Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm lớp 10

Tiếp tuyến của đường tròn [[C] : [x-a]^{2} + [y-b]^{2Lambda } = R^{2}] tại điểm [M_{0}[x_{0},y_{0}]] thuộc đường tròn [C] có phương trình:

[[x – a][x_{0}- a] + [y – b][y_{0}- b] = R^{2}]

Nếu phương trình đường tròn [C] được biểu diễn dưới dạng:

[x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0] thì phương trình tiếp tuyến đường tròn [C] là:

[xx_{0}+yy_{0}-a[x+x_{0}]-b[y+y_{0}]+c=0]

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của của đường tròn [C] tại điểm M[3;4] biết đường tròn có phương trình là: [[x−1]^{2}+[y−2]^{2}=8]

Hướng dẫn:

Đường tròn [C] có tâm là điểm I[1;2] và bán kính [R=sqrt{8}]

Vậy phương trình tiếp tuyến với [C] tại điểm M[3;4] là: [3−1][x−3]+[4−2][y−4]=0

[Leftrightarrow] 2x+2y−14=0

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn [[C] : x^{2} + y^{2} +2x – 4y – 4 = 0] tại điểm [M_{0}[-1;5]]

Hướng dẫn:

Dễ thấy phương trình đường tròn [C] được biểu diễn thành:

[x^{2} + y^{2} – 2.[-1].x – 2.2.y = 0]

[Rightarrow] phương trình tiếp tuyến là:

[x.[-1] + y.5 – [-1].[x – 1] – 2.[y + 5] – 4 = 0]

[Leftrightarrow -x + 5y + x – 1 – 2y – 10 – 4 = 0]

[Leftrightarrow y = 5]

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi qua một điểm nằm ngoài đường tròn

Cho đường tròn [C] có tâm I, bán kính R và điểm [M[x_{0},y_{0}]] nằm ngoài đường tròn [C]. Đường thẳng [Delta] đi qua M là tiếp tuyến của [C] khi và chỉ khi: [d[I,Delta ] = R]

Cách làm: Viết phương trình của đường [Delta] đi qua [M[x_{0},y_{0}]]

[y – y_{0} = m[x – x_{0}] Leftrightarrow mx – y – mx_{0} + y_{0} = 0] [1]

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới [Delta] bằng R

[d[I,Delta ]=R]

Ta tính được m, thay m vào [1] ta được phương trình tiếp tuyến.

Bạn đang xem: Viết phương trình tiếp tuyến của Đường tròn và các dạng bài tập

Chú ý: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước nằm ngoài đường tròn.

Xem thêm: Hướng Dẫn Đổi Dấu Phẩy Thành Dấu Chấm Trong Excel, Cách Chuyển Dấu Phẩy Thành Dấu Chấm Trên Excel

Phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng có hệ số góc k

Cho đường tròn [C] viết tiếp tuyến [Delta] của [C] biết tiếp tuyến song song với một đường thẳng có hệ số góc k.

Cách làm: Phương trình của đường thẳng [Delta] có dạng:

y = kx + m [m chưa biết]

[Leftrightarrow kx – y + m = 0]

Cho khoảng cách từ tâm I đến [Delta] bằng R: [d[I,Delta ]=R] ta tìm được m.

Thay m vừa tìm được vào phương trình y = kx + m ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Trên đây là tổng hợp cách viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn của danangmoment.com, nếu có thắc mắc hay băn khoăn các bạn bình luận bên dưới chúng mình sẽ giải đáp ạ! Cảm ơn các bạn, nếu thấy hay thì chia sẻ với bạn bè nhé!

Các dạng bài tập điển hình về phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Các dạng bài tập điển hình về phương trình tiếp tuyến của đường tròn

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

A. Lý thuyết

 I. Tiếp tuyến tại một điểm \[{{M}_{0}}\left[ {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right]\] thuộc đường tròn.

Ta dùng công thức tách đôi tọa độ.

- Nếu phương trình đường tròn là:

\[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~2ax~-~2by\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\] thì phương trình tiếp tuyến là:  \[x{{x}_{0}}~+\text{ }y{{y}_{0}}-~a\left[ x\text{ }+\text{ }{{x}_{0}} \right]~-~b\left[ y\text{ }+\text{ }{{y}_{0}} \right]\text{ }+\text{ }c\text{ }=\text{ }0\]

- Nếu phương trình đường tròn là:

\[{{\left[ x~-~a \right]}^{2}}~+\text{ }{{\left[ y~-~b \right]}^{2}}~=\text{ }{{R}^{2}}\]  thì phương trình tiếp tuyến là:

\[\left[ x~-~a \right]\left[ {{x}_{0}}-~a \right]\text{ }+\text{ }\left[ y~-~b \right]\left[ {{y}_{0}}-~b \right]\text{ }=\text{ }{{R}^{2~}}\] [h.73]

 II. Tiếp tuyến vẽ từ một điểm \[I\left[ {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right]~\] cho trước ở ngoài đường tròn.

Viết phương trình của đường

  qua \[I\left[ {{x}_{0}},\text{ }{{y}_{0}} \right]\]:

\[y~-~{{y}_{0}}~=\text{ }m\left[ x~-~{{x}_{0}} \right]~\Leftrightarrow mx~-~y~-~m{{x}_{0}}~+\text{ }{{y}_{0}}~=\text{ }0~\text{ }~~~~~\] [1]

Cho khoảng cách từ tâm I của đường tròn [C] tới

 bằng R, ta tính được m; thay m vào [1] ta được phương trình tiếp tuyến.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến. [h. 74]

III. Tiếp tuyến

 song song với một phương cho sẵn có hệ số góc k.

Phương trình của

 có dạng:

\[y\text{ }=\text{ }kx\text{ }+\text{ }m\] [m chưa biết]  \[~\Leftrightarrow ~kx~-~y\text{ }+\text{ }m\text{ }=\text{ }0\]

Cho khoảng cách từ tâm I đến [D] bằng R, ta tìm được m.

* Ghi chú: Ta luôn luôn tìm được hai đường tiếp tuyến [h.75]

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho đường tròn $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-4y=0$ a] Tìm tâm và bán kính của $\left[ C \right]$ b] Viết pt tiếp tuyến của $\left[ C \right]$ tại điểm $A\left[ 1;1 \right]$ c] Viết pt tiếp tuyến của $\left[ C \right]$ đi qua điểm $B\left[ 4;7 \right]$ d] Viết pt tiếp tuyến của  $\left[ C \right]$ biết tiếp tuyến  song song với đường thẳng $3x+4y+1=0$ e] Viết pt tiếp tuyến của $\left[ C \right]$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $2x+y-3=0$

Giải:

a] $\left[ C \right]$ có tâm $I\left[ -1;2 \right];$ bán kính $R=\sqrt{5}$

b] Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến cần tìm

$\Delta $ đi qua $A\left[ 1;1 \right]$ và nhận $\overrightarrow{IA}=\left[ 2;-1 \right]$ làm vtpt

Phương trình của $\Delta $ là: $2\left[ x-1 \right]-1\left[ y-1 \right]=0\Leftrightarrow 2x-y-1=0$

c] + Gọi $\Delta $ là phương trình tiếp tuyến của đường tròn với vtpt $\vec{n}=\left[ a;b \right]$

Phương trình $\Delta :\quad a\left[ x-4 \right]+b\left[ y-7 \right]=0\quad \left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right]$

$\Leftrightarrow ax+by-4a-7b=0$

+ $\left[ C \right]$ tiếp xúc với

 tức là:

+ Chọn $b=1\Rightarrow \left[ * \right]$ trở thành: 

+ Với \[a=-\frac{1}{2}\], pttt phải tìm là: $x-2y+10=0$

    Với $a=-2$, pttt phải tìm là: $2x-y-1=0$

d] $\Delta //d:3x+4y+1=0\Rightarrow $phương trình $\Delta $ có dạng: $3x+4y+c=0$

$\Delta $ tiếp xúc với 

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:3x+4y+5\sqrt{5}-5=0;{{\Delta }_{2}}:3x+4y-5\sqrt{5}-5=0$

e] $\Delta \bot d:2x+y-3=0\Rightarrow $ phương trình $\Delta $ có dạng: $x-2y+c=0$

$\Delta $ tiếp xúc với 

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:x-2y+10=0;{{\Delta }_{2}}:x-2y=0$

Câu 2: Cho đường tròn $\left[ C \right]:{{\left[ x-2 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}=20$. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn $\left[ C \right]$ có hệ số góc bằng 2 .

Giải:

+ Đường tròn $\left[ C \right]$ có tâm $I\left[ 2;1 \right];bk\text{ }R=2\sqrt{5}$

+ Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn

+ Đường thẳng $\Delta $ có hệ số góc bằng 2 nên pt $\Delta $ có dạng: $y=2x+m\Leftrightarrow 2x-y+m=0$

+ Đường thẳng $\Delta $ là tiếp tuyến của đường tròn 

Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm là: ${{\Delta }_{1}}:2x-y+7=0;{{\Delta }_{2}}:2x-y-13=0$

Câu 3: Cho đường tròn $\left[ C \right]:{{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+1 \right]}^{2}}=10$. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn $\left[ C \right]$ biết tiếp tuyến tạo với $d:2x+y-4=0$ một góc bằng ${{45}^{0}}$

Giải:

+ Giả sử tiếp tuyến $\Delta $ có phương trình: \[ax+by+c=0\left[ {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0 \right]\] [1]

$\Delta $ là tiếp tuyến của 

+ $\Delta$ tạo với $d$ một góc ${{45}^{0}}$

Với $c=14b$ thay vào [1] ta được: $-3bx+by+14b=0\Leftrightarrow -3x+y+14=0$

Với $c=-6b$ thay vào [1] ta được: $-3bx+by-6b=0\Leftrightarrow 3x-y+6=0$

+ Với $a=\frac{b}{3}$, giải tương tự

C. Bài tập rèn luyện

Câu 1: Trong các pt sau, pt nào là pt đường tròn, chỉ rõ tâm và bán kính:

a] ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-4y-4=0$

b] ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+6y+12=0$

c] $-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x-y-1=0$

d] $2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$

e] ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x-2y-2=0$

Câu 2: Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a] Tâm $I\left[ 1;-3 \right];$ bán kính $R=1$

b] Đi qua điểm $A\left[ 3;4 \right]$ và tâm là gốc tọa độ

c] Đường kính $AB$ với $A\left[ 1;1 \right]$ và $B\left[ 3;5 \right]$

d] Đi qua điểm $A\left[ 3;1 \right];B\left[ 5;5 \right]$ và tâm I nằm trên trục tung.

e] Đi qua ba điểm $A\left[ 7;1 \right];B\left[ -3;-1 \right];C\left[ 3;5 \right]$

f] Tâm $I\left[ 5;6 \right]$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:3x-4y-6=0$

g] Tâm $I\left[ 1;3 \right]$ và đi qua điểm $A\left[ 3;1 \right]$

h] Tâm $I\left[ -2;0 \right]$ và tiếp xúc với đường thẳng $d:2x+y-1=0$

i] Đi qua điểm $M\left[ 2;1 \right]$ và tiếp xúc với hai trục tọa độ

j] Đi qua hai điểm $M\left[ 1;1 \right];N\left[ 1;4 \right]$ và tiếp xúc với trục Ox

k] Đi qua điểm $A\left[ 3;1 \right];B\left[ 5;5 \right]$ và tâm I nằm trên trục hoành Ox

l] Đi qua điểm $A\left[ 0;1 \right];B\left[ 1;0 \right]$ và tâm I nằm trên $d:x+y+2=0$

m] Đi qua 3 điểm $A\left[ 1;1 \right];B\left[ 3;-2 \right];C\left[ 4;3 \right]$ [gợi ý: tam giác ABC vuông tại A]

n] Đi qua 3 điểm $A\left[ 1;\frac{\sqrt{3}}{3} \right];B\left[ 1;-\frac{\sqrt{3}}{3} \right];C\left[ 0;0 \right]$ [gợi ý tam giác ABC đều]

o] $\left[ C \right]$ đi qua điểm $M\left[ 4;2 \right]$ và tiếp xúc với các trục tọa độ.

Câu 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4$ trong mỗi trường hợp sau:

a] Tiếp tuyến song song với $d:3x-y+17=0$

b] Tiếp tuyến vuông góc với $d:x+2y-5=0$

c] Tiếp tuyến đi qua điểm $A\left[ 2;-2 \right]$

Câu 4: Cho điểm $M\left[ 2;3 \right]$. Lập pt tiếp tuyến của đường tròn $\left[ C \right]$ đi qua điểm M

a] $\left[ C \right]:{{\left[ x-3 \right]}^{2}}+\left[ y-1 \right]=5$

b] $\left[ C \right]:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+2y-11=0$

Câu 5:  Kiểm lại rằng điểm \[{{M}_{0}}\left[ 1;-2 \right]\]ở trên đường [C] có phương trình:

\[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~10x\text{ }+\text{ }4y\text{ }+\text{ }13\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với [C] tại M0.

Câu 6: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn [C]: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~4x~-~3y\text{ }=\text{ }0\] phát xuất từ \[A\left[ -3;-1 \right].\]

Câu 7: Cho đường tròn [C] có phương trình: \[{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}-~6x\text{ }+\text{ }2y\text{ }+\text{ }5\text{ }=\text{ }0\] . Tìm phương trình tiếp tuyến với [C] có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm.

Câu 8: Cho đường tròn [C], điểm A và đường thẳng d.

\[\left[ C \right]:\text{ }{{x}^{2}}~+\text{ }{{y}^{2}}~+\text{ }4x\text{ }\text{ }8y\text{ }+\text{ }10\text{ }=\text{ }0,~\text{ }A\left[ 2;\text{ }2 \right],~~~\text{ }d:\text{ }x\text{ }+\text{ }2y\text{ }\text{ }6\text{ }=\text{ }0\]

a. Chứng tỏ điểm A ở ngoài [C].

b. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] kẻ từ A.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] vuông góc với d.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của [C] song song với d.

Đáp số gợi ý

Câu 2:

a. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y+3 \right]}^{2}}=1$

b. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25$

c. ${{\left[ x-2 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}=5$

d. ${{x}^{2}}+{{\left[ y-5 \right]}^{2}}=25$

e. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-22=0$

f. ${{\left[ x-5 \right]}^{2}}+{{\left[ y-6 \right]}^{2}}=9$

g. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-3 \right]}^{2}}=8$

h. ${{\left[ x+2 \right]}^{2}}+{{y}^{2}}=5$

i. ${{\left[ x-1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-1 \right]}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left[ x-5 \right]}^{2}}+{{\left[ y-5 \right]}^{2}}=25$

j. ${{\left[ x+1 \right]}^{2}}+{{\left[ y-\frac{5}{2} \right]}^{2}}=\frac{25}{4};{{\left[ x-3 \right]}^{2}}+{{\left[ y-\frac{5}{2} \right]}^{2}}=\frac{25}{4}$

k.${{\left[ x-10 \right]}^{2}}+{{y}^{2}}=50$

l. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-3=0$

m.${{\left[ x-\frac{7}{2} \right]}^{2}}+{{\left[ y-\frac{1}{2} \right]}^{2}}=\frac{13}{2}$

n.${{\left[ x-\frac{2}{3} \right]}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{4}{9}$

o.${{\left[ x-2 \right]}^{2}}+{{\left[ y-2 \right]}^{2}}=4;{{\left[ x-10 \right]}^{2}}+{{\left[ y-10 \right]}^{2}}=100$

Câu 3:

a] $3x-y+2\sqrt{10}=0;3x-y-2\sqrt{10}=0$

b] $2x-y+2\sqrt{5}=0;2x-y-2\sqrt{5}=0$

c] $y+2=0;x-2=0$

Câu 4:

a] $x-2y+8=0$;                                            b] $y-3=0$

Bài viết gợi ý: