Với Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác Toán lớp 11 chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng nhớ toàn bộ các công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:
Công thức tính GTNN - GTLN của hàm số lượng giác chi tiết - Toán lớp 11
1. Lí thuyết
a] Sử dụng tính bị chặn của hàm số lượng giác
−1≤sinu[x]≤1; 0≤sin2u[x]≤1; 0≤sinu[x]≤1
−1≤cosu[x]≤1; 0≤cos2u[x]≤1; 0≤cosu[x]≤1
b] Dạng y = asinx + bcosx + c
Bước 1: Đưa hàm số về dạng chỉ chứa sin[u[x]] hoặc cos[u[x]]:
y = asinx + bcosx + c=a2+b2aa2+b2sinx+ba2+b2cosx+c
⇔y=a2+b2.sinx+α+c với α thỏa mãn
cosα=aa2+b2;sinα=ba2+b2
Bước 2: Đánh giá −1≤sinx+α≤1∀x∈ℝ
2. Công thức
a] Dạng y = asin[u[x]] + b hoặc y = acos[u[x]] + b
Ta có: −a+b≤y≤a+b
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là –|a| + b và giá trị lớn nhất là |a| + b.
b] Dạng y = asin2[u[x]] + b ; y = a|sin[u[x]]| + b;
Dạng y = acos2[u[x]] + b; y = a|cos[u[x]]| + b [với a khác 0]
+ Trường hợp 1: a > 0. Ta có: b≤y≤a+b.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là b và giá trị lớn nhất là a + b.
+ Trường hợp 2: a < 0. Ta có: a+b≤y≤b.
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là a + b và giá trị lớn nhất là b.
c] Dạng y = asinx + bcosx + c
Ta có: −a2+b2+c≤y≤a2+b2+c
Hàm số có giá trị nhỏ nhất là −a2+b2+c và giá trị lớn nhất là a2+b2+c.
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau:
a] y = 3sin[2x+1] – 7
b] y=−2cos2x+π3+1
Lời giải
a] y = 3sin[2x+1] – 7
Cách 1: Áp dụng công thức ta có: −3−7≤y≤3−7⇔−10≤y≤−4
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có −1≤sin2x+1≤1∀x∈ℝ
⇔−3≤3sin2x+1≤3∀x∈ℝ⇔−10≤sin2x+1−7≤−4∀x∈ℝ⇔−10≤y≤−4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là -4 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -10.
b] y=−2cos2x+π3+1
Cách 1: Áp dụng công thức ta có: −2+1≤y≤1⇔−1≤y≤1.
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có 0≤cos2x+π3≤1∀x∈ℝ
⇔0≤2cos2x+π3≤2∀x∈ℝ⇔−2≤−2cos2x+π3≤0∀x∈ℝ⇔−1≤−2cos2x+π3+1≤1∀x∈ℝ⇔−1≤y≤1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 5sin2x – 12cosx + 2
Lời giải
Cách 1: Áp dụng công thức ta có:
−52+122+2≤y≤52+122+2⇔−11≤y≤15
Cách 2: Giải chi tiết
Ta có: y = 5sin2x – 12cosx + 2
⇔y=13513sin2x−1213cos2x+2⇔y=13sin2xcosα−cos2xsinα+2
⇔y=13sin2x−α+2 với 513=cosα; 1213=sinα.
Ta có −1≤sin2x−α≤1∀x∈ℝ
⇔−13≤13sin2x−α≤13∀x∈ℝ⇔−11≤13sin2x−α+2≤15∀x∈ℝ⇔−11≤y ≤15
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 15 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là -11.
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=7−2cosx+π4lần lượt là:
A. 4 và 7
B. -2 và 7
C. 5 và 9
D. -2 và 2
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 4cos2x – 3sin2x + 6 là:
A. 3 và 10
B. 1 và 11
C. 6 và 10
D. -1 và 13
Câu 3. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 3 – 2|sinx| lần lượt là
A. 1 và 0
B. 3 và 2
C. 3 và -2
D. 3 và 1
Đáp án:
1 – C, 2 – B, 3 – D
Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 9 đầy đủ và chi tiết khác:
Công thức giải phương trình lượng giác cơ bản
Công thức, cách biến đổi biểu thức a sinx + b cosx
Công thức, cách gộp nghiệm phương trình lượng giác
Công thức hoán vị
Công thức chỉnh hợp
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình lớp 11 mà học sinh cần phải ghi nhớ.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác bao gồm cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số lượng giác, ví dụ minh họa và một số dạng bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh có thêm nhiều tư liệu tham khảo, nhanh chóng ghi nhớ được kiến thức để biết cách giải các bài tập Toán 11. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn theo dõi tại đây.
Để tìm được giá trị lớn nhất;giá trị nhỏ nhất của hàm số ta cần chú ý:
+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1; -1 ≤ sinx ≤ 1
+Với mọi x ta có: 0 ≤ |cosx| ≤ 1 ;0 ≤ |sinx| ≤ 1
+ Bất đẳng thức bunhia –copski: Cho hai bộ số [a1; a2] và [b1;b2] khi đó ta có:
[a1.b1+ a2.b2 ]2 ≤ [ a12+ a22 ].[ b12+ b22 ]
Dấu “=” xảy ra khi: a1/a2 = b1/b2
+ Giả sử hàm số y= f[x] có giá trị lớn nhất là M và giá trị nhỏ nhất là m. Khi đó; tập giá trị của hàm số là [m; M].
+ Phương trình : a. sinx+ b. cosx= c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 ≥ c2
2. Ví dụ giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Ví dụ 1: Hàm số y= 1+ 2cos2x đạt giá trị nhỏ nhất tại x= x0. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.x0=π+k2π, kϵZ .
B.x0=π/2+kπ, kϵZ .
C.x0=k2π, kϵZ .
D.x0=kπ ,kϵZ .
Trả lời.
Chọn B.
Ta có - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ - 0 ≤ cos2x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ 1+2cos2x ≤ 3
Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1 .
Dấu ‘=’ xảy ra khi cosx=0 ⇒ x=π/2+kπ, kϵZ .
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= sin2x+ 2cos2x.
A.M= 3 ;m= 0
B. M=2 ; m=0.
C. M=2 ; m= 1.
D.M= 3 ; m= 1.
Trả lời.
Chọn C.
Ta có: y = sin2 x+ 2cos2x = [sin2x+ cos2x] + cos2x = 1+ cos2 x.
Do: -1 ≤ cosx ≤ 1 nên 0 ≤ cos2 x ≤ 1 ⇒ 1 ≤ cos2 x+1 ≤ 2
Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là M= 2 và giá trị nhỏ nhất của hàm số là m= 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của hàm số y= 4sinx - 3
A.M= 1; m= - 7
B. M= 7; m= - 1
C. M= 3; m= - 4
D. M=4; m= -3
Lời giải
Chọn A
Ta có : - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên - 4 ≤ 4sinx ≤ 4
Suy ra : - 7 ≤ 4sinx-3 ≤ 1
Do đó : M= 1 và m= - 7
Ví dụ 4: Tìm tập giá trị T của hàm số y= -2cos2x + 10 .
A. [5; 9]
B.[6;10]
C. [ 8;12]
D. [10; 14]
Trả lời
Chọn C
Với mọi x ta có : - 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên-2 ≤ -2cos2x ≤ 2
⇒ 8 ≤ -2cos2x+10 ≤ 12
Do đó tập giá trị của hàm số đã cho là : T= [ 8 ;12]
3. Bài tập giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do
- khi và chỉ khi
- khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1
Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẫn giải
Ta có:
- khi và chỉ khi
- khi và chỉ khi
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là 4, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Đặt
Giá trị lớn nhất của hàm số là 7 khi
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1 khi
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
Hướng dẫn giải
a. Xét phương trình
Vậy hàm số có giá trị lớn nhất là 10, giá trị nhỏ nhất là 0
b. Ta có:
- khi và chỉ khi
- khi và chỉ khi
Vây giá trị lớn nhất của hàm số là 5
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1