ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC PHÉP TOÁN VEVTO
A LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa
·Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là.
·Giácủa vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
·Độ dàicủa vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu.
·Vectơ khônglà vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu.
·Hai vectơ đglcùng phươngnếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
·Hai vectơ cùng phương có thểcùng hướnghoặcngược hướng.
·Hai vectơ đglbằng nhaunếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý:
+ Ta còn sử dụng kí hiệuđể biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơcùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.
+ Mọi vectơđều bằng nhau.
2. Các phép toán
a. Tổng của hai vectơ
·Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:.
·Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:.
·Tính chất:;
;
b. Hiệu của hai vectơ
·Vectơ đốicủalà vectơsao cho. Kí hiệu vectơ đối củalà.
·Vectơ đối củalà.
·.
Chú ý:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC
c. Tích của vecto với một số
·Cho vectơvà sốkR.là một vectơ được xác định như sau:
+cùng hướng vớinếuk0,ngược hướng vớinếuk < 0.
+.
·Tính chất:
;
;
k = 0hoặc.
·Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
vàcùng phương.
·Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k0:.
·Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:Cho hai vectơ không cùng phươngvàtuỳ ý. Khi đó !m, nR:.
Chú ý:
·Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì
+
+[O tuỳ ý].
·Hệ thức trọng tâm tam giác:
G là trọng tâm của tam giác ABC thì:
+
+[O tuỳ ý].
B BÀI TẬP
Dạng 1: Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơlà
Ví dụ 1:Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó.
Hướng dẫn giải:
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác
Ví dụ 2:Cho điểm A và vectơkhác. Tìm điểm M sao chocùng phương
Hướng dẫn giải:
GọiDlà giá của
Nếucùng phươngthì đường thẳng AM//D
Do đó M thuộc đường thẳngmđi qua A và //D
Ngược lại, mọi điểm M thuôcmthìcùng phương
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
+ Sử dụng định nghĩa:
+Sử dụng tính chất của các hình. Nếu ABCD là hình bình hành thì
, [hoặc viết ngược lại]
+ Nếu
Ví dụ 3:Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
Cách 1: EF là đường trung bình củaDABC nên EF//CD,
EF=BC=CD EF=CD [1]
cùng hướng[2]
Từ [1],[2] suy ra
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
EF=BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành
Ví dụ 4:Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
Ta có MC//AN và MC=AN MACN là hình bình hành
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
của MD =. Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra=
Dạng 3: Các phép toán vecto
Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD.
Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a] Tìm tổng
b] Chứng minh :
Hướng dẫn giải:
a] + Vìnên ta có
===
+ Vìnên ta có
===
+ Vìnên ta có
==, E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b] Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên
Vậy
Ví dụ 2:Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM=AB. Tìm k trong các đẳng thức sau:
Hướng dẫn giải:
a], vìÞk=
b] k=c] k=
Dạng 3: Biểu diễn [phân tích, biểu thị] thành hai vectơ không cùng phương
Ví dụ 1:ChoDABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt. Hãy phân tích các vectơtheo hai vectơ.
Giải:
Ta có
Ví dụ 2:Cho tam giác ABC.
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơtheo hai vectơ.
Hướng dẫn giải:
Ta có
mà
Dạng 4: Chứng minh đẳng thức vecto
Ví dụ 1:Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh:.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có
VT=[đpcm]
Ví dụ 2:Chứng minh rằng nếu G và G lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và ABC thì.
Hướng dẫn giải: