§3. CẤP SỐ CỘNG A. KIẾN THỨC CĂN BẢN ĐỊNH NGHĨA Cấp số cộng là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn], trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. Nếu [Un] là cấp số cộng với công sai d thì un+1-un = d với ne N * [1] SỐ HẠNG TỔNG QUÁT Định lí 1 Nếu cấp số cộng [un] có số hạng đầu u, và công sai d thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức: un = u, + [n - 1 ]đ với n > 2. [2] TÍNH CHẤT CÁC số HẠNG CỦA CAP số CỘNG Định lí 2 Jk+1 uk = với k > 2. [3] IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẨU TIÊN CỦA MỘT CẤP số CỘNG Dịnh lí 3 Cho cấp só' cộng [un]. Đặt Sn = u, + u2 + u3 + ... + un. n[u1+un] n[2u1+[n-Ị]d] Khi đó Chú ý: Vì sn = " 2 2 Un = u, + [n - 1 ]d nên công thức [4] có thể viết [4] nf2u, +[n-l]dl n[n-1] sn = 1 1 ; 7 J = nu, + v’ 'd. Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đểu là trung bình cộng của hai số hạng đứng kể với nó, nghĩa là uk 1+u B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Chứng minh dãy [un] là cấp số cộng Ta chứng minh hiệu Un+1 - Un là một hằng số [không phụ thuộc vào n]. Khi nó [un] là cấp số cộng có công sai d = Un+1 - un. Xác định số hạng tổng quát cùa cấp số cộng • Xác định u, và d • Un = u, + [n - 1 ]d • un - um = [n - m]d 1. Trong các dãy số [Un] sau đây, dãy nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nổ. a] Un = 5 - 2n; b]u„= 'ị -1; c] u„ = 3"; d] u„ = 7-3n tflai Ta có un+1 - un = 5 - 2[n+l] - [5 - 2n] = -2; Vn 6 N* Vậy [un ] là cấp số cộng có u! = 3, công sai d = -2. Ta có un+1 - un = - 1 - -1 j = I; Vn e N* Vậy [un] là cáp số cộng có U] = - i công sai d = . 2 2 Un+1 - un = 3n+1 - 3n = 2.3n. Vậy [un] không là cấp số cộng. j\ rp„ „A .. .. - 7-3[n + l] 7-3n _ 3 2 2 2 3 Vậy [un] là cấp sô' cộng có U] = 2, công sai d = - . 2. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: [u,-u3+us=10 a] u1+u6=17 b] u7-u3 =8 u2.u7 = 75 Ốịiải Áp dụng công thức un = Ư! + [n - l]d.. a] Ta có: h~u3 +u5 =10 Uj + Ug = 17 Uj + 2d = 10 2uj + 5d = 17 Uj - Ui - 2d + + 4d = 10 ur + ur + 5d = 17 U| = 16 d =-3 Vậy [un] có Uị = 16, công sai d = -3. í u7 - ua = 8 f u, + 6d - Ui - 2d - 8 b] Ta có: 7 3 „ » 7 , [u2.u7=75 [[Uị +d][uj + 6d] = 75 d = 2 íu, = 3 íi [Ul + 2][uị +12] = 75 Y2 . «b=3hoặcí Uj+14u1-51 = 0 Id = 2 [ Uị = -17 d = 2 Tronđ các bài toán vể cấp sõ' cộng, ta thường gặp nãm đại lượng Ui, d, n, Un, sn. Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại? Lập bảng theo mẫu sau và điển sổ thích hợp vào ô trống. u, d u„ n Sn -2 55 20 -4 15 120 3 4 27 7 17 12 72 2 -5 -205 Ốịiảl Các hệ thức liên hiện giữa U], d, n, Un, Sn là n[u,+un] „ n^Uj+[n-l]d’| u„ = u, + [n -l]d; sn = v 1 n/ ; Sn = L ; Cần biết ít nhất ba trong năm. đại lượng Ui, d, n, un, s„ thì có thể tính được hai đại lượng còn lại. i] Cho Ui = -2, un = 55, n = 20. Tính d và Sn Từ un = U] + [n - l]d. Ta có 55 = -2 + 19d => d = 3. = 10Í-2 + 55] = 530 S20 - 20 [Uj +u20] Ta có sn = n[2uj + [n - l]d] Cho d = -4, n = 15, Sn = 120. Tính Ui và un. 15 120 = [2u, + 14.[-4]1 2 => 240 = 3ŨU] - 840 => u, = 36 Từ đó un = Ui + [n -1] d = 36 + 14.[-4] = -20 . 4 Cho Uj = 3, d = ; un = 7. Tìm n và Sn. 27 Ta có un = Uj + [n -l]d => 7 - 3 + [n - 1]. =>n-l = 27=>n = 28 27 n[ui+un] 28[3 + 7] s„ = V 1J nf = —_ 140 2 2 Cho un = 17, n = 12, Sn = 72. Tìm Ui và d. Ta có un = Ui + [n -1] d và Sn = [ 1 —— 12u,+17 => 72 = V1--—=> u, = -5 2 Từ un = Ui + [n -1] d => 17 = -5 + lld => d = 2 n[2ut + [n - l]d] n[4 - 5[n - 1]] -205 = Ta có sn = Cho Ui = 2, d = -5, sn = -205. Tìm Un và n. Ốịiải Ta có 18 cm =■ 0,18m. Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có: hn = 0,5 + n.0,18. Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 [m]. Tử 0 giở đến 12 gĩờ trưa, đống hố đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng sô' giở? ỂỹÂl Số tiếng chuông mà đồng hồ đánh từ 0 giờ đến 12 giờ trưa là: „ 12[1 + 12] s12 = 1 + 2 + 3 + ... + 12 = —= 78. 2 c. BÀI TẬP LÀM THÊM a] a14 =18 1. Xác định a, và công sai của cấp số cộng [an] biết: ía3 =-15 b] a2 - a3 + a5 = 10 a4 + a6 = 26 Hãy dặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được cấp số cộng. -Hướng ?]ẫn Giả sử - 6, a2, a3, a4, a5, aH, a7, 8 là cấp số cộng, ta có ai = -6, a8 = 8 => d = 2 Cho cấp số cộng [an]. Chứng minh rằng: a, + ap = aq + ap.q+1 [p > q]; ap + aq = am + an nếu q + p = m + n. -Hưởng ỉẫn Áp dụng an = ai + [n - l id. Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 40 và tổng bình phương là 480. -Hưởng ĩẫn Giải hệ: [a-2d] + [a-d] + a + [a + d] + [a + 2d] = 40 [a-2đ]2 + [a-d]2 + a2 + [a + d]2 + [a + 2d]2 = 480 Đáp số: 0, 4, 8, 12, 16, hoặc 16, 12, 8, 4, 0. Cho cấp số cộng [a„] có a4 + a,, = 20. Tinh s,4.
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
+ Dãy số [un] là cấp số cộng khi và chỉ khi un+1 − un = d không phụ thuộc vào n và d là công sai.
+ Cho cấp số cộng có số hạng đầu là u1; công sai d. Khi đó; số hạng thứ n của cấp số cộng là: un = u1 + [n−1]d
+ Nếu biết số hạng thứ n và thứ m của dãy ta suy ra:
Giải hệ phương trình trên ta được u1 và công sai d.
Ví dụ 1: Cho một cấp số cộng có u1 = −1 và u5 = 11. Tìm công sai của cấp số cộng ?
A. d= 3 B. d= 5 C. d= 4 D. d= 2
Hướng dẫn giải:
Ta có: u5 = u1 + [5−1]d
=> 11 = − 1 + 4d ⇔ d= 3
Chọn A.
Ví dụ 2: Cho một cấp số cộng có u1 = 10; u7 = −8. Tìm d?
A. d= −2 B. d = −3 C. d = 2 D.d = 3
Hướng dẫn giải:
Ta có: u7 = u1 +[7−1]d
=> −8 = 10 + 6d
⇔ −18 = 6d nên d = −3
Chọn B.
Quảng cáo
Ví dụ 3: Cho cấp số cộng [un] có u1 = 0,4 và công sai d = 1. Số hạng thứ 10 của cấp số cộng này là:
A. 1,6 B. 1,4 C. 10,4 D. 9,4
Hướng dẫn giải:
Số hạng tổng quát của cấp số cộng [un] là: un = u1 + [n − 1] d
=>số hạng thứ 10 của cấp số cộng là:
u10 = 0,4 +[10 − 1] . 1 = 9,4
Chọn D.
Ví dụ 4: Cho cấp số cộng [un] có u1 = −2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng của cấp số thỏa mãn un < 11.
A.3 B. 4 C.5 D.6
Hướng dẫn giải:
Cấp số cộng có u1 = −2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
un = u1 + [n − 1] . d = −2 + 3[n − 1] = 3n − 5
Để un < 11 thì 3n − 5 < 11
Mà n nguyên dương nên n ∈ { 1,2,3,4,5}
Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện
Chọn C.
Ví dụ 5: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng của ba số hạng xen giữa đó.
A. 36 B.28 C. 32 D.30
Hướng dẫn giải:
Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:
u1 = 2 và u5 = 22.
+ Lại có: u5 = u1 + [5 − 1] d nên 22 = 2 + 4d
⇔ 20 = 4d ⇔ d= 5
+Suy ra: u2 = u1 + d = 2 + 5= 7
u3 = u1 + 2d = 2 + 2 . 5 = 12
Và u4 = u1 + 3d = 2 + 3 . 5 = 17
=> u2 + u3 +u4 = 7 + 12 + 17 = 36
Chọn A.
Quảng cáo
Ví dụ 6: Cho dãy số [un] với un = 7 − 2n. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. 3 số hạng đầu của dãy u1 = 5; u2 = 3 và u3 = 1.
B. Số hạng thứ n + 1 là un+1 = 8 − 2n.
C. Là cấp số cộng có d = −2.
D. Số hạng thứ 4: u4 = −1.
Hướng dẫn giải:
* Ta có:
=> đáp án A, D đúng.
*Số hạng thứ n+1 là: un + 1 = 7 − 2[n+1] = 5 − 2n
=> B sai.
* Xét hiệu: un+1 − un = [5−2n] − [7 − 2n]= −2
=> [un] là cấp số cộng với công sai d = −2.
=> C đúng.
Ví dụ 7: Cho cấp số cộng [un] có u3 = −15 và u14 = 18. Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = −21; d = 3 B. u1 = −20; d = 2
C. u1 = −21; d = −3 D. u1 = −20 ; d = −2
Hướng dẫn giải:
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
Chọn A.
Ví dụ 8: Cho cấp số cộng [ un] thỏa mãn :
A. 39 B.27
C. 36 D.42
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
=> Số hạng thứ 10 của cấp số cộng là :
u10 = u1 + 9d = 3 + 9 . 4 = 39
Chọn A.
Ví dụ 9: Cho cấp số cộng [un] thỏa mãn :
A.99 B.100
C.101 D.103
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có:
Ta có : 301 = 1 + [n − 1] . 3 ⇔ 300 = 3[n-1]
⇔ n − 1 = 100 ⇔ n = 101
Vậy 301 là số hạng thứ 101 của cấp số cộng.
Chọn C.
Ví dụ 10: Cho cấp số cộng [un] thỏa mãn
A.8 B.10
C. 6 D. 12
Hướng dẫn giải:
Theo giả thiết ta có :
Từ [1] suy ra : u1 = 8 − 5d thay vào [2] ta được :
Với
Số hạng thứ 6 là:
Với d = 2 => u1 = −2
Số hạng thứ 6: u6 = −2 + 5 . 2 = 8
Chọn A.
Ví dụ 11: Cho cấp số cộng [un] thỏa mãn điều kiện:
A.d = ±1 B.d = ±2 C .d = ±3 D. d = ±4
Hướng dẫn giải:
Theo đề bài ta có:
Từ [1] suy ra: u1 + 2d = 4 ⇔ u1 = 4 − 2d thế vào [2] ta được:
* Với d = 3 => u1 = 4 − 6 = −2
* Với d = −3 => u1 = 4 + 6 = 10
Chọn C.
Câu 1: Cho cấp số cộng [un] có u4 = −20; u19 = 55 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
A. u1 = −35; d = 5 B. u1 = −35; d = −5
C. u1 = 35; d = 5 D. u1 = 35; d = −5
Đáp án: A
Ta có:
Từ giả thiết suy ra:
Câu 2: Cho [un] là cấp số cộng thỏa mãn :
A.6 B.7
C .8 D. 9
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có:
=> Số hạng thứ hai của cấp số cộng là:
u2 = u1 + d = 3 + 4 = 7
Câu 3: Cho [un] là cấp số cộng thỏa mãn :
A.67 B.75
C. 87 D. 91
Đáp án: C
Theo giả thiết ta có:
Số hạng thứ 20 của cấp số cộng là: u20 = u1 + 19d = 87
Câu 4: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
A. 0 ; −3 ; −6 B. −2 ; −3 ; −4
C. −1; −2 ; −3 D. −3 ; −2 ; −1
Đáp án: B
Gọi ba số hạng của cấp số cộng là a − 2d; a ; a + 2d
Theo giả thiết ta có :
+ Nếu
+ Nếu
Câu 5: Cho cấp số cộng [un] thỏa mãn
A. u1 = 3; d= 1 B. u1 = 3; d = 2
C. u1 = 2; d = 3 D. u1 = 2; d = −3
Đáp án: B
Theo giả thiết
Vậy u1 = 3 và d = 2.
Câu 6: Cho cấp số cộng [un] có công sai d > 0 và
A. un = 3n − 9 B. un = 3n − 42
C. un = 3n − 67 D. un = 3n − 92
Đáp án: D
Ta có:
Từ [1] suy ra : u31 = 11 − u34 thế vào [2] ta được:
+ Mà công sai d > 0 nên u34 > u31
=> u34 = 10 và u31 = 1
Suy ra:
Vậy số hạng tổng quát của dãy số là :
un = u1 + [n-1]d= −89 + 3[n-1] = 3n - 92
Câu 7: Cho cấp số cộng [un] có u2 + u3 = 20; u5 + u7 = −29 . Tìm u1 ; d?
A. u1 = 20; d = 7 B. u1 = 20;d = 7
C. u1 = 20,5; d = −7 D. u1 = −20,5; d= 7
Đáp án: C
Áp dụng công thức un = u1 + [n - 1]d ta có:
Câu 8: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5A. Tính tổng số đo của góc có số đo lớn nhất và góc có số đo nhỏ nhất.
A. 1400 B. 1200
C. 1350 D. 1500
Đáp án: B
Do số đo ba góc A ; B ; C theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên: A + C = 2B.
Tổng số đo ba góc trong một tam giác bằng 1800 nên : A + B + C = 180
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
Suy ra ; tổng số đo góc lớn nhất và góc nhỏ nhất là 1200
Câu 9: Cho [un] là cấp số cộng thỏa mãn :
A. 3 B. 4
C. 5 D .6
Đáp án: B
Theo giả thiết ta có :
Câu 10: Cho [un] là cấp số cộng, u1; u2; u3 là 3 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn:
A.15 B. 20
C. 21 D. 18
Đáp án: A
Gọi 3 số cần tìm là: u1 = a − d; u2 = a; u3 = a + d
Theo giả thiết ta có:
Với d = 2 thì 3 số cần tìm là 1; 3; 5
Với d = −2 thì 3 số cần tìm là 5; 3; 1.
Trong cả 2 trường hợp thì tích của 3 số đó là 15
Câu 11: Cho dãy số [un] là cấp số cộng thỏa mãn:
A.3 hoặc −1 B. 2 hoặc −2.
C.2 hoặc −3 D. −2 hoặc 1.
Đáp án: A
Theo giả thiết ta có:
Từ [1] suy ra : 2u1 + 4d = 2 ⇔ u1 + 2d = 1 ⇔ u1 = 1 − 2d thay vào [2] ta được:
Đặt t= d2 khi đó phương trình [*] trở thành:
+ Với t = 4 => d2 = 4 ⇔ d = ±2
* Với d = 2 => u1 = −3. Khi đó u4 = u1 + 3d = 3.
* Với d = −2 => u1 = 5. Khi đó u4 = u1 + 3d = −1.
Vậy số hạng thứ 4 của cấp số cộng là 3 hoặc −1 .
Câu 12: Cho 2 cấp số cộng : 5 ;8 ;11 ; .....và 3 ;7 ;11,.... Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số ; có bao nhiêu số hạng chung ?
A. 23 B. 24
C. 25 D. Tất cả sai
Đáp án: C
Giả sử un là số hạng thứ n của cấp số cộng thứ nhất: un = 5 + 3[n − 1] và vm = 3 + [m − 1] . 4 là số hạng thứ m của cấp số cộng thứ 2.
un = vm khi và chỉ khi:
Đặt
Vì m; n không lớn hơn 100 nên:
Kết hợp với t là số nguyên dương nên
Tương ứng với 25 giá trị của t ta được 25 số hạng chung của 2 dãy [un]; [vm] .
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
day-so-cap-so-cong-va-cap-so-nhan.jsp