Xem thêm các sách tham khảo liên quan:
Sách giải toán 9 Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 9 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 71: Hãy chứng minh định lý trên.
Lời giải
a]cung AB = cung CD ⇒ AB = CD
Từ cung AB = cung CD ⇒ ∠[AOB] = ∠[COD]
Xét ΔOAB và ΔOCD có:
OA = OC = R
∠[AOB] = ∠[COD]
OB = OD = R
⇒ ΔOAB = ΔOCD [c.g.c]
⇒ AB = CD
b] AB = CD ⇒ cung AB = cung CD
Xét ΔOAB và ΔOCD có:
OA = OC = R
AB = CD [gt]
OB = OD = R
⇒ ΔOAB = ΔOCD [c.c.c]
⇒ ∠[AOB] = ∠[COD]
⇒ cung AB = cung CD
Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 2 trang 71: Xem hình 11.
Hãy viết giả thiết và kết luận của định lý
[Không yêu cầu học sinh chứng minh định lý này]
Lời giải
a]cung AB > cung CD ⇒ cung AB > cung CD
b] cung AB > cung CD ⇒ cung AB > cung CD
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
b] Làm thế nào để chia được đường tròn thành sáu cung bằng nhau như trên hình 12?
Hình 12
Lời giải
a] + Dùng compa vẽ đường tròn tâm O, bán kính R = 2cm.
+ Trên đường tròn lấy điểm A. Vẽ góc
Khi đó ta được cung AB có số đo bằng 60º.
+ ΔAOB có OA = OB, Ô = 60º
⇒ ΔAOB đều
⇒ AB = OA = OB = R = 2cm.
b] Chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau:
+ Vẽ đường tròn tâm O, bán kính R.
+ Trên đường tròn tâm O, lấy điểm A.
+ Vẽ cung tròn tâm A, bán kính R cắt đường tròn tại B và C.
+ Vẽ cung tròn tâm B và C bán kính R cắt đường tròn tâm O tại D và E.
+ Vẽ cung tròn tâm E bán kính R cắt đường tròn tại F.
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
a] So sánh các cung nhỏ BC, BD.
b] Chứng mình rằng B là điểm chính giữa của cung EBD [tức là điểm B chia cung EBD thành hai cung bằng nhau:
Lời giải
a] B ∈ đường tròn đường kính AC
⇒ BO = OA = OC
⇒ BO = AC/2.
Mà BO là đường trung tuyến ứng với cạnh AC
⇒
Chứng minh tương tự
⇒ B, C, D thẳng hàng.
Đường tròn tâm O và O’ bằng nhau ⇒ AC = AD.
ΔABC và ΔABD có:
⇒ ΔABC = ΔABD [cạnh huyền – cạnh góc vuông]
⇒ BC = BD
⇒
b] E ∈ đường tròn đường kính AD ⇒
⇒ ΔECD vuông tại E.
Có EB là đường trung tuyến
⇒ EB = BD [= CD/2].
⇒
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
a] Chứng minh rằng OH > OK.
b] So sánh hai cung nhỏ BD và BC.
Lời giải
a] Xét ΔABC có: BC < AB + AC [Bất đẳng thức tam giác]
Mà AD = AC [gt]
⇒ BC < AB + AD = BD
Mà OH = khoảng cách từ O đến dây BC
OK = khoảng cách từ O đến dây BD
⇒ OH > OK.
b] Vì BD > BC
⇒
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
Lời giải
Vẽ đường tròn tâm O, các dây cung AB // CD.
Cần chứng minh
Cách 1:
Kẻ bán kính MN // AB // CD
MN // AB
+ TH1: AB và CD cùng nằm trong một nửa đường tròn.
+ TH2: AB và CD thuộc hai nửa đường tròn khác nhau.
Cách 2:
Kẻ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD [H ∈ AB, K ∈ CD]
Vì AB // CD ⇒ O, H, K thẳng hàng.
ΔOAB có OA = OB
⇒ ΔOAB cân tại O
⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác
⇒
Chứng minh tương tự:
ΔAOC và ΔBOD có: OA = OB; OC = OD;
⇒ ΔAOC = ΔBOD
⇒ AC = BD
⇒
Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
b] Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây cung ấy và ngược lại.
Lời giải
a]
Vẽ đường tròn tâm O, dây cung AB.
Gọi I là điểm chính giữa của cung AB.
Gọi OI ∩ AB = H.
ΔAOH và ΔBOH có: AO = OB,
⇒ ΔAOH = ΔBOH
⇒ AH = BH
⇒ OI đi qua trung điểm H của AB.
+ Mệnh đề đảo: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung thì đi qua điểm chính giữa của cung đó.
Mệnh đề sai
Ví dụ: Đường thẳng CD đi qua trung điểm dây cung AB [điểm O] nhưng không đi qua điểm chính giữa của cung
Mệnh đề đảo chỉ đúng khi dây cung AB không phải đường kính.
b]
+ Cho đường tròn [O]; dây cung AB ;
I là điểm chính giữa cung
⇒ ΔAOH = ΔBOH [cm phần a].
⇒ OH ⊥ AB.
Vậy đường kính đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với dây căng cung ấy.
+ Cho đường tròn [O]; dây cung AB.
Kẻ đường thẳng OH ⊥ AB [H ∈ AB] cắt đường tròn tại I.
Ta có: ΔABO cân tại O [vì AO = OB = R].
⇒ đường cao OH đồng thời là đường phân giác
⇒ I là điểm chính giữa của cung
Vậy đường kính vuông góc với dây căng cung thì đi qua điểm chính giữa của cung.