Bài tập chương 2 ma trận và định thức

Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận 1. Ma trận: 1.1 Định nghĩa: Ma trận m dòng, n cột trên trường số K [ ] là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận. Ta ký hiệu tập các ma trận là M[m, n; K] và mỗi ma trận thuộc M[m, n; K] được viết chi tiết là:

Chủ đề:

• Khái niệm ma trận
• phép toán trên ma trận
• định thức
• toán cao cấp
• giáo trình toán học
• phần tử

Nội dung Text: Chương 2. Ma trận – Định thức

1. Chương 2. Ma trận – Định thức Chương 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC Bài 1: Khái niệm ma trận và các phép toán trên ma trận ______________________________________________________ 1. Ma trận: 1.1 Định nghĩa: Ma trận m dòng, n cột trên trường số K [ ﾡ , ﾡ ] là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng, n cột, mỗi số trong ma trận thuộc trường và được gọi là một phần tử của ma trận. Ta ký hiệu tập các ma trận là M[m, n; K] và mỗi ma trận thuộc M[m, n; K] được viết chi tiết là: a a12 ... a1n � �11 �11 a12 ... a1n � a � � a a22 ... a2 n � � � �21 �21 a22 ... a2 n �hoặc a �M M� M O �M M� MO � � a am 2 ... amn � � � �m1 �m1 am 2 ... amn � a Hay viết gọn là A = [aij ] m hoặc A = [ aij ]m trong đó i = 1, m chỉ số dòng và j = 1, n chỉ số n n cột của phần tử. Hai ma trận A = [aij ]m n và B = [bij ]m n được gọi là bằng nhau nếu aij = bij với mọi i = 1, m và j = 1, n . � 2 3� 1 � 2 3� 1 � 5 6� Ví dụ: Ma trận A = � � ;B = � 4 � � 5 6� 4 � 8 9�3 7 2x3 � � 3x 1.2 Một số dạng ma trận đặc biệt: 1.2.1 Ma trận vuông: Trong trường hợp số dòng và số cột của hai ma trận bằng nhau thì ta có khái niệm ma trận vuông. Ký hiệu tập các ma trận vuông là M[n; K], với n là cấp của ma trận vuông. a a12 ... a1n � �11 � a22 ... a2 n � a21 A= � � � M� M MO � � a an 2 ... ann � �n1 Trong ma trận vuông các phần tử a11 , a22 ,..., ann là các phần tử nằm trên đường chéo chính, các phần tử an1 , a[ n −1]2 ,..., a1n là các phần tử nằm trên đường chéo phụ. Ví dụ: � 2 3� 1 � 2� 1 � 5 7� A = � �là ma trận vuông cấp hai và B = � 4 �là một ma trận vuông cấp 3. � 4� 3 � 8 9� 7 � � Phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là 1; 4. Phần tử nằm trên đường chó chính của ma trận B là 1, 5, 9. Đại số tuyến tính 1 23
2. Chương 2. Ma trận – Định thức 1.2.2 Ma trận dòng, ma trận cột: Nếu m = 1 thì ma trận chỉ có một dòng, được gọi là ma trận dòng. Tương tự, nếu n = 1 thì ta có ma trận chỉ có một cột, được gọi là ma trận cột. Ma trận dòng và ma trận cột thường được gọi là vectơ dòng và vectơ cột. Một số thuộc trường K được gọi là ma trận một dòng, một cột. Ví dụ: 1 �� �� Ma trận dòng: A = [ 1 2 3 4] và ma trận cột B = �� 5 �� 7 �� 1.2.3 Ma trận không Ma trận có tất cả các phần tử đều bằng 0 được gọi là ma trận không. Ta dùng số 0 để biểu thị cho mọi ma trận không cấp m x n. Ví dụ: � 0 0� 0 Ma trận 0 cấp 2x3: � � � 0 0� 0 1.2.4 Ma trận chéo Ma trận vuông có các phần tử ngoài đường chéo chính đều bằng 0 và các phần tử trên đường chéo chính khác không được gọi là ma trận chéo [hay ma trận đường chéo] . Ma trận chéo cấp n có dạng �11 0 ... 0 � a �a ... 0 � 0 [a ] � � 0, ∀i :1, n 22 A= ii � M M O M� � � 0 0 ... ann � � Ví dụ: �0 1 0 0� � −1 0� 0 0 C=� � �0 0� 0 1 � � �0 0 0 4� Nhận xét: Ma trận đường chéo thường được ký hiệu bởi diag[a1 , a2 ,..., an ] với các phần tử trên đường chéo chính là a1 , a2 ,..., an 1.2.5 Ma trận đơn vị: Ma trận chéo cấp n, có tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1, được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu I n 1.2.6 Ma trận tam giác Ma trận có các phần tử ở trên [hoặc dưới] đường chéo chính bằng 0 được gọi là ma trận tam giác Đại số tuyến tính 1 24
3. Chương 2. Ma trận – Định thức a a12 ... a1n � �11 � a22 ... a2 n � 0 A= � � � M� M MO � � 0 0 ... ann � � Trong đó aij = 0 khi i> j được gọi là ma trận tam giác trên. 1 2 3 4� � � 2� 0 4 3 Ví dụ: A = � �là ma trận tam giác trên � 2� 0 0 1 � � 0 0 0 5� � b11 0 ... 0 � � �b � �21 22 ... 0 �Trong đó bij = 0 khi i < j được gọi là ma trận tam giác dưới. b B= �M M O M� � � �n1 bn 2 ... bnn � b � 0 0� 3 � 2 0� Ví dụ: B = � 1 �là ma trận tam giác dưới. � 1 1� 0 � � Nhận xét: Ma trận tam giác trên và ma trận tam giác dưới được gọi chung là ma trận tam giác. 1.2.7 Ma trận chuyển vị a] Định nghĩa: Cho ma trận A, ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu AT là ma trận mà trong đó, vai trò của dòng và cột hoán chuyển cho nhau nhưng vẫn giữ nguyên chỉ số của chúng. �11 a12 ... a1n � a � � �21 a22 ... a2 n �thì khi đó ma trận chuyển vị của ma trận A là a Giả sử ta có ma trận A= �M M� MO � � �m1 am 2 ... amn � a �11 a21 ... am1 � a �a ... am 2 � a �12 � A= 22 T � M� M MO � � �1n a2 n ... amn � a Nếu ma trận A có cấp là m x n thì ma trận AT có cấp là n x m. Trường hợp đặc biệt chuyển vị của ma trận cột là ma trận dòng và ngược lại chuyển vị của ma trận dòng là ma trận cột. Ví dụ: �5 1 9� � 2 3 4� 1 �6 1� 2 � � Ma trận A = � 6 7 8 �thì ma trận chuyển vị của ma trận A là A = � � T 5 �7 2� 3 � 1 2 3� 9 � � � � �8 4 3� Đại số tuyến tính 1 25
4. Chương 2. Ma trận – Định thức b] Định lý: Cho các ma trận A, B M mxn [ K ] . Khi đó ta có các khẳng định sau: [A ] TT = A. AT = BT � A = B 1.2.8 Ma trận đối xứng – Ma trận phản đối xứng: Nếu ma trận vuông A thỏa AT = A thì ta nói A là ma trận đối xứng. � 2 3� 1 � 1 0� Ví dụ: Ma trận A = � 2 �là một ma trận đối xứng cấp3. � 0 1� 3 � � �2 3 1 4� � 0 −1 2� 2 Ma trận A = � �là ma trận đối xứng cấp 4. � −1 −1 0� 3 � � �20 4 3� Nếu ma trận vuông A thỏa AT = − A thì A ma trận phản đối xứng. Ví dụ: 2 3 −4 � 0 � �2 0 −5 1 � − Ma trận B = � �là ma trận phản đối xứng. − �3 5 0 3� � � 1 −3 0 � 4 � Định lý: Nếu A là ma trận đối xứng thì aij = a ji , ∀i, j = 1, n Nếu A là ma trận phản xứng thì aij = −a ji , ∀i, j = 1, n , từ đây suy ra aii = 0 [các phần tử trên đường chéo chính bằng 0]. 1.2.9 Ma trận bậc thang: Nếu một ma trận trên K có các dòng khác 0 nằm bên trên các dòng 0, đồng thời trên hai dòng khác 0, ta có các phần tử khác 0 đầu tiên của dòng dưới nằm bên phải phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên thì ma trận đó được gọi là ma trận bậc thang trên K. � −3 12 1 7 0 � 0 � 0 1 2 3 4� 0 B=� � ma trận bậc thang có ba dòng khác 0. Ví dụ: Ma trận là � 0 0 0 4 5� 0 � � � 0 0 0 0 0� 0 1.3 Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận: bao gồm các phép biến đổi sau i. Đổi chổ hai dòng i và dòng j của ma trận cho nhau. ii. Nhân dòng thứ i với một số khác không. iii. Cộng dòng thứ i với dòng thứ j nhân với một số λ với i j . Nếu thay từ dòng bằng từ cột ta có các phép biến đổi sơ cấp trên cột. Ma trận B được gọi là tương đương dòng với ma trận A nếu có một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng biến ma trận A thành ma trận B. Nhận xét: - Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, cột được gọi chung là các phép biến đổi sơ cấp. Đại số tuyến tính 1 26
5. Chương 2. Ma trận – Định thức - Quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương với các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. - Một ma trận vuông cấp n trên K nhận được từ ma trận đơn vị I n qua duy nhất một phép biến đổi sơ cấp được gọi là ma trận sơ cấp. Ví dụ: � 0 0� 1 � 1 0� I3 = � 0 �thì có các ma trận sơ cấp nhận được từ I 3 qua các phép biến đổi sơ cấp là: � 0 1� 0 � � � 0 1� 0 � 1 0� S1 = � d1 d4 0 �với I 3 S1 � 0 0� 1 � � � 0 0� 1 � 1 0� S2 = � d3 4 d3 0 �với I 3 S2 � 0 4� 0 � � � 0 2� 1 S3 = � 1 0 �với I 3 d1 + 2 d 4 d1 0 S3 � � � 0 1� 0 � � 2. Các phép toán trên ma trận 2.1 Phép cộng các ma trận 2.1.1 Định nghĩa: Tổng của hai ma trận A = [aij ]m n và B = [bij ] m n là một ma trận C = [cij ] m n với cij = aij + bij . Tổng hai ma trận được ký hiệu C = A+B. �11 a12 ... a1n � �11 b12 ... b1n � � 11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n � a b a � �� �� � �21 a22 ... a2 n � �21 b22 ... b2 n � � 21 + b21 a22 + b22 ... a2 n + b2 n � a b a + = �M M � �M M O M� � M M� MO M O � �� �� � �m1 am 2 ... amn � �m1 bm 2 ... bmn � �m1 + bm1 am 2 + bm 2 ... amn + bmn � a b a 2.1.2 Ví dụ: � −2 3 � 1 � 2 1� 0 � 0 4� 1 A=� � và B = � 3 −4 � Khi đó, A + B = � 2 0 � . � −1 4 � 2 1 3 � � � � 2.2 Phép nhân ma trận với một số: 2.2.1 Định nghĩa: Tích của ma trận A = [aij ]m n với số λ thu được bằng cách nhân các phần tử của ma trận A với số λ , ký hiệu λ A . Ta có, λ A = [λ aij ] m n 2.2.2 Ví dụ: � −2 −3� � 8 4 6 � − 4 −2 � = � �14 6 −4 � � −3 2 � �− 7 � Với A và B là hai ma trận cấp m x n, ta ký hiệu A + [-1]B = A – B, gọi là phép trừ của hai ma trận. Đại số tuyến tính 1 27
6. Chương 2. Ma trận – Định thức � 3 −5� � −1 3 � 2 2 A=� � à B = � 5 −2 �thì v � 2 1� 4 3 � � � 4 −8 � 0 A− B = � � � −3 3 � 1 M mxn [ K ] và λ, µ K ta có: 2.2.3 Định lý: Với A, B, C a] A + B = B + A b] [A + B] + C = A + [B + C] c] 0 + A = A + 0 = A d] A + [-A ] = [-A] + A = 0 e] [ A + B ] = AT + BT T f] λ [ A + B] = λ A + λ B g] [λ + µ ] A = λ A + µ A 2.3 Phép nhân hai ma trận: 2.3.1 Định nghĩa: Cho hai ma trận A = [aij ]m r và B = [bij ]r n , khi đó tích của hai ma trận A và B, ký hiệu là AB là một ma trận C = [cij ] m n với các phần tử cij là tổng của các tích các phần tử tương ứng dòng i của ma trận A với cột j của ma trận B. r Tức là cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + air brj = aik bkj k =1 �11 a12 a ... a1r � � a2 r ��11 b12 ... b1 j b ... b1n � c11 c12 �21 a22 a ... ... c1n  �� ... b2 n � c21 c22 ... c2 n  �M M ��21 b22 ... b2 j b ... M �= . � � air �� M M � �M cij M � �i1 ai 2 a ... MMMM M � �� � �M M ��r1 br 2 ... brj b ... brn � cm1 cm 2 ... cmn  M M � � �m1 am 2 a ... amr � Chú ý: Tích của ma trận A và ma trận B chỉ được xác định khi số dòng của ma trận B bằng đúng số cột của ma trận A. Tức là nếu A là ma trận cấp m x p và B là ma trận cấp p x n thì AB là ma trận cấp m x n. Do đó, với A và B là hai ma trận bất kỳ thì nếu có tích của AB, ta cũng không hẳn suy ra được tích của hai ma trận BA, nói cách khác, tích của hai ma trận không giao hoán. Ngoài ra, có những ma trận khác 0 nhưng tích của chúng lại là ma trận 0. 2.3.2 Ví dụ: 1 2� � 1� 2 2 3� 1 7� � � � a] Giả sử A = �1 3 �và B = � 1�khi đó; AB = �2 2 �và BA = �1 3 � Vậy AB BA . − − − 0 � � �� � � � � Đại số tuyến tính 1 28
7. Chương 2. Ma trận – Định thức � 0� 1 � 0� 0 � 0� 0 b] Với C = � 0 �D = � 0 �ta có CD = � 0 �mặc dù C 0; D 0 . ; 0 1 0 �� �� �� Nếu tồn tại hai ma trận A, B thỏa AB = BA thì ta nói ma trận A và ma trận B có thể hoán vị với nhau. Ma trận đơn vị có thể hoán vị với mọi ma trận cùng cấp. � 2 −1� 1 c] Cho A = � 1 và 4� 3 � � − �2 5 � � −3� �.[ −2] + 2.4 + [−1].2 1.5 + 2.[ −3] + [ −1].1� � −2 � 1 4 B=�4 � thì AB = � = � � 16 � �3.[−2] + 1.4 + 4.2 3.5 + 1.[−3] + 4.1 � � 6 �2 1� � � � 2 �� � x 3� 1 12 �� �� d] Cho A = � −1 1�và B = �� Nếu AB = � �hãy tìm x và y 4. 2 6 � � �� �� y �� Giải: 2 �� �� � + 4 x + 3 y � � � � x 3� 1 2 12 Ta có AB = � −1 1�4 = � y = ��� �� 2 6 � �y �� � ��� �� Suy ra y = 6 và x = -2. ■ 2.3.4 Định lý: Cho A, A ' M mxn [ K ] và B, B ' M nxp [ K ] và C M pxq [ K ] và ∀α K thì: A0nxp = 0mxp ; 0rxm A = 0 rxn ; A[ B B '] = AB AB '; [ AB ] T = BT AT ; α [ AB] = [α A] B = A[α B], ∀α K 2.3.5 Định lý: Với A = diag[ a1 , a2 ,..., an ] và B = diag[b1 , b2 ,..., bn ] thì A B = diag[a1 b1 , a2 b2 ,..., a1 b1 ] AB = diag[a1b1 , a2b2 ,..., a1b1 ] 2.3.6 Nhận xét: Cho các ma trận A1 , A2 ,..., An là các ma trận có số cột của ma trận liền trước bằng số dòng của ma trận liền sau. Khi đó tích của n ma trận này được định nghĩa theo cách quy nạp sau: A1 A2 A3 = [ A1 A2 ] A3 A1 A2 A3 A4 = [ A1 A2 A3 ] A4 M A1 A2 A3 A4 ... An −1 An = [ A1 A2 ... An −1 ] An Hơn thế bằng cách chứng minh quy nạp ta có: Đại số tuyến tính 1 29
8. Chương 2. Ma trận – Định thức [ A1 A2 .... An ]T = An An −1... A2 A1T TT T 2.4 Lũy thừa ma trận: Ak = 1. 2... A AA3 2.4.1 Định nghĩa: Cho ma trận A, lũy thừa bậc k của ma trận A là: . k lân k −1 Cụ thể, A = I n ; A = A; A = A. A;..., A = A . A 0 1 2 k � 1 0� 0 � 0 1� 0 � 0 0� 0 � � � � � 0 1� 2.4.2 Ví dụ: Cho A = � �thì ta được A = � 0 0 �và A = � 0 0 � 2 3 0 0 0 � 0 0� � 0 0� � 0 0� 0 0 0 � � � � � � Nhận xét: Có những ma trận khác ma trận không nhưng lũy thừa k lần với k ﾡ sẽ thành ma trận không. Một ma trận A M [n; K ] thỏa tính chất tồn tại một số k ﾡ , sao cho Ak = 0 thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy linh. Một ma trận A M [n; K ] thỏa tính chất A2 = 0 thì khi đó ma trận A được gọi là ma trận lũy đẳng. 2.4.3 Tính chất: Cho A M [n; K ] và r , s ﾡ , khi đó: [ 0] r = 0;  [ In ] r = In   A r + s = Ar . A s  A =[ A ] s rs r 2.4.5 Định lý: Giả sử A, B là hai ma trận giao hoán trong M[n;K] [nghĩa là AB = BA] và k ﾡ , khi đó ta có:  [ AB] = A .B ; k k k Ak − B k = [ A − B][ Ak −1 + Ak − 2 B + ... + B k −1 ] ;  i Cki Ai B k −i .  [ A + B] = k k 2.5 Đa thức của ma trận: Cho f là một đa thức bậc n trên K có dạng f [ x] = an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 n −1 Giả sử A M [n; K ] thì ta gọi f [ A] = an A + an −1 A + ... + a1 A + a0 I n là đa thức của ma trận A. n Ví dụ: Cho f [ x] = x − 3x + 5 . Hãy tính f [A] với 3 2 � 2 3� 1 � 0� 2 � 4 6� A = � �B = � ; 5 � � 3� 0 � 1 8� 7 � � 8 0 � � 0� � 0� � 0� 4 1 1 � Ta có f [ A] = A − 3 A + 5I 2 = � 27 � 3 � 9 � 5 � 1 � � 5 � − + = 3 2 0 0 0 0 � � � � � �� � Đại số tuyến tính 1 30
9. Chương 2. Ma trận – Định thức [Sinh viên tự giải f [B ]như là bài tập nhỏ]. Bài 2: Định thức - Định nghĩa, các tính chất, cách tính định thức ________________________________________________________________ 1. Định nghĩa: Định thức của ma trận A, ký hiệu là detA hay |A| được tính bằng sign π a1π [1] a2π [2] ...anπ [ n ] det A = , trong đó Sn là tập tất cả các phép thế của tập hợp gồm n số πS n tự nhiên đầu tiên {1, 2,…, n}. Nhận xét: Định thức của một ma trận vuông cấp n trên trường K thường được gọi là một định thức cấp n. Ví dụ: Khi n = 2 �1 2 � 1 2 � � � � Ta có nhóm các phép thế S 2 = �1 2 �� 1 � ; � � � �2 � � � a a Suy ra biểu thức tính định thức cấp 2 là: a a = a11a22 − a12 a21 11 12 21 22 Khi n = 3 Ta có nhóm các phép thế �1 2 3 � 1 2 3 � 1 2 3 �� 2 3 �� 2 3 �� 2 3 � � 1 1 1 � � � S3 = � ;� ;� ; ; ; � � � � �� �� �� � �1 2 3 � 2 1 3 � 1 3 2 �� 2 1 �� 3 1 �� 1 2 � 3 2 3 � � � Suy ra: a11 a12 a13 A = a21 a23 = a11a22 a33 − a12 a21a33 − a23a32 a11 − a13 a22 a31 + a12 a23a31 + a13a21a32 = a22 a31 a32 a33 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a12 a21a33 − a23 a32 a11 − a13 a22 a31 2. Cách tính định thức bậc 2 và bậc 3: Theo trên ta có a a� � Cho A = � a �ta có định thức của ma trận A là detA hay |A|, được tính bằng 11 12 a21 22 � � signπ a1π [1] a2π [2] = a11a22 + [ −1] a12 a21 = a11a22 − a12 a21. det A = π S2 a a12 a13 � �11 � a23 �khi đó ta có Cho A = �21 a a22 � �31 a33 � a a32 � � Đại số tuyến tính 1 31
10. Chương 2. Ma trận – Định thức signπ a1π [1] a2π [2] a3π [3] = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12a21a33 . det A = π S3 Công thức trên thường được nhớ theo quy tắc Sarrus như sau: Ta viết them cột thứ nhất và thứ hai vào bên phải định thức ta được a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a31 Thì tích các phần tử trên ba đường chấm chấm sẽ có dấu như sau Ví dụ: 123 2 1 3 = 1.1.2 + 2.1.3 + 2.3.3 − 3.1.3 − 3.1.1 − 2.2.2 = 6 312 21 = 2.3 − 2 = 4 23 3. Các tính chất 3.1 Tính chất 1: Định thức không đổi qua phép chuyển vị, tức là det A = det AT . Chú ý: Từ tính chất này thì một mệnh đề về định thức nếu đúng với dòng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Ví dụ: 20 21 = =6 13 03 3.2 Tính chất 2: Nếu ta đổi chỗ hai dòng [i j ] [hoặc hai cột khác nhau] bất kỳ của định thức thì định thức đổi dấu. 135 317 Ví dụ: 2 7 9 = − 2 7 9 317 135 3.3 Tính chất 3: Nếu tất cả các phần tử của một dòng [hoặc một cột] của định thức được nhân với λ thì định thức mới bằng định thức ban đầu nhân với λ . 123 123 Ví dụ: 4 2 6 = 2. 2 1 3 986 986 Nhận xét: Từ tính chất này suy ra nếu A là ma trận vuông cấp n thì det[λ A] = λ det[ A]. n Đại số tuyến tính 1 32
11. Chương 2. Ma trận – Định thức 3.4 Tính chất 4: Cho A là ma trận vuông cấp n. Giả sử dòng thứ i của ma trận A có thể biểu diễn dưới dạng aij = aij + aij với j = 1, 2, …,n. Khi đó ta có: ' '' ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... det A = a + ai1 a + ai2 ... ain + ain = ai1 ai2 ... ain + ai1 ai2 ... ain ' '' ' '' ' '' ' ' ' '' '' '' i1 i2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... Trong đó các dòng còn lại của 2 định thức ở hai vế là hoàn toàn như nhau và chính là các dòng còn lại của ma trận A. 123 123 1 23 Ví dụ: 4 5 6 = 6 5 4 + −2 0 2 789 789 789 Từ tính chất trên, ta cũng có kết quả tương tự đối với cột. Chú ý: Các tính chất 2, 3, 4 trên chính là tính đa tuyến tính thay phiên của định thức. Từ các tính chất trên ta có các kết quả sau: 3.5 Tính chất 5: Định thức của ma trận A sẽ bằng 0 nếu thỏa một trong các điều kiện sau:  Có một dòng mà tất cả các phần tử của dòng đó đều bằng 0,  Có hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ với nhau,  Có một dòng là tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Tức là tồn tại dòng di mà di = a1d1 + a2 d 2 + ... + ai −1di −1 + ai +1di +1 + ... + ak d k + ... với ai K. 3.6 Tính chất 6: Định thức sẽ không thay đổi nếu:  Nhân một dòng với một số bất kỳ rồi cộng vào dòng.  Cộng vào một dòng một tổ hợp tuyến tính của các dòng khác. Nhận xét: - Nếu thay từ dòng bằng từ cột thì các tính chất trên vẫn đúng. - Đối với các ma trận A có cấp n [với n là một số rất lớn], khi đó việc tính det A bằng định nghĩa ta sẽ gặp rất nhiều khó khăn. Do đó, ngoài cách vận dụng các tính chất trên c ủa đ ịnh thức, ta còn rất hay sử dụng định lý Laplace sau đây. 4. Định lý Laplace: 4.1 Định thức con và phần bù đại số: Cho A là ma trận vuông cấp n và k là một số tự nhiên thỏa 1 k n . Các phần tử nằm trên giao của k dòng bất kỳ và k cột bất kỳ của A làm nên một ma trận vuông cấp k của A. Định thức của ma trận này được gọi là định thức con cấp k của A. Đặc biệt, khi cho trước 1 i, j n , nếu ta xóa đi dòng i, cột j của ma trận A ta sẽ được ma i+ j trận con cấp n-1 của ma trận A, ký hiệu là M ij . Khi đó, Aij = [−1] M ij được gọi là phần bù đại số của phần tử aij [với aij là phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A]. Đại số tuyến tính 1 33
12. Chương 2. Ma trận – Định thức 1 2 3 2� � � 1� 0 2 4 �khi đó. Định thức D2 = 1 2 = 2 được gọi là định Ví dụ: Xét ma trận A = � � 4� 1 5 1 02 � � 0 5 2 1� � 241 thức con cấp 2 của A. Ta có M 11 = 5 1 4 khi đó phần bù đại số của phần tử ở dòng 1 và 521 cột 1 của ma trận A là: A11 = [ −1]1+1 | M 11 |= 51 Nhận xét: Nếu M là định thức con của A tạo bởi các dòng i1 , i2 ,..., ik và j1 , j2 ,..., jk thì phần bù đại số của M. Ký hiệu là M’ được xác định như sau: M ' = [−1]i1 +i2 +...+ik + j1 +....+ jk det[ K ] với K là ma trận có được từ ma trận A khi bỏ đi các dòng i1 , i2 ,..., ik và các cột j1 , j2 ,..., jk . 12 Ví dụ: Đối với ma trận A cho trên, xét M = 1 5 là định thức của A tạo bởi dòng 1 và � 1� 4 dòng 3; cột 1 và cột 2. Khi đó, K = � 1�là ma trận có được từ ma trận A sau khi bỏ đi dòng 2 �� 41 1+1+1+ 2 + 3+1+ 3+ 2 1, dòng 3 cột 1 và cột 2. Vậy, M ' = [−1] = 2. 21 4.2 Định lý Laplace: Cho A là ma trận vuông cấp n a a12 ... a1 j ... a1n � �11 � a2 n � a a22 ... a2 j ... �21 � � M� M M MM M A=� �. a ai2 ... aij ... ain � �i1 � M� M M MM M � � a an 2 ... anj ... ann � �n1 Khi đó  Nếu khai triển định thức A theo dòng thứ i thì detA được biểu diễn dưới dạng n det A = [−1]i +1 ai1 Ai1 + [ −1] i + 2 ai2 Ai2 + ... + [ −1] i + n ain Ain = [−1] i + k aik Aik k =1  Nếu khai triển định thức A theo cột thứ j thì detA được biểu diễn dưới dạng n det A = [−1] j +1 a1 j A1 j + [−1] j + 2 a2 j A2 j + ... + [ −1] j + n anj Anj = [−1] j + k akj Akj k =1 Ví dụ: Đại số tuyến tính 1 34
13. Chương 2. Ma trận – Định thức 1 0 2 a 2 0 b 0 a] Xét ma trận A = 3 c 4 5 d 0 0 0 Nhận thấy dòng 4 có nhiều số 0, nên khai triển định thức theo dòng 4 ta có: 02a 4 +1 A = [−1] d0 b 0. c45 021 Tiếp tục khai triển theo dòng thứ 3 của định thức 0 b 0 ta có: c45 2a A = −d .c. = −dc [−ab] = abcd b0 0 3 0 5 2 3 1 1 b] Xét ma trận B = 1 1 3 0 0 4 0 5 211 231 1+ 2 1+ 4 Khai triển theo dòng 1 có B = [−1] 3 1 3 0 + [−1] 5 1 1 3 005 040 Khai triển theo dòng cuối của 2 định thức trên có: 21 21 B = [−1]1+ 2 .3.5.[−1]3+3 + [ −1]1+ 4 4.[−1] 2+3 .5 = 25 13 13 4.3 Định lý Laplace [tổng quát]: det[ A] = MM ' Cho A M n [ K ] , chọn trong A các dòng i1 < i2 < ... < ik . Khi đó, , với M là j1 < j2
14. Chương 2. Ma trận – Định thức 3 521 0 31 1 3021 A = [−1]1+ 4+ 2+ 4 + [−1]1+ 4+1+ 2 + [−1]1+ 4+ 2 + 4 . . . 4 51 3 0 43 0 4 01 0 0 031 0 521 0 52 3 +[ −1]1+ 4+1+3 + [−1]1+ 4+1+ 4 + [−1]1+ 4+ 4+1 . . . 0 01 3 0 51 3 0 51 1 = [−1][−5]5 = 25 Ta chọn ma trận con dựa trên dòng 1 và 3, cột 1 và cột 3. Áp dụng định lý Laplace ta có 289 11 det A = [−1]1+3+1+3 1 1 0 = 252 3 −1 723 Từ định lý Laplace ta có thể chứng minh được hai tính chất quan trọng sau của định thức 4.3 Tính chất 1: Nếu A là ma trận tam giác trên [ma trận tam giác dưới] thì định thức của ma trận A bằng tích của tất cả các phần tử trên đường chéo chính [đường chéo phụ]. Tức là nếu �11 a12 ... a1n � a 00 ... b1n � � �a � � b2 n � 0 ... a2 n � 0 0 b2[ n −1] A=� và B = � N � 22 � M M O M� � M� M M � � � � 0 0 ... ann � �n1 ... b .... bnn � � Khi đó: det A = a11.a22 ...ann và det B = b1n .b2[ n −1] ...bn1 . 4.4 Tính chất 2: Nếu A và B là các ma trận vuông cấp n thì det[A.B] = detA . det B. 4.5 Nhận xét: Nhờ có định lý Laplace, để tính một định thức cấp cao [n > 3] ta có thể khai triển định thức theo một dòng và một cột bất kỳ để đưa về tính các định thức cấp bé hơn. Cứ nh ư vậy, sau một số lần ta sẽ đưa việc tính định thức cấp cao về dạng tính định thức cấp 2, 3. Tuy nhiên, trên thực tế thì nếu làm như vậy thì số lượng phép tính sẽ khá lớn. Bởi vậy, ta thực hiện theo các bước sau sẽ làm giảm đi số phép tính cần thực hiện:  Bước 1: Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0 nhất để khai triển định thức theo dòng [cột] đó.  Bước 2: Sử dụng tính chất 6 để đưa định thức về dạng có dòng [cột] đã chọn thành dòng [cột] chỉ có một số khác 0.  Bước 3: Khai triển định thức theo dòng [cột] đó. Khi đó, việc tính một định thức cấp n quy về việc tính định thức cấp n-1. Tiếp tục lặp lại các bước 1, 2 cho định thức cấp n-1, cuối cùng ta sẽ dẫn về việc tính định thức cấp 2, 3. 4.6 Các ví dụ: 1] Tính detA với Đại số tuyến tính 1 36
15. Chương 2. Ma trận – Định thức 1 −1 2 � 1 0 � � 1 2 −1� 0 1 � � A=� 1 0 1� 1 2 � � − �1 0 1 0 2� �1 1 1 1� − 1 � � Giải: Ta chọn cột 2 để khai triển. Tuy nhiên, trước hết ta nhân dòng 2 với -2 rồi cộng vào dòng 3 và nhân dòng 2 với -1 rồi cộng vào dòng 5. Khi đó 0 1 −1 2 1 1 1 2 −1 0 0 −1 −4 3 1 −1 0102 −1 0 0 −1 2 . Khai triển theo cột 2 ta được 1 1 −1 2 1 −1 −4 3 −1 1 0 2 −1 0 −1 2 Tiếp theo ta thực hiện các bước sau trên định thức cấp 4. Ta nhân cột 1 với [-1] với cột 3, sau đó nhân cột 1 với 2 rồi cộng vào cột 4. Định thức trên sẽ trở thành: 1 1 −2 4 1 −1 −5 5 −1 1 1 0 −1 0 0 0 Tiếp theo ta khai triển theo dòng 4 thì được định thức 1 −2 4 [−1][−1]5 −1 −5 5 = 1 110 ■ 2] Giải phương trình x −1 x + 2 1x x2 −1 00 0 =0 x−2 x1 x x5 + 1 x100 00 Giải: Ta khai triển vế trái theo dòng 2 ta được x+2 1x VT = [−1] [ x − 1] x 1 x−2 5 2 x100 00 Ta tiếp tục khai triển theo dòng 3 ta được Đại số tuyến tính 1 37
16. Chương 2. Ma trận – Định thức 1x VT = [1 − x 2 ] x100 = [1 − x 2 ] 2 x100 x1 Vậy phương trình đã cho tương đương với [1 − x 2 ] 2 x100 = 0 � x = � x = 0 ■ 1, 4.7 Nhận xét: Trong thực tế ta thường sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng [cột] để đưa ma trận A về dạng tam giác trên [hoặc tam giác dưới], sau đó áp dụng công thức Laplace để tính det A. 5. Các phương pháp tính định thức cấp n: Đối với các định thức có cấp n khá lớn [n>3], thì người ta thường không sử dụng định nghĩa để tính định thức đó mà sử dụng một trong các phương pháp sau: 5.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác: Sử dụng các phép biến đổi tương đương trên dòng [cột] của ma trận và sử dụng các tính chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ bằng tích các phần tử trên đường chéo chính. Ví dụ: Tính định thức cấp n với [n 2] sau đây 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 2 2 3 ... 2 ... ... ... ... ... 2 2 2 ... n Giải: Ta nhân dòng 2 với [-1] rồi cộng vào các dòng 3, 4, …, n. Ta sẽ được định thức sau: 1 2 2 ... 2 2 2 2 ... 2 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... [n − 2] 0 0 0 Ta nhân dòng 1 với [-2] rồi cộng vào dòng 2. Ta được định thức sau: 122 ... 2 0 −2 −2 −2 ... 0 = [−2][ n − 2]! 001 ... ... ... ... ... ... ... [ n − 2] 000 ■ Ví dụ 2: Tính định thức sau: Đại số tuyến tính 1 38
17. Chương 2. Ma trận – Định thức a b b ... b b a b ... b b b a ... b ... ... ... ... ... b b b ... a Giải: Ta cộng tất cả các cột còn lại vào cột 1. Ta được định thức sau: a + [n − 1]b b b ... b a + [n − 1]b a b ... b a + [n − 1]b b a ... b ... ... ... ... ... a + [n − 1]b b b ... a Ta nhân dòng [1] với [-1] rồi cộng vào các dòng còn lại, ta được định thức sau: a + [n − 1]b b b ... b a−b 0 0 ... 0 0 = [a + [n − 1]b][a − b] n −1 a − b ... 0 0 .... .... .... .... .... ... a − b 0 0 0 ■ 5.2 Phương pháp quy nạp: Áp dụng các tính chất của định thức, ta biến đổi, khai triển định thức theo dòng, hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức có cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2 để suy ra định thức cần tính. Ví dụ: Tính định thức sau 1 + a1b1 a1b2 ... a1bn 1 + a2b2 ab ... a2bn Dn = 2 1 ... ... ... ... ... 1 + anbn anb1 anb2 Giải Ta tách định thức theo cột thứ n, ta được Đại số tuyến tính 1 39
18. Chương 2. Ma trận – Định thức 1 + a1b1 ... 1 + a1b1 ... a1bn −1 0 a1bn −1 a1bn a2b1 ... a2bn −1 0 a2b1 ... a2bn −1 a2bn Dn = ... + ... ... ... ... ... ... ... ... 1 + an−1bn−1 0 ... 1 + an −1bn −1 an −1b1 an−1b1 an −1bn anb1 ... anbn −1 1 anb1 ... anbn −1 anbn 1 + a1b1 ... 1 + a1b1 ... a1bn −1 0 a1bn −1 a1 a2b1 ... a2bn −1 0 a2b1 ... a2bn −1 a2 = ... ... + bn ... ... ... ... ... ... ... 1 + an −1bn −1 0 ... 1 + an −1bn −1 an −1 an −1b1 an −1b1 anb1 ... an bn −1 1 an b1 ... an bn −1 an Ta khai triển định thức đầu theo cột thứ n ta được định thức đầu bằng Dn −1 . Nhân cột thứ n của định thức thứ 2 với [−bi ] rồi cộng vào các cột thứ i với i tương ứng nhận các giá trị từ 1, 2, …., n-1. Ta có 1 0 ... 0 a1 0 1 ... 0 a2 Dn = Dn −1 + bn ... ... ... = Dn −1 + bn an ... ... 0 0 ... 1 an −1 0 0 ... 0 an Từ đó ta có công thức truy hồi Dn = Dn −1 + bn an . Suy ra, Dn = Dn −1 + bn an = [ Dn − 2 + bn −1an −1 ] + bn an = ... = D1 + b2 a2 + ... + bn −1an −1 + bn an Mặt khác, D1 = 1 + b1a1 . Do đó, Dn = 1 + b1a1 + b2 a2 + ... + bn an ■ Ví dụ 2: Cho a, b ι ﾡ , a b . Hãy tính định thức sau a + b ab 0 ... 0 0 a + b ab ... 1 0 0 Dn = ... ... ... ... ... ... 0 ... a + b ab 0 0 a+b 0 0 0 ... 0 Giải: Khai triển định thức theo dòng đầu ta được 1 ab 0 ... 0 0 0 a + b ab ... 0 0 Dn = [a + b] Dn −1 − ab ... ... ... ... ... ... 0 ... a + b ab 0 0 a+b 0 0 0 ... 0 Tiếp tục khai triển định thức sau theo cột 1 ta có Dn = [a + b] Dn −1 − abDn − 2 với n 3 . Suy ra, Dn − aDn −1 = b[ Dn −1 − aDn − 2 ] [1] Đại số tuyến tính 1 40
19. Chương 2. Ma trận – Định thức và Dn − bDn−1 = a [ Dn −1 − bDn −2 ] [2] với n 3 Áp dụng công thức truy hồi trên ta suy ra được n−2 Từ [1] Dn − aDn−1 = b[ Dn −1 − aDn − 2 ] = b [ Dn − 2 − aDn −3 ] = .... = b [ D2 − aD1 ] = b 2 n n−2 Từ [2] Dn − bDn −1 = a[ Dn −1 − bDn− 2 ] = a [ Dn− 2 − bDn −3 ] = ... = a [ D2 − bD1 ] = a 2 n Với D2 = a + b + ab và D1 = a + b 2 2 a n +1 − b n+1 Suy ra, Dn = a −b ■ 5.3 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức Nhiều định thức cấp n có thể tính được bằng cách tách định thức theo các dòng [hoặc theo các cột] thành tổng các định thức cùng cấp. Các định thức mới này thường bằng 0 hoặc tính được dễ dàng. 1 + a1b1 a1b2 ... a1bn a2b1 1 + a2b2 ... a2bn Ví dụ: Tính định thức Dn = ... ... ... ... ... 1 + anbn anb1 an b2 Giải: Ở mỗi cột của Dn được viết thành tổng của hai cột mà ta ký hiệu là cột loại 1 và cột loại 2 như sau: 1 + a1b1 0 + a1b2 ... 0 + a1bn 0 + a2b1 1 + a2b2 ... 0 + a2bn Dn = ... ... ... ... 0 + anb1 0 + anb2 ... 1 + anbn [2] [1] [2] [1] [2] Ta lần lượt tách các cột của định thức, sau n lần tách ta có Dn là tổng của 2n định thức cấp n. Cột thứ i của định thức này chính là cột loại 1 hoặc loại 2 của cột thứ i của định thức Dn . Ta chia 2n định thức thành 3 dạng như sau: Dạng 1: Bao gồm các định thức có từ 2 cột loại 2 trở lên, do các cột loại 2 tỉ lệ nên tất cả các định thức dạng này đều bằng 0. Dạng 2: Bao gồm các định thức có đúng 1 cột loại 2 còn các cột khác là cột loại 1. Giả sử cột thứ i của định thức này là cột loại 2. Khi đó ta có định thức dạng này 1 0 ... a1bi ... 0 0 1 ... a2bi ... 0 Dn ,i = ... ... ... .... .... ... 0 0 ... anbi ... 1 cột [i] Khai triển Laplace theo cột thứ i ta có Dn ,i = ai bi . Đại số tuyến tính 1 41
20. Chương 2. Ma trận – Định thức n ai bi Vì có tất cả n định thức dạng 2 nên tổng các định thức dạng 2 là i =1 Dạng 3: Không có cột loại 2 nào, tức là tất cả các cột của định thức là loại 1 nên định thức ở dạng này là 1 0 ... 0 0 1 ... 0 =1 ... ... ... ... 0 0 ... 1 Vậy n Dn = 1 + ai bi ■ i =1 5.4 Phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức: Giả sử cần tính định thức D cấp n. Ta sẽ biểu diễn ma trận tương ứng A của D thành tích các ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: A = B.C. Khi đó, ta có D = detA = det[B.C]=detB. det C. Tìm được detB và detC ta sẽ tính được D. Ví dụ: Tính định thức cấp n, n 2 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn 1 + x2 y1 1 + x2 y2 ... 1 + x2 yn D= ... ... ... ... 1 + xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn Giải Với n 2 ta có � x1 0 ... 0 � 1 1 1 1 ... 1 � � �+ x1 y1 1 + x1 y2 ... 1 + x1 yn � � 1 �y � ... yn � � � x2 0 ... 0 � 1 1 y2 y3 �+ x y 1 + x y � � ... 1 + x2 yn � 1 A=� 2 1 = � ... ... ... ...� 0 22 � ... 0 � ... 0 0 � ... ... � � ... ... �� � � � xn −1 0 ... 0 �... 1 ... ... ... ... � � � �+ xn y1 1 + xn y2 ... 1 + xn yn � 1 � xn 0 ... 0 � 0 � ... 0 � 1 0 0 � � � � B C ,n > 2 0 Do đó det A = det B.det C = [ x2 − x1 ][ y2 − y1 ], n = 2 Ví dụ: Tính định thức cấp n n 2 sin[2α1 ] sin[α1 + α 2 ] ... sin[α1 + α n ] sin[α 2 + α1 ] sin[2α 2 ] ... sin[α 2 + α n ] D= ... ... ... ... sin[α n + α 1 ] sin[α n + α 2 ] sin[2α n ] ... Giải: Đại số tuyến tính 1 42