Cho đồ thì y fx so sánh fa fb fc

Nhiệm vụ trọng tâm trong trường THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là môn toán học rất cần thiết, không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này.

Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết.

Trong giải tích, đạo hàm là một công cụ mạnh để giải quyết rất nhiều bài toán. Giữa hàm số f[x] và đạo hàm f^' [x] của nó có nhiều mối liên hệ chặt chẽ. Điển hình là sự đồng biến nghịch biến, cực trị. Đạo hàm của một hàm số ngoài việc biểu diễn dưới dạng công thức thì nó còn được thể hiện thông qua đồ thị. Việc dựa vào đồ thị của f^' [x] để tìm ra được tính chất của hàm số f[x] đưa đến cho chúng ta những điều thú vị và những bài toán hay.

Bạn đang xem tài liệu "SKKN Hướng dẫn học sinh tìm một số tính chất của hàm số y = f[x] từ đồ thị hàm số y = f'[x]", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

BÀI TOÁN VỀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y f '[ ]x I. Kiến thức liên quan: Khi cho trước dạng đồ thị hàm số y  f '[ ]x của hàm số y  f [ ]x ta có thể xác định được một số tính chất cơ bản của đồ thị hàm số y  f [ ]x như:

• Khoảng đơn điệu của hàm số y f [ ]x
• Điểm cực trị của hàm số y  f [ ]x.
• Một số bài toán về so sánh các giá trị đặc biệt của y f [ ]x II. Các bài toán liên quan: A. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ y  f [ ]x KHI BIẾT ĐỒ THỊ HÀM SỐ y  f '[ ]x. Phương pháp: Quan sát vị trí tương đối của đồ thị y  f '[ ]x so với trục Ox
• Phần đồ thị y  f '[ ]x nằm trên Ox ứng với các khoảng đồng biến của y  f [ ]x. Phần nằm dưới Ox ứng với các khoảng nghịch biến của y  f [ ]x.
• Tại các giao điểm của đồ thị y  f '[ ]x và trục Ox nếu đồ thị xuyên qua Ox thì hàm số đạt cực trị tại đó. Ví dụ 1: Cho hàm số

####### y  f  x

. Đồ thị hàm số

####### y f ' x 

là đồ thị của hàm bậc ba như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số

####### f  x 

đồng biến trên khoảng

#######    ; 2 

1. Hàm số

####### f  x 

đồng biến trên khoảng

#######  1;1

1. Hàm số

####### f  x 

nghịch biến trên khoảng

#######  1;1

1. Hàm số

####### f  x 

nghịch biến trên khoảng

#######    ; 2 

Hướng dẫn: Đáp án D Mức độ: Nhận biết. Ta thấy trong khoảng

#######    ; 2 

đồ thị nằm dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng

#######    ; 2 

Ví dụ 2: Cho hàm số y  f [ ]x và đạo hàm f '[ ]x với đồ thị y  f '[ ]x như hình vẽ. Hàm số y  f [ ]x có bao nhiêu điểm cực trị?

1. 5 B. 3 C. 4 D. 6 Hướng dẫn: Đáp án C Mức độ: Nhận biết. Ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm và đổi dấu khi qua 4 điểm đó [ Tại một điểm đồ thị có điểm chung với trục hoành nhưng không đổi dấu] nên hàm số đã cho có 4 điểm cực trị. Ví dụ 3:Cho hàm số f  x  có đạo hàm f ' x  xác định, liên tục trên  và f ' x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đồng biến trên  1; . B. Hàm số đồng biến trên    ; 1  và  3; . C. Hàm số nghịch biến trên    ; 1 . D. Hàm số đồng biến trên    ; 1    3; . Hướng dẫn: Đáp án B Mức độ: Nhận biết. Trên khoảng    ; 1  và  3;  đồ thị hàm số f ' x  nằm phía trên trục hoành. Ví dụ 4: Cho hàm số f  x  có đạo hàm f  x xác định, liên tục trên  và f ' x  có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

1. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Hướng dẫn: Đáp án D Mức độ: Vận dụng

• Ta có

   

2 2 g '[ ]x  f [2 x  x  1] '  4 x  1 f '[2 x  x1] Cho g '[ ]x  0 2 1 4 '[2 1] 0 x f x x          2 2 2 2 1 2 [ ] '[2 1] 0 2 1 2 x x VN f x x x x              2 1 2 1 2 2 x x x x          Vậy 1 4 '[ ] 0 1 3 2 x g x x x             Bảng xét dấu của hàm số y g x [ ]  f [2 x 2  x 1] trên [ 4;4] .

Vậy hàm số có 3 điểm cực trị [ Hai điểm cực tiểu, một điểm cực đại ]. Ví dụ 2: Cho hàm số bâ ̣c ba

####### y f  x 

có đồ thị nhu hình vẽ bên. Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  f  x m có ba điểm cực trị là: A. m  1 hoă ̣c m 3 B. m  3 hoă ̣c m 1 C. m  1 hoă ̣c m 3 D. 1  m 3 Hướng dẫn: Đáp án A Mức độ: Vận dụng Đồ thị hàm số

####### y f  x  m

là đồ thị hàm số

####### y f  x

tịnh tiến trên trục Oy m đơn vị Để đồ thị hàm số

####### y  f  x  m

có ba điểm cực trị

#######  y f  x  m

xảy ra hai trường hợp sau:

• Nằm phía trên trục hoành hoă ̣c điểm cực tiểu thuô ̣c trục Ox và cực đại dương
• Nằm phía dưới trục hoành hoă ̣c điểm cực đại thuô ̣c trục Ox và cực tiểu dương Khi đó m  3 hoă ̣c m  1 là giá trị cần tìm.
• Tìm số nghiệm của phương trình f u[ ]  0 Ví dụ 3: Cho hàm số

####### y  f  x

có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới. Đặt

####### g  x   f  f  x

. Tìm số nghiệm của phương trình

####### g '  x  0

. A. 8. B. 4. C. 6. D. 2. Hướng dẫn: Đáp án C Mức độ: Vận dụng Phương pháp: +] Sử dụng công thức tính đạo hàm hàm hợp. +] Dựa vào đồ thị hàm số suy ra các nghiệm của phương trình

####### f '  x  0

. Cách giải: Dựa vào đồ thị hàm số

####### y  f  x

ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là x  0 và

####### x a   2;3

. Do đó

#######  

#######  

0 ' 0 2; x f x x a        

Đường thẳng 2 y t với 2 0  t  2 cắt

#######  C 

tại

#######  C 

tại 3 điểm phân biệt nên phương trình

####### f  x  t 2

có 3 nghiệm phân biệt, đường thẳng 3 3 y t ; t  2 cắt

#######  C 

tại 1 điểm nên phương trình

####### f  x  t 3

có 1 nghiệm. Các nghiệm này không trùng nhau. Vậy phương trình

f  f  x  1

có 7 nghiệm. Bài tập: Bài 1: Cho hàm số 4 3 2 y  f [ ]x ax  bx  cx  dx  e ; [ ; ; ;a b c d e ;  ; a0]có đồ thị [C]. đồ thị hàm số y  f '[ x] như bởi hình vẽ bên. Biết hàm số y  f '[ ]x đạt cực tiểu tại x  2 và 2 cực trị đều âm, hỏi đồ thị [C] cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm? A. 0 điểm. B. 1 điểm. C. 2 điểm. D. 3 điểm. Bài 2: Cho hàm số y  f [ ]x có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị y  f '[ ]x như hình vẽ. Khi đó hàm số y  f [ x 2 ] đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A. [0; 2]. B. [ 1;1]. C. [ 2;0]. D. [   ; 2]. Bài 3: Cho đồ thị hàm số y  f '[ ]x như hình vẽ. Tập tất cả giá trị của m để đồ thị hàm số y  f [| x | m ] có 9 điểm cực trị là?

1. m  2. B. m  2. C. m  3. D. m  3. Bài 4: Biết rằng đồ thị hàm số bậc 4:

####### y f  x

được cho như hình vẽ sau: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

#######        

2 y g x   f ' x  f x .f '' x và trục Ox. A. 0 B. 2 C. 4 D. 6 C. CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT HÀM SỐ g x[ ]  f [ ]x h x [ ]VỚI h x[ ] LÀ MỘT HÀM SỐ ĐÃ XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC. Phương pháp: Tính đạo hàm g '[ ]x  f '[ ]x h '[ ]x từ đó xét dấu của g '[ ]x thông qua việc xét sự tương giao của các đồ thị hàm số y  f '[ ]x và y h '[ ]x để kết luận. Ví dụ 1: Cho hàm số

####### f  x 

có đồ thị hàm số

####### y  f ' x

được cho như hình vẽ bên. Hàm số

#######  

2 y  f cosx  x  x đồng biến trên khoảng. A.

#######  1; 2

B.

#######   1;0

C.

#######  0;1

D.

#######   2;  1 

Hướng dẫn: Đáp án A Mức độ: Vận dụng

####### y '  sin x f ' cos  x   2 x  1  1  2 x  1  2  x  1   0, x  1

1. 8 B. 9 C. 10 D. 11 Hướng dẫn: Đáp án A Mức độ: Vận dụng Đặt

####### 1 2 2,  2; 2  0; 2

2 x   t x  t  x    t Phương trình trở thành:

#######    

1 2 2 6 6 3 3 f t  t  m  f t  t  m Xét hàm số

y  f  t   6 t  6  y '  f '  t   6  0  f '  t   0.  x  0; 2

Vậy:

#######  

10 0; 2 10 12 4 3   t    y    m   có 8 giá trị nguyên của m. Bài tập. Bài 1 hàm số

####### y  f  x

liên tục trên R. Đồ thị hàm số

####### y  f ' x

như hình bên. Bất phương trình     2 2 f x  x  1  m nghiệm đúng với mọi

x    3;3

khi và chỉ khi: A.

####### m  2 f 3   16

B.

####### m  2 f  3   4

C.

####### m  2 f  3   4

D.

####### m  2 f 1   4

Bài 2. Cho hàm số

####### y  f  x

.Đồ thị hàm số

####### y  f ' x

như hình bên. Trên đoạn

  4;3

hamf số

#######      

2 g x  2 f x  1  x đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm. A. 0 x  4 B. 0 x  3 C. 0 x  1 D. 0 x  3 Bài 3. Cho hàm số

####### y  f  x

.Đồ thị hàm số

####### y  f ' x

như hình bên. Hàm số

#######  

2 1 2 x y  f  x   x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.

#######   2;0

B.

#######   3;1

C.

#######  3;  

D.

#######  1;3

Bài 4. Cho hàm số

####### y  f  x

.Đồ thị hàm số

####### y  f ' x

như hình bên. Hàm số

#######  

2 y  2 f 2  x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 1: Cho hai hàm số

y = f x[ ]

,

y = g x[ ]

. Hai hàm số

y = f ¢[ x]

và

y = g¢ [ x]

có đồ thị như hình vẽ bên dưới, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

y = g¢ [ x]

. Hàm số

[ ] [ ]

3 4 2 2 h x f x g x æ ö÷ = + - çç - ÷ çç ÷÷ è ø đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 31 5; 5 æ ö÷ çç ÷ çç ÷÷ è ø. B. 9; 3 4 æ ö÷ çç ÷ çç ÷÷ è ø. C. 31; 5 æ ö÷ çç + ¥÷ çç ÷÷ è ø. D. 25 6; 4 æ ö÷ çç ÷ çç ÷÷ è ø. Hướng dẫn: Đáp án B Mức độ: Vận dụng

• Tính

[ ] [ ]

3 4 2 2 2 h x f x g x æ ö÷ ¢ = ¢ + - ¢çç - ÷ çç ÷÷ è ø

• Ta có

[ ] [ ]

3 0 4 2 2 2 h x f x g x æ ö÷ ¢ Û ¢ + ³ ¢çç - ÷ ç ÷ ø ³ çè ÷

• Từ đồ thị ta nhận thấy:

[ ] 5 , 0 ;11 2 [ ] 10 , 0 ;

3 3 2 2 10 , 2 0 ; 2 2 g x x g x x g x x ¢ £ " Î é ùÛ ¢ £ " Î é ù êë úû êë úû æ ö æ ö Û ¢ç - ÷÷£ " ç - ÷÷Î é ù çç ÷ çç ÷ êë úû çè ÷ø çè ÷ø

 

 4  10

0 2 5 2 f x h x g x                   

• Kẻ đường thẳng y = 10 cắt đồ thị hàm số

y = f ¢[ x]

tại

A [ 3 ;10 ;] B a[ ;10]

,

a Î [ 8;10]

. O x y y g   x y f   x 4 5 8 10 3 8 10 11

Khi đó ta có

 4  10 3

3 2 5 0 2 2 f x x a g x x                             1 6[do 8 10] 3 25 4 4 x a x             3 6 4  x  Do đó

[ ] [ ]

3 4 2 2 0 2 h x f x g x æ ö÷ ¢ = ¢ + - ¢çç - ÷> çç ÷÷ è ø khi 3 6 4 £ x< . Vì vậy ta loại được đáp án A, C, D. Chỉ còn đáp án B thỏa kết qủa 3 6 4 £ x< của bài toán Ví dụ 2: Cho hai hàm số

####### y  f  x

,

####### y  g  x

. Hai hàm số

####### y  f  x

và

####### y g  x

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số

####### y g  x

. Hàm số

#######    

5 6 2 2 h x f x g x           đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1 ; 4       . B. 21; 5        . C. 21 3; 5       . D. 17 4; 4       . Ví dụ 3: Cho hai hàm số

####### y  f  x

và

####### y g  x

. Hai hàm số

####### y  f ' x

và

####### y g ' x

có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị hàm số

####### y  g ' x

. Hàm số

#######    

9 7 2 2 h x f x g x           đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Ví dụ 2. Cho hàm số

y = f x[ ]

có đạo hàm là

f ¢[ x]

. Đồ thị của hàm số

y = f ¢[ x]

được cho như hình vẽ bên. Biết rằng

ff[ 0 ] + ff[ 1 ] - 2 f [ 2 ] = [ 4 ] - [ 3 ]

. So sánh giá trị ff[0]; [2]; [4] f A. ff[4] < f[0] < [2] . B. ff[2] < f[0] < [4] . C. ff[4] < f[2] < [0] . D. ff [4] < f[2] < [4] Hướng dẫn: Đáp án A Mức độ: Vận dụng Từ đồ thị trên suy ra bảng biến thiên trên éê0;4 ùú ë û Dựa vào BBT ta có

f [ 2 ]

lớn nhất trong ba giá trị cần so sánh Ta lại có:

ff[ 1 ] < ff[2]; [ 3 ff] < [ ff 2 ] Þ [ 1 ]ff + [ 3 ] < 2 [ 2 ] Û 2 [ 2 ] - [ 1 ] - [ 3 ] > 0

Theo giả thiết:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

0 1 2 2 4 3 0 4 2 2 3 1 0 0 4. ff ff f ff ff f ff

• * \= - Û - = - - > Þ > Từ đây ta có kết quả: ff[4] < f[0] < [2] Ví dụ 3. Cho hàm số

y = f x[ ]

có đạo hàm trên ¡ , đồ thị hàm số

y = f ¢[ x]

như trong hình vẽ bên dưới. So sánh giá trị f a[ ]; [ ;]; [ ] f b f c .

A.

f a[ ] < f c[ ] < f b[ ]

. B.

f b[ ] < f c[ ] < f a[ ]

. C.

f c[ ] < ff a[ ] < [ b]

. D.

f a [ ] < ff b[ ] < [ c]

Hướng dẫn: Đáp án A Mức độ: Vận dụng Từ đồ thị của hàm số

y = f ¢[ x]

ta có bảng biến thiên như sau: Dựa vào bảng biến thiên thì

f b[ ]

lớn nhất trong 3 giá trị đề bài yêu cầu so sánh. Bây giờ ta cần so sánh hai giá trị còn lại. Trong bài này không so sánh được như hai ví dụ trên vì vậy ta phải dựa vào dấu hiệu diện tích hình phẳng. Theo quan sát hình vẽ thì

[ ] 0; [ ] 0

b c a b

ò f ¢ x dx > ò f ¢x dx