Bài tập khó chuyên đề khảo sát hàm số
- 1. ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Năm 2012
- 2. sát hàm số KSHS 01: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A. Kiến thức cơ bản Giả sử hàm số y = f [ x ] có tập xác định D. · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y ' = ax 2 + bx + c [a ¹ 0] thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 ì îD £ 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0 ì îD £ 0 · Định lí về dấu của tam thức bậc hai g[ x ] = ax 2 + bx + c [a ¹ 0] : + Nếu D < 0 thì g[ x ] luôn cùng dấu với a. + Nếu D = 0 thì g[ x ] luôn cùng dấu với a [trừ x = - b ] 2a + Nếu D > 0 thì g[ x ] có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g[ x ] khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g[ x ] cùng dấu với a. · So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g[ x ] = ax 2 + bx + c với số 0: ìD ³ 0 ìD ³ 0 ï ï + x1 £ x2 < 0 Û í P > 0 + 0 < x1 £ x2 Û í P > 0 + x1 < 0 < x2 Û P < 0 ïS < 0 ïS > 0 î î · g[ x ] £ m, "x Î [a; b] Û max g[ x ] £ m ; [ a;b ] g[ x ] ³ m, "x Î [a; b] Û min g[ x ] ³ m [ a;b ] B. Một số dạng câu hỏi thường gặp 1. Tìm điều kiện để hàm số y = f [ x ] đơn điệu trên tập xác định [hoặc trên từng khoảng xác định]. · Hàm số f đồng biến trên D Û y¢ ³ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Hàm số f nghịch biến trên D Û y¢ £ 0, "x Î D và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D. · Nếu y ' = ax 2 + bx + c [a ¹ 0] thì: + y ' ³ 0, "x Î R Û í a > 0 ì îD £ 0 + y ' £ 0, "x Î R Û í a < 0 ì îD £ 0 2. Tìm điều kiện để hàm số y = f [ x ] = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng [a ; b ] . Ta có: y¢ = f ¢[ x ] = 3ax 2 + 2bx + c . a] Hàm số f đồng biến trên [a ; b ] Û y¢ ³ 0, "x Î [a ; b ] và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc [a ; b ] . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢[ x ] ³ 0 Û h[m] ³ g[ x ] [*] thì f đồng biến trên [a ; b ] Û h[m] ³ max g[ x ] [a ; b ] Trang 1
- 3. số · Nếu bất phương trình f ¢[ x ] ³ 0 Û h[m] £ g[ x ] Trần Sĩ Tùng [**] thì f đồng biến trên [a ; b ] Û h[m] £ min g[ x ] [a ; b ] Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢[ x ] ³ 0 không đưa được về dạng [*] thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g[t ] = 3at 2 + 2[3aa + b]t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng [-¥; a] Û g[t ] ³ 0, "t < 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 – Hàm số f đồng biến trên khoảng [a; +¥] Û g[t ] ³ 0, "t > 0 Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 î b] Hàm số f nghịch biến trên [a ; b ] Û y¢ ³ 0, "x Î [a ; b ] và y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc [a ; b ] . Trường hợp 1: · Nếu bất phương trình f ¢[ x ] £ 0 Û h[m] ³ g[ x ] [*] thì f nghịch biến trên [a ; b ] Û h[m] ³ max g[ x ] [a ; b ] · Nếu bất phương trình f ¢[ x ] ³ 0 Û h[m] £ g[ x ] [**] thì f nghịch biến trên [a ; b ] Û h[m] £ min g[ x ] [a ; b ] Trường hợp 2: Nếu bất phương trình f ¢[ x ] £ 0 không đưa được về dạng [*] thì đặt t = x - a . Khi đó ta có: y¢ = g[t ] = 3at 2 + 2[3aa + b]t + 3aa 2 + 2ba + c . ìa < 0 ï ï ì – Hàm số f nghịch biến trên khoảng [-¥; a] Û g[t ] £ 0, "t < 0 Û ía < 0 Ú íD > 0 D£0 î ïS > 0 ïP ³ 0 î ìa < 0 ïD > 0 ï ìa < 0 – Hàm số f nghịch biến trên khoảng [a; +¥] Û g[t ] £ 0, "t > 0 Û í Ú í D£0 î ïS < 0 ïP ³ 0 î 3. Tìm điều kiện để hàm số y = f [ x ] = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên khoảng có độ dài bằng k cho trước. ì · f đơn điệu trên khoảng [ x1; x2 ] Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 Û í a ¹ 0 [1] îD > 0 · Biến đổi x1 - x2 = d thành [ x1 + x2 ]2 - 4 x1x2 = d 2 · Sử dụng định lí Viet đưa [2] thành phương trình theo m. · Giải phương trình, so với điều kiện [1] để chọn nghiệm. 4. Tìm điều kiện để hàm số y = ax 2 + bx + c [2], [a, d ¹ 0] dx + e a] Đồng biến trên [-¥;a ] . b] Đồng biến trên [a ; +¥] . Trang 2 [2]
- 4. sát hàm số c] Đồng biến trên [a ; b ] . ì -e ü adx 2 + 2aex + be - dc f [ x] = ý , y' = 2 2 îd þ [ dx + e ] [ dx + e ] Tập xác định: D = R í Trường hợp 1 Nếu: f [ x ] ³ 0 Û g[ x ] ³ h[m] [i] Trường hợp 2 Nếu bpt: f [ x ] ³ 0 không đưa được về dạng [i] thì ta đặt: t = x - a . Khi đó bpt: f [ x ] ³ 0 trở thành: g[t ] ³ 0 , với: g[t ] = adt 2 + 2a[da + e]t + ada 2 + 2aea + be - dc a] [2] đồng biến trên khoảng [-¥;a ] ì -e ï Û í d ³a ï g[ x ] ³ h[m], "x < a î ì -e ï ³a Ûíd ïh[m] £ min g[ x ] [ -¥;a ] î a] [2] đồng biến trên khoảng [-¥;a ] ì -e ï Û í d ³a ï g[t ] ³ 0, "t < 0 [ii] î ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 Ú í [ii] Û í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î b] [2] đồng biến trên khoảng [a ; +¥] ì -e ï Û í d £a ï g[ x ] ³ h[m], "x > a î ì -e ï £a Ûíd ïh[m] £ min g[ x ] [a ; +¥ ] î b] [2] đồng biến trên khoảng [a ; +¥] ì -e ï Û í d £a ï g[t ] ³ 0, "t > 0 [iii] î ìa > 0 ïD > 0 ï ìa > 0 Ú í [iii] Û í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 î c] [2] đồng biến trên khoảng [a ; b ] ì -e ï Û í d Ï [a ; b ] ï î g[ x ] ³ h[m], "x Î [a ; b ] ì -e ï Ï [a ; b ] Ûíd ïh[m] £ min g[ x ] [a ; b ] î 5. Tìm điều kiện để hàm số y = ax 2 + bx + c [2], [a, d ¹ 0] dx + e a] Nghịch biến trên [-¥;a ] . b] Nghịch biến trên [a ; +¥] . c] Nghịch biến trên [a ; b ] . ì -e ü adx 2 + 2aex + be - dc f [ x] = ý , y' = 2 2 îd þ [ dx + e ] [ dx + e ] Tập xác định: D = R í Trang 3
- 5. số www.VNMATH.com Trường hợp 1 Nếu f [ x ] £ 0 Û g[ x ] ³ h[m] [i] Trần Sĩ Tùng Trường hợp 2 Nếu bpt: f [ x ] ³ 0 không đưa được về dạng [i] thì ta đặt: t = x - a . Khi đó bpt: f [ x ] £ 0 trở thành: g[t ] £ 0 , với: g[t ] = adt 2 + 2a[da + e]t + ada 2 + 2aea + be - dc a] [2] nghịch biến trên khoảng [-¥;a ] ì -e ï Û í d ³a ï g[ x ] ³ h[m], "x < a î ì -e ï ³a Ûíd ïh[m] £ min g[ x ] [ -¥;a ] î b] [2] nghịch biến trên khoảng [a ; +¥] ì -e ï Û í d £a ï g[ x ] ³ h[m], "x > a î ì -e ï £a Ûíd ïh[m] £ min g[ x ] [a ; +¥ ] î a] [2] đồng biến trên khoảng [-¥;a ] ì -e ï Û í d ³a ï g[t ] £ 0, "t < 0 [ii] î ìa < 0 ïD > 0 ï ìa < 0 [ii] Û í Ú í îD £ 0 ïS > 0 ïP ³ 0 î b] [2] đồng biến trên khoảng [a ; +¥] ì -e ï Û í d £a ï g[t ] £ 0, "t > 0 [iii] î ìa < 0 ïD > 0 ï ìa < 0 [iii] Û í Ú í îD £ 0 ïS < 0 ïP ³ 0 î c] [2] đồng biến trong khoảng [a ; b ] ì -e ï Û í d Ï [a ; b ] ï g[ x ] ³ h[m], "x Î [a ; b ] î ì -e ï Ï [a ; b ] Ûíd ïh[m] £ min g[ x ] [a ; b ] î Trang 4
- 6. 1. Khảo sát hàm số 1 3 Cho hàm số y = [m - 1] x 3 + mx 2 + [3m - 2] x [1] 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số [1] khi m = 2 . 2] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số [1] đồng biến trên tập xác định của nó. · Tập xác định: D = R. y ¢= [m - 1] x 2 + 2mx + 3m - 2 . [1] đồng biến trên R Û y ¢³ 0, "x Û m ³ 2 Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 - mx - 4 [1] 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số [1] khi m = 0 . 2] Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số [1] đồng biến trên khoảng [-¥;0] . Câu 2. · Tập xác định: D = R. y ¢= 3 x 2 + 6 x - m . y¢ có D¢ = 3[m + 3] . + Nếu m £ -3 thì D¢ £ 0 Þ y¢ ³ 0, "x Þ hàm số đồng biến trên R Þ m £ -3 thoả YCBT. + Nếu m > -3 thì D¢ > 0 Þ PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 [ x1 < x2 ] . Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng [-¥; x1 ],[ x2 ; +¥] . ìD¢ > 0 ìm > -3 ï ï Do đó hàm số đồng biến trên khoảng [-¥;0] Û 0 £ x1 < x2 Û í P ³ 0 Û í-m ³ 0 [VN] ïS > 0 ï-2 > 0 î î Vậy: m £ -3 . Cho hàm số y = 2 x 3 - 3[2m + 1] x 2 + 6m[m + 1] x + 1 có đồ thị [Cm]. 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2] Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng [2; +¥] Câu 3. · Tập xác định: D = R. y ' = 6 x 2 - 6[2m + 1] x + 6m[m + 1] có D = [2m + 1]2 - 4[m 2 + m] = 1 > 0 éx = m y' = 0 Û ê . Hàm số đồng biến trên các khoảng [-¥; m], [m + 1; +¥] ëx = m +1 Do đó: hàm số đồng biến trên [2; +¥] Û m + 1 £ 2 Û m £ 1 Cho hàm số y = x 3 + [1 - 2m] x 2 + [2 - m] x + m + 2 . 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 1. 2] Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K = [0; +¥] . Câu 4. · Hàm đồng biến trên [0; +¥] Û y ¢= 3 x 2 + 2[1 - 2m] x + [2 - m] ³ 0 với "x Î [0; +¥] Û f [ x] = 3x 2 + 2 x + 2 ³ m với "x Î [0; +¥] 4x + 1 6[2 x 2 + x - 1] 1 Ta có: f ¢[ x ] = = 0 Û 2 x 2 + x - 1 = 0 Û x = -1; x = 2 2 [4 x + 1] æ1ö 5 Lập BBT của hàm f [ x ] trên [0; +¥] , từ đó ta đi đến kết luận: f ç ÷ ³ m Û ³ m . 4 è2ø Câu hỏi tương tự: 1 3 1 b] y = [m + 1] x 3 - [2m - 1] x 2 + 3[2m - 1] x + 1 [m ¹ -1] , K = [1; +¥] . 3 1 c] y = [m + 1] x 3 - [2m - 1] x 2 + 3[2m - 1] x + 1 [m ¹ -1] , K = [-1;1] . 3 a] y = [m + 1] x 3 - [2m - 1] x 2 + 3[2m - 1] x + 1 [m ¹ -1] , K = [-¥; -1] . Trang 5 ĐS: m ³ 4 11 ĐS: m ³ 0 ĐS: m ³ 1 2
- 7. số Câu 5. Trần Sĩ Tùng 1 3 Cho hàm số y = [m 2 - 1] x 3 + [m - 1] x 2 - 2 x + 1 [1] [m ¹ ±1] . 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 0. 2] Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = [-¥;2] . · Tập xác định: D = R; y¢ = [m2 - 1] x 2 + 2[m - 1] x - 2 . Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g[t ] = [m 2 - 1]t 2 + [4m 2 + 2m - 6]t + 4m 2 + 4m - 10 Hàm số [1] nghịch biến trong khoảng [-¥;2] Û g[t ] £ 0, "t < 0 ì 2 ï ì TH1: í a < 0 Û ím 2- 1 < 0 îD £ 0 Vậy: Với Câu 6. ï3m - 2m - 1 £ 0 î ìm2 - 1 < 0 ìa < 0 ï 2 ï >0 ï3m - 2m - 1 > 0 ï ïD Û í4m2 + 4m - 10 £ 0 TH2: í ïS > 0 ï -2m - 3 ïP ³ 0 ï î >0 ï m +1 î -1 £ m < 1 thì hàm số [1] nghịch biến trong khoảng [-¥;2] . 3 1 3 Cho hàm số y = [m 2 - 1] x 3 + [m - 1] x 2 - 2 x + 1 [1] [m ¹ ±1] . 1] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số khi m = 0. 2] Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K = [2; +¥] . · Tập xác định: D = R; y¢ = [m2 - 1] x 2 + 2[m - 1] x - 2 . Đặt t = x – 2 ta được: y¢ = g[t ] = [m 2 - 1]t 2 + [4m 2 + 2m - 6]t + 4m 2 + 4m - 10 Hàm số [1] nghịch biến trong khoảng [2; +¥] Û g[t ] £ 0, "t > 0 ìm2 - 1 < 0 ìa < 0 ï 2 ï >0 ï3m - 2m - 1 > 0 ìm2 - 1 < 0 ï ï ïD ìa < 0 TH1: í TH2: í Ûí 2 Û í4m2 + 4m - 10 £ 0 S 1 ì î g[t ] £ 0, "t < 0 [i] ém = 0 éD ' = 0 ê ìm ¹ 0 ê ìD ' > 0 ém = 0 [i] Û ê ï Ûê Û êï ê í 4m - 2 > 0 ê íS > 0 ëm ³ 2 + 3 ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0 êïP ³ 0 ëî ëî Vậy: Với m ³ 2 + 3 thì hàm số [2] nghịch biến trên [-¥;1] . Câu 15. Cho hàm số y = x 2 - 2mx + 3m2 [2]. 2m - x Tìm m để hàm số [2] nghịch biến trên khoảng [1; +¥] . · Tập xác định: D = R { 2m} . y ' = - x 2 + 4mx - m 2 [ x - 2m]2 = f [x] [ x - 2m]2 . Đặt t = x - 1 . Khi đó bpt: f [ x ] £ 0 trở thành: g[t ] = -t 2 - 2[1 - 2m]t - m2 + 4m - 1 £ 0 Hàm số [2] nghịch biến trên [1; +¥] Û y ' £ 0, "x Î [1; +¥] Û í2m < 1 ì î g[t ] £ 0, "t > 0 [ii ] ém = 0 éD ' = 0 ê ìm ¹ 0 ê ìD ' > 0 Û m £2- 3 [ii] Û ê ï Û êï ê í 4m - 2 < 0 ê íS < 0 ê ïm2 - 4m + 1 ³ 0 êïP ³ 0 ëî ëî Vậy: Với m £ 2 - 3 thì hàm số [2] nghịch biến trên [1; +¥] Trang 8
- 10. sát hàm số KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f [ x ] = ax 3 + bx 2 + cx + d A. Kiến thức cơ bản · Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt. · Hoành độ x1, x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0 . · Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng phương pháp tách đạo hàm. – Phân tích y = f ¢[ x ].q[ x ] + h[ x ] . – Suy ra y1 = h[ x1 ], y2 = h[ x2 ] . Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h[ x ] . · Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2 x + b2 thì tan a = k1 - k2 1 + k1k2 B. Một số dạng câu hỏi thường gặp Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song [vuông góc] với đường thẳng d : y = px + q . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. 1 p – Giải điều kiện: k = p [hoặc k = - ]. 2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : y = px + q một góc a . – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện: k-p = tan a . [Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tan a ] 1 + kp 3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước [với I là điểm cho trước]. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy. – Giải điều kiện SDIAB = S . 4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước [với I là điểm cho trước]. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Giải điều kiện SDIAB = S . 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. – Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. – Gọi I là trung điểm của AB. ì – Giải điều kiện: í D ^ d . îI Î d 5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho trước. – Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu. Trang 9