Đếm số phương án liên quan đến số tự nhiên
Ta sử dụng phương pháp chung và một số lưu ý sau:
Khi lập một số tự nhiên
* ai ∈ {0,1,2,…,9} và a1 ≠ 0.
* x là số chẵn ⇔ an là số chẵn.
* x là số lẻ ⇔ an là số lẻ.
* x chia hết cho 3 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 3.
* x chia hết cho 4 ⇔
* x chia hết cho 5 ⇔ an=0 hoặc an=5.
* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.
* x chia hết cho 8 ⇔
* x chia hết cho 9 ⇔ a1+a2+⋯+an chia hết cho 9.
* x chia hết cho 11⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số chia hết cho 11.
* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.
Bài 1: Có bao nhiêu chữ số chẵn gồm bốn chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số 0,1,2,4,5,6,8.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,4,5,6,8}, a ≠ 0.
Vì x là số chẵn nên d ∈ {0,2,4,6,8}.
TH1: d = 0 ⇒ có 1 cách chọn d.
Vì a ≠ 0 nên ta có 6 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {1,2,4,5,6,8}\{a,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 1.6.5.4 = 120 số.
TH2: d ≠ 0, d chẵn nên d ∈ {2,4,6,8}. Vậy có 4 cách chọn d
Với mỗi cách chọn d, do a ≠ 0 nên ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,4,5,6,8}\{d}.
Với mỗi cách chọn a,d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,4,5,6,8}\{a,d,b}.
Suy ra trong trường hợp này có 4.5.5.4= 400 số.
Vậy có tất cả 120 + 400 = 520 số cần lập.
Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}.Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}, a ≠ 0.
Vì a ≠ 0 nên a có 6 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}.
Với mỗi cách chọn a ta có 6 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a}.
Với mỗi cách chọn a,b ta có 5 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b}.
Với mỗi cách chọn a,b, c ta có 4 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,c}.
Vậy có 6.6.5.4 = 720 số cần lập.
Bài 3: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}.
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao các số này lẻ không chia hết cho 5.
Đáp án và hướng dẫn giải
a,b,c,d,e,f,g,h ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8} là số cần tìm.
Vì x lẻ và không chia hết cho 5 nên h ∈ {1,3,7} nên h có 3 cách chọn
Số các chọn các chữ số còn lại là: 7.6.5.4.3.2.1
Vậy 15120 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 1: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm 4 chữ số đôi một khác nhau
Lời giải:
a,b,c,d ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0
Vì x là số lẻ nên d ∈ {1,3,5} vậy d có 3 cách chọn.
Vì a ≠ 0 và với mỗi cách chọn d ta có 5 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6}\{d}.
Với mỗi cách chọn a, d ta có 5 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,d}.
Với mỗi cách chọn a, b, d ta có 4 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6}\{a,b,d}.
Suy ra trong trường hợp này có 3.5.5.4 = 300 số.
Bài 2: Cho tập A = {0,1,2,3,4,5,6}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số và chia hết cho 5.
Lời giải:
a,b,c,d,e ∈ {0,1,2,3,4,5,6},a ≠ 0 là số cần lập, e ∈ {0,5}.
TH1: e = 0 suy ra có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 6.5.4.3
Trường hợp này có 360 số
TH2: e = 5 suy ra e có 1 cách chọn, số cách chọn a,b,c,d là 5.5.4.3 = 300.
Trường hợp này có 300 số
Vậy có 660 số thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 3: Cho tập hợp số A = {0,1,2,3,4,5,6}. Hỏi có thể thành lập bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.
Lời giải:
Ta có một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số chia hết cho 3. Trong tập A có các tập con các chữ số chia hết cho 3 là {0,1,2,3}, {0,1,2,6},{0,2,3,4}, {0,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,2,3,6}, {1,3,5,6}.
Vậy số các số cần lập là: 4[4! – 3!] + 3.4! = 144 số.
Bài 4: Có bao nhiêu số các số tự nhiên gồm chữ số chia hết cho 10?
Lời giải:
a,b,c,d,e là các chữ số, a ≠ 0.
Vì x chia hết cho 10 nên e = 0, vậy e có 1 cách chọn.
Chọn a có 9 cách chọn a ∈ {1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn b có 10 cách chọn b ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Chọn c có 10 cách chọn c ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Chọn d có 10 cách chọn d ∈ {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Vậy số các số cần lập là 1.9.10.10.10 = 9000 số.
Bài 5: Cho tập A = {1,2,3,4,5,6,7,8}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu chẵn và chữ số đứng cuối lẻ.
Lời giải:
Với a, b, c, d, e, f, g, h ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} là số cần tìm.
Vì chữ số đứng đầu chẵn nên a có 4 cách chọn, chữ số đứng cuối lẻ nên h có 4 cách chọn.
Với mỗi cách chọn a và h thì sẽ có 6 cách chọn b; 5 cách chọn c; 4 cách chọn d, 3 cách chọn e; 2 cách chọn f và 1 cách chọn g.
Vậy có 4.4.6.5.4.3.2.1 = 11 520 số thỏa yêu cầu bài toán.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube Tôi
Các công thức về tổ hợp
Trong Toán học, tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp. Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam.
1. Tổ hợp không lặp
Cho tậpAgồmnphần tử. Mỗi tập con gồmk [1≤ k ≤ n]phần tử củaAđược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.
Theo định nghĩa, tổ hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và không sắp thứ tự. Số tổ hợp chập k của n phần tử bằng với hệ số nhị thức.
Tổ hợp chập k của n phần tử là số những nhóm gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử mà giữa chúng chỉ khác nhau về thành phần cấu tạo chứ không quan trọng về thứ tự sắp xếp các phần tử. Các nhóm được coi là giống nhau nếu chúng có chung thành phần cấu tạo. VD: {1;2;3} và {2;1;3} là giống nhau.
Công thức của tổ hợp không lặp2. Tổ hợp lặp
Cho tậpA = {a1; a2; ….; an}và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tập hợp gồm k phần tử, trong đó, mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.
Công thức của tổ hợp lặpI. Lý thuyết cần nắm để giải bài tập toán lớp 11 - Quy tắc đếm
Để làm tốt các bài tập trắc nghiệm toán 11 phần quy tắc đếm các em cần nắm rõ các kiến thức sau đây:
1. Quy tắc cộng:
Một công việc sẽ được hoàn thành bởi một trong hai hành động X hoặc Y. Nếu hành động X có m cách thực hiện, hành động Y có n cách thực hiện và không trùng với bất cứ cách thực hiện nào của X thì công việc đó sẽ có m+n cách thực hiện.
- Khi A và B là hai tập hợp hữu hạn, không giao nhau thì ta có:
n[A∪B] = n[A] + n[B]
- Khi A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kỳ thì ta có:
n[A∪B] = n[A] + n[B] – n[A ∩ B]
Chú ý: nếu A1,A2,...,An là các tập hợp hữu hạn và đôi một không giao nhau thì n[A1∪A2∪…An] = n[A1] + n[A2]+...+n[An]
2. Quy tắc nhân:
Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp là X và Y. Nếu hành động X có m cách thực hiện và ứng với hành động Y có n cách thực hiện thì có m.n cách hoàn thành công việc.
Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp.
Các em cần phân biệt rõ hai quy tắc đếm này để khi áp dụng làm bài tập toán lớp 11 phần này không bị lúng túng và đạt hiệu quả cao nhất.