Tính khoảng cách trong hình chóp tứ giác đều

Chọn B.

Lời giải.

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đặt AB =x, SO =h. Với O là tâm của hình vuông ABCD ⇒SO ⊥[ABCD]. Qua O kẻ đường thẳng OH vuông góc với SA với H ∈SA

Ta có

Suy ra OH là đoạn vuông góc chung của SA và BD

Theo bài ra, ta có 

Tam giác SAO vuông tại O, có đường cao OH suy ra 

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCHTRONG KHÔNG GIANGiáo viên: Phùng Thế BằngĐơn vị: Trường THPT Tam Dương II.Môn: ToánPhần IMỞ ĐẦUTrong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không giangiữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đạihọc, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gầnđây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, cótrí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đây là mảngkiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên.Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một sốbài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọnchuyên đề: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian”. Hi vọng đề tàisẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốtcho bạn bè, đồng nghiệp.1Phần IINỘI DUNGA. CƠ SỞ LÍ THUYẾT1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳngCho điểm M và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu của M trên ∆. Khi đókhoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đếnđường thẳng ∆. Kí hiệu d [M , D]MH* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta có thể+ Xác định hình chiếu H của M trên ∆ và tính MH+ Áp dụng công thức2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngCho điểm M và mặt phẳng [α]. Gọi H là hình chiếu của M trên [α]. Khi đókhoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặtphẳng [α]. Kí hiệu d [M ,[a]]MH[α]* Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng [α] ta có thể sử dụngmột trong các cách sau:Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của Mtrên [α] và tính MH[β]* Phương pháp chung.M- Dựng mặt phẳng [P] chứa M và vuông góc với[α]- Tìm giao tuyến ∆ của [P] và [α]H[α]- Kẻ MH ⊥ ∆ [H Î D ]. Khi đó d [M ,[ a]] = MH .2* Đặc biệt:+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy.+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góchạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy.+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giaotuyến của hai mặt bên này.+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau [hoặc tạo với đáy những góc bằngnhau] thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chânđường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy.Cách 2. Sử dụng công thức thể tích13V. Theo cách này, để tínhS .h Û h =3Skhoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và SThể tích của khối chóp V =Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnhÝ tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đườngthẳng đến một vị trí thuận lợi M ' , ta quy việc tính d [M ,[a]] về việc tínhd [M ',[a]] . Ta thường sử dụng những kết quả sau:Kết quả 1. Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng [α] và M, N ∈ ∆ thìd [M ;[ a]] = d [N ;[ a]]MNM'N'[α]Kết quả 2. Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng [α] tại điểm I và M, N ∈ ∆ [M, Nkhông trùng với I] thìd [M ;[ a]] MI=d [N ;[a]]NIMNI[α]31* Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d [M ;[ a]] = d [N ;[ a]] , nếu I2là trung điểm của MN thì d [M ;[ a]] = d [N ;[ a]]Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuôngCơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O[OA ^ OB ,OB ^ OC ,OC ^ OA ] và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng[ABC]. Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức1111=++222OHOAOBOC 2Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độCơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng cáccông thức sau:A x 0 + By 0 + Cz 0 + Dd [M ;[ a]] =với M [x 0 ; y 0 ; z 0 ] ,222A + B +C[a] : A x + By + Cz + D = 0uuur réùMAê ,uúrd [M , D] = ë r û với ∆ là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương uur ur uuuré ùêu , u 'ú.A A 'd [ D, D '] = ë r ûurvới D, D ' lần lượt là đường thẳng đi qua A , A ' và có vtcpé ùêu, u 'úë ûr uru, u '3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng [ α]. Khoảng cách giữađường thẳng ∆ và mặt phẳng [α] là khoảng cách từ một điểm bất kì của ∆ đếnmặt phẳng [α]. Kí hiệu d [ D,[a]]* Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng ∆ đến mặt phẳng [α] đượcquy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song songKhoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểmbất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d [[a];[ b]]* Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy vềviệc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhauCho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng ∆ cắt cả a và b đồngthời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b.4Đường vuông góc chung ∆ cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọilà khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d [a, b] .* Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm nhưsau:+ Tìm H và K từ đó suy ra d [a, b] = HK+ Tìm một mặt phẳng [P] chứa a và song song với b. Khi đód [a, b] = d [b,[P ]]+ Tìm cặp mặt phẳng song song [P], [Q] lần lượt chứa a và b. Khi đód [a, b] = d [[P ],[Q ]]+ Sử dụng phương pháp tọa độ* Đặc biệt- Nếu a ^ b thì ta tìm mặt phẳng [P] chứa a và vuông góc với b, tiếp theo tatìm giao điểm I của [P] với b. Trong mp[P], hạ đường cao IH. Khi đód [a, b] = IH- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trungđiểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.5B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠI. Phương pháp tính trực tiếpVí dụ 1: Cho hình chóp S .A BCD có đáy A BCD là nửa lục giác đều nội tiếptrong đường tròn đường kính A D = 2a và có cạnh SA vuông góc mp [ A BCD ] ,với SA = a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp [ SCD ] .Lời giải:Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trongđường tròn đường kính AD = 2a nên ta cóAD//BC, AB = BC = CD = aAC ^ CD, AB ^ BD , AC = BD = a 3ïïCD ^ A C üTa cóý Þ CD ^ mp[SAC]CD ^ SA ïïïþKẻ AH ^ SC tại H ta có AH ^ CDNên AH ^ mp[SCD]. Vậy AH = d [ A ;[SCD ]]SHAXét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường caoDFE111111=+=+= 2Do đó22222AHSAAC[a 6][a 3]2aBCÞ A H 2 = 2a 2 Þ A H = a 2Ví dụ 2: [Đề thi ĐH khối D - 2012] Cho hình hộp đứng A BCD .A ' B 'C ' D ' cóđáy là hình vuông, tam giác A ' A C vuông cân, A 'C = a. Tính thể tích khối tứdiện A BB 'C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [ BCD '] theo a.Lời giải:* Tích thể tích: V = a3D'218* Tính khoảng cách: Gọi H là chân đường cao kẻ từA của D A ' A B . Ta cóA H ^ A ' B Þ A H ^ [ A ' BC ] , nghĩa làAH ^[ B CD '] . Do đó A H[1116=+= 2 . Do đó222AHABAA 'aa 6d A , [ BCD '] = A H =6[A']= d A, [ BCD '] .Ta cóC'B'DAHCB]Ví dụ 3. [Đề thi ĐH khối A - 2010].6Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượtlà trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SHvuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa haiđường thẳng DM và SC theo a.Lời giải:·Ta có: D MA D = D NCD Þ A· DM = DCNÞ MD ^ NCDo SH ^ [ A BCD ] Þ MD ^ SHMD ^[ SHC ]SKẻ HK ^ SC [ K Î SC ]Suy ra HK là đoạn vuông góc chungcủa DM và SC nênd [ DM , SC ] = HKKTa có:CD 22aHC ==CN5HK =SH ×HC2SH + HCVậyd [ DM , SC ] =NA2=2 3a19DHM×CB2 3a19II. Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích.Ví dụ 4. [Đề thi ĐH khối A – 2013] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giácvuông tại A, A· BC = 30o , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuônggóc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm Cđến mặt phẳng [SAB].SLời giải:Gọi H là trung điểm của BC, suy raSH ^ BC . Mà [SBC] vuông góc với[ABC] theo giao tuyến BC, nênSH ^ [ A BC ] .Ta có BC = a, suy ra SH = a 3 ;2aA C = BC sin 30o = ;2IBAHC71a3a 3 . Do đó.V S .A BC = SH .A B .A C =A C = BC cos 30 =6162Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA = HB. MàSH ^ [ A BC ] , nên SA = SB = a. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SI ^ A B .o23Va 39Do đó SI = SB 2 - A B = a 13 . Từ đó d C , [ SA B ] = S .A BC =.S1344D SA BNhận xét: Việc tính khoảng cách từ đỉnh C đến [SAB] được tính thông qua thểtích V S .A BC được tính ở phần trước và diện tích của tma giác SAB.[]Ví dụ 5. [Đề thi KSCLĐH khối A lần 2 – Vĩnh Phúc năm 2014].Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = BC =a 13,43a, mặt phẳng [SCD] vuông góc với mặt phẳng [ABCD]. Tam2giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng[ABCD] một góc 30o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cáchgiữa SI và CD.A B = 2a, CD =Lời giải:Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH làđường cao của hình chóp S.ABCD. Gọi M làtrung điểm của AI khi đó SM ^ A B màSH ^ A B , từ đó suy ra MH ^ A B . Ta có:A B - DCaAE ==24a 3Þ MH = DE = A D 2 - A E 2 =23aMặt khác: MB =, từ đó2HB = MB 2 + MH 2 = a 3 .·Theo giả thiết ta có SBH= 30o , do vậySH = BH t an 30o = a .Diện tích hình thang ABCD là[ A B + CD ] MH 7a 2 3 .S A BCD ==28SIA30°MDAHE MDHBCIBC17a 3 3Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là V = S A BCD .SH =.3248[][]Do CD//AB Þ d [ CD , SI ] = d CD , [ SA B ] = d C , [ SA B ] =3V SA BCS D A BC.111a3 3Trong đó V SA BC = SH .S D A BC = SH . A B .MH =,332611a2 7và S D A BC = A B .SM = A B . SH 2 + MH 2 =222a 21Do vậy Þ d [ CD , SI ] =.7Nhận xét: Ta có thể tính d [ CD, SI ] = d H , [ SA B ] = HK , trong đó K là hình[chiếu của H trên SM. Thật vậy do A B ^][ SMH ] ÞA B ^ HK , suy raHK ^ [ SA B ] . Mà tam giác SHM vuông tại H, do vậy1HK 2=1SH 2+1MH 2Þ HK =a 7a 21.Þ d [ CD , SI ] =217Ví dụ 6.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượtlà trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng[AMN].Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABChay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từP đến mặt phẳng [AMN] về việc tính thể tíchScủa các khối chóp nói trên, khoảng cách từ Pđến [AMN] có thể thay bằng khoảng cách từC đến [SAB].Lời giải:Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đóMNSO ⊥ [ABCD].M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên11a2 7 .S A MN = S A NS = S A BS =2416Do PC // [AMN]Þ d [ [P ,[A MN ]]] = d [ [C ,[A MN ]]] .DPCAOBVậy:911 1S A MN .d [ [P ,[A MN ]]] = . S A BS .d [ [C ,[A MN ]]]33 4111 1= V C .A BS = V S .A BC = . S A BC .SO .444 31a 6.S A BC = a 2, SO = SA 2 - A O 2 =22311a6 Þ d [P ,[A MN ]] = 3V PA MN = a 6 .2 a 6Vậy V A MNP = . a .[] S=712 2248A MNNhận xét: Ta có thể tính khoảng cách từ P đến [SAB] như sau:d P , [ SA B ] = d , [ SA B ] = 2d O , [ SA B ] = 2d .V P .A MN =[][][]Do OA, OB, OS đôi một vuông góc nên1111=++222dOAOBOS 2Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuônggóc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếucủa A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng [AHK].Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên mộtmặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giácAHK cân nên ta tính được diện tích của nó.Lời giải:S1Cách 1: V OA HK = S A HK .d O , [ A HK ]3Trong đó:[]GJKIDHAOCB1113a 6;=+= 2 Þ AH =2223AHABAS2aa 6D SA D = D SA B Þ A K = A H =3Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD.AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên10HKSG222 2a . Tam giỏc AHK cõn tai A, G l trung== ị HK = BD =BDSO33322 112aim ca HK nờn AG HK v A G = A I = . SC = .2a =33 23311 2a 2 2a2 2a 2S A HK = A G .HK = . .=.22 339111V OA HK = V A OHK = d A ; [ OHK ] .S DOHK = d A ; [ SBD ] .S D OHK = h .S DOHK333T din ASBD vuụng ti A nờn:[][]11115a 10=++=ịh=5h2A S 2 A B 2 A D22a 2Tam giỏc OHK cõn ti O nờn cú din tớch S bng11 a 10 2 2aS = OG .HK = ..=22 63[]ị d O ; [ A HK ] =3V OA HKS A HK5a 212a 3ị V OA HK = Sh =93272a 33ì27 = a=22 2a 292Cỏch 2: Ta chng minh V OA HK = V SA BD921Ta cú: HK = BD ;OG = SO3311 22ị S OHK = HK ìOG = ì BD ìSO = S SBD22 9922 11a3 2ị V A OHK = V SA BD = ì SA ì A B ìA D =99 3227Cỏch 3: Gii bng phng phỏp ta nh sau:Chn h ta Oxyz sao cho O' A, B[a ; 0 ; 0], D[0 ; a ; 0], S[0 ; 0 ; a 2 ].ổ 2a a 2 ửổổ2a a 2 ửa a ửữữỗỗỗữữỗỗữ;0;; ; 0ữỗTớnh SH, SK suy ra ta ca H ỗ0; ;,K,Oữữỗữữữỗữỗ3 ứữ ỗữ ố2 2 ứố 3 3 ứố31 ộuuur uuur ựuuurp dng cụng thc V = ờA H , A K ỳ.A Oỷ6 ởCỏch 4: SC [AHK] nờn chõn ng vuụng gúc h t O xuụng [AHK] cú thxỏc nh c theo phng SC.* AH SB, AH BC [do BC [SAB]] AH SCTng t AK SC. Vy SC [AHK]11* Giả sử [AHK] cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC⇒ OJ ⊥ [AHK].SA = AC = a 2 ⇒ ∆SAC cân tại A ⇒ I là trung điểm của SC.Vậy OJ =111aIC = SC = .2a = .2442III. Phương pháp trượt đỉnh.Ví dụ 8. [Đề thi ĐH khối B - 2013].Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giácđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tíchkhối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng [SCD].Lời giải:Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ^ AB vàSa 3 Mà [SAB] vuông góc với [ABCD].2theo giao tuyến là AB, nên SH ^ [ A BCD ] .SH =IAD3HDo đó V S .A BCD = 1 SH .S A B CD = a 3 .K36BCH Î ABDo AB // CD vànênd A , [ SCD ] = d H , [ SCD ] . Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu[][]vuônggóccủaHtrênSK.TacóSH ^ CD Þ CD ^ [ SHK ] Þ CD ^ HI Þ HI ^ [ SCD ] .[]Do đó d A , [ SCD ] = HI =SH .HKSH 2 + HK 2=HK ^ CD màa 21.71Nhận xét: Có thể tính d A , [ SCD ] thông qua thể tích V SA CD = V S .A BCD và diện21tích tam giác S D SCD = SK .CD .2Ví dụ 9. [Đề thi ĐH khối A – 2012]Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên[ABC] là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa SC và [ABC] bằng 60.Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BCtheo a.Lời giải:[]12·Ta có SCHlà góc giữa SC và [ABC], suy ra·SCH= 60o. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Tacó:aa 3a 7HD = , CD =, HC = HD 2 + CD 2 =623a 21SH = HC . t an 60o =.31a3 7V S .A BC = .SH .S D A BC =.312Kẻ Ax // BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SN. Ta có BC //33[SAN] và BA = HA Þ d [ SA , BC ] = d B , [ SA N ] = d H , [ SA N ] .22Mặt khác A x ^ [ SHN ] Þ A x ^ HK .[[][ SA N ] Þ d [ H , [ SA N ] ] = HK . Ta có:Do đó HK ^AH =]2aa 3SH .HNa 42, HN = A H sin 60o =, HK ==.3312SH 2 + HN 2Vậy d SA , BC = a 42 .[]82Nhận xét: Do BA = HA và có thể xác định được hình chiếu của H trên3mp[SAN] [Ta thường chọn chân đường cao] nên ta tính được d B , [ SA N ] qua[[]]d H , [ SA N ] .Ví dụ 10. [Đề thi ĐH khối B - 2011].Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật A B = a,A D = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng [ABCD] trùngvới giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng [ADD1A1] và [ABCD] bằng600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặtphẳng [A1BD] theo a.13Phân tích. Do B1C // [A1BD] nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy việctính d B 1; [ A1BD ] thành tính d C ; [ A1BD ][][]Lời giải:* Gọi O là giao điểm của AC và BDÞ A1O ^ [ A BCD ]B1Gọi E là trung điểm ADÞ OE ^ A D & A1E ^ A DC1A1D1Þ A· 1EO = 600a 3A1O = OE . t an A· 1EO =22S A BCD = a 3BO3a 3=2V lt = A1O .S A BCD[CKHAED]* Tính d B 1; [ A1BD ] :Cách 1:Do B1C // [A1BD]Þ d B 1; [ A1BD ] = d C ; [ A1BD ][][]CH ^ BD Þ CH ^Hạ[]Þ d C ; [ A1BD ] = CH =CB .CDCB 2 + CD 2=[ A BD ]1a 32Cách 2:[][][]d B 1; [ A1BD ] = d C ; [ A1BD ] = d A ; [ A1BD ] =3V A A BD1S A BD131aTrong đó: V A A BD = V lt =16411 a 3a2 3S D A BD = A1O .BD = ××2a =122 223a3×4 =a 3Þ d B 1; [ A1BD ] =2a2 32Ví dụ 11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a,SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng [ABCD].a] Tính khoảng cách từ O đến [SBC].[]14b] Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến [SAC].Phân tích: Do OA Ç [ SBC ] = C , nên thay vì việc tính d O , [ SBC ] ta đi tính[[]][]d A , [ SBC ] , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G , [ SA C ] thông qua[][việc tính d E , [ SA C ] hay d B , [ SA C ]]Lời giải:a] Ta có: OA Ç [ SBC ] = C nên:[] = OC = 1AC2d [ A , [ SBC ] ]1Û d [ O , [ SBC ] ] = d [ A , [ SBC ] ]2d O , [ SBC ]SGọi H là hình chiếu của A trên SB ta có:ìï A H ^ SBïÞ A H ^ [ SBC ]íïï A H ^ BCîTrong tam giác vuông SAB có:GHADFEOCB1114a 3=+=ÛAH=2AH2SA 2 A B 23a 211a 3Þ d O , [ SBC ] = d A , [ SBC ] = A H =224b] Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB.Do EG Ç [ SA B ] = S nên[][] = GSESd [ E , [ SA C ] ]d G , [ SA C ][=]22Û d G , [ SA C ] = d E , [ SA C ]33ìï BO ^ A CïÞ BO ^Ta có: íïï BO ^ SAî[][][ SA C ] ; BE Ç [ SA C ] = A11a 2Þ d E , [ SA C ] = d B , [ SA C ] = BO =2242 a 2 a 2Þ d G , [ SA C ] = ×=3 46[][][]IV. Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnhđó đều là góc vuông.152. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O [OA ^ OB ,OB ^ OC,OC ^ OA ] và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng [ABC]. Khi đóđường cao OH được tính bằng công thức1111=++OH 2 OA 2 OB 2 OC 2AChứng minh:Giả sử A H Ç BC = D ,OH ^ [A B C ] Þ OH ^ BC [1]HOA ^ OB ,OA ^ OC Þ OA ^ BC [2]Từ [1] và [2] suy ra BC ^ OD . Trong các tamgiác vuông OAD và OBC ta cóOC111111=+,=+DOH 2 OA 2 OD 2 OD 2 OB 2 OC 2B1111Vì vậy=++OH 2 OA 2 OB 2 OC 2Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tínhkhoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnhcủa tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên.Ví dụ 12. Cho lăng trụ đều A BC .A ' B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của A A ' và B B ' . Tính khoảng cách giữa B ' M và CNPhân tích: Để tính khoảng cách giữa B ' M và CNta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song vớiB ' M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việctính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳngvề việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông.A'C'B'MDNLời giải:Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì COACD là tứ diện vuông tại O. A MB ' N là hìnhObình hành Þ NA / / B ' M . Mặt phẳng [ACN] chứaBCN và song song với B ' M nênd [B ' M ,CN ] = d [B ' M ,[A CN ]] = d [B ',[A CN ]] = d [B ,[A CN ]]= 2d [O ,[A CD ]] = 2h.Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta đượcA111164a 3. Vậy d [B ' M ,CN ] = a 3=++= 2 Û h=222284hOAOCOD3aVí dụ 13. Cho hình lập phương A BCD .A ' B 'C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi M làtrung điểm của DD ' . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A ' D .Lời giải:16Gọi N là trung điểm của B B ' thìA ' NCM là hình bình hành nênA ' N / / CM . Mặt phẳng [ A ' ND ]chứa A ' D và song song với CM nênd [CM , A ' D ] = d [CM ,[A ' ND ]]= d [M ,[A ' ND ]] = d [M ,[A ' DE ]]với E = A B Ç A ' N . GọiO = A D 'Ç A ' D , G = A D 'Ç A MD'A'C'B'MOGNDCthì G là trọng tâm của tam giácABA DD ' . Do đód [M ,[A ' DE ]] GM1== .d [A ,[A ' DE ]]GA2Tứ diện A A ' DE vuông tại A nên111192a=++= 2 Þ d [A ,[A ' DE ]] =.22223d [A ,[A ' DE ]] A A 'ADAE4aE1aVậy d [CM , A ' D ] = d [M ,[A ' DE ]] = d [A ,[A ' DE ]] =23V. Sử dụng phương pháp tọa độ.* Phương pháp:Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét.Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơBước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hìnhhọc.Ví dụ 14.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt làtrung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’. Tính khoảng cách giữa cặp đườngthẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ [I là tâm của đáy ABCD].Lời giải:Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD vàtia Oz chứa AA’. Khi đó:zA [ 0; 0; 0] , B [ 1; 0; 0] ,C [ 1;1; 0] , D [ 0;1; 0]PA'D'A ' [ 0; 0;1] , B ' [ 1; 0;1] , C ' [ 1;1;1] , D ' [ 0;1;1]Suy rauuuuruuuurA ' B = [ 1; 0; - 1] , B ' D = [ - 1;1; - 1]uuuur uuuuréùÞ êA ' B , B ' D ú= [ 1;2;1] .ë uuuuur ûLại có A ' B ' = [ 1; 0; 0] nênC'B'MDAIByNCx17uuuur uuuur uuuuurộựờA ' B , B ' D ỳ.A ' B '1ỷd [ A ' B , B ' D ] = ở uuuur uuuu=.rộự6ờA ' B , B ' D ỳởỷuuur ổ 1 ửổ1 ữử ổử uur ổ 1ử uuuur1 1 ữữỗỗỗữ., I ỗ ; ; 0ữị IP = ỗ- ; 0;1ữ, A C ' [ 1;1;1] , A P ỗỗ0; ;1ữTa li cú: P ỗ0; ;1ữữữữữữỗỗ2 2 ữỗ 2ỗ 2 ữố 2 ữứ ốứốứốứuur uuuur uuurộựờIP , A C 'ỳ.A P14ởỷ=.Suy ra d [ PI , A C '] =uur uuuurộự28ờIP , A C 'ỳởỷVớ d 15.Cho hỡnh lp phng ABCD.ABCD cnh bng 1. Mt mt phng [ a ] bt kỡ iqua ng chộo BD. Tớnh khong cỏch gia hai mt phng [ACD] v [ABC]Phõn tớch: Vi mt hỡnh lp phng taluụn chn c mt h to thớch hp,khi ú to cỏc nh ó bit nờn victớnh khong cỏch gia hai mt phng[ACD] v [ABC] tr nờn d dng. Viphn b, ta quy vic tớnh din tớch thitdin v vic tớnh khong cỏch t M nng thng DB.Li gii.Chn h to sao cho gc to O D ' [ 0; 0; 0]AzNBCDHyA'B'xD'MC'A ' [ 0;1; 0] , B ' [ 1;1; 0] , C ' [ 1; 0; 0] , A [ 0;1;1] , C [ 1; 0;1] Gi M l im bt kỡ trongon thng CD, tc M [ x ; 0; 0] ; 0 Ê x Ê 1a] D dng chng minh c [ACD] // [ABC]ị d [ A CD '] , [ A ' BC '] = d A ', [ A CD '][][]Mt phng [ACD] cú phng trỡnh: x + y - z = 01ị d [ A CD '] , [ A ' BC '] = d A ', [ A CD '] =3Vớ d 16.Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a.SA ^ [ A BCD ] , SA = a . Gi M l im di ng trờn cnh CD. Xỏc nh v trớca M khong cỏch t im S n BM ln nht, nh nht.[][]18Lời giải.Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao choO º A [ 0; 0; 0] , B [ 1; 0; 0] , C [ 1;1; 0] , D [ 0;1; 0] ,zSS [ 0; 0;1] .M là điểm di động trên CD nên M [ t ;1; 0] vớiuuur0 £ t £ 1 . BM = [ t - 1;1; 0]uur uuuréùêSB , BM út 2 - 2t + 3ëûd [ S , BM ] == 2uuurt - 2t + + 2BMXét hàm số f [ t ] =t 2 - 2t + 3t 2 - 2t + 2Ta có bảng biến thiên:- ¥tf’[t]+trên [0;1], f ' [ t ] =A ODBCx- 2 [ t - 1][y]t 2 - 2t + 202.+¥1+2f[t]323, đạt được khi t = 02ê0;1ûúëmaxf [ t ] = 2 , đạt được khi t = 1é ùf [t] =Từ bảng biến thiên ta có miné ùêë0;1úûDo đó d [ S , MB ] lớn nhất khi M º C & d [ S , BM ] = 2d [ S , MB ] nhỏ nhất khi M º D & d [ S , BM ] =32C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊBài 1. [Đề thi ĐH khối D – 2013].Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với· D = 120o , M là trung điểm của cạnh BC và SMA·mặt phẳng đáy, BA= 45o.Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng[SBC].Bài 2. [Đề thi ĐH khối D – 2011].Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a;mặt phẳng [SBC] vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Biết SB = SB = 2a 3 và19·SBC= 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặtphẳng [SAC] theo a.Bài 3.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc· D = 600 . Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 .BAa] Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng [SBC].b] Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD.Bài 4. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB= OC = 1 . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh A B ,OA . Tính khoảngcách giữa hai đường thẳng OM và CN.Bài 5. [Đề thi ĐH khối A - 2011].Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;hai mặt phẳng [SAB] và [SAC] cùng vuông góc với mặt phẳng [ABC]. Gọi M làtrung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biếtgóc giữa hai mặt phẳng [SBC] và [ABC] bằng 60o. Tính thể tích khối chópS.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.Bài 6. [Đề thi ĐH khối D - 2008].Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a,cạnh bên AA' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích củakhối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C.Bài 7. [Đề thi ĐH khối D - 2009].Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB =a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểmcủa AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểmđến mặt phẳng [IBC].Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc· D = 600 , có SO vuông góc mặt phẳng [ABCD] và SO = a.BAa] Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng [SBC].b] Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng [SBC].Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông gócvới mp[ABCD], SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cáchtừ G đến mp[SAC].Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M làtrung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính khoảng cách giữa haiđường thẳng BM và B1C.Bài 11. [Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằmtrên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biếtkhoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a.Bài 12. [Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B vớiAB=BC=a, AD=2a, các mặt phẳng [SAC] và [SBD] cùng vuông góc với mặt đáy.Biết góc tạo bởi [SAB] và [ABCD] bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảngcách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a.20Bài 13. [Đề thi thử ĐH-2013-THPT Ngô Gia Tự - Bắc Ninh]Cho hình chóp S.ABCD có SA = a và SA vuông góc với mặt đáy. Biết ABCD làthang vuông tại A và B, AB=a, BC=2a và SC vuông góc với BD. Tính thể tíchkhối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM theo a với Mlà trung điểm của BC.Bài 14. [Đề thi thử ĐH khối D 2014 -Vĩnh phúc]Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = a,BC = a, AD = 2a. Đường thẳng SA vuông góc mặt phẳng [ABCD], góc giữamp[SCD] và mp[ABCD] bằng 60o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD vàkhoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng [SCD].21Phần IIIKẾT LUẬNChuyên đề đã rút ra được một số phương pháp tính khoảng cách trong hìnhhọc không gian. Với mục đích nâng cao năng lực tư duy, tính sáng tạo trong giảitoán của học sinh THPT. Hy vọng với kết quả nhỏ này sẽ bổ sung được phần nàokiến thức cơ bản cho học sinh, giúp các em nhận thức đầy đủ và rèn luyện tốt kỹnăng giải các bài toán khoảng cách trong hình học không gian.Với kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi nhữngthiếu sót nên tác giả mong muốn nhận được nhiều ý kiến đóng góp của bạn bèđồng nghiệp để chuyên đề hoàn thiện hơn. Xin trân trọng cảm ơn!22