Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \[z\] thỏa mãn \[|z| = 1\] và \[|5z \overline z 8 6i| = 12\]?
A.\[0\].
B. \[2\].
C. \[4\].
D. \[1\].
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \[M\left[ {x;y} \right]\] là điểm biểu diễn của \[z\]. Ta có
+ \[|z| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\].
+\[|5z \overline z 8 6i| = 12\]\[ \Leftrightarrow |5x + 5y.i x + y.i 8 6i| = 12\]\[ \Leftrightarrow |4x 8 + 6y.i 6i| = 12\]\[ \Leftrightarrow |2x 4 + 3y.i 3i| = 6\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {2x 4} \right]}^2} + {{\left[ {3y 3} \right]}^2}} = 6\]\[ \Leftrightarrow 4{\left[ {x 2} \right]^2} + 9{\left[ {y 1} \right]^2} = 36\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left[ {x 2} \right]}^2}}}{9} + \frac{{{{\left[ {y 1} \right]}^2}}}{4} = 1\].
Do đó, ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\\frac{{{{\left[ {x 2} \right]}^2}}}{9} + \frac{{{{\left[ {y 1} \right]}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\].
Đặt \[\left\{ \begin{array}{l}x = X + 2\\y = Y + 1\end{array} \right.\], ta được \[\left\{ \begin{array}{l}{[X + 2]^2} + {[Y + 1]^2} = 1\\\frac{{{X^2}}}{9} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\].
Hình vẽ biểu diễn cặp \[\left[ {X;Y} \right]\] như sau:
Dựa vào hình vẽ giao điểm giữa đường tròn \[{[X + 2]^2} + {[Y + 1]^2} = 1\] và đường elip \[\frac{{{X^2}}}{9} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\] cắt nhau tại \[B\left[ {{X_B};{Y_B}} \right]\], \[C\left[ {{X_C};{Y_C}} \right]\].
Với \[B\left[ {{X_B};{Y_B}} \right]\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = {X_B} + 2\\{y_B} = {Y_B} + 1\end{array} \right.\] nên \[z = {X_B} + 2 + [{Y_B} + 1].i\].
Với \[C\left[ {{X_C};{Y_C}} \right]\] thì \[\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = {X_C} + 2\\{y_C} = {Y_C} + 1\end{array} \right.\] nên \[z = {X_C} + 2 + [{Y_C} + 1].i\].
Vậy có \[2\] số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.