Học Tốt Công thức

Chứng minh công thức tính the tích khối chóp

Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,74,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,39,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,101,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,259,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,16,Đề cương ôn tập,38,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,940,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,157,Đề thi giữa kì,16,Đề thi học kì,130,Đề thi học sinh giỏi,123,Đề thi THỬ Đại học,382,Đề thi thử môn Toán,49,Đề thi Tốt nghiệp,41,Đề tuyển sinh lớp 10,98,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,210,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,8,File word Toán,33,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,185,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,17,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,349,Giáo trình - Sách,80,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,193,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,106,Hình học phẳng,88,Học bổng - du học,12,Khái niệm Toán học,64,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,55,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,26,Mũ và Logarit,36,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,50,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,281,Ôn thi vào lớp 10,1,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,5,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,12,Sách Giấy,10,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,6,Số học,56,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,37,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,77,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,129,Toán 11,173,Toán 12,367,Toán 9,64,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,16,Toán Tiểu học,4,Tổ hợp,36,Trắc nghiệm Toán,220,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,270,Tuyển sinh lớp 6,7,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28,

Trích:

Nguyên văn bởi liverpool29

Ta có công thức tính thể tích hình chóp cụt đều: $V=\frac{1}{3}h[S+S'+\sqrt{SS'}] $ [$V $ là thể tích hình chóp cụt, $h $ là chiều cao hình chóp, $S,S' $ là diện tích 2 đáy]

Chứng minh công thức trên.

Chú ý:

1] Bạn phải nói rõ h là chiều cao của khối chóp cụt.

2] Công thức này đúng cho cả khối chóp cụt bất kì.

Lời giải như sau:

Gọi hai đáy là hai đa giác $A_1A_2...A_n $ và $A_1'A_2'...A_n' $. Gọi S là điểm đồng quy của các đường thẳng $A_1A_1' $, $A_2A_2' $, ... $A_nA_n' $. Gọi $V_1, V_2 $ lần lượt là thể tích các khối chóp $S.A_1A_2...A_n $ và $S.A_1'A_2'...A_n' $, gọi $h_1, h_2 $ lần lượt là chiều cao của hai khối chóp $S.A_1A_2...A_n $ và $S.A_1'A_2'...A_n' $ ta có: $h = h_1-h_2 $. Gọi diện tích hai đáy là $S_1 $ và $S_2 $ với $[S_1 >S_2] $. Ta có $V = V_1-V_2 = \frac{1}{3}h_1.S_1-\frac{1}{3}h_1.S_2 $, [*]. Do hai đáy là hai đa giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng bằng $\frac{h_2}{h_1} $ nên ta có: $\frac{S_2}{S_1}=\frac{h_2^2}{h_1^2} $ hay $\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}=\frac{h_2}{h_1} $ $\Longleftrightarrow $ $\frac{h_2}{\sqrt{S_2}}=\frac{h_1}{\sqrt{S_1}} $ $\Longleftrightarrow $ $\frac{h_2}{\sqrt{S_2}}=\frac{h_1}{\sqrt{S_1}} = \frac{h_1-h_2}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}}=\frac{h}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ Từ đó ta có: $h_1=\frac{h.\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ và $h_2=\frac{h.\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ Khi đó thay vào [*] ta có: $V=\frac{1}{3}.\frac{h.S_1.\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}}-\frac{1}{3}.\frac{h.S_2.\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ $= \frac{1}{3}.h.\frac{S_1\sqrt{S_1}-S_2\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ $= \frac{1}{3}.h.\frac{[\sqrt{S_1}]^3-[\sqrt{S_2}]^3}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $ $= \frac{1}{3}.h.\frac{[\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}][S_1+S_2+\sqrt{S_1.S_2}]}{\sqrt{S_1}-\sqrt{S_2}} $

$= \frac{1}{3}.h.[S_1+S_2+\sqrt{S_1.S_2}] $,

[điều phải chứng minh].

Chứng minh xong bài này thấy mệt quá, chắc bài này phải có trong sách tham khảo hoặc SGK nào đó.

[RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT]

__________________ $-1=[-1]^3=[-1]^{\frac{6}{2}}=[-1]^{6.\frac{1}{2}}=\left [[-1]^6 \right ]^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}=1 $

//www.youtube.com/watch?v=HVeQAuI3BQQ

thay đổi nội dung bởi: alibaba_cqt, 22-04-2011 lúc 12:21 AM

Hình chóp là gì? Công thức tính thể tích khối chóp là gì? Kiến thức về khối chóp tứ diện đều, khối chóp tứ giác đều? Lý thuyết và bài tập về thể tích khối chóp?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chuyên đề thể tích khối chóp cùng những nội dung liên quan.

Định nghĩa hình chóp là gì?

Hình chóp là một hình có mặt đáy là một đa giác và các mặt bên là những tam giác có chung một đỉnh, đỉnh này được gọi là đỉnh của hình chóp.

Nhận xét:

Đường thẳng đi qua đỉnh và vuông góc với mặt phẳng đáy được gọi là đường cao của hình chóp.
Tên gọi của hình chóp dựa vào đa giác đáy: hình chóp có đáy là tam giác gọi là hình chóp tam giác, hình chóp có đáy là tứ giác được gọi là hình chóp tứ giác.
Nếu hình chóp có cạnh bên nghiêng đều trên đáy hoặc các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Nếu hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy hoặc có các đường cao của các mặt bên xuất phát từ 1 đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.
Nếu hình chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với đáy thì đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó.

Các khối chóp đặc biệt

Khi đã nắm được định nghĩa hình chóp là gì, để tìm hiểu về thể tích khối chóp, trước hết các bạn cần nắm được các khối chóp đặc biệt.

Khối chóp tứ diện đều

Là hình chóp có tất cả các cạnh bằng nhau, tất cả các mặt đều là các tam giác đều, O là trọng tâm của tam giác đáy, \[SO\perp [ABC]\]

Xem thêm >>> Thể tích tứ diện đều: Khái niệm, Công thức tính nhanh thể tích tứ diện đều

Khối chóp tứ giác đều

Là hình chóp có tất cả các cạnh bên bằng nhau, đa giác đáy là hình vuông tâm O, \[SO\perp [ABCD]\]

Công thức tính thể tích khối chóp

Thể tích khối chóp bằng một phần ba diện tích mặt đáy nhân với chiều cao:

\[V=\frac{1}{3}S.h\]

Trong đó:

V là thể tích hình chóp.
S là diện tích mặt đáy hình chóp.
h là chiều cao hình chóp.
Đơn vị đo thể tích chuẩn là mét khối \[[m^{3}]\]

Trường hợp nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao thì phải xác định được vị trí chân đường cao trên đáy. Khi xác định chân đường cao của hình chóp cần chú ý:

Hình chóp đều thì chân của đường cao là tâm của đáy.
Hình chóp có mặt bên \[[SA_{i}A_{j}]\] vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao của tam giác \[[SA_{i}A_{j}]\] hạ từ S là chân đường cao của hình chóp.
Nếu có hai mặt phẳng đi qua đỉnh và cùng vuông góc với đáy thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó vuông góc với đáy.
Nếu các cạnh bên của hình chóp bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Nếu các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Các dạng toán và bài tập tính thể tích khối chóp

Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ: Cho hình chóp \[[S.ABC]\] có \[SB=SC=CB=CA=a\]. Hai mặt bên \[[ABC], [ASC]\] cùng vuông góc với mặt đáy \[[SBC]\] Tính thể tích hình chóp.

Cách giải:

Ta có:

\[\left\{\begin{matrix} [ABC]& \perp&[SBC] \\ [ASC]& \perp & [SBC] \end{matrix}\right.\]

\[\Rightarrow AC\perp [SBC]\]

Suy ra, \[V=\frac{1}{3}S_{SBC}.AC=\frac{1}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}a=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{12}\]

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Bài tập: Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông có cạnh a. Mặt bên \[SAB\] là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy \[[ABCD]\].

Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
Tính thể tích khối chóp

Cách giải:

Gọi H là trung điểm của AB.Ta có: \[\bigtriangleup SAB\] đều \[\Rightarrow SH \perp AB\]

Mà: \[[SAB]\perp [ABCD] \Rightarrow SH\perp [ABCD]\]

Do đó H là chân đường cao của khối chóp. Suy ra, điều phải chứng minh

2. Tam giác SAB đều nên ta có: \[SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]

Suy ra \[V=\frac{1}{3}S_{ABCD}.SH=\frac{1}{3}.a^{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^{3}\sqrt{3}}{6}\]

Dạng 3: Khối chóp đều – Tính thể tích khối tứ diện đều

Bài tập: Cho khối chóp tứ diện đều \[ABCD\] cạnh a, \[M\] là trung điểm \[DC\].

Tính thể tích khối tứ diện đều \[ABCD\]
Tính khoảng cách từ \[M\] đến mặt phẳng \[[ABC]\]. Tính thể tích khối chóp \[MABC\]

Cách giải:

Gọi O là tâm của tam giác \[ABC\], suy ra \[DO\perp [ABC]\]

Ta có: \[DO=\sqrt{DC^{2}-OC^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\]

\[S_{ABC}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]

Suy ra \[V=\frac{1}{3}.DO.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}\]

2. Kẻ MH//DO.

Khoảng cách từ từ \[M\] đến \[[ABC]\] là: \[d[M;[ABC]]=MH=\frac{1}{2}DO=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\]

Suy ra: \[V_{MABC}=\frac{1}{3}.MH.S_{ABC}=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{24}\]

Xem thêm >>> Công thức tính diện tích tam giác đều và Bài tập điển hình

Trong bài viết trên, DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp những kiến thức về chuyên đề thể tích khối chóp. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn những thông tin hữu ích. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

[Nguồn: www.youtube.com]

Please follow and like us:

Định nghĩa hình chóp là gì?

Các khối chóp đặc biệt

Khối chóp tứ diện đều

Khối chóp tứ giác đều

Công thức tính thể tích khối chóp

Các dạng toán và bài tập tính thể tích khối chóp

Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy

Dạng 3: Khối chóp đều – Tính thể tích khối tứ diện đều

Video liên quan

Bài Viết Liên Quan

Toplist mới

Bài mới nhất

Chủ Đề