Cách vẽ đường trung trực lớp 7

Định nghĩa [edit]

Ví dụ 1: Xét đoạn thẳng \(AB\) và đường thẳng \(d\) như sau:

Đường thẳng \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi có hai điều kiện:

Cách vẽ [edit]

Để vẽ đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\) ta có thể dùng thước và compa như sau:

Cách 1: Chỉ dùng thước ê ke.

Bước 1: Dùng thước đo độ dài đoạn thẳng \(AB\) và xác định trung điểm \(I.\)

Bước 2: Dùng thước ê ke (hoặc thước thẳng) kẻ đường thẳng đi qua trung điểm \(I\) và vuông góc với \(AB.\)

Bước 3: Kẻ đường thẳng đi qua trung điểm \(I\) và vuông góc với \(AB\) trên nửa mặt phẳng còn lại.

Đường thẳng vừa kẻ được chính là đường trung trực của đoạn \(AB.\)

Cách 2: Dùng thước và compa

Bước 1: Vẽ cung tròn tâm \(A\) bán kính \(R\) và cung tròn tâm \(B\) bán kính \(R,\) với \(R> \dfrac{AB}{2}.\)

Bước 2: Xác định giao điểm của hai cung tròn vừa vẽ.

Bước 3: Dùng thước kẻ đường thẳng đi qua hai giao điểm vừa xác định được.

Đường thẳng vừa kẻ được chính là đường trung trực của đoạn \(AB.\)

Chú ý: điều kiện \(R> \dfrac{AB}{2}\) để đảm bảo điều kiện hai cung tròn cắt nhau tại hai điểm.

Định lí thuận [edit]

Để chứng minh định lí trên, ta xét bài toán sau:

Cho \(d\) là đường trung trực của đoạn \(AB.\) Lấy điểm \(M\) tùy ý thuộc \(d.\) Chứng minh \(MA=MB.\)

Chứng minh:

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Khi đó \(IA=IB.\)

Ta sẽ chứng minh trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Điểm \(M\) không thuộc đoạn \(AB\). Tức là \( M \neq I.\)

Vì \(d\) là đường trung trực của \(AB\) khi đó \(d \bot AB\) nên \(\widehat{MIA}=\widehat{MIB}=90^{\circ}.\)

Nối \(A\) với \(M\) và \(B\) với \(M.\)

Xét \(\Delta AMI\) và \(\Delta BMI\) có:

Suy ra\(\Delta AMI=\Delta BMI\) (c.g.c)

Vì \(M\) lấy tùy ý nên kết luận trên đúng với mọi điểm thuộc \(d.\)

Trường hợp 2: Điểm \(M\) thuộc đoạn \(AB.\)

Ta có \(M \in d.\) Lại có \(M \in AB\) nên \(M\) là giao của \(d\) và \(AB.\)

Do đó \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\) nên \(MA=MB.\)

Nghĩa là, mọi điểm thuộc \(d\) thì cách đều hai mút \(A,\ B.\ \square\)

Ví dụ 2: Mọi điểm thuộc đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) thì cách đều hai mút \(A,\ B.\)

Các đoạn thẳng cùng màu thì bằng nhau.

Định lí đảo [edit]

Để chứng minh định lí trên, ta xét bài toán sau:

Cho đường thẳng \(d\) là trung trực của đoạn \(AB\) và điểm \(M\) mà \(MA=MB.\) Chứng minh \(M\) thuộc \(d.\)

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Điểm \(M \in AB.\)

Theo đề bài, ta có:

Vậy \(M\) thuộc đường trung trực \(d.\)

Trường hợp 2: \(M \notin AB\)

Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn \(AB.\) Khi đó \(IA=IB.\)

Nối \(A\) với \(M\) và \(B\) với \(M.\) Theo giả thiết, ta có \(MA=MB.\)

Xét \(\Delta MAI\) và \(\Delta MBI\) có:

Suy ra \(\Delta MAI=\Delta MBI\) (c.c.c)

Lại có \(\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=180^{\circ}\) (hai góc kề bù)

Do đó \(MI \bot AB\) tại trung điểm \(I\) nên \(MI\) là đường trung trực của đoạn \(AB.\)

Mỗi đoạn thẳng có duy nhất một đường trung trực nên \(MI \equiv d\) hay \(M \in d.\ \square\)

Vậy mọi điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Nhận xét:

Từ hai định lí trên, ta có nhận xét sau:

Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.