Công thức tính đặc trưng hình học tiết diện

CHệễNG 6.ẹAậC TRệNG HèNH HOẽCGVC.Ths. Leõ Hoaứng TunNỘI DUNG1. Khái niệm2. Mô men tónh - Trọng tâm3. Mômen quán tính4. Mômen quán tính của các hình đơn giản5. Công thức chuyển trục song song6. Công thức xoay trục1. KHÁI NIỆM♦ Thanh để đứng [H.a] chòulực tốt hơn thanh để nằm[H.b]♦ Có những đại lượng phụthuộc vào hình dáng, vòtrí mặt cắt ngang, ảnhhưởng đến sự làm việccủa thanhPPxzya]xzy b]♦ Đó là những Đặc trưng Hình Học của mặt cắt ngang.2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂMXét một hình phẳng biểudiễn mặt cắt ngang A [mặtcắt A].Lập hệ tọa độ vuông gócOxy.M[x,y] là một điểm bất kỳtrên hình.Lấy chung quanh M mộtdiện tích vi phân dA.y0yy0yyCMCx0OxCAdAx0xx2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM♦ Mômen tónh :Mômen tónh của Ađối với trục x [hay y] là:S x = ∫ ydF , S y = ∫ xdFFy0yy0yFvì x, y có thể âm hoặc dươngnên Sx , Sy < 0>Thứ nguyên của mômen tónh là[[chiều dài]3].yCMCx0OxCAdAx0xx2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂM♦ Trọng tâm : Trục Trung tâm là trụcmà mômen tónh của A đốivới nó bằng 0 Trọng tâm là giaođiểm của 2 trục trungtâm.y0yy0y Mômen tónh đối với trụcđi qua trọng tâm bằng 0.yCMCx0OxCAdAx0xx2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂMy0y♦ Cách xác đònh Trọng tâm C :Xác đònh xC và yCDựng hệ trục x Cy songsong hệ trục xy00y0yx = xC + xo ; y = yC + yoyCAOAVì Sxo = 0 nên: Sx = y C .ATương tự:Sy = x C .ACx0Sx = ∫ [y C + y o ]dA = y C ∫ dA + ∫ y o dA = y C A + SxoAMxC =xCSyASxyC =AAdAx0xx2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂMTính chất 1: [quan trọng]y•Cx•C• Mặt cắt có trục đối xứng,trọng tâm nằm trên trục đốixứng t. cắt có hai trục đối xứng,• Mặtrọng tâm là giao điểm hai trục đối xứng.y•Cx2. MÔMEN TĨNHTRỌNG TÂMyTính chất 2 :xCA1Mômen tónh của hìnhx1phức tạp bằng tổng mômentónh của các hình đơn giản.•C1CThí dụ 6-1. Đònh trọng tâm•y1mặt cắt chữ L gồm 2 chữ nhật.C2 •Kết quả:Ox2Tọa độ trọng tâmSySxx1 A 1 + x 2 A 2; yC =C của hình trên là: x C = =AA1 + A 2yCy2xA2y1 A 1 + y 2 A 2=AA1 + A 23. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂMy1- Mômen quán tính [MMQT]♦Mômen quán tính độc cực[MMQT đối với điểm] của Ađối với điểm O: I = ∫ ρ2 dApyOA♦ Ip = Ix + Iy♦ Ip , Ix , Iy > 0I = ∫ y 2 dA ; I = ∫ x 2 dAxyAdAρx♦Mômen quán tính của A đối vớitrục y và x :MAA♦ Thứ nguyên - [chiều dài]4x3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂMy♦Mômen quán tính ly tâm[MMQT đối với hệ trục xy]Ixy= ∫ x.y.dAAThứ nguyên - [chiều dài]4Ixy >< 0yOMAdAρx♦Tính chất: MMQT của mộät hình phức tạp bằngtổng mômen quán tính của các hình đơn giản.x3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM2- Hệ trục chính trung tâm♦ Một hệ trục tọa độ có MMQT ly tâmyđối với hệ trục đó bằng khôngOđược gọi là hệ trục quán tính chínhyMAdAρx♦ Hệ trục quán tính chính trung tâmcó gốc ở trọng tâm♦ MMQT đối với các trục quán tính chính trung tâmgọi là MMQT chính trung tâm.I = ∫ y 2 dA ; I = ∫ x 2 dAxyAAx3. MÔMEN QUÁN TÍNHHỆ TRỤC CHÍNH TRUNG TÂM2- Tính chất 3- quan trọng♦Trục đối xứng của mặt cắt và trụcvuông góc với nó đi qua trọng tâmhợp thành hệ trục chính trung tâmydA1dA2A1A2O♦Chứng minh:I xy = ∫ yxdA =A∫A1 + A2yxdA = ∫ [ xy − yx]dA1 = 0A1x4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦACÁC HÌNH THƯƠNG GẶP1- Hình chữ nhật:Hệ có hai trục đối xứng x, ycũng là hệ trục QTCTT.I = ∫ y 2 dA =xAbh 3I =x12hb 3I =y12h22y∫ bdyh−2dA = b.dyydyh/2Oh/2byx4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦACÁC HÌNH THƯƠNG GẶPy2- Hình tròn:dA = 2πρ.dρRHệ có hai trục đối xứng x, ycũng là hệ trục QTCTT.Oρdρ Tính Ip :D22I = ∫ ρ dA = ∫ ρ2 .2πρ.dρpA0πD 4I =p32IpTính Ix , Iy : I = I =xy 2DπD 4I =I =xy 64x4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦACÁC HÌNH THƯƠNG GẶP3- Hình vành khăn: Tính Ip :44πDπdI = I D − Id =−p pp 3232πDI =[1 − η4 ]p 324Tính Ix , Iy : I = I = I pxy 2πDI =I =[1 − η4 ]xy 644ydODη=dDx5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤCSONG SONGIX= ∫ Y dA = ∫ [ b + y] dA2Ay2AI = ∫ y 2 dA + 2 b ∫ y.dA + ∫ b 2 .dAXAAAI = I x + 2 bSx + b AXI = I y + 2aSy + a2 AYyY1- Lập công thức:Tính IX , IY , IXY :2IXYYbMOAdAxO'axXX= I xy + aSx + bSy + abA5. CÔNG THỨC CHUYỂN TRỤCSONG SONG2I = Ix + b AXCách nhớ: MMQT đối với trụcmới bằng MMQT đối với trụccũ cộâng diện tích nhân khoảngcách hai trục bình phươngyY2- Trường hợp thường dùng:Khi trục cũ [xy] làhệ trục chính trung tâm :yYbMOxO'aAdAxXX4. MOMEN QUAN TNH CUACAC HèNH THệễNG GAậP3- Thớ duù 3:I BB'3bhI BB' =12h= I x + A. 2y2h/223hbh + bh =32Oh/2BbxB'4. MÔMEN QUÁN TÍNH CỦACÁC HÌNH THƯƠNG GẶP3- Thí dụ 4: Đònh MMQTchính trung tâmGiải:- Trọngtâm:Sx 24.4.2 + 2[4.12.10]y === 6cmC A[24.4] + 2[4.12]1 + I 2 + I3I=I- MMQT: X X X X324.4I1 =+ [24.4].4 2X1234.12I 2 = I3 =+ [4.12].4 2XX1248 y8412x410X2y3CX6IX=4352cm41x6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC1- Lập công thức:Tính Iu , Iv , Iuv :u = y.sinα+x.cos αv = y.cosα-x.sin αIu = ∫A v2 .dA; Iv = ∫A u2 .dATa có:Iuv = ∫A uv.dAyVMyIx + Iy Ix − IyIu =+cos 2α − I xy sin 2αI2x − I y 2I uv =sin 2α + I xy cos 2α2dAUvOAuxαx6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC2- Hệ trục chính [HTC]: Hệ trục quán tính chínhlà hệ trục có MMQT ly tâmbằng không. Tìm HTC, cho Iuv=0tg2α 0 = −yVMy2I xyIx − IydAUvOAux⇒ có 2 góc α0 sai biệt nhau 90 0nghóa là luôn có 2 trục chính vuông góc nhau.αx6. CÔNG THỨC XOAY TRỤC MMQT cực tròMdIuvCho=0dαCũng được tg2α 0 = −2I xyIx − IyMMQT cực trò cũng làMMQT đối với trục chính.I max,min =Ix + Iy2yVy1±[I x − I y ]2 + 4I 2xy2dAUvOAuxαx

Chương 4ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC MẶT CẮT NGANGChương 4. Đặc trưng hình học củamặt cắt ngang 4.1. Khái niệm chung4.2. Mômen tĩnh và các mô men quán tính4.3. Mô men quán tính một số hình đơn giản4.4. Công thức chuyển trục song song4.5. Ví dụ University of Architechture4.1. Khái niệm chung• Kéo – nén đúng tâm:ứng suất, biến dạng phụ thuộc vàodiện tích mặt cắt ngang• Thanh tiết diện chữ nhật khả năng chịu lực theo hai phương x, y khác nhau• Khả năng chịu lực của thanh phụthuộc vào diện tích, hình dáng,cách sắp xếp, …của mặt cắtngang• Các đại lượng mà độ lớn phụthuộc vào hình dạng, kích thướccủa mặt cắt ngang - đặc trưnghình học của mặt cắt ngangFyxzyxzF University of Architechture