Mặt khác đường thẳngtạo với trụcOxmột góc $\alpha $với $cos\alpha =\frac{1}{3\sqrt{10}}$ nên
$\frac{\left| a \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{1}{3\sqrt{10}}\Leftrightarrow {{b}^{2}}=89{{a}^{2}}-{{c}^{2}}$[2]
Từ [1] và [2] ta có phương trình $85{{a}^{2}}+8ac-5{{c}^{2}}=0$[3]
Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 [không thỏa mãn]
Với $c\ne 0$, ta có [3] $\Leftrightarrow 5{{\left[ \frac{a}{c} \right]}^{2}}+8\frac{a}{c}-5=0\Leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{1}{5}$hoặc $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$
nVới $\frac{a}{c}=\frac{1}{5}$, ta chọn $a=1,c=5\Rightarrow b=-8$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-8}=\frac{z+2}{5}$
nVới $\frac{a}{c}=-\frac{5}{17}$, ta chọn $a=5,c=-17\Rightarrow b=44$. Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x-1}{5}=\frac{y}{44}=\frac{z+2}{-17}$
Chọn A.
Bài tập 4:Trong không gian tọa độ cho mặt cầu $[S]:{{[x-1]}^{2}}+{{[y+2]}^{2}}+{{z}^{2}}=9$và điểm $M[2;0;-2]$. Phương trình đường thẳngdtiếp xúc với[S]tạiMvà tạo với mặt phẳng $[P]:x+y-3=0$một góc ${{30}^{\circ }}$là:A.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=t \\{} z=-2+t \\ \end{array} \right.$B.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=t \\{} z=-2-t \\ \end{array} \right.$C.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=-t \\{} z=-2+t \\ \end{array} \right.$D.$d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=-t \\{} z=-2-t \\ \end{array} \right.$
Lời giải chi tiết
Gọi ${{\overrightarrow{u}}_{d}}=[a;b;c],[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0]$ là vectơ chỉ phương của đường thẳngd
Mặt cầu[S]có tâm $I[1;-2;0]$. Vì đường thẳngdtiếp xúc với mặt cầu[S]tạiMnên:
Ta có: $\overrightarrow{IM}=[1;2;-2]\bot \overrightarrow{{{u}_{d}}}\Leftrightarrow a+2b-2c=0\Leftrightarrow a=2c-2b$
Mặt khác đường thẳngdtạo với mặt phẳng[P]một góc ${{30}^{\circ }}$ nên:
Ta có: $\sin {{30}^{\circ }}=cos\left[ \overrightarrow{{{u}_{d}}};\overrightarrow{{{n}_{[P]}}} \right]=\frac{\left| a+b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{\left| 2c-b \right|}{\sqrt{2}\sqrt{5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc}}=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2{{[b-2c]}^{2}}=5{{b}^{2}}+5{{c}^{2}}-8bc\Leftrightarrow 3{{b}^{2}}=3{{c}^{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} b=c \\{} b=-c \\ \end{array} \right.$
nVớib = cchọn $b=c=1;a=0$ ta có: $d:\left\{ \begin{array}{} x=2 \\{} y=t \\{} z=-2+t \\ \end{array} \right.$
nVớib = - cchọn $b=-1;c=1;a=4$ta có: $d:\left\{ \begin{array}{} x=2+4u \\{} y=-u \\{} z=-2+u \\ \end{array} \right.$.Chọn A.
Bài tập 5:Trong không gian tọa độ cho mặt cầu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y+6z-12=0$và đường thẳng $[d]:x=5+2t;y=4;z=7+t$. Phương trình đường thẳngtiếp xúc với mặt cầu[S]tại điểm $M[5;0;1]$vàtạo vớidgóc $\varphi $ sao cho $cos\varphi =\frac{1}{\sqrt{7}}$là:A.$\left\{ \begin{array}{} x=5-3t \\{} y=-5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$B.$d:\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$C.$d:\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=-5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$D.$d:\left\{ \begin{array}{} x=5-3t \\{} y=-5t \\{} z=1+t \\ \end{array} \right.$
Lời giải chi tiết
Ta có $[S]:{{[x-2]}^{2}}+{{[y+1]}^{2}}+{{[z+3]}^{2}}=26\Rightarrow [S]$có tâm $I[2;-1;-3]$và bán kính $R=\sqrt{26}$
$\overrightarrow{IM}=[3;1;4],\overrightarrow{{{u}_{1}}}=[2;0;1]$là 1 VTCP củad.
Giả sử ${{\overrightarrow{u}}_{2}}=[a;b;c]$ là 1 VTCP của đường thẳng, $[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0]$
Dotiếp xúc với mặt cầu[S]tạiM$\Rightarrow \overrightarrow{IM}\bot \overrightarrow{{{u}_{2}}}\Leftrightarrow 3a+b+4c=0\Leftrightarrow b=-3a-4c$ [1]
Mà góc giữa đường thẳngvà đường thẳngdbằng $\varphi $
$\Rightarrow \left| cos\left[ \overrightarrow{{{u}_{1}}},\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right] \right|=cos\varphi \Leftrightarrow \frac{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}}.\overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{u}_{2}}} \right|}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Leftrightarrow \frac{\left| 2a+c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{7}}$ [2]
Thay [1] và [2] ta được $\sqrt{7}\left| 2a+c \right|=\sqrt{5}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{[3a+4c]}^{2}}+{{c}^{2}}}$
$\Leftrightarrow 7[4{{a}^{2}}+4ac+{{c}^{2}}]=5[{{a}^{2}}+9{{a}^{2}}+24ac+16{{c}^{2}}+{{c}^{2}}]\Leftrightarrow 22{{a}^{2}}+92ac+78{{c}^{2}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} a=-3c \\{} a=-\frac{13}{11}c \\ \end{array} \right.$
Với $a=-3c$, do ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ne 0\Rightarrow c\ne 0$. Chọn $c=-1\Rightarrow a=3;b=-5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=-5t \\{} z=1-t \\ \end{array} \right.$
Với $a=-\frac{13}{11}c$ chọn $c=-11\Rightarrow a=13;b=5\Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{} x=5+3t \\{} y=5t \\{} z=1-11t \\ \end{array} \right.$.Chọn C.