao]4] Thể tích khối chóp: 1.3V B h= [B: diện tích đáy, h: chiều cao]Bài toán 18: Khối tròn xoay1] Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay: xqS rlπ= [r: bán kính đườngtrong đáy, l: đường sinh]2] Thể tích khối nón tròn xoay: 213V r hπ= [r: bán kính đường trong đáy, h: chiềucao]3] Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay: 2xqS rlπ= 4] Thể tích khối trụ tròn xoay: 2V r hπ=Bài toán 19: Khối cầu1] Diện tích: 24S rπ= [r: bán kính mặt cầu]2] Thể tích: 343V rπ=III. CHIỀU CAO CÁC HÌNH CHÓP ĐẶC BIỆT1] Hình chóp đều: Là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và đáy là đa giác đều.Chân đường cao trùng với tâm của đáy2] Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường trònngoại tiếp mặt đáy.3] Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đườngcao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.4] Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giaotuyến của mặt phẳng đó và đáy.5] Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giaotuyến của hai mp đó HẾT Biên soạn: PHẠM VĂN MẠNH – GV trường THPT Cầu Xe [h. Tứ Kỳ - t. Hải DươngWWW.ToanCapBa.Net
Trọng tâm tam giác là một điểm có rất nhiều ứng dụng trong các bài toán tam giác. Hôm nay thầy sẽ chia sẻ với các bạn về cách tìm tọa độ trọng tâm trong tam giác, công thức tìm tọa độ trọng tâm, tính chất của trọng tâm…và một số bài toán liên quan tới trọng tâm trong tâm giác.
Trọng tâm tam giác là gì? Câu trả lời thầy đã viết rất chi tiết trong một bài giảng rồi. Các bạn muốn hiểu hơn về khái niệm cũng như tính chất của trọng tâm thì xem thêm bài giảng này nhé: Trọng tâm của tam giác là gì?
Nếu đã hiểu rõ trọng tâm của tam giác là gì rồi thì ngay bây giờ chúng ta cùng tìm hiểu về công thức tìm tọa độ trọng tâm trong tam giác và một số bài toán liên quan tới tọng tâm.
Công thức tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC với $A[x_A;y_A]$; $B[x_B;y_B]$ và $C[x_C;y_C]$. Gọi $G[x_G;y_G]$ là trọng tâm của tam giác ABC thì tọa độ của trọng tâm G là:
$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$
Như vậy công thức trên là một cách sẽ giúp chúng ta tìm được tọa độ trọng tâm. Bên cạnh đó công thức trên cũng giúp chúng ta giải quyết một số bài toán tìm tọa độ đỉnh của tam giác, viết phương trình đường trung tuyến hay phương trình đường trung bình trong tam giác. Cũng có thể là bài toán liên quan tới trung điểm một cạnh của tam giác.
Xem thêm bài giảng:
Bài tập tìm tọa độ trọng tâm của tam giác
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết $A[1;-2]$, $B[2;1]$ và $C[-1;4]$.
a. Hãy tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b. Tính khoảng cách từ trọng tâm G tới mỗi đỉnh.
Hướng dẫn:
a Dựa theo công thức trọng tâm thầy nêu ở trên thì chúng ta nhanh chóng tìm được tọa độ của điểm G là:
$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{1+2-1}{3}\\y_G=\dfrac{-2+1+4}{3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{2}{3}\\y_G=1\end{array}\right.$
Vậy tọa độ của điểm G là: $G[ \dfrac{2}{3} ;1]$
b. Khoảng cách từ trọng tâm G tới mỗi đỉnh chính là độ dài các đoạn GA, GB và GC hay thực chất là độ dài của các vectơ $\vec{GA}$; $\vec{GB}$ và $\vec{GC}$
Ta có:
$\vec{GA}=[\dfrac{1}{3};-3]$ => $GA=\sqrt{[\dfrac{1}{3}]^2+[-3]^2}=\dfrac{\sqrt{82}}{3}$
$\vec{GB}=[\dfrac{4}{3};0]$ => $GA=\sqrt{[\dfrac{4}{3}]^2+[0]^2}=\dfrac{\sqrt{4}}{3}$
$\vec{GC}=[\dfrac{-5}{3};3]$ => $GA=\sqrt{[\dfrac{-5}{3}]^2+[3]^2}=\dfrac{\sqrt{106}}{3}$
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có $A[-2;2]$; $B[4;5]$ và trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ $G[1;2]$. Hãy tìm tọa độ của điểm C.
Hướng dẫn:
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
$\left\{\begin{array}{ll}x_G=\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3}\\y_G=\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x_C=3x_G-x_A-x_B\\y_C=3y_G-y_A-y_B\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x_C=3.1-[-2]-4\\y_C=3.2-2-5\end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll}x_C=1\\y_C=-1\end{array}\right.$
Vậy tọa độ của đỉnh C là: $C[1;-1]$
Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết phương trình cạnh AB là: $5x-y-7=0$, phương trình cạnh AC là: $3x+y-9=0$, điểm $M[2;-1]$ là trung điểm của cạnh BC. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
Hướng dẫn:
Phân tích:
Từ phương trình của cạnh AB và AC ta sẽ tìm được tọa độ của điểm A là giao của 2 đường thẳng AB và AC.
Vì M là trung điểm của BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác. Mà G là trọng tâm tam giác nên theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có: $\vec{AG}=2\vec{GM}$
Trình bày:
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
$\left\{\begin{array}{ll} 5x-y-7=0 \\ 3x+y-9=0 \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll} x=2 \\y=3 \end{array}\right.$
Vậy tọa độ điểm A là: $A[2;3]$
Gọi tọa độ của điểm G là: $G[x_G;y_G]$
Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC nên ta có:
$\vec{AG}=2\vec{GM}$ với $\vec{AG}[x_G-2;y_G-3]$ và $\vec{GM}[2-x_G;-1-y_G]$
$[x_G-2;y_G-3]=2[2-x_G;-1-y_G]$
$[x_G-2;y_G-3]=[4-2x_G;-2-2y_G]$
$\left\{\begin{array}{ll} x_G-2=4-2x_G \\y_G-3=-2-2y_G \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll} 3x_G=6 \\3y_G=1 \end{array}\right.$
$\left\{\begin{array}{ll} x_G=2 \\y_G=\dfrac{1}{3} \end{array}\right.$
Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là $G[2;\dfrac{1}{3}]$
SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ