■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm ${y}'={f}'\left[ x \right]$.
■ Bước 2. Tìm các điểm tại đó ${f}'\left[ x \right]=0$ hoặc${f}'\left[ x \right]$ không xác định.
■ Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của ${y}'$.
Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho ${y}'$.
■ Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của ${y}'$.
Bài tập tìm khoảng đồng biến nghịch biến có đáp án
| Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ b] $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$ |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=3{{x}^{2}}-6x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;0 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$, nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;2 \right]$.
b] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-4x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -1;0 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$, nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ 0;1 \right]$
| Bài tập 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=-{{x}^{3}}+3x-2$ b] $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2$ |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -1;1 \right]$ và nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$.
b] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\left[ x-3 \right]$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ 3;+\infty \right]$, nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;3 \right]$.
| Bài tập 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=\frac{x+3}{x-1}$. b] $y=\frac{3x+1}{x+1}$. |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Ta có: ${y}'=\frac{-4}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}0\text{ }\left[ \forall x\in D \right]$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ -1;+\infty \right]$.
| Bài tập 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=x+\frac{4}{x}$. b] $y=\frac{{{x}^{2}}-x+9}{x-1}$. |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ta có: ${y}'=1-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]$ và $\left[ 0;2 \right]$.
b] TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$
Ta có: ${y}'=\frac{\left[ 2x-1 \right]\left[ x-1 \right]-\left[ {{x}^{2}}-x+9 \right]}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-8}{{{\left[ x-1 \right]}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=4 \\ \end{array} \right.$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 4;+\infty \right]$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left[ -2;1 \right]$ và $\left[ 1;4 \right]$.
| Bài tập 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=\sqrt{16-{{x}^{2}}}$ b] $y=\sqrt{6x-{{x}^{2}}}$ |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\left[ -4;4 \right]$. Ta có: ${y}'=\frac{-2x}{2\sqrt{16-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x=0$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -4;0 \right]$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;4 \right]$.
b] TXĐ: $D=\left[ 0;6 \right]$
Ta có: ${y}'=\frac{6-2x}{2\sqrt{6x-{{x}^{2}}}}=0\text{ }\Leftrightarrow x=3$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 0;3 \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 3;6 \right]$.
| Bài tập 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=\sqrt{{{x}^{2}}-4x}$ b] $y=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}$ |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\left[ -\infty ;0 \right]\cup \left[ 4;+\infty \right]$. Ta có: ${y}'=\frac{2x-4}{2\sqrt{{{x}^{2}}-4x}}=0\Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 4;+\infty \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;0 \right]$.
b] TXĐ: $D=\left[ -\infty ;2 \right]\cup \left[ 6;+\infty \right]$
Ta có: ${y}'=\frac{2x-8}{2\sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}}=0\text{ }\Leftrightarrow x=4$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ 6;+\infty \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;2 \right]$.
| Bài tập 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}$ b] $y=2x+1-\sqrt{2{{x}^{2}}-8}$ |
Lời giải chi tiết
a] TXĐ: $D=\mathbb{R}$
Ta có: ${y}'=1-\frac{2\left[ 2x+3 \right]}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\left[ 2x+3 \right]}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=2x+3$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2x+3\ge 0 \\ {} {{x}^{2}}+2x+3=4{{x}^{2}}+12x+9 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2x\ge -3 \\ {} \left[ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$
Bảng biến thiên [xét dấu
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -1;+\infty \right]$ và nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$.
b] TXĐ: $D=\left[ -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right]$
Ta có: ${y}'=2-\frac{4x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=\frac{2\sqrt{2{{x}^{2}}-8}-2x}{\sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-8}=2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 0 \\ {} 2{{x}^{2}}-8=4{{x}^{2}} \\ \end{array} \right.$ [vô nghiệm].
Bảng biến thiên [xét dấu
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$.
| Bài tập 8: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau a] $y=f\left[ x \right]$ biết ${f}'\left[ x \right]=x{{\left[ x-1 \right]}^{2}}{{\left[ x+3 \right]}^{3}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$. b] $y=g\left[ x \right]$ biết ${g}'\left[ x \right]=\left[ {{x}^{2}}-1 \right]\left[ x-2 \right]{{\left[ x+3 \right]}^{2018}},\text{ }\forall x\in \mathbb{R}$. |
Lời giải chi tiết
a] Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-3 \right]$ và $\left[ 0;+\infty \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -3;0 \right]$.
b] Ta có: ${g}'\left[ x \right]=\left[ {{x}^{2}}-1 \right]\left[ x-2 \right]{{\left[ x+3 \right]}^{2018}}={{\left[ x+3 \right]}^{2018}}\left[ x+2 \right]\left[ x+1 \right]\left[ x-1 \right]$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -2;-1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$, hàm số nghịch biến trên khoảng$\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ -1;1 \right]$.
| Bài tập 9: Cho hàm số $y=f\left[ x \right]$ có bảng xét dấu đạo hàm sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -2;0 \right]$. B. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[ -\infty ;0 \right]$. C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ 0;2 \right]$. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$. |
Lời giải chi tiết
Hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left[ -2;0 \right]$; $\left[ 0;2 \right]$.
Và đồng biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$. Chọn C.
| Bài tập 10: Tìm tất cả các khoảng đồng biến của hàm số $y=\frac{-{{x}^{2}}+2x-1}{x+2}$. A. $\left[ -5;-2 \right]$ và $\left[ -2;1 \right]$ B. $\left[ -5;-2 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$ C. $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ -2;1 \right]$ D. $\left[ -\infty ;-2 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=\frac{\left[ -2x+2 \right]\left[ x+2 \right]-\left[ -{{x}^{2}}+2x-1 \right]}{{{\left[ x+2 \right]}^{2}}}=\frac{-{{x}^{2}}-4x+5}{{{\left[ x+2 \right]}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=1 \\ {} x=-5 \\ \end{array} \right.$.
Bảng biến thiên [xét dấu
Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $\left[ -5;-2 \right]$ và $\left[ -2;1 \right]$. Chọn A.
| Bài tập 11: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số $y=-{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+24x+1$. A. $\left[ -4;2 \right]$ B. $\left[ -4;0 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$ C. $\left[ -\infty ;-4 \right]$ và $\left[ 0;2 \right]$ D. $\left[ -\infty ;-4 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$ |
Lời giải chi tiết
Ta có: ${y}'=-3{{x}^{2}}-6x+24=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=-4 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$.
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-4 \right]$ và $\left[ 2;+\infty \right]$. Chọn D.
| Bài tập 12: Hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}-2x}$ A. Đồng biến trên $\left[ 2;+\infty \right]$ và nghịch biến trên $\left[ -\infty ;0 \right]$. B. Đồng biến trên $\left[ -\infty ;0 \right]$ và nghịch biến trên $\left[ 2;+\infty \right]$. C. Đồng biến trên $\left[ 1;+\infty \right]$ và nghịch biến trên $\left[ -\infty ;1 \right]$. D. Đồng biến trên $\left[ 1;2 \right]$ và nghịch biến trên $\left[ 0;1 \right]$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=\left[ -\infty ;0 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right]$. Ta có: ${y}'=\frac{2x-2}{2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}=0\Leftrightarrow x=2$
Bảng biến thiên [xét dấu ${y}'$]:
Do vậy hàm số đồng biến trên $\left[ 2;+\infty \right]$ và nghịch biến trên $\left[ -\infty ;0 \right]$. Chọn A.
| Bài tập 13: Hàm số $y=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}$ A. Đồng biến trên các khoảng $\left[ -1;\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và $\left[ \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right]$ và nghịch biến trên $\left[ \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$. B. Đồng biến trên $\left[ \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và nghịch biến trên các khoảng $\left[ -1;\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và $\left[ \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right]$. C. Đồng biến trên $\left[ \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và nghịch biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và $\left[ \frac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right]$. D. Đồng biến trên $\left[ \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và nghịch biến trên các khoảng $\left[ -\infty ;-1 \right]$ và $\left[ 1;+\infty \right]$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=\left[ -1;1 \right]$.
Ta có: ${y}'=\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\frac{1-2{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}$.
Lập bảng xét dấu ${y}'$:
Do đó hàm số đồng biến trên $\left[ \frac{-\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và nghịch biến trên các khoảng $\left[ -1;\frac{\sqrt{2}}{2} \right]$ và $\left[ \frac{\sqrt{2}}{2};1 \right]$.
Chọn B.
| Bài tập 14: Hàm số $y=\frac{x-2}{{{x}^{2}}+x+1}$ đồng biến trên: A. $\mathbb{R}$. B. $\left[ -\infty ;2-\sqrt{7} \right]$ và $\left[ 2+\sqrt{7};+\infty \right]$ C. $\left[ 2-\sqrt{7};2+\sqrt{7} \right]$ D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. |
Lời giải chi tiết
TXĐ: $D=\mathbb{R}$.
Ta có: ${y}'=\frac{-{{x}^{2}}+4x+3}{{{\left[ {{x}^{2}}+x+1 \right]}^{2}}}>0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4x-3