Các dạng phương trình mũ và logarit

15:45:5123/09/2020

Tuy nhiên, phương pháp giải phương trình mũ và logarit bằng hàm số đối với một số bài toán mang lại hiệu quả rất bất ngờ. Cách giải phương trình mũ bằng phương pháp hàm số như thế nào? chúng ta cùng tham khảo bài viết dưới đây.

» Đừng bỏ lỡ: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình cực hay

° Hàm số - kiến thức cần nhớ

• Tính chất 1: Nếu hàm f[x] tăng [hoặc giảm] trong khoảng [a;b] thì phương trình f[x] = k có không quá một nghiệm trong khoảng [a;b].

• Tính chất 2: Nếu hàm f[x] tăng trong khoảng [a;b] và hàm g[x] là hàm hằng hoặc là một hàm giảm trong khoảng [a;b] thì phương trình f[x] có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng [a;b], [do đó nếu tồn tại x0 ∈ [a;b]: f[x0] = g[x0] thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f[x] = g[x]].

° Giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số ta thực hiện các bước sau:

• Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f[x] = k.

• Bước 2: Xét hàm số y = f[x].

 Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu [đồng biến hoặc nghịch biến].

• Bước 3: Nhận xét:

 - Với x = x0 ⇔ f[x] = f[x0] = k, do đó x = x0 là nghiệm.

- Với x > x0 ⇔ f[x] > f[x0] ⇔ f[x] > k, nên phương trình vô nghiệm.

- Với x < x0 ⇔ f[x] < f[x0] ⇔ f[x] < k, nên phương trình vô nghiệm.

• Bước 4: Kết luận: x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

° Bài tập vận dụng giải phương trình mũ và logarit bằng phương pháp hàm số

* Bài tập 1: Giải các phương trình mũ và logarit sau:

a] 2x + 5x = 7

b] log3[x+3] + log5[x+5] = 2

* Lời giải:

- Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm hằng.

a] 2x + 5x = 7

- Ta có: VT = 2x + 5x , là hàm đồng biến

 VP = 7, là một hàm hằng.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì:

 VT = 21 + 51 = 7 = VP

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b] log3[x+3] + log5[x+5] = 2

- Điều kiện: x ≥ -3.

- Ta có: VT = log3[x+3] + log5[x+5] là một hàm đồng biến

 VP = 2 là hàm hằng

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Mặt khác, ta thấy: với x = 0 [thỏa điều kiện x ≥ -3] thì:

 VT =log3[3] + log5[5] = 1 + 1 = 2 = VP

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

* Bài tập 2: Giải các phương trình sau.

a] 5x = 6 - x

b] log6x = 7 - x.

* Lời giải:

- Với bài tập này thì vế trái làm hàm mũ hoặc logarit, vế phải là hàm số bậc 1.

a] 5x = 6 - x

- Ta có: VT = 5x , là hàm đồng biến

 VP = 6 - x, là một hàm nghịch biến.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Mặt khác, ta thấy: với x = 1 thì:

 VT = 51 = 5; VP = 6 - 1 = 5 ⇒ VT = VP

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

b] log6x = 7 - x.

- Ta có: VT = log6x , là hàm đồng biến

 VP = 7 - x, là một hàm nghịch biến.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Mặt khác, ta thấy: với x = 6 thì:

 VT = log66 = 1; VP = 7 - 6 = 1 ⇒ VT = VP

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 6.

* Bài tập 3: Giải pương trình: log2x + log5[2x+1] = 2.

* Lời giải:

- Điều kiện logarit có nghĩa: x >0

- Ta có: VT = log2x + log5[2x+1] , là hàm đồng biến.

 VP = 2 là hàm hằng.

→ Như vậy, nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

- Mặt khác, ta thấy: với x = 2 thì:

 VT = log22 + log5[2.2+1] = 1 + 1 = 2 = VP.

⇒ Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.

• Cũng có thể lập luận như sau:

 - Nhận thấy x = 2 là nghiệm.

 + Nếu x > 2 thì:

 log2x > log22 = 1; log5[2x + 1] >  log2[2.2 + 1] = 1.

 ⇒ log2x + log5[2x+1] > 2

 ⇒ Phương trình vô nghiệm.

 + Nếu 0 b

     - Nếu b≤0, tập nghiệm của bất PT là R vì ax > 0 với mọi x∈R 

     - Nếu b>0, thì BPT tương đương với ax >

- Nếu a > 1 thì nghiệm của bất PT là x > logab

- Nếu 0 0 ta được phương trình: t2 - 4.t + 3 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 3 [2 nghiệm đều thoả điều kiện t>0].