- Explore Documents
Categories
- Academic Papers
- Business Templates
- Court Filings
- All documents
- Sports & Recreation
- Bodybuilding & Weight Training
- Boxing
- Martial Arts
- Religion & Spirituality
- Christianity
- Judaism
- New Age & Spirituality
- Buddhism
- Islam
- Art
- Music
- Performing Arts
- Wellness
- Body, Mind, & Spirit
- Weight Loss
- Self-Improvement
- Technology & Engineering
- Politics
- Political Science All categories
0% found this document useful [0 votes]
54 views
10 pages
Original Title
[123doc] - mot-so-bai-toan-hinh-hoc-chung-minh-diem-co-dinh.doc
Copyright
© © All Rights Reserved
Available Formats
DOC, PDF, TXT or read online from Scribd
Share this document
Did you find this document useful?
0% found this document useful [0 votes]
54 views10 pages
[123doc] - Mot-So-Bai-Toan-Hinh-Hoc-Chung-Minh-Diem-Co-Dinh
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP
Chuyên đề
:
MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH
A/ CƠ SỞ LÝ LUẬN:
* Trong chương trình hình học lớp 9, có một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định. Những bài toán hình học chứng minh đi qua điểm cố định là những bài toán khó. Các bài toán dạng này thường được để bồi dưỡng thi học sinh giỏi. * Trong các bài toán chứng minh đi qua điểm cố định, dựa vào kiến thức của tứ giác nội tiếp đường tròn để giải.* Kiến thức về tứ giác nội tiếp đường tròn là kiến thức trọng tâm của chương trình hình học lớp 9. * Chuyên đề được sử dụng cho học sinh lớp 9, bồi dưỡng học sinh giỏi. Tuy vậy đối với học sinh khá cũng có thể tiếp cận và làm được.
B/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
I/ CÁC BƯỚC CỦA PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐI QUA ĐIỂMCỐ ĐỊNH.
+
Bước 1
: Xác định rõ các yếu tố cố định đã biết.+
Bước 2
: Xác định tứ giác nội tiếp liên quan đến điểm cố định.+
Bước 3
: Chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định.
II/ CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH.Bài 1.
Cho đường tròn [O] bán kính R và một đường thẳng d cắt [O] tại C, D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài đường tròn [O]. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB [A, B là tiếp điểm]. Chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định.
Giải:
Gọi H là trung điểm CD và giao điểm của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Có tam giác OBM vuông tại B, đường cao BESuy ra OE. OM = OB
2
\= R
2
[1]Có
·
·
0
FHMFEM90\=\=Suy ra tứ giác MEHF nội tiếpCó hai tam giác vuông OHM và OEF đồngdạngSuy ra OHOMOE.OMOFOEOFOH\=Þ\= [2]Từ [1] và [2] suy ra
2
R OFOH\=Do đường tròn [O], đường thẳng d cho trước, nên OH không đổi. Suy ra OF không đổi, điểm F cố định.Do đó đường thẳng AB đi qua điểm F cố định.
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP
Trang 1
*
Nhận xét
:
+
Do đường thẳng OH cho trước, nên dự đoán AB cắt OH tại điểm cố định+ Vận dụng tứ giác nội tiếp để khẳng định đường thẳng đi qua 1 điểm cố định+ Vận dụng hệ thức luợng trong tam giác vuông để giải.+ Bài toán vẫn đúng trong trường hợp điểm M nằm trên tia đối của tia CD. Khi đó đường thẳng AB vẫn đi qua điểm F cố định.
Bài 2
. Cho đoạn thẳng AC cố định, điểm B cố định nằm giữa A và C. Đường tròn [O] thay đổi luôn đi qua A và B. Gọi PQ là đường kính của đường tròn [O], PQ vuông góc AB, [P thuộc cung lớn AB]. Gọi CP cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai I. Chứng minh QI luôn đi qua một điểm cố định khi đường tròn [O] thay đổi.
Giải
: Gọi IQ cắt AB tại K. Ta có tứ giác PDKI nội tiếp Tam giác CIK đồng dạng tam giác CDPSuy ra CICK CI.CPCD.CK CDCP\=Þ\= [1]Có hai tam giác CIB và CAP đồng dạngSuy ra CICACI.CPCA.CBCBCP\=Þ\= [2]Từ [1] và [2] suy ra
CK.CD CA.CB\=
CA.CBCK CDÞ\=Do A, B, C cố định nên CA, CB, CD không đổi [D là trung điểm AB]Khi đó độ dài CK không đổi; nên K cố định. Suy ra IQ luôn đi qua điểm K cố định.*
Nhận xét
:+ Do điểm A, B, C cố định, nên dự đoán đường thẳng IQ cắt AB tại điểm cố định+ Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. Dựa vào tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạngta chứng minh đường thẳng đã cho đi qua 1 điểm cố định.
Bài 3.
Cho đường tròn tâm O và hai điểm A, B cố định thuộc đường tròn đó [AB không phải là đường kính]. Gọi M là trung điểm của cung nhỏ
AB.Trên đoạn AB lấy hai điểm C, D phân biệt và không nằm trên đường tròn. Các đường thẳng MC, MD cắt đường tròn đã cho tương ứng tại E, F khác M 1] Chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F nằm trên một đường tròn. 2] Gọi O
1
, O
2
tương ứng là tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE và BDF. Chứng minh rằng khi C, D thay đổi trên đoạn AB cácđường thẳng AO
1
và BO
2
luôn cắt nhau tại một điểm cố định.
Giải
: 1] Xét trường hợp C nằm giữa A và DCó
1MCB2
[sđ
MB
sđ
AE].
1MFE2
[sđ
MA + sđ
AE] Mà sđ
MB
\= sđ
MA
MCBMFE
Có
MCB \=
BCE \= 180
0
Suy ra
BCE+
MFE \= 180
0
Có
BCE,
MFE là 2 góc đối của tứ giác CDFE
Trang 2
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP
Suy ra tứ giác CDFE nội tiếp * Xét trường hợp D nằm giữa A và C. Ta cũng chứng minh được C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn.Vậy C, D, F, E cùng nằm trên một đường tròn. 2] Hạ O
1
H
AC , có O
1
A = O
1
C
O
1
AC cân tại O
1
O
1
H vừa là tia phân giác
1
AOC
1
AOC \= 2.
1
AOHMà
1
AOC \= 2.
AEC[góc ở tâm và góc nội tiếp.......]
1
AOH \=
AEC
. Mà
AEC
\=
MAB[........] Suy ra
1
AOH \=
MABXét
AO
1
H vuông tại H
1
AOH +
1
HAO \= 90
0
MAB +
1
HAO \= 90
0
1
MAO \= 90
0
Do đó MA là tiếp tuyến của [O
1
]. Kéo dài AO
1
cắt [O] tại NSuy ra
MON \= 2.
MAN \= 2. 90
0
\= 180
0
M, O, N thẳng hàng, có MN
AB. Suy ra N là điểm chính giữa cung lớn
ABLập luận tương tự BO
2
đi qua N là điểm chính giữa cung lớn
AB.Do đó AO
1
, BO
2
đi qua N là điểm chính giữa cung lớn
AB.Lập luận tương tự D nằm giữa A và C thì AO
1
và BO
2
cũng đi qua N Vậy AO
1
, BO
2
luôn đi qua 1 điểm cố định .*
Nhận xét
: + Đường tròn [O] cho trước, nên dự đoán AO
1
đi qua điểm chính giữa cung lớn AB+ Vận dụng tứ giác nội tiếp, ta chứng minh hai đường thẳng cùng đi qua 1 điểm cố định, là điểm chính giữa của một cung.
Bài 4
. Cho tam giác ABC và điểm D di chuyển trên cạnh BC [D khác B và C]Đường tròn [O
1
] đi qua D và tiếp xúc AB tại B. Đường tròn [O
2
] đi qua D và tiếp xúc AC tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai của [O
1
] và [O
2
]a] Chứng minh rằng khi D di động trên đoạn BC thì đường thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định b] Kết quả trên còn đúng không trong trường hợp D di động ở ngoài đoạn BC.
Giải
: a] Gọi [O] là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCCó
·
·
· ·
ABCBED;ACBCED\=\=. Suy ra
·
·
· · · ·
0
BAC BED CED BAC ABC ACB 180+ + \= + + \=
Do đó tứ giác ABEC nội tiếp Gọi DE cắt đường tròn [O] tại điểm thứ hai S.Từ
·
·
ABCBED;\=nên hai cung AC và SB bằng nhauDo đó S là điểm cố định. b] Trường hợp điểm D nằm ngoài đoạn BC.Chẳng hạn D nằm trên tia đối tia CB.[trường hợp D thuộc tia đối tia BC chứng minh tương tự]. Ta chứng minh được bốn điểmA, B, C, E cùng nằm trên đường tròn [O]. Gọi DE cắt [O] tại điểm thứ hai S
Trang 3
Vũ Hữu Chín, GV trường THCS Hồng Bàng, quận Hồng Bàng, HP